高考数学备考推理与证明复习教案

推理与证明

【最新考纲透析】

1．合情推理与演绎推理

（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；

（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；

（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

2．直接证明与间接证明

（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；

（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。

3．数学归纳法

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

【核心要点突破】

要点考向1：合情推理

考情聚焦：1．合情推理能够考查学生的观察、分析、比较、联想的能力，在高考中越来越受到重视；

2．呈现方式金榜经，属中档题。

考向链接：1．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论；

2．类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。

例1：（2010·福建高考文科·Ｔ１６）观察下列等式：

① cos2a=22

cos a -1; ② cos4a=84cos a - 8

2cos a + 1; ③ cos6a=326cos a - 484cos a + 182

cos a - 1;

④ cos8a=1288cos a - 2566cos a + 1604cos a - 322

cos a + 1;

⑤ cos10a= m 10cos a - 12808cos a + 11206cos a + n 4cos a + p 2

cos a - 1.

可以推测，m – n + p = .

【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解．

【思路点拨】根据归纳推理可得．

【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，

m 12801120n p 11∴-+++-=，m n p 162∴++=，又

9

p 10550,m 2512=?===，n 400∴=-，m n p 962∴-+=．

【答案】962．

要点考向2：演绎推理

考情聚焦：1．近几年高考，证明题逐渐升温，而其证明主要是通过演绎推理来进行的；

2．主要以解答题的形式呈现，属中、高档题。

考向链接：演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性。 例

2：（2010·浙江高考理科·Ｔ14）设

11

2,,(2)(3)23n n n n N x x ≥∈+-+2012n

n a a x a x a x =+++???+，

将

(0)

k a k n ≤≤的最小值记为

n

T ，则

234533551111

0,,0,,,,2323n T T T T T ==

-==-??????

其中n T =__________________ .

【命题立意】本题考查合情推理与演绎推理的相关知识，熟练掌握相关的推理规则是关键．

【思路点拨】观察n T 的奇数项与偶数项的特点．

【规范解答】观察n T 表达式的特点可以看出240,0T T ==，……，∴当n 为偶数时，0n T =；

3331123T =

-，5551123T =-，……，∴当n 为奇数时，

1123n n

n T =

-．

【答案】0

,11

,23n n

n n T n ??

=?-??当为偶数时当为奇数时．

要点考向3：直接证明与间接证明

考情聚焦：1．直接证明与间接证明是数学证明的两种思维方式，考查了学生的逻辑思维能力，近几年高考对此部分的考查有所加强。 2．以解答题的形式呈现，属中档题目。 例3：（2010·北京高考文科·Ｔ20）

已知集合)2}(,,2,1},1,0{,),,,({21≥=∈==n n i x x x x X X S i n n 对于

12(,,...,)

n A a a a =，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为

1122(||,||,||);

n n A B a b a b a b -=---…

A 与

B 之间的距离为

∑=-=n

i i

i b a B A d 1

),(

（Ⅰ）当n=5时，设(0,1,0,0,1),(1,1,1,0,0)A B ==，求A B -，(,)d A B ； （Ⅱ）证明：,,,n n A B C S A B S ?∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; (Ⅲ) 证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ?∈三个数中至少有一个是偶数

【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力。本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求。要求教师真正的重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”、“创新能力”的培养．

【思路点拨】（I ）（Ⅱ）直接按定义证明即可；(Ⅲ) “至少”问题可采用反证法证明．

【规范解答】（Ⅰ）(01,11,01,00,10)A B -=-----＝（1,0,1,0,1）

(,)0111010010

d A B =-+-+-+-+-＝3

(Ⅱ)设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n n A a a a B b b b C c c c S =???=???=???∈ 因为11,{0,1}a b ∈，所以11{0,1}(1,2,,)a b i n -∈=??? 从而1122(,,)n n n A B a b a b a b S -=--???-∈ 由题意知,,{0,1}(1,2,,)i i i a b c i n ∈=???

当0i c =时，i i i i i i a c b c a b ---=-

当1i c =时，(1)(1)i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-

所以

1

(,)(,)

n

i i i d A C B C a b d A B =--=-=∑

(Ⅲ)证明：设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n n A a a a B b b b C c c c S =???=???=???∈

(,),(,),(,)d A B k d A C l d B C h ===

记0(0,0,0)n S =???∈由（Ⅱ）可知

(,)(,)(0,)(,)(,)(0,)(,)(,)d A B d A A B A d B A k d A C d A A C A d C A l d B C d B A C A h

=--=-==--=-==--=

所以(1,2,,)i i b a i n -=???中1的个数为k,(1,2,,)i i c a i n -=???中1的个数为l 设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数。则2h l k t =+- 由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数，

即(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数．

注：（1）有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可；

（2）综合法和分析法是直接证明常用的两个方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分

析法和综合法交替使用。 要点考向4：数学归纳法

考情聚焦：1．新课标区对数学归纳法的考查在去年有加强的趋势，望能引起足够的重视；

2．以解答题的形式呈现，属中档题。

例4：等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +

∈ ，点

(,)

n n S ，均在函数

(0x

y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值; （11）当b=2时，记

22(log 1)()

n n b a n N +=+∈

证明：对任意的n N +∈

，不等式1212111

·······n n b b b b b b +++>

【解析】因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得n

n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,111

1()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等

比数列,所以1r =-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-

（2）当b=2时，

11

(1)2n n n a b b --=-=,

1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n

-=+=+=

则1212n n b n b n ++=,所以1212111

35721

·······2462n n b b b n b b b n ++++=?

? .

下面用数学归纳法证明不等式

1212111

35721

(246)

2n n b b b n

b b b n

++++=

??>.

当1n =时,左边=32,右边

,因为3

2>,所以不等式成立. 假设当n k =时不等式成立,即121

2111

35721

·······2462k k b b b k b b b k

++++=??>

成立.则当

1

n k =+时,左边

=1121211111

3572123

··

(24)

6222k k k

k b b b b

k k b b b b

k k ++++++++=????

?

+

2322k k +>===>+所以当1n k =+时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立. 注：（1）用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n=k 到n=k+1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。

（2）在本例证明过程中，①考虑“n 取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值供稿通项，判断命题的真假，②在由n=k 到n=k+1的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。

（3）在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n=k+1时证明的目标，充分考虑由n=k 到n=k+1时，命题形式之间的区别和联系。

【高考真题探究】

1．（2010·山东高考文科·Ｔ１０）观察2'

()2x x =，4'3()4x x =，

'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足

()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（ ）

（A ）()f x (B)()f x - (C) ()g x

(D)()g x -

【命题立意】本题考查归纳推理的有关知识，考查了考生的观察问题，分析问题解决问题的能力.

【思路点拨】观察所给的结论，通过归纳类比联想，得出结论. 【规范解答】选D ．通过观察所给的结论可知，若()f x 是偶函数，则导函数()g x 是奇函数，故选D ．

2．（2010·陕西高考理科·Ｔ１２）观察下列等式：

332123,+=33321236,++=33332123410+++=,……，根据上述规律，第五个

等式为 ____________.

【命题立意】本题考查归纳推理，属送分题． 【思路点拨】找出等式两边底数的规律是解题的关键．

【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：

123,1236,123410,+=++=+++=即左边底数的和等于右边的底数。故第

五个等式为：33333322

123456(123456)21.+++++=+++++=

【答案】3333332

12345621.+++++=

3．（2010·北京高考理科·Ｔ20）已知集合

)

2}(,,2,1},1,0{,),,,({21≥=∈==n n i x x x x X X S i n n

对于12(,,...,)n A a a a =，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为

1122(||,||,||);

n n A B a b a b a b -=---…A 与B 之间的距离为

∑=-=n

i i

i b a B A d 1

),(；

（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ?∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=;

（Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ?∈三个数中至少有一个是偶数

(Ⅲ) 设P n S ?，P 中有m(m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为d (P).

证明：d （P ）≤2(1)mn

m -.

【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力，考查了反证法、不等式证明等知识．本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求．要求教师真正的重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”、“创新能力”的培养．

【思路点拨】（I ）直接按定义证明即可；（Ⅱ）“至少”问题可采用反证法证明；(Ⅲ)把,(,)

A B P

d A B ∈∑表示出来，再利用均值不等式证明．

【规范解答】（I ）设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈ 因为i a ，{}0,1i b ∈，所以{}||0,1i i a b -∈,(1,2,...,)i n = 从而1122(||,||,...,||)n n n A B a b a b a b S -=---∈ 又

1(,)||||||

n

i i i i i d A C B C a c b c =--=---∑

由题意知i a ，i b ，i c {}0,1∈(1,2,...,)i n =. 当0i c =时，||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-;

当1i c =时，|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=- 所以

1(,)||(,)

n

i i i d A C B C a b d A B =--=-=∑

(II)设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈

(,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =.

记(0,0,...,0)n O S =∈，由（I ）可知

(,)(,)d A B d O B A k =-=，(,)(,)d A C d O C A l =-= (,)(,)d B C d B A C A h =--=

所以||(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k ，||(1,2,...,)i i c a i n -=中1的 个数为l ．

设t 是使||||1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+- 由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数，

即(,)d A B ,(,)d A C ,(,)d B C 三个数中至少有一个是偶数．

（III ）2,1()(,)

A B P

m

d P d A B C ∈=

∑

,其中,(,)

A B P

d A B ∈∑表示P 中所有两个元素间距

离的总和，

设P 中所有元素的第i 个位置的数字中共有i t 个1，i m t -个0 则

,(,)A B P

d A B ∈∑＝

1

()

n

i

i

i t m t =-∑

由于i t ()i m t -2(1,2,...,)4m i n ≤=

所以,(,)A B P

d A B ∈∑

2

4nm ≤ 从而

2

2

2

,1

()(,)42(1)A B P

m

m nm mn

d P d A B C C m ∈=≤=-∑ 【方法技巧】（1）证明“至少有一个……”的时，一般采用反证法； （2）证明不等式时要多观察形式，适当变形转化为基本不等式．

4．（2010·江苏高考·Ｔ23）已知△ABC 的三边长都是有理数。

求证：cosA 是有理数；

（2）求证：对任意正整数n ，cosnA 是有理数。

【命题立意】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。

【思路点拨】（1）利用余弦定理表示cosA ，由三边,,a b c 是有理数，求得结论；（2）可利用数学归纳法证明.

【规范解答】方法一：（1）设三边长分别为,,a b c ，

222

cos 2b c a A bc +-=

，

∵,,a b c 是有理数，

222b c a +-是有理数，分母2bc 为正有理数，又有理数集对于除法的具

有封闭性，

∴222

2b c a bc

+-必为有理数，∴cosA 是有理数。

（2）①当1n =时，显然cosA 是有理数； 当2n =时，∵2

cos22cos 1A A =-，因为cosA 是有理数， ∴cos2A 也是有

理数；

②假设当(2)n k k ≤≥时，结论成立，即coskA 、cos(1)k A -均是有理数。 当1n k =+时，cos(1)cos cos sin sin k A kA A kA A +=-，

1

cos(1)cos cos [cos()cos()]

2k A kA A kA A kA A +=---+， 11

cos(1)cos cos cos(1)cos(1)22k A kA A k A k A

+=--++，

解得：cos(1)2cos cos cos(1)k A kA A k A +=--

∵cosA ，cos kA ，cos(1)k A -均是有理数，∴2cos cos cos(1)kA A k A --是有理

数，

∴cos(1)k A +是有理数。 即当1n k =+时，结论成立。

综上所述，对于任意正整数n ，cosnA 是有理数。 方法二：（1）由AB 、BC 、AC 为有理数及余弦定理知

222cos 2AB AC BC A AB AC

+-=

?是有理数。

（2）用数学归纳法证明cosnA 和sin sin A nA ?都是有理数。

①当1n =时，由（1）知cos A 是有理数，从而有2

sin sin 1cos A A A ?=-也

是有理数。

②假设当(1)n k k =≥时，cos kA 和sin sin A kA ?都是有理数。 当1n k =+时，由cos(1)cos cos sin sin k A A kA A kA +=?-?，

sin sin(1)sin (sin cos cos sin )(sin sin )cos (sin sin )cos A k A A A kA A kA A A kA A kA A ?+=??+?=??+??，

及①和归纳假设，知cos(1)k A +和sin sin(1)A k A ?+都是有理数。 即当1n k =+时，结论成立。

综合①、②可知，对任意正整数n ，cosnA 是有理数。

5．（2009江苏高考）设a ≥b ＞0,求证：3332a b +≥22

32a b ab +.

【解析】本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。

证明：

33222222

32(32)3()2()(32)().a b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=-- 因为a ≥b ＞0,所以a b -≥0，22

32a b -＞0， 从而

22(32)()a b a b --≥0，

即3332a b +≥2232a b ab +.

6．（2008安徽高考）设数列{}n a 满足3

*

110,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实

数

（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*

n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；

（Ⅱ）设

1

03c <<，证明：1*1(3),n n a c n N --∈;

（Ⅲ）设1

03c <<，证明：

22

2

*

1221,13n a a a n n N c ++>+-

∈-

【解析】（Ⅰ）必要性：∵120,1a a c ==-，又∵2[0,1]a ∈，∴011c -，

即[0,1]c ∈.

充分性：设[0,1]c ∈，对任意*

n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈.

当1n =时，10[01]

a =∈，. 假设当

n k

=时，

[0,1](1)

k a k

∈，则

31111

k k a ca c

c c +=+-+-=，且

3

1110k k a ca c

c

+=+--，1[0,1]k a +∈.

由数学归纳法知，[0,1]n a ∈对任意*

n N ∈成立. (Ⅱ) 设

1

03c <<，当1n =时，10a =，结论成立； 当2n

时，∵311n n a ca c -=+-，∴32

11111(1)(1)(1)n n n n n a c a c a a a -----=-=-++.

∵

103c <<，由（Ⅰ）知1[0,1]n a -∈，∴2

11

13n n a a --++且10n a -，

∴21112113(1)

(3)(1)

(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c --------=，

∴

()

1

13,*

n n

a c n N --∈.

(Ⅲ)设

103c <<,当1n =时，212

0213a c =>--，结论成立；

当2n

时，由(Ⅱ)知()

1

130

n n

a c -->，

∴21212(1)1

[1(3)]12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ---->-=-+>-.

∴

2222

2

2112212[(3)(3)(3)]n n n a a a a a n c c c -+++=++>--++

+

2[1(3)]

2

111313n c n n c c -=+->+---.

【跟踪模拟训练】

一、选择题（每小题6分，共36分）

1．已知p 是q 的充分不必要条件，则q ?是p ?的（ ） （Ａ） 充分不必要条件 （Ｂ） 必要不充分条件 （Ｃ） 充要条件 （Ｄ） 既不充分也不必要条件

2．设a 、b 、c 都是正数，则

1a b +

,1b c +,1

c a +三个数（ ）

A 、都大于2

B 、至少有一个大于2

C 、至少有一个不大于2

D 、至少有一个不小于2

3．在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos a b

A B =

，则△ABC

一定是（ ）

（Ａ） 等腰三角形 （Ｂ） 直角三角形 （Ｃ）等边三角形 （Ｄ） 等腰直角三角形

4． 5.已知函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的1212,()x x D x x ∈≠，

都有

1212()()

(

)22x x f x f x f ++<，则称()y f x =为D 上的凹函数.由此可得

下列函数中的凹函数为 （ ） （Ａ）

2log y x

= （B ） y x =

（C ）2y x =

（D ）3y x =

5.给定正整数n(n ≥2)按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1，2，3，…，n ，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n 行）只有一个数.例如n=6时数表如图所示，则当n=2 007时最后一行的数是（ ）

(A)251×22 007 (B)2 007×22 006 (C)251×22 008 (D)2 007×22 005

6.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n ∈N*)的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去,则a2 009+a2 010+a2 011等于( )

(A)1 003 (B)1 005 (C)1 006

(D)2 011

二、填空题（每小题6分，共18分）

7．对于等差数列{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，01=a ，t s 、是

互不相等的正整数，则有0

11=---s t a t a s ）（）（”。类比此命题，给出

等比数列{}n b 相应的一个正确命题是：“___________________________________________________”。

8．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1是 三角形，△A2B2C2是 三角形.（用“锐角”、“钝角”或“直角”填空）

9．(2010汉沽模拟)在直角三角形ABC 中，两直角边分别为a b 、，设h

为斜边上的高，则222

111

h a b =+，由此类比：三棱锥S ABC -的三个侧

棱SB SC SA 、、两两垂直，且长分别为a b 、、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则 .

三、解答题（10、11题每题15分，12题16分，共46分）

10.观察下表： 1， 2，3 4，5，6，7

8，9，10，11，12，13，14，15， ……

问：（1）此表第n 行的最后一个数是多少？ （2）此表第n 行的各个数之和是多少？ （3）2010是第几行的第几个数?

（4）是否存在n ∈N*，使得第n 行起的连续10行的所有数之和为227-213-120？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由. 11．已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）． 记112233n n n

T b a b a b a b a =++++．

（1）若1231264

a a a a +++

+=，求r 的值；

（2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；

（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．

12．已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，

)(12121?

++∈=-+N n a a a n n n ．记n

n a a a S +++= 21．

)

1()1)(1(1

)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=

．

求证：当?

∈N n 时， （Ⅰ）1+

（Ⅱ）2->n S n ； （Ⅲ）3

1．【解析】选Ａ.反证法的原理：“原命题”与“逆否命题”同真假，即：

若p q ?则

q p ??

?.

2．【解析】选D.

3．【解析】选A.

cos cos a b A B =，sin sin cos cos A B

A B ∴=

，tan tan A B ∴=，又因为

()

,0,A B π∈，A B ∴=；

4．【解析】选C.可以根据图像直观观察；对于（C ）证明如下：欲证

1212()()

(

)22

x x f x f x f ++<，即证

2

22

121222x x x x ++??

< ???

，即证

()

2

22

1212

22x x x x +<+，即证()

2

120

x x ->，显然，这个不等式是成立的，

且每一步可逆，故原不等式得证；

5．【解析】选C.由题意知，112=7×24,48=6×23，20=5×22，故n 行时，最后一行数为(n+1)·2n-2，

所以当n=2 007时，最后一行数为2 008×22 005=251×22 008.

二、填空题

6．【解析】选B.观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半.a4n-3=n,a4n-1=-n,

又2 009=4×503-3,2 011=4×503-1, ∴a2 009=503,a2 011=-503,a2 010=1 005, ∴a2 009+a2 010+a2 011=1 005.

7．【解析】这是一个从等差数列到等比数列的平行类比，等差数列中

÷?-+、、、类比到等比数列经常

是

n

n ()、、（）、÷?，类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的“相似”，“相似”是类比的基础。

()()1

11

11

111

1s t s t

t t s s b q b b b q ------?==?.

答案：若{}n b 是等比数列，11=b ，t s 、是互不相等的正整数，则有

1

1

1=--t s

s t b b 。

8．答案：锐角 钝角

9．答案：2222

1111h a b c =++

三、解答题

10．【解析】（1）∵第n+1行的第1个数是2n ， ∴第n 行的最后一个数是2n-1.

（2）2n-1+（2n-1+1）+(2n-1+2)+…+（2n-1）

=3·22n-3-2n-2.

（3）∵210=1 024,211=2 048,1 024＜2 010＜2 048，

∴2 010在第11行，该行第1个数是210=1 024，由2 010-1024+1=987，知2 010是第11行的第987个数.

（4）设第n 行的所有数之和为an ，第n 行起连续10行的所有数之和为Sn.

则an=3·22n-3-2n-2,an+1=3·22n-1-2n-1， an+2=3·22n+1-2n ，…，an+9=3·22n+15-2n+7, ∴Sn=3(22n-3+22n-1+…+22n+15)-(2n-2+2n-1+…+2n+7)

=22n+17-22n-3-2n+8+2n-2，

n=5时，S5=227-128-213+8=227-213-120.

∴存在n=5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227-213-120.

11．【解析】（1）12312...a a a a ++++

()()()

12342564786r r r r =++++++++++++++

484.r =+

∵

48464, 4.r r +=∴=

（2）用数学归纳法证明：当

12,4.n n Z T n +

∈=-时 当n=1时，1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立 假设n=k 时等式成立，即124,k T k =-

北京艺术生高考数学复习资料—五数列

数列 等差数列知识清单 1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。 2、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调 性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 3、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其 中2 a b A += a ，A ， b 成等差数列?2 a b A += 。 4、等差数列的前n 和的求和公式：11() (1)2 2 n n n a a n n S na d +-= =+ 。 5、等差数列的性质： （1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是A P ， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m -= -()m n ≠； （4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 说明：设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ， （Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 奇-S 偶n d =； ② 1n n S a S a +=奇偶 ； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 偶-S 奇n a a ==中；② 1 S n S n = -奇 偶 。 6、数列最值 （1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值； （2）n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②若已知n a ，则n S 最 值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥??≤?或1 0n n a a +≤??≥?。 课前预习 1．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是 等差 数列 2．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= 105 3．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 13 项 4．设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 5．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若 36 S S ＝1 3 ，则 612 S S ＝ 310

高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试及答案

推理与证明 一、核心知识 1.合情推理 （1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 （2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理 (1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式：三段论 “三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 3.直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 （1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 （2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 4反证法 （1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 （2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正

高考推理与证明真题汇编理科数学(解析版)

2012高考真题分类汇编：推理与证明 1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察 下 列 各 式 ： 221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b += A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即 21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C. 2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝ 7 3 .动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断，下列近似公式中最精确的一个是 11.d ≈ B ．d C ．d D ．d ≈ 【答案】D 【解析】 346b 69()d ,===3.37532b 16 616157611 ==3==3.14,==3.142857230021 d a V A a B D πππππππ?==???由，得设选项中常数为则；中代入得， 中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。 4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 213122+ < 231151233++<，

2019年高考数学艺术生百日冲刺：全册测试题(Word版,含答案)

专题1集合与常用逻辑测试题 命题报告： 1.高频考点：集合的运算以及集合的关系，集合新定义问题以及集合与其他知识的交汇，逻辑用语重点考查四种命题的关系，充要条件的判断以及全称命题存在命题等知识。 2.考情分析：高考主要以选择题填空题形式出现，考查集合的运算以及充要条件和其它知识的交汇，题目一般属于容易题。 3.重点推荐：9题，创新题，注意灵活利用所给新定义进行求解。 一．选择题（共12小题，每一题5分） 1．集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的真子集的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】：B={（1，1），（1，2），（2，1）}； -=：．故选：C． ∴B的真子集个数为3217 2已知集合M=，则M∩N=（）A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|1≤x＜6} C．{x|﹣3≤x＜6} D．{x|﹣2≤x≤6} 【答案】：B 【解析】y=x2﹣2x﹣2的对称轴为x=1；∴y=x2﹣2x﹣2在x∈（2，4）上单调递增；∴﹣2＜y＜6；∴M={y|﹣2＜y＜6}，N={x|x≥1}；∴M∩N={x|1≤x＜6}．故选：B． 3已知集合A={x|ax﹣6=0}，B={x∈N|1≤log2x＜2}，且A∪B=B，则实数a的所有值构成的集合是（） A．{2} B．{3} C．{2，3} D．{0，2，3} 【答案】：D 【解析】B={x∈N|2≤x＜4}={2，3}；∵A∪B=B；∴A?B；∴①若A=?，则a=0； ②若A≠?，则；∴，或；∴a=3，或2；∴实数a所有值构成的集合为{0，2，3}．故选：D． 4（2018秋?重庆期中）已知命题p：?x∈R，x2﹣x+1＞0，命题q：若a＜b，则＞，下列命题为真命题的是（）

文科艺术生高考数学复习试题

精心整理 文科艺术生高考复习数学试题内容：集合与简易逻辑、函数、复数、统计与概率、立体几何（平行）、程序框图 1.已知全集R U =，集合{}{}3|,5,4,3,2,1≥∈==x R x B A ，右图中阴影部分所表示的集合为（） A.{}1 B.{}2,1 C.{}32,1， D.{}21,0， 2.命题“∈?x R,0123=+-x x ”的否定是（） A ．∈?x R,0123≠+-x x B ．不存在∈x R,0123≠+-x x C ．∈?x R,0123=+-x x D ．∈?x R,0123≠+-x x 3．已知函数()1,0,, 0.x x x f x a x -≤?=?>?若()()11f f =-，则实数a 的值等于（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．已知ni i m -=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m （） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -2 5．已知,a b R ∈，命题“若1a b +=，则2212 a b +≥”的否命题是（） A ．若2211,2a b a b +≠+<则B ．若2211,2 a b a b +=+<则 C ．若221,12a b a b +<+≠则D ．若221,12 a b a b +≥+=则 6．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是（） （A ）10（B ）11（C ）12（D ）16 7.“x x 22-<0”是“40<

推理与证明(教案)

富县高级中学集体备课教案 年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时 教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 重点归纳推理及方法的总结中心 发言 人王晓君 难点归纳推理的含义及其具体应用 教具课型新授课课时 安排 1课 时 教法讲练结合学法归纳总结个人主页 教学过程 教一、原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想 哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明 归纳推理的发展过程

历年高考数学真题精选46 推理与证明

历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题46 推理与证明（学生版） 一．选择题（共9小题） 1．（2019?新课标Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为() A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙2．（2019?新课标Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是5151 (0.618 -- ≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此 外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 - ．若某人满足上述两 个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( ) A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 3．（2017?新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则() A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2016?新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15C ?，B点表示

四月的平均最低气温约为5C ?，下面叙述不正确的是( ) A ．各月的平均最低气温都在0C ?以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均最高气温高于20C ?的月份有5个 5．（2016?北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每 次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 6．（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不 合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有( ) A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人 7．（2013?广东）设整数4n ，集合{1X =，2，3，?，}n ．令集合{(S x =，y ，)|z x ，y ， z X ∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}．若(x ，y ，)z 和(z ，w ，)x 都在S 中，则下列选项正确的是( )

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

1 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 【解析】 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)． 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式：

2020届高考数学艺体生专题讲义《第一节、集合》

第一节、集合 【基础知识】 1、理解集合中的有关概念 （1）集合中元素的特征： 、 、 （2）集合与元素的关系用符号∈，?表示。 （3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集；整数集 ；有理数集 、 实数集 。 （4）集合的表示法： 、 、 注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C ；}12|{2++==x x x x D ； （5）空集是指不含任何元素的集合。（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。(注意：B A ?，讨论时不要遗忘了φ=A 的情况。) 2、集合间的关系及其运算 （1）符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号“??,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 （2）{________________}A B =I ；{________________}A B =U ；{_______________}U C A = （3）对于任意集合B A ,，则：①A B B A Y Y ___；A B B A I I ___；B A B A Y I ___； ②?=A B A I ；?=A B A Y ；?=U B A C U Y ；?=φB A C U I ； 3、集合中元素的个数的计算： 若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。 【基础训练】

2018届一轮复习北师大版第六章不等式推理与证明第五节合情推理与演绎推理教案

第五节合情推理与演绎推理 ☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆ 自|主|排|查 1．合情推理 (1)归纳推理 ①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。

②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理。 (2)类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。 ②特点：是由特殊到特殊的推理。 2．演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的一般原理。 ②小前提——所研究的特殊情况。 ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。 微点提醒 1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明。 2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误。

3．应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的。若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的。 小|题|快|练 一、走进教材 1．(选修2－2P77练习T1改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an －1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( ) A．an＝3n－1 B．an＝4n－3 C．an＝n2 D．an＝3n－1 【解析】a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2。故选C。 【答案】 C 2．(选修2－2P84A组T5改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且n∈N*)成立。类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________。 【解析】根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)。 【答案】b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*) 二、双基查验 1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )

高考数学基础教材(艺术生用)

第1节 常见不等式及其解法 1．一元一次不等式的解法 不等式ax ＞b (a ≠0)的解集为：当a ＞0时，解集为{x |x ＞b a }．当a ＜0时，解集为{x |x ＜b a }． 的情形，以便确定解集的形式． 解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式！！ 解不等式（高中我们能遇到的所有不等式）的通用步骤：①解方程②画图像③写解集 例1．解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －81 4≥0； (4)－1 2x 2＋3x －5＞0； (5)－2x 2＋3x －2＜0； (6)已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1＞0的解集． 例2．解下列不等式： (1)x ＋23－x ≥0； (2)2x －1 3－4x >1

叮叮小文库 1．已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(?R P )∩Q ＝( ) A ．[2,3] B ．(－∞，1]∪[3，＋∞) C ．(2,3] D ．(－∞，－1]∪(3，＋∞) 2．设a >0，不等式－c

推理与证明教案

推理与证明合情推理（一） 教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 教学重点：能利用归纳进行简单的推理. 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、新课引入： 1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”. 二、讲授新课： 1. 教学概念： ①概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. ②归纳推理的几个特点; 1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上 归纳推理的一般步骤： ⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ⑵提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶检验猜想。

归纳练习：(i )由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ (ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？ (iii )观察等式：2221342,13593,13579164 +==++==++++==，能得出怎样的结论？ ③ 讨论：(i )统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段） (iii )归纳推理的结果是否正确？（不一定） 2. 教学例题： ① [例1] 观察图，可以发现：1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52, … 由上述具体事实能得出怎样的结论？ ② 出示例题：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n n n a a n a += =+ ，试归纳出通项公式. （分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a →如何证明：将递推公式变形，再构 造新数列）

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

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艺术生高考数学复习策略

高三艺术生数学高考复习策略 艺体特长生在高三学习文化课的时间比较短，专业考试结束回到学校后，只剩下三个月的时间了，那么如何有效的利用这三个月的时间让这些数学基础较差的学生在高考中数学成绩再有所提高呢？这是艺体特长生教师所面临的必需解决的问题。我个人认为从学生和老师两个层面入手较好。 首先学生层面：把握学生情况，以利对症下药。艺体特长生高三在校时间很短，一轮复习形同虚设，在回校后的三个月，正值二三轮复习，时间短，内容量大，学生往往感觉无从下手，且伴随恐惧、浮躁心理。同时艺体特长生的数学基础的薄弱由来已久，且各人的情况不同，甚至差异较大。所以要想在短时间内有明显的提高困难很大。所以教师应在把握艺术生的实际的前提下，把复习目标定位为在原有的水平基础上有所提高，保证艺术生的已有水平能得到正常发挥，同时尽量保障在能力允许的情况下，能有新的突破。 对此我们应做到如下几点： 1、介绍老师的复习计划、目标要求，使学生做到心中有数，克服恐惧、浮躁心里；同时提出较严格的要求，包括对他们的知识要求、能力要求、学习要求、目标要求等，对学习的各个环节应做到那些要明确告诉学生，在学习过程中强化他们的学习习惯，以巩固复习效果。 2、树立学生学习的信心：教师应把树立学生信心贯穿教学始终，多鼓励，少批评，以欣赏的眼光看他们，想方设法调动他们学习数学的积极性，使他们树立好能学好数学的信心，变害怕数学为喜欢数学，变不得已学数学为主动学数学。另外有必要帮助他们克服心理弱点,鼓励她们“敢问”“多问”树立好他们学习数学的信心。切忌动辄说数学难教，这题太难你们做不出，你们基础差等去刺激学生。 3、重视对学生的学法指导，学生有信心、有干劲还不行，他们还普遍存在基础差、不会学的情况，所以指导学生如何学习也很关键，指导要具体明确，包括制定计划、专心上课、独立作业、解决疑难、系统小结等。要求学生制定自己相应的学习计划，合理安排时间，充分把握好课堂上理解和掌握基本知识、基本技能和基本方法的关键环节．要引导学生注重解题分析，积极思考，参与课堂中。要独立完成作业，重视平时的考练，培养自己的意志毅力和应试的心理素质，对作业及考练过程中暴露出来的错误要主动反复思考，建立错 题本，并要经常把易错的地方拿出来复习强化，作适当的重复性练习。同时注意通过对知识、方法、题型等通过分析、综合、类比、概括，揭示其内在联系．以达到对所学知识融会贯通的目的．使学生能对所学知识由“会”到“熟”，

广东艺术生高考数学复习资料——1集合

集合 一、知识清单： 1.元素与集合的关系:用∈或?表示； 2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 3.集合的分类： ①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y |y =x 2},表示非负实数集，点集{(x ，y )|y =x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； 4.集合的表示法： ①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}； ②描述法 ③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R; 5．集合与集合的关系:用?，≠?，=表示;A 是B 的子集记为A ?B ；A 是B 的真子集记为A ≠?B 。 ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?；②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ?，同时A B ?，那么A = B ；如果A B ?，B C ?， A C ?那么.④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子 集有2n －2个. 6．交集A∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ?A ｝，集合U 表示全集. 7.集合运算中常用结论: ①;A B A B A ??= A B A B B ??= ②()()(); U U U C A B C A C B = ()()()U U U C A B C A C B = ③()()card A B card A =+ ()()card B card A B - 二、课前预习

推理与证明教学设计范本(高中数学)

教学设计说明 一、本节课数学内容的本质、地位和作用的分析 推理是根据一个或几个已知的事实（或假设）来确定一个新的判断的思维方式. 数学、哲学和心理学等学科对其都有研究，它更是人类思维的基本形式. 人们在日常活动和科学研究中经常使用的推理有合情推理和演绎推理. 合情推理是人 类发现新知的一个重要途径. 它既有猜测和发现结论的作用，又有探索和启发思路的作用. 本节课所学习的归纳推理是合情推理的一种. 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的思维过程，通过归纳推理可以发现新知识，获得新结论. 推理与证明的内容属于数学思维方法的范畴，贯穿数学教学的始终，遍布数学知识的每个领域. 旧教材将其渗透在具体的数学内容中分散处理，如：综合法和分析法放在“不等式”一章，“反证法”作为“简易逻辑”的一部分，“合情推理”更是很少涉及. 新课程将其统一纳入教材，集中讲授，我认为这对学生系统掌握其方法是很有必要的. 尤其是“合情推理”这一新加入内容，有助于学生从单纯的解答现成的问题，扩展到能够独立的提出一些问题. 很多大数学家（比如拉格朗日，波利亚）都强调合情推理是他们发现新问题的重要手段，波利亚更是在其名著《数学与猜想》中拿出很多章节对合情推理的模式进行一一总结. 如果学生掌握了这些方法，并能够在今后有意识的使用它们，不仅能培养其言之有据，论证有理的思维习惯，而且对开发学生创新性思维，为社会培养创新型人才都有很强的现实意义. 二、教学目标分析 新课程中，合情推理分为归纳推理和类比推理两讲，本节课是第一部分，对它是初步了解. 所以我把教学重点放在对归纳推理的概念理解和应用上.而提高学生从特 殊到一般的归纳能力则是本节课的教学难点，教学的关键是引导学生自己探索、观察、发现、归纳. 归纳推理作为发现新知的一种途径，有时探索的过程是漫长而曲折的，课堂上设置了有一定难度的“汉诺塔问题”，正是希望学生通过一番“辛苦”的努力才能得到结论. 这样的安排有利于提高学生的数学素养和锻炼学生的意志品质. 根据以上想法，结合我校学生的实际情况，我制定了如下教学目标： (1)了解合情推理的含义；理解归纳推理的概念，能利用归纳的方法进行一些简单

高考数学推理与证明

第十二章推理与证明 考纲解读 分析解读 本部分是新课标内容,高考考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,常以不等式、立体几何、解析几何、函数为载体,考查综合法、分析法及反证法.本节内容在高考中的分值分配:①归纳推理与类比推理分值为5分左右,属中档题;②证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属中高档题.

五年高考 考点一合情推理与演绎推理 1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊. 在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( ) A.2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛 C.8号学生进入30秒跳绳决赛 D.9号学生进入30秒跳绳决赛 答案 B 2.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (i)男学生人数多于女学生人数; (ii)女学生人数多于教师人数; (iii)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;

②该小组人数的最小值为. 答案①6 ②12 3.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是. 答案1和3 4.(2016山东,12,5分)观察下列等式: π- +π - =×1×2; π- +π - +π - +π - =×2×3; π- +π - +π - +…+π - =×3×4; π- +π - +π - +…+π - =×4×5; …… 照此规律, π- +π - +π - +…+π - = . 答案 5.(2015陕西,16,5分)观察下列等式 1-= 1-+-=+ 1-+-+-=++ …… 据此规律,第n个等式可为. 答案1-+-+…+ - -=++…+ 6.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;

2019年高考数学艺术类专题02函数测试题

专题2函数测试题 命题报告： 1.高频考点：函数的性质（奇偶性单调性对称性周期性等），指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质，函数的零点与方程根。 2.考情分析：高考主要以选择题填空题形式出现，考查函数的性质以及指数函数、对数函数的性质图像等，函数的零点问题等，题目一般属于中档题。 3.重点推荐：10题，数学文化题，注意灵活利用所学知识解决实际问题。 一．选择题（本大题共12题，每小题5分） 1（2018?长汀县校级月考）下列四个函数中，在（0，+∞）为单调递增的函数是（） A．y═﹣x+3 B．y=（x+1）2C．y=﹣|x﹣1| D．y= 【答案】B 2. 函数f（x）=+log3（8﹣2x）的定义域为（） A．R B．（2，4] C．（﹣∞，﹣2）∪（2，4）D．（2，4） 【答案】：D 【解析】要使f（x）有意义，则；解得2＜x＜4；∴f（x）的定义域为（2，4）．故选：D． 3. （2018?宁波期末）函数的零点所在的大致区间是（） A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5） 【答案】：C 【解析】函数是（1，+∞）上的连续增函数， f（2）=ln2﹣3＜0；f（3）=ln3﹣=ln＜0，f（4）=ln4﹣1＞0；

f（3）f（4）＜0， 所以函数的零点所在的大致区间为：（3，4）． 故选：C． 4.（2018 ?赤峰期末）已知f（x）=，则下列正确的是（） A．奇函数，在（0，+∞）上为增函数 B．偶函数，在（0，+∞）上为增函数 C．奇函数，在（0，+∞）上为减函数 D．偶函数，在（0，+∞）上为减函数 【答案】：B 【解析】根据题意，f（x）=，则f（﹣x）===f（x），则函数f （x）为偶函数；当x＞0时，f（x）=在（0，+∞）上为增函数；故选：B． 5.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x+1，则f（1）+g（1）=（） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【答案】：B 【解析】由f（x）﹣g（x）=x3+x+1，将所有x替换成﹣x，得 f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3﹣x+1，根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x）， 得f（x）+g（x）=﹣x3﹣x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=﹣1．故选：B． 6. （2018春?吉安期末）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）f（x）=﹣1，当x∈（0，1）时，f（x）=3x，则f（log3162）=（） A．B．C．2 D． 【答案】：C 【解析】∵f（x+2）f（x）=﹣1，∴f（x+4）===f（x），可得函数f（x）是最小正周 期为4的周期函数．则f（log3162）=f（4+log32）=f（log32），∵当x∈（0，1）时，f（x）=3x，log32∈（0，1），∴f（log32）=2，故选：C． 7.定义在R上的偶函数f（x），满足f（2）=0，若x∈（0，+∞）时，F（x）=xf（x）单调递增，则不等式

2020年艺考生高考数学知识点训练题库A部分

2020 年全国卷1 卷高考数学 艺考生复习大纲 基础点整理 A 部分（集训题目） 课题:___ 数学___ 目标: ______________ 姓名: ______________

学校: ______________

① 集合，高考 5 分 考点：交集，并集，补集，子集 【考点深度剖析】 高考对集合知识的考查要求较低， 均是以小题的形式进行考查， 一般难度不大， 要求考 生熟练掌握与集合有关的基础知识． 纵观近几年的高考试题， 主要考查以下两个方面： 一是 考查具体集合的关系判断和集合的运算． 解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具 有属性的含义， 弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素． 二是考查抽象集合 的关系判断以及运算． 【终极小测摸底细】 来源:Z#xx#https://www.sodocs.net/doc/833922897.html,] 1. 【课本典型习题改编】当 ɑ-1=0 时，设集合 A x( x a)(x 3) 0,a R ， B x (x 4)(x 1) 0 ，求 A B ， A B ． 2. 【 2018 高考新课标 1 押题】设集合 A x x 2 4x 3 0 已知集合 xx 2 ，B xx a ，若 A B A ，则实数 a 的 取值范围为 4.【基础经典试题】设 U R,A xx 0,B xx -1，则 A (C U B) ( ) C 中的元素的非空子集个数为 ( ) 个。 ,B= x 2x 3 0 ,, 则 3. 【深圳高三质检卷改编】 A ． B ．R C xx 0 D ． 0 5.【改编自 2017 年江西模拟】若集合 A x3 x 0 ,B 1,2,3,4 ,C A B, ，则集合 A ) D ) 3 2

高考数学压轴专题新备战高考《推理与证明》经典测试题附答案解析

【高中数学】数学《推理与证明》期末复习知识要点 一、选择题 1．比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ） A ． 3 B ． 23 C ． 6513 D ． 5 【答案】D 【解析】 【分析】 如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率. 【详解】 对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ， 1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D . 在直角三角形ABO 中，2AB =，1022 32 BO -?==， 所以2sin 3AB AOB BO ∠= =，又因为22 sin sin 3 r AOB OCD OC OC ∠=∠===，

所以3a OC ==. 由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得 c ==， 所以c e a = = ， 故选：D. 【点睛】 此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题. 2．已知点(10,3)P 在椭圆22 2:199 x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则 圆M 过点N 的切线方程为2 00x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为 （ ） A ．13311x y += B ． 111099 x y += C ． 11133 x y += D ． 199110 x y += 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程. 【详解】 因为点(10,3)P 在椭圆22 2:199 x y C a +=上， 故可得 21009 199 a +=，解得2110a =； 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为： 103111099 x y +=，整理可得11133x y + =. 故选：C. 【点睛】 本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题. 3．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”， 意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程1 0110n n n n a x a x a x a --++???++=，其中 0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或 在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.