地震紧急撤离问题数学建模

辽宁工业大学

2012年数学建模（论文）

题目：火灾紧急撤离问题

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院（系）：机械工程及自动化

专业班级：机械1106班

学生姓名：王哲、郭爽、吴建彬

起止时间：—摘要

本文借用流体动力学中的微分关系，通过将离散的人员转化为连续的人流，以人流密度为研究主体，建立了人员撤离的动态微分方程优化模型，分析了地震发生时人员紧急撤离的问题。并根据我们所在教学楼的楼层建筑的数据分别估算了混乱状况下与有组织时人员撤离的时间，为人员的紧急撤离提供了参考方案。

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第一，本文分析了在无组织的状态下，人员撤离的一般情形。一方面，无组织下人员的运动具有随机性，故此引入人流密度作为基本研究对象。另一方面，流量的变化率是人流密度对距离积分后对时间的导数，人流量对时间的积分即为撤离人员的数量。由此几方面关系，可以列出整个动态过程的微分方程。

经分析发现，单位时间的人流量与密度和速度成正比关系，而整体的人流速度与密度之间又是成一次线性关系，恰好符合流体力学中的流量、流速与密度之间的关系。根据实际情况对整求解过程做了简化，以楼道中的平均人流量为研究主体，最终以数值解求得全部人员逃离所需时间大约为420s.

第二，利用得出的人流量随时间变化的图像可知，由于人员无组织的涌出教室，导致人流密度很大，人群得不到有效的移动，从而使流量达到最大值后又迅速减小。故最好的撤离方式是在达到流量最大的时候，保持住一定的人流密度从而来维持最大的流量。结合数据后可知，在撤离开始一分钟的时候应该有人组织撤离，这样可以避免由于人员的过多涌入楼道而导致的拥堵现象。这样子调控后最佳的撤离时间可以降到240秒左右。

第三，除去人为堵塞的因素对撤离时间影响较大外，改变楼层的设计同样可以缩短撤离所用时间。于是，文章讨论了实际楼层中的参数，如楼层中疏散通道的宽度、教室门的宽度以及疏散口的数量等，对紧急撤离时间的影响。并得出结论疏散口的增加与疏散通道的加宽对撤离时间的缩短有明显的提高。

最后，由于不同的楼层人员速度不一样会导致在楼道中的互相推挤现象，此举对人员在楼道中人员的有效流动有较大影响。故我们引入混乱时间的概念，用来具体量化由此导致的时间的浪费情况。分析后可知混乱时间主要决定于相临两层人员的速度差，由于混乱时间与速度差成正比关系，而且在速度差为正值的时候时间较大，而为负值时时间较小，故利用指数函数来表示两者的关系。由此建立了以总的混乱时间最小为目标的优化模型。利用atlab 对各种指派情形进行比较，得出最了优解。

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关键词：人流量动态微分方程最佳撤离混乱时间

目录

一、问题的提出 (1)

二、基本假设及符号说明 (2)

基本假设 (2)

符号说明 (2)

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三、问题分析 (3)

问题一 (3)

问题二 (3)

问题三 (3)

问题四 (3)

四、模型准备 (4)

五、模型建立 (5)

六、参考文献 (12)

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七、附录 (13)

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一、问题的提出

近年来，诸如地震、火灾等突发事件时常发生。虽然人们在很多情况下还不能准确预报这些突发事件，但当灾难发生时，尽可能在灾难中减少伤亡人数是人们应对突发事件的首选。在突发事件中，身处灾难环境的人员快速撤离灾难地点可以有效减少伤亡人数。

本着居安思危的态度，假设某一天上午，学生正在我校C教学楼上课，突然该楼发生火灾，请你完成任务:

1.用数学建模方法，给出一种使学生快速撤离C教学楼的方案；

2.针对我校C教学楼，用你的方案给出其第一、二楼学生快速撤离的具体方案和所用的时间。

二、基本假设及符号说明

基本假设

疏散过程中，人群的流量与疏散通道的宽度、行走速度有关；

所有人员在突发事件发生后同时疏散，中途不退后；

所有人员在疏散过程中不发生踩踏事件；

每个年级在同一个楼层；

符号说明

符号说明

ρi (x,t) 第x 位置，第t 时刻，第i 层楼的人员密度；

Qi (x,t) 第x 位置，第t 时刻，第i 层楼的人流量；

Lw 走廊宽度；

Ls 楼梯宽度；

б(ρ) 人员密度为时的拥挤调控系数；

Vw 撤离人员在走廊的平均速度；

VwMax 撤离人员在走廊的最大速度；

Vs 撤离人员在楼梯的平均速度；

VsMax 撤离人员在楼梯的最大速度；

R(t) 第i 层楼进入楼梯间的人数；

M 单位时间内从教室进入走廊的人员数；

Ni 第i 个教室的总人数；

三、问题分析

问题一

根据人流运动的特点，建立基于流体动力学的微分方程模型。将每一个楼层分为教室出口处和非教室出口处，由于不同位置流入流出的人流量不同，故可以动态的分析出不同时刻不同位置的人流量密度。以任意小区间段的人流量为考虑对象，该区间两端人流量之差即为该区间人数变化率。根据此关系建立微分方程，接触各个位置的人流量密度函数。此时，用出口处的人流量对时间积分即为已撤离出的人员数目。求解积分方程，得到当撤离人数为教学楼总人数时所经历的时间，即为人全部撤离出所消耗的时间。

问题二

通过分析问题一结果发现影响撤离时间的主要因素为人流量密度，当人流量

密度过大时会导致人员移动区间变小，使得撤离速度的下降。故当撤离人流量最大时，应使撤离人数与从教室流入走廊的人数相同，以此保持人流量密度一直保持在最好的水平，使得单位时间内撤离的人数最多，此为最佳撤离方案。

问题三

分析问题一所列出的微分方程式，结合实际，认为走廊、楼道宽度以及楼梯数量为制约撤离时间的主要因素，应适当改进。并结合实际情况中的其他因素，提出若干可行性建议。

问题四

认为每一个楼层只安排一个年级，将撤离时间定为无干扰时的撤离时间以及相邻两层互相制约而产生的混乱时间之和。无论楼层如何安排，无干扰撤离时间不变。而对于混乱时间，其数值正比于下层撤离速度与该层速度之差。如果下一层的速度比本层大，则混乱时间很小，如果下一层的撤离速度大于该层，则会产生很大的混乱时间。基于此情况，定义混乱时间是关于相邻两层人员撤离速度差的指数函数。通过编程，对各种情况进行遍历，可以求出混乱时间最小时的楼层安排方案，即为最合理的教室分配方案。

四、模型准备

基本公式准备

撤离人员从走廊、楼梯撤离，其情形就像在湍急的江河中奔腾的流水一样。故我们运用流体动力学中的概念去解决该问题。根据流体动力学中速度与密度的定义，得到速度与流体密度关系公式：

其中：ρm表示单位平面内能够容纳的最多人数；

VwMax表示人在撤离稳定时期能够行走的最大速度；

此公式表示在人流密度增大初期，人行走速度逐渐降低，当人流密度到达最大值的时候由于没有行走空间，所以人行走速度降为零。

由于在稳定的时候，撤离人员处于稳定连续状态。所以根据流体动力学知识有如下方程：

表示：

时刻t，区间[a，b]内的撤离人员的数量为

单位时间内通过a，b 点的流量Qi(a,t),Qi(b,t)之差等于撤离人员数量的变化率。楼梯间中行走长度的确定

根据实际情况，假设在楼梯间行走的距离为

，如图1：

图楼梯长度示意图

五、模型建立

针对问题一

模型一

将整栋楼看作一个整体，设其密度均匀，人员从20 个教室流入，从楼出口处流出，根据节中基本公式列微分方程求解。将整个撤离过程分为稳定前阶段和稳定阶段两个时间段。

1）稳定前阶段

设定稳定前状态即为距离楼梯间最近的教室的人员到达下一楼层之前的时间段。此时，由于整个教学楼均处于畅通的状态，所以设此阶段的撤离速度为Vbefor。由此可以确定出到达稳定阶段时，楼梯间以及走廊的初始密度。

可以得到稳定前阶段所消耗的时间：

2）稳定阶段

根据节中的公式，可以列微分方程：

其中：

表示整个教学楼的平均密度；

表示在楼梯间中的平均撤离速度；

表示走廊长度总和；

表示楼梯间的长度总和；

该方程未考虑由于走廊拥堵而造成的教室中人员无法到达走廊的情况，为考虑此情况，引入拥挤调控系数

表示在教室出口处的密度与能够从教室出去人数的调控函数，如果出口处密度为零时,即教室里面的撤离人员均能到达走廊。如果出口处的密度已为最大值，即教室里面的撤离人员无法到达走廊。此时的微分方程为：

根据节，将速度与密度的关系代入上式有：

解微分方程可以得到人员撤离密度关于时间的函数，设经过T时间，所有人员撤离完毕，有：

反解出时间T 即为稳定时期撤离完毕所花费的时间。故全部人员撤离消耗的时间为：

由于此模型过于简化，并没有考虑到各层楼走廊和楼梯间的拥堵情况，分析问题过于粗略。故我们将每层的走廊和楼梯间分开考虑，引入模型二。

模型二

将每一个楼层看作一个整体，将其密度视为均匀，记为ρi(t)。此时依旧从稳定前与稳定两个阶段去分析整个撤离过程。稳定前阶段与模型一一致，在此不详细论述。

对于稳定时期，对每个楼层进行分析，根据模型一的思想，列方程如下：

代入人流量与密度方程，化简得到：

如模型一考虑，引入拥挤调控系数б(ρ)，得到方程如下：

解微分方程可以得到，得到第i 个楼层进入楼梯间的人数：

每一个楼层均为此，考虑楼梯间的情况。将每一个楼层视为教室，整个楼梯间为走廊，列类似微分方程：

解该微分方程，可以得到楼梯间的人流密度ρ(t)。

此时，得到最终从出口撤离的人员数量与时间的关系：

模型三

对整个走廊和楼梯间的整个长度分成无限小段，基于流体动力学知识，建立更具有一般性的模型，计算出全部人员撤离完毕需要时间。依旧将整个撤离过程分为稳定前、稳定两个阶段进行分析。

1）针对稳定前阶段

设定稳定前状态即为距离楼梯间最近的教师的人员到达下一楼层之前的时间段。

此时，由于整个教学楼均处于畅通的状态，所以设此阶段的撤离速度为Vbefor。

由此可以确定出到达稳定阶段时，楼梯间以及各层走廊的初始密度。

可以得到稳定前阶段所消耗的时间：

2）针对稳定阶段

对每一层进行考虑，根据实际位置分布建立坐标系，如图

图任意楼层走廊坐标系的建立

确定每一楼层每一个时刻不同位置的撤离人员密度。由于在教室的出口处会有撤离人员流向走廊，所以在每个教室的出口处，密度变化率大于其他位置，如图：

图教室出口处的密度变化示意图

i 教室出口处的密度变化率：

取平均位置，设撤离人员流出位置为教室门处，列微分方程如下：

简化得：

令Δt→0有：原式

iv 楼梯间里面各个位置密度的变化率：

针对于楼梯间内部，将其类比为某一楼层的走廊，各个楼层进入楼梯间的撤离人员数量相当于该楼层各个教室进入走廊的数量。基于此假设，列出类似微分方程：

最终只需计算出从出口撤离的人员数量与时间的关系即可：

此时，经过时间T，所有人员撤离完毕，有如下方程：

反解出T 即可。此时所有人员撤离需要的时间为：

但是由于模型三方程过于复杂，无法给出解析解，只能利用微分转差分进行数值分析。鉴于前两个模型已经给出相应的撤离时间，故此模型并没有作相应的计算，仅作为一更详细的基本方程。

问题二

模型建立

题目要求给出撤离时间最短的时候的人员撤离方案，由图可以清楚的看出，撤离人员的总人数即为图像所围成的面积。

在总人数不变的情况下，要缩短撤离总时间，只能使得各个时刻出口处的人流量保持最大值，增大图像面积，如图8 竖线所示。

根据上题分析，出口处人流量降低的主要原因是楼道人流量密度过大，导

致撤离速度降低、人流量变小。

为解决上述问题，应当在撤离过程进行了50 秒左右时，保持楼梯间的人员数量，使得人流量密度为最恰当的数值。

由图8 可知，人流量最大为每秒人，要保持人流量密度则要从教室进

入走廊的人数等于撤离教学楼的人数。

模型检验

根据参考文献中，给出的相应的疏散时间经验公式：

其中：

Tmart 表示稳定前时间；

N 表示总人数；

Ls 表示逃生口宽度；

E 表示有效流动系数；

根据经验取E= 人/秒，根据我们的基本数据，计算出来的撤离总时间为

秒。与计算得到的撤离时间相似，结果较为符合实际。

问题三

结合问题一中模型三的方程，考虑楼房设计的最合理方案，给出该微分方程：

根据上述方程，可以明显看出，要是某时刻撤离的人员最多能采取如下方法：1）增大走廊的宽度以及楼梯间的宽度；

2）一般应在靠近建筑标准层的两端设置楼梯间。楼梯间的布置应均匀。且有多方向的出口。

3）高楼层应配套增加紧急通道，可以直接从5 楼到达1 楼；

4）增设广播设备，当险情发生时能够及时通知，缩短人员的反应时间；

问题四

模型准备

根据节中的用作模型检验的撤离时间经验公式，定义撤离时间如下：

其中：

T 为需要的总时间；

Tmart 为达到稳定状态之前需要的准备时间；

N 为整栋楼的总人数；

Q 平均每秒钟的撤离的人数；

考虑拥堵时候的撤离时间

如果不考虑拥堵情况，第i 层人员的撤离时间满足上述定义，总时间即为其求和。

现在考虑拥堵情况，故在此基础上加入混乱时间表示第i 层的人员和第i+1 层的人员交汇之后因为拥堵产生的附加时间。时整个撤离时间即为：

i 认为与相邻两层人员的速度差成正比关系，

Ii 如果Vi>Vi+1，说明下层人的速度大于上层，上层人员无法进入下层人员的撤离人流，对下层影响很小；

iii如果Vi

根据上述性质，采用指数函数作为混乱时间的定义：

此时，混乱总时间

楼层安排方案。

i 时间最小情况下的安排情况：

一楼到五楼分别安排4 年级、4 年级、3 年级、2 年级、1 年级，此时混乱时间为。

ii 时间最长情况下的安排情况：

一楼到五楼分别安排1 年级、4 年级、3 年级、2 年级、4 年级，此时混乱时间为。

说明最差情况下的混乱时间是最好情况下的倍，由此说明，一个合理的楼层安排方案可以大大缩短人员撤离的时间。

而根据调查，现实情况中，大部分学校以年级越高所在楼层越高的原则安排学生，即一楼到五楼分别安排1 年级到4 年级，此情况下，计算得出混乱时间为，最好情况下的倍，这是因为我们仅仅考虑了撤离时间这一个因素，而未考虑安全性、人性化等现实因素。最佳的楼层安排方案应该根据不同地区的实际情况综合考虑撤离时间和人性化因素等方面进行统筹安排。

六、参考文献

[1] 朱道元，数学建模案例精选，北京：科学出版社，2003。

[2] 姜启源，数学模型（第二版），北京：高等教育出版社，1997。

[3]姜启源、谢金星等，《数学模型（第三版）》，高等教育出版社，2003；

[4]方正、陈大宏、卢兆明，《高层建筑人员疏散时间计算的探讨》，维普资讯；

[5]梁春岩等，《行人交通流模型研究》，吉林建筑工程学院学报，第2 6卷第3 期，2009 年

6 月；

七、附录基本数据一览表：

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