解直角三角形的应用专题复习
解直角三角形的应用专题复习
解直角三角形的应用既是初中数学的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题：
一、解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。
二、中考导向掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一般在
4%~10%。分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题，几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。
1.解直角三角形有以下类型：
①已知两边
先用勾股定理求出第三边，再求三角函数值，最后求出角．
②已知一边和一锐角
先求另一锐角，再由边角关系求其余两边．
典例分析：
例1 在ABC Rt ?中,,900=∠C 3,30==∠b A ,解这个三角形.
解法一 ∵ ,30,9000=∠=∠A C ∴ .2a c =
设x a =,则.2x c =由勾股定理,得222)2().3(x x =+ ∴ 1=x . ∴ 000060309090.22,1=-=∠-=∠===A B x c a . 解法二 .13
3
330tan 0=?
==b a 0002222603090.2)3(1=-=∠=+=+=
B b a c
说明: 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用本章所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题.
巩固训练： 分别由下列条件解直角三角形（090=∠C ）.
（1）;45,80=∠=B c （2）060,36=∠=B b ；（3）;24,4==c a （4）.6,2==b a
解 （1）000045459090=-=∠-=∠B A 。
∵ c
a A =sin ∴ .2445sin 8sin 0=?==A c a ∴ 24==a
b 。 （2）000030609090=-=∠-=∠B A 。 ∵ c
b B =sin . ∴ .122
3
3
660sin 36sin 0====
B b c ∵ .sin c a
A = ∴ .62
11230sin 12sin 0=?=?==A c a (3) ∵ ,24,4,sin ===c a c
a A ∴ .2
22
44sin =
=
A ∴ .450=A ∴ .454590000=-=
B ∴ .4==a b
(4) ,6,2,tan ===b a b
a A ∴ 3
36
2tan =
=
A . ∴ .300=∠A 000060309090=-=∠-=∠A
B . ∵ 222c b a =+, ∴ 2262=+=c .
说明:本题考查直角三角形的解法,解题关键是正确地选用关系式.易错点是选用关系式不当,造成计算错误或增大结果的误差。
2. 应用解直角三角形知识解决实际问题：
例：直升飞机在跨江大桥AB 的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB ．
【分析】如图所示，要求AB 长，先设法求出边AO 与BO 的长，然后相减即可，由条件可得30PAO ∠=?，45PBO ∠=?，又因为PO=450米，可选择上述两特殊角正切分别求得AO 与BO ．
【解】由题意得，
30,45PAO PBO ∠=?∠=?，
tan 30,tan 45PO PO OA OB =?=
?，450
tan 30OA ∴==?
450450tan 45OB =
=?， 1)()AB OA OB m ∴=-=
答：大桥的长AB 为1)
米． （强调解题完整，要写“答”，注意单位，这些都是中考失分的重要因素）
O
B
A
450例1图
变题1：直升飞机在长400米的跨江大桥AB 的上方P 点处，且A 、B 、O 三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的 仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO ．
请大家自行分析解决，注意方程思想的运用．
（本题应注意方程思想的运用，可设所求PO 长为x ，由45度角的正切或直接由“等角对等边”可求得OB 也等于x ，然后再由30度角
的正切列出方程，即
4003
x x =
+，熟练后也可以直
400x =+，
所以200()x m =）
P
O
B
A
400米
变题1图
变题2直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO．
将问题转化为两个直角三角形组合图形中加以解决，可割可补
（本题会出现两种不同解法，割或补，即过A作AC⊥PO，要求PO 长，此时CO=AB=200，只需求出PC即可；或是过P作PC垂直BA延长线于点C，求出AC。不管哪种方法，必须注意所设未知数是哪条边，如果不是直接设PO为未知数，则一定要注意最后的结果
必须是PO
的长，结果为300()m）
变题2图
变题3：直升飞机在高为200米的大楼AB 左侧P 点处，测得大楼的顶部仰角为45°，测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离．
找出等量关系，列方程．
（列方程关键在于找出等量关系，本题可以以AB 长为等量关系，充分利用好45度角的特点，
即PD=AD ，如果设PD=x ，则AD=x ，由30
度角可表示BD x =
，从而可以列出方
程200,300)x x x m ==-；设BD=x ，则
AD=PD=200-x
200x =-
，得100x =，不能忘记求PD ）
根据以上解题过程，列举四题中三个示意图，分析归纳这类问题的共同点．从而了解数学建模及方程思想，并归纳出这类图形的结构特点．
规律总结：（将例1及3个相关变题中的图形加以分析，从每个问题所提供的条件特点，结合图形结构特征，可归纳出这类问题：（1）示意图为有一个公共边的两个直角三角形，分布位置有两种，位于公共边同侧或异侧；（2）所给条件一般为两角一边，且边一般为已知角的邻边或对边（非直角三角形斜边），
此时选用的三角函数关系多为正切）
变题3图
O
B A
4
例1
O B A
40
变题
B
O 变题3
变
变题4：（2008桂林）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30?，B 村的俯角为60?（如图）．求A 、B 两个村庄间的距离．
总结：[通过以上题目，重点是让大家掌握如何把实际问题转化为数学问题，数学建模思想必不可少，具体操作方法就是抽象出几何图形，就本课而言是主要是两个三角形的两种不同组合图形。此外在解直角三角形中也渗透了方程思想。] （1）数学建模及方程思想
从实际问题抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题求解； 解直角三角形常结合用方程。 （2）解题方法小结
A ．把实际问题转化为数学问题的两个方面；（图形转化，条件转化）
B ．把数学问题转化为解直角三角形的处理方法．（构造直角三角形） （将实际问题转化为数学问题，关键要画好示意图，从实际问题抽象出数学模型，如果是单个直角三角形，则直接解直角三角形，如果是一般三角形，甚至是梯形或组合图形，则通过作高将其转化为直角形再求解，而解直角三角形的常用方法是结合方程进行计算）
Q
B C
P A
450
60?
30?
联系实际，对问题情境的理解需要具有一定的空间想象能力，逐步从实际问题中，抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题来解决。变题1与例1是交换题目条件与结论，情境不变，分别求桥长与飞机高。变题2-3情境有所变化，由测桥变为测楼，所求问题是飞机高及飞机到楼房距离。以上问题的解题关键在于转化实际问题为数学问题，着重是示意图的画法（包括已知什么和求什么），进而利用解直角三角形知识解决问题，并在解题后及时加以归纳，挖掘图形结构及条件的特点。
]
例 3 已知如图在直角梯形ABCD 中，
F E BC B CD AB 、,cm 10,60,//=?=∠ 分别为AD 、
BC 的中点，14=EF cm ，求两底AB 、CD 的长.
解：过C 作AB CG ⊥于G 交EF 于H.
∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴GB HF AB EF //,// . 在Rt CBG ?中，cm 10,60=?=∠BC B . ∴??=60cos BC GB
).cm (5102
1
=?=
∵HF 为CBG ?的中位线，
)cm (5.1655.11 ),cm (5.115.214 ).cm (5.22
1
=+=+=+==-=-==∴==
∴GB DC GB AG AB HF EF EH CD GB HF 答：AB 的长是16.5cm ，CD 的长是11.5cm.
说明：本题使用“转化思想”，把分散的元素，通过添加辅助线，集中到一个三角形中，然后再解此三角形。一种重要的方法与途径是使用割补法，将图形分割或拼补成一些直角三角形，再注意寻找公共边与公共角进行过渡．
例 3在ABC ?中，?=∠?=∠+=60,45,26B A AB ，求AB 边上的高CH.
分析 注意到AH CH =，在CHB ?Rt 中，构造关于CH 的方程. 解：设h CH =，在AHC ?Rt 中，h CH AH ==，
于是h AH AB HB -+=-=)26(， 所以有关于h 的方程
360tan )26(=?=-+h
h ，
解这个方程，得h h =-+3)26(3， ∴ 61
3)26(3=++=h .
说明 这是一个利用三角函数建立方程的例题，是方程思想在解直角三角形中的应用.
在解直角三角形中，根式运算起着重要的作用.本例中关于
1
3)26(3++的计算如果是这样：
,
622232
)
26623(32
)
13)(26(31
3)26(3=?=--+=
-+=
++
就不是好的计算过程，如果看到)13(226+=+就有简便的算法
6)
13()
13(6)13()26(3=++=++.
小结：
常见的解斜三角形基本图形
1．当所求的角或线段不在直角三角形中时。应怎样处理?
在求线段的长或角的大小时，若所求的元素不在直角三角形中，则应将它转化到直角三角形中去．这种方法叫做“化斜为直”法。转化的途径及办法有很多，如可作辅助线构造直角三角形，或找已知直角三角形的边(或角)来替代所要求的元素等．
2．利用解直角三角形解决有关问题时。常用的辅助线有哪些?
(1)作高线，将斜三角形中有关边角的计算问题转化为直角三角形的问题．
(2)连接对角线或作垂线，将四边形中有关边角的计算问题转化为解直角三角形的问题．
巩固训练：
1.某船自西向东航行，在A 处测得某岛在北偏东60°的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45 °的方向上， 问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？
2海岸上有A 、B 两点相距120米，由A 、B 两点观测海上一轮船C ，得∠CAB ＝60°∠CBA ＝75°，求轮船C 到海岸AB 的距离。
8千米 A
B
C
D
45
30
3铁路路基横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度是i=2:3,顶宽是3m,路基高是4m ，求路基的下底宽？
C
4(选做)如图：是一海堤的横断面为梯形ABCD ，已知堤顶宽BC 为6m ，堤高为3.2m ，为了提高海堤的拦水能力，需要将海堤加高2m ，并且保持堤顶宽度不变，迎水坡CD 的坡度1:2也不变。但是背水坡的坡度由原来的i=1:2改成i=1:2.5（有关数据在图上已注明）。
(1)求加高后的堤底HD 的长。 (2)求增加部分的横断面积 (3)设大堤长为1000米，需多少立方米土加上去？ (4)若每方土300元，计划准备多少资金付给民工？
i=2:3 B
A
E
E
D
解直角三角形 中考经典专题
第一章复习题（一） 1. 菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 452AOC OC ∠==°，，则点B 的 坐标为（ ）A ．(21)， B ．(12)， C ．(211)+， D ．(121)+， 2. 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，5 4 A cos =，则下列结论中正确的个数为（ ） ①DE=3cm ； ②EB=1cm ； ③2 ABCD 15S cm =菱形． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 3. 如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米． A ．25 B ．253 C ． 1003 3 D ．25253+ 4. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA= 5 4 ，BC ＝10 ，则 AB 的值是（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．9 5. 在一次夏令营活动中，小亮从位于A 点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km 到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地，测得A 地在C 地南偏西30°方向，则A ．C 两地的距离为（ ） （A ） km 3310 （B ）km 3 3 5 （C ）km 25 （D ）km 35 6. 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =5 1 ，则AD 的长为（ ） （A ） 2 （B ）3 （C ）2 （D ）1 7. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ） A ．3 B ．5 C ．25 D ．2 2 5 8. 如图，在ABC △中，C ∠9060B D =∠=°，°，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且 21CD DE ==，，则BC 的长为（ ） A ．2 B ． 4 33 C ．23 D ．43 x y O C B A B C A D l A B C D E
《解直角三角形及其应用》综合练习含答案
D C B A 第9题图 A B C 解直角三角形及其应用综合练习 一、选择题:（共12个小题，每小题3分，共36分） 1、在△ABC 中，∠C=90°，如果各边长度都缩小2倍，则锐角A 的正切值和余切值（ ） A 、都缩小2倍 B 、都扩大2倍 C 、都没有变化 D 、不能确定 2、在△ABC 中，∠C＝90°，如果AB ＝2，BC ＝1，那么sinA 的值是（ ） A 、 21 B 、5 5 C 、 3 3 D 、23 3、在△ABC 中，已知AC ＝3、BC ＝ 4、AB ＝5，那么下列结论成立的是（ ） A 、sinA ＝ 45 B 、cosA ＝53 C 、tanA ＝43 D 、cotA ＝5 4 4、已知α为锐角，tan （90°－α） ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 5、ABC Rt ?中，?=∠90C ，若AB=2，3= BC ，则2 tan A 的值为（ ） A ． 23 B ．3 3 C ．3 D ．32- 6、△ABC 中，2 1 cos = A ，1cot = B ，则△AB C 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 7、若∠A 是锐角，且sinA ＝cosA ，则∠A 的度数是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 8、如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A 、10米 B 、15米 C 、25米 D 、30米 第8题图 第10题图 9、如下图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A ，在河南岸选相距200米的 B 、 C 两点，分别测得∠ABC ＝600，∠ACB ＝450 ，则这段河的宽度为（ ） 30°
《解直角三角形及其应用》教案
【教案三】23.2解直角三角形及其应用 一．教学三维目标 (一)、知识目标 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． (二)、能力目标 逐步培养分析问题、解决问题的能力． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 三、教学过程 （一）回忆知识 1．解直角三角形指什么？ 2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理：a2+b2=c2 (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系： tanA=的邻边的对边A A ∠∠，sinA=斜边的对边A ∠， cosA=斜边的邻边A ∠ （二）新授概念 1．仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义． 2．例1 如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米) 解：在Rt △ABC 中sinB=AB AC ∴AB=B AC sin =2843.01200 =4221(米) 答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米． 例2.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6400km ，结果精确到0.1km ） 分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。斜边 的邻边 A A ∠=cos 斜边的对边 A A ∠=sin
最新(五)解直角三角形的实际应用(含答案)
精品文档 （五 ）解直角三角形的实际应用 （含答案 ） 1. （2017 湖南株洲第 23 题 ）如图示一架水平飞行的无人机 AB 的尾端点 A 测得正前方的桥的左端点 P 的俯角为 α 其中 tan α=2 3 ，无人机的飞行高度 AH 为 500 3米，桥的长度为 1255 米． ①求点 H 到桥左端点 P 的距离； ②若无人机前端点 B 测得正前方的桥的右端点 Q 的俯角为 30°，求这架无人机的长度 AB ． 【答案】①求点 H 到桥左端点 P 的距离为 250 米；②无人机的长度 AB 为5米． ②设 BC ⊥HQ 于 C ． 在 Rt △BCQ 中，∵ BC=AH=500 3，∠ BQC=30°， BC ∴ CQ= =1500 米，∵ PQ=1255 米，∴ CP=245 米， tan30 ∵HP=250 米，∴ AB=HC=250﹣245=5 米． 答：这架无人机的长度 AB 为 5 米． . 考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 2. （ 2017 内蒙古通辽第 22 题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在 EOA 300 ，在OB 的位置时俯角 FOB 600 .若OC EF ，点 A 比点 B 高 7cm . OA 的位置时俯角
求（ 1）单摆的长度（3 1.7 ）；
精品文档 （2）从点A摆动到点B 经过的路径长（3.1） 答案】（ 1）单摆的长度约为 18.9cm（2）从点 A 摆动到点 B经过的路径长为 29.295cm 1 OP=OAcos∠ AOP= x， 2 在 Rt△ BOQ 中， 由 PQ=OQ﹣ OP 可得3 x﹣1 x=7，22 解得： x=7+7 3 ≈ 18.9（ cm）， . 答：单摆的长度 约为 18.9cm； （2）由（ 1）知，∠ AOP=60°、∠ BOQ =30°，且 OA=OB=7+7 3 ，∴∠ AOB=90°，则在 Rt△ AOP 中， OQ=OBcos∠BOQ= 2
《解直角三角形及其应用》综合练习(含答案)-
1 解直角三角形及其应用综合练习 (A ) 100.2 (B )100. 3 (C ) 100(3 . 3) (D )100(3 . 3) 10、如图：在等腰直角三角形 1 ABC 中，/ C = 900, AC = 6, D 是 AC 上一点，若 tan / DBA=—，贝U AD 5 1、在厶ABC 中，/ C=90°,如果各边长度都缩小 2倍，则锐角 、都没有变化 A 的正切值和余切值（ D 、不能确定 ) A 、都缩小2倍 B 、都扩大2倍 C 2、在厶 ABC 中，/ C = 90° ，如果 AB= 2, BC = 1，那么si nA 的值是（ ） A 、 1 B 、 —5 C 、 仝 D 、近 2 5 3 2 、选择题：（共12个小题，每小题3分，共36分） 的长为（ A 、2 11、在离旗杆 的高为（ A . 20coS ） B 、2 C 20米处的地 方, ）米 B 12、已知△ AB C 中，/ (A ) 12 3 (B ) 、1 D 、2 2 用测角仪测得旗杆顶的仰角为 ,如测角仪的高为1.5米,那么旗杆 .20ta n B = 60°, 12 ( C ) C AB= 6, 24, 3 .1.5+ 20ta n BC = 8,则厶ABC 的面积是( D . 1.5+20coS (D ) 12 2 5 B 3 C 3 D 、cosA = 4 4 5 4 5 4、已知a 为锐角， tan (90° — a): =.3 , 则a 的度数为（ ) A. 30° B .45 C .60° D .75° 5、 Rt ABC 中， C 90 ，若 AB=2 BC .3，则 ta/ 的值为（ ) 2 A. J3 B C .3 D .2 .3 2 3 6、A ABC 中, cos A 1 ,tanB=1 , 则厶ABC 的形状是（ ) 2 A.锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形 D . 等腰三角形 7、若/ A 是锐角， 且 si nA = cosA , 则/ A 的度数是（ ) A. 30° .45° C .60° D .90 ° 3、在厶ABC 中，已知 AC = 3、BC = 4、AB= 5,那么下列结论成立的是（ ） 二、填空题：（共6个小题，每小题4分，共24分） 2 2 13、计算：sin 48°+ sin 42 °— tan44 °? tan45 ° ? tan46 14、已知等腰三角形的周长为 20，某一内角的余弦值为 8、如图，一棵大树在一次强台风中于离地面 5米处折断倒下，倒下部分与地面成 30°夹角，这棵 大树在折断前的高度为（ ） A 10 米 B 、15 米 C 、25 米 D 、30 米 B C 第9题图 A 9、如下图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点 点，分别测得/ ABC= 60°,Z ACB= 450,则这段河的宽度为 A ,在河南岸选相距 200米的 B C 两 ） C 2 ，那么该等腰三角形的腰长等 3 于 _____________ 。 15、升旗时某同学站在离旗杆底部 21米处行注目礼，当国旗升到旗杆顶端时，该同学看国旗的仰 角是300，若其双眼离地面1.60m ，则旗杆高度为 ____________ 米（结果保留根号）. 16、 如图，某车间的人字屋架为等腰三角形，跨度 AB= 14米，CD 为中柱，则上弦 AC 的长是 米 （用/ A 的三角函数表示）. 17、 如图：在高为2米，水平距离为3米楼梯的表面铺地毯，地毯的长度至少需 ___________ 米. 18、 在倾斜角为30。的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为 3米，那么，相邻两棵树间 第18题图 4cos60 (1 )2005.
解直角三角形的应用教案
解直角三角形的应用教案
解直角三角形的应用教案 ―－俯角仰角问题教学目标： 1、了解仰角、俯角的概念。 2、能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际 问题。 3、能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合的思想方 法。 教学重点： 解直角三角形在实际中的应用。 教学难点： 将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。 教学方法：三疑三探 教学过程： 一、复习引入新课 如图：在△ABC中，∠C=90°， ∠A、∠B、∠C的对边分别为 a,b,c. 则三边之间关系为； 锐角之间关系为；边角之间关系(以锐角A为例)为。 看来大家对基础知识掌握得还是比较牢固的。下面我们来看这样一个问题： 问题：小玲家对面新造 了一幢图书大厦，小玲心想： “站在地面上可以利用解直角 三角形测得图书大厦的高，站 在自家窗口能利用解直角三角 形测出大厦的高吗？他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线与水平线之间的夹角各一个，但这两个角如何命名呢？ ο 46A B C Cο 29 A
AE ＝DE ×tan a ＝BC ×tan a ＝22.7×tan 22° ≈9.17 AB ＝BE ＋AE ＝AE ＋CD ＝9.17＋1.20 ≈10.4（米） 答:旗杆的高度约为10.4米． 2、解：在ΔABC 中，∠ACB =90° ∵ ∠CAB =46° AC=32m tan ∠CAB= ∴BC=AC ·tan46° ≈33.1 在ΔADC 中，∠ACD=90° ∵ ∠CAD=29° AC=32m tan ∠CAD= ∴DC=AC ·tan29° ≈17.7 ∴BD=BC+CD=33.1+17.7=50.8≈51 答：大厦高BD 约为51m. 二、 质疑再探 在本节课的探究和学习过程中你还有那些疑惑或问题？请大胆提出来，大家共同解决。 三、 运用拓展 １、 生自编题 ２、 师补充题 1、一架飞机以300角俯冲400米,则飞机的高度变化情况是( c ) C ο29D A BC AC DC AC ο46A B C
《解直角三角形复习》公开课教案
《解直角三角形复习》教案 单位：泸县一中 年级： 九 学科： 数 学 设计者：_______ 时间：2015年 4月14日 【学习目标】： 1. 巩固三角函数的概念,巩固用直角三角形边之比来表示某个锐角的三角函数. 2. 熟记30°，45°, 60°角的三角函数值.会计算含有特殊角的三角函数的值，会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它的对应的角度. 3.掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题. 【教学重点】：从实际问题中提炼图形，将实际问题数学化，将抽象问题具体化。 【教学难点】：运用解直角三角形的知识灵活、恰当地选择关系式解决实际问题。 【教学过程】： 一、考点梳理： 1.锐角三角函数的定义 在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c. 2、特殊角的三角函数值 三角函数 角α sin α cos α tan α 30° 45° 60° 1sin =A A A ∠=∠———— ——— ————的、正弦函数：的=A A A ∠= ∠———— ——— ———— 的2、余弦函数：cos 的=A A A ∠=∠———— ——— ———— 的3、正切函数：tan 的
3、解直角三角形的定义及类型 (1)定义：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有 5 个元素，即______条边和______个锐角．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 4、解直角三角形的应用 （1）仰角和俯角 在视线与水平线所成的角中,视线在水平线 的叫做仰角,在水平线 的叫做俯角. (2）方位角 一般以观察者的位置为中心，南北方向线与目标方向线之间的夹角叫方位角。如下图： OA 方向用方位角表示为 ；OB 方向用方位角表示为 。 （3）坡角、坡度 坡角：指坡面与水平线的夹角，如图中的 坡度：指坡面的垂直高度与水平距离的比，如图中的i =1:表示AF 与BF 的比 坡角与坡度的关系： 二、基础巩固： 1. 如图,在Rt △ABC 中, ∠ C=90°,BC=3,AC=4,那么cos A 的值等于( ) 2.河堤横断面如图所示,堤高BC=6 m,迎水坡AB 的坡度为 ,则AB 的长为( ) 3 . 4A 4. 3B 3. 5 C 4. 5 D 3.12A m .43B m .53C m .63D m
锐角三角形与解直角三角形综合题(2017版)
解直角三角形自测题锐角三角形与解直角三角形 【知识过关】 C．AC=1.2tan10°米 D．AB=米 5．（2016?黑龙江大庆）一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为海里/小时． 专题一：锐角三角函数实际应用 【例1】（10分）（2015o永州）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离； （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 【练习】 【例2】如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、 BE和一段水平平台DE构成。已知天桥高度BC≈4.8米，引桥水平跨度AC=8米。 （1）求水平平台DE的长度； （2）若与地面垂直的平台立枉MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比。 (参考数据：取sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75) 【练习】 1.（2015o北海,第24题12分）如图，A为某旅游景区的最佳观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景，然后再由E处继续乘坐缆车到达A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处，已知：AC⊥BC于C，DE∥BC，BC=110米，DE=9米，BD=60米，α=32°，β=68°，求AC的高度．（参考数据：sin32°≈0.53；cos32°≈0.85；tan32°≈0.62；sin68°≈0.93；cos68°≈0.37；tan68°≈ 2.48） 2.（8分）（2015o岳阳）如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽
公开课教案解直角三角形
解直角三角形复习课教案 教学目标: 1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三 角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数 解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯 思想方法： 1、数形结合思想：用锐角三角函数解直角三角形，主要是从“数”上去研 究的.在具体解题时，要画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之 间的关系去进行数的运算. 2、方程的思想：在解直角三角形时，常常通过设未知数列方程求解，使 问题变得清楚明了. 3、转化的思想：在求三角函数值和解直角三角形时，常利用三角函数的 意义，可以实现边和角的互化，利用互余角的三角函数关系可以实现“正弦”与“余弦”的互化. 教学重点： 1、锐角三角函数 2、特殊角的三角函数值 3、直角三角形的解法． 教学难点： 三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 四、考题透视 锐角三角函数在中考中考查的难度不大，分数约4-6分，主要以填空题、选择题出现；解直角三角形方面的应用题历来都是中考的重点和热点内容之一，分数达到8～12分不等，分值占的比例较大，应引起足够的重视。 考点一：锐角三角函数的概念 例1（郴州市2007年）如图1在直角三角形 B 3
ABC 中，则______． 考点二：特殊角的三角函数值的计算 例2：计算 考点三：解非直角三角形 例3 ：如图所示，已知:在△ABC中，∠A=60,∠B=45,AB=8.求△ABC的面积（结果可保留根号）。 考点四：解直角三角形的实际问题 例4、一高速铁路即将动工，工程需要测量某一段河的宽度。如图1，一测量员在河岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得∠ACB=68°. （参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）； 1）求所测之河的宽度 2）除图1的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图2中画出图形。
中考数学复习专题七：解直角三角形
中考数学复习专题7 解直角三角函数 一、知识点回顾 1、锐角∠A 的三角函数（按右图Rt △ABC 填空） ∠A 的正弦：sin A = , ∠A 的余弦：cos A = , ∠A 的正切：tan A = , ∠A 的余切：cot A = 2、锐角三角函数值，都是 实数（正、负或者0）； 3、正弦、余弦值的大小范围： ＜sin A ＜ ； ＜cos A ＜ 4、tan A ?cot A = ； tan B ?cot B = ； 5、sin A = cos （90°- ）； cos A = sin （ - ） tan A =cot （ ）； cot A = 6、填表 7、在Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，AB ＝c ,BC ＝a ，AC ＝b , 1）、三边关系（勾股定理）： 2）、锐角间的关系：∠ +∠ = 90° 3）、边角间的关系：sin A = ； sin B = ； cos A = ； cos B = ； tan A = ； tan B = ； cot A = ；cot B = 8、图中角 可以看作是点A 的 角 也可看作是点B 的 角； 9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 高度（h ）和 长度（l ）的比。 记作i ,即i = ； （2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i ＝ l h =tan α （3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 ，坡面就越 （1）
二、巩固练习 （1）、三角函数的定义及性质 1、在△ABC 中,,900=∠C 13,5==AB AC ,则cos B 的值为 2、在Rt ⊿ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝10，AC ＝4，则______tan _____, cos ==A B ； 3、Rt △ABC 中,若,900=∠C 2,4==BC AC ,则tan ______=B 4、在△ABC 中，∠C ＝90°，1,2==b a ，则=A cos 5、已知Rt △ABC 中,若,900=∠C cos 24,13 5 == BC A ,则._______=AC 6、Rt △ABC 中,,900=∠C 3 5 tan ,3= =B BC ，那么.________ =AC 7、已知32sin -=m α，且a 为锐角，则m 的取值范围是 ； 8、已知：∠α是锐角，?=36cos sin α，则α的度数是 9、当角度在?0到?90之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函是 （ ） A ．正弦和正切 B ．余弦和余切 C ．正弦和余切 D ．余弦和正切 10、当锐角A 的2 2 cos >A 时，∠A 的值为（ ） A 小于?45 B 小于?30 C 大于?45 D 大于?60 11、在Rt ⊿ABC 中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A 的正弦址与余弦值的情况（ ） A 都扩大2倍 B 都缩小2倍 C 都不变 D 不确定 12、已知α∠为锐角，若0 30cos sin =α，αtan ＝ ；若1t an 70tan 0 =?α，则_______=∠α； 13、在△ABC 中,,900 =∠C sin 2 3 = A , 则cos B 等于( ) A 、1 B 、 23 C 、2 2 D 、21 （2）、特殊角的三角函数值 1、在Rt △ABC 中，已知∠C ＝900，∠A=450 则A sin = 2、已知：α是锐角，22 1 cos = α，tan α=______；
(完整版)解直角三角形单元测试题
解直角三角形单元测试题 班级__________姓名__________ 分数__________ 一、填空题(每题3分，共30分) 1．若直角三角形两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为________. 2．若等腰直角三角形的一边长是2，则它的面积为___________. 3．△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝8，则sinA ＝_____________. 4．在△ABC 中，∠C ＝90°，13 5 sin =B ，则cosB ＝___________. 5．若2 3 sin = a ，则锐角a ＝__________度. 6．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，220,20==c a ，则∠B ＝_________度． 7．△ABC 中，∠C ＝90°，10,5 4 sin == AB A ，则AC ＝_________. 8．在离大楼15m 的地面上看大楼顶部仰角为65°，则大楼高约__________m(精确到lm)． 9．在电线杆离地面8m 的地方向地面拉一条缆绳以固定电线杆，如果缆绳与地面成60°角，那么需要缆绳__________m(忽略打结部分)． 10．一个斜坡的坡度是1：3，高度是4m ，则他从坡底到坡顶部所走的路程大约是___________m(精确到0.1m)． 二、选择题(每题3分，共15分) 11．直角三角形的两条边长分别为3、4，则第三条边长为 ( ) A ．5 B ．7 C ．7 D ．5或7 12．如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝a ，则下列结论正确的是 ( ) (12题) （13题） A ．54sin =a B ．53cos =a C ．34tan =a D ．3 4 cot =a 13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，CD ⊥AB 于D ，设∠ACD ＝a ，则cos a 的值为 ( ) A ．54 B ．43 C ．34 D ．5 3 14．△ABC 中，∠C ＝90°，且a ≠b ，则下列式子中，不能表示△ABC 面积的是 ( ) A ．ab 21 B ．B ac sin 21 C ．A b tan 212 D ．B A c cos sin 2 1 2? 15．如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长23m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到C A '的位置，此时露在水面上的鱼线C B ''为33，则鱼竿转过的角度是 ( ) A ．60° B ．45° C ．15° D ．90° 三、解答题(共75分) 16．计算（每题5分，共10分） (1)2cos30°+cot60°-2tan45°·tan60°
解直角三角形单元测试题
解直角三角形 单元测试 (时间：100分钟 满分：150分) 一、填空题(每题3分，共30分) 1．若直角三角形两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为________. 2．若等腰直角三角形的一边长是2，则它的面积为___________. 3．△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝8，则sinA ＝_____________. 4．在△ABC 中，∠C ＝90°，13 5sin =B ，则cosB ＝___________. 5．若2 3sin =a ，则锐角a ＝__________度. 6．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，220,20==c a ，则∠B ＝_________度． 7．△ABC 中，∠C ＝90°，10,5 4sin == AB A ，则AC ＝_________. 8．在离大楼15m 的地面上看大楼顶部仰角为65°，则大楼高约__________m(精确到lm)． 9．在电线杆离地面8m 的地方向地面拉一条缆绳以固定电线杆，如果缆绳与地面成 60°角，那么需要缆绳__________m(忽略打结部分)． 10．一个斜坡的坡度是1：3，高度是4m ，则他从坡底到坡顶部所走的路程大约是___________m(精确到0.1m)． 二、选择题(每题4分，共20分) 11．直角三角形的两条边长分别为3、4，则第三条边长为 ( ) A ．5 B ．7 C ．7 D ．5或7 12．如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝a ，则下列结论正确的是 ( ) A ．54sin = a B ．53cos =a C ．34tan =a D ．3 4cot =a 13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，CD ⊥AB 于D ，设∠ACD ＝a ，则cos a 的值为 ( )
九年级解直角三角形专题复习教案
解直角三角形 一、 复习目标 1.掌握直角三角形中锐角三角函数的定义。 2.熟记30°，45°，60°角的各三角函数值，会计算含特殊角三角函数的代数式的值。 3.能熟练运用勾股定理、直角三角形中两锐角互余及三角函数定义解直角三角形。 4.会用解直角三角形的有关知识解简单的实际问题。 二、自测导学： 1.在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( ) A ．3sin 40° B ．3sin 50° C ．3tan 40° D ．3tan 50° 2.在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，则AB 的长为________． 3. 若ααcos ,2 3 )90sin(则= -ο=______. 4.如图，一堤坝的坡角∠ABC ＝62°，坡面长度AB ＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB =500，则此时就将坝底向外拓宽多少米（结果保留到米，参考数据：sin620 ≈ ,cos620 ≈ ,tan500 ≈ ）
三、复习过程 （一）知识回顾 1.三角函数 （1）锐角三角函数的定义： B C a ① 斜边 的对边 A ∠ 叫∠A的正弦.记作sin A a A c ∠ == 的对边 斜边 ② 斜边 的邻边 A ∠ 叫∠A的余弦.记作cos A b A c ∠ == 的邻边 斜边 ③ 的邻边 的对边 A A ∠ ∠叫∠A的正切.记作 tan A a A A b ∠ == ∠ 的对边 的邻边 （1）解直角三角形的定义：
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)． （2）直角三角形的边角关系 ①三边之间的关系：a2＋b2＝c2； ②两个锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； （3）解直角三角形的类型 3. 解直角三角形的应用 （1）仰角、俯角 如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上
浙江省衢州市中考数学复习专题之解直角三角形综合题
浙江省衢州市中考数学复习专题之解直角三角形综合题 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、浙教版2019中考数学复习专题之解直角三角形综合题解答题 (共39题；共60分) 1. （1分）(2017·平顶山模拟) 如图，某教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C 有13米的距离（B、F、C在一条直线上），求教学楼AB的高度（sin22°≈ ，cos22°≈ ，tan22°≈ ） 2. （1分）在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30°的方向迎着气象站袭来，已知该风暴速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，若该风暴不改变速度与方向，问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间． 3. （1分）(2017·宁城模拟) 某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08） 4. （1分） (2019九下·台州期中) 如图所示，小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现阳光下，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC＝20m，斜坡坡面上的影长CD＝8m，太阳光线AD与水平地面成锐角为26°，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度（精确到1m）.（参考数据：sin26°＝0.44，cos26°＝0.90，tan26°＝0.49）
【解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)
《解直角三角形》专题复习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1AB 】 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示：【∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=21 AB=BD=AD 】 4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何表示：【在Rt △ABC 中∵∠ACB=90° ∴222c b a =+】 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：【∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2】 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h ?=?） 由上图可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠=斜边的对边A A c b cos =∠=斜边的邻边A A b a tan =∠∠=的邻边的对边A A A a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0. 三、锐角三角函数之间的关系 （1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) 1cos sin 22=+A A （2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA ?tan(90°—A)=1； cotA ?cot(90°—A)=1； （3）弦切关系 tanA=A A cos sin cotA=A A sin cos （4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°— A) C B
解直角三角形综合题(提优)
解直角三角形综合练习 1、学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确 定，因此边长与角的大小之间可以相互转化. 类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫 做顶角的正对（sad）.如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的. 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）sad的值为（）A. B. 1 C. D. 2 （2）对于，∠A的正对值sad A的取值范围是 . （3）已知，其中为锐角，试求sad的值.
2、如图，已知直角梯形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，AB＝5，BC＝6，∠B＝53°．点O为BC边上的一个点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN．（1）当BO＝AD时，求BP的长； （2）在点O运动的过程中，线段BP与MN能否相等？若能，请求出当BO为多长时 BP＝MN；若不能，请说明理由； （3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O 与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围． （参考数据：cos53°≈0.6；sin53°≈0.8；tan74° 3.5）
3、（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF， 则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN 满足，请证明这个等量关系； （2）在△ABC中， AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点． ①如图2，当∠BAC=60°，∠DAE=30°时，BD、DE、EC应满足的等量关系是__________________； ②如图3，当∠BAC=，(0°<<90°)，∠DAE=时，BD、DE、EC应满足的等量关系是 ____________________．【参考：】
解直角三角形应用专题带答案-
解直角三角形应用专题带答案
解直角三角形应用专题练习 一?解答题（共21小题） 1 ?在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的 高度?用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30。，再往雕塑方向前进4 米至B 处，测得仰角为45°.问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值?） A B 2?如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处, 它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处, 求此时船距灯塔的距离（参考数据：匚"1.414，二"1.732，结果取整数）. 3. 2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°, B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号） 4.小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD,小亮 通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为/ EAB=60，/ EAC=30，第2页（共 31页）
且D, B, C在同一水平线上?已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD.（精 确到0.01米.参考数据：匚~ 1.414 , 7^ 1.732 ） 5?我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其 中山脚A C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由 B处望山脚A处的俯角为30°,由B处望山脚C处的俯角为45°,若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据 1.732 ） 6.随着航母编队的成立，我国海军日益强大. 2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡
中考数学专题特训 解直角三角形(含详细参考答案)
中考数学专题复习解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数 【提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
sinB cosB tanB 【提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得 夹角为用字母α表示，则i=h l = ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示OB表示 OC表示（也可称西南方向） 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： ⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案 【提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一：锐角三角函数的概念 例1 （2012?内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A．1 2 B． 5 5 C． 10 10 D． 25 5 思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O， 根据网格的特点，CD⊥AB，
圆综合题中 巧解直角三角形
圆综合题中巧解直角三角形 在圆的背景条件下解直角三角形，突出解直角三角形，可谓是圆搭台，直角三角形唱戏。下面就采摘几例，供学习时参考。 1、圆搭台，巧求锐角三角函数值 例1、如图1所示的半圆中，是直径，且，，则的值AD 3AD =2AC =sin B 是 ． （乌鲁木齐）． 方法解读： 遇到锐角三角函数问题，必须有直角三角形才行。 在圆中寻找直角三角形的最好办法，就是看圆中是否存在直径，然后根据直径所对的圆周角是直角，来完成问题的求解。 另外，在解题时，还应该掌握的一个技巧就是，利用同弧或等弧上的圆周角相等，把不在直角三角形的角，等量代换转移进直角三角形中，本题就是用的这两种办法。 解： 因为，AD 是直径， 所以，∠ACD 是直角， 因此，三角形ACD 是直角三角形， 所以，sin ∠ADC==，AD AC 3 2因为，∠ADC ，∠B 同时对着弧AC ， 所以，∠ADC=∠B ， 所以，sin ∠B= sin ∠ADC=。3 2例2、如图2所示，已知⊙O 的半径为1，与⊙O 相切于点，与⊙O 交于点， AB A OB C ，垂足为，则的值等于（ ） （年南京市）OD OA ⊥D cos AOB ∠ A ． B ． C ． D ．OD OA CD AB 方法解读： 锐角三角函数有一个特点，这就是： 同角或者等角的锐角三角函数值相等。所以，一个角三角函数值 就有多种表示方法。
解： 因为，与⊙O 相切于点，， AB A OD OA 所以， 三角形COD 和三角形AOB 都是直角三角形， 并且点O 、D 、A 在一条直线上，点O 、C 、D 在一条直线上， 所以，∠AOB=∠DOC ， 而在直角三角形COD 中， cos ∠DOC=，OC OD 因为，⊙O 的半径为1， 所以，OC=1， 所以，cos ∠DOC=OD ， 所以，cos ∠AOB =OD ， 所以，选A 。 例3、如图3所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于 ．（08河南省卷） 方法解读： 直接求难度很大，所以，在解答时，我们可以利用在同圆中，同弧上的圆周角相等， 把∠AED 转接到直角三角形ABC 中的∠ABC 上，在直角三角形ABC 中，完成问题的解答。 解： 因为，∠AED ，∠ABD 同时对着弧AD ， 所以，∠AED=∠ABD ， 在直角三角形ABC 中， ∠ABD=∠ABC ， 所以，tan ∠ABC=，AB AC 因为，小正方形的边长为1， 所以，AC=1,AB=2， 所以，tan ∠ABC==，AB AC 2 1所以，tan ∠AED =。212、圆搭台，应用锐角三角函数求弦长
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