九年级数学一元二次方程的解法(解答版)
【知识梳理】
一元二次方程的解法
1．配方法
如果x 2＋px ＋q ＝0且p 2－4q ≥0，则（x ＋
2p ）2＝－q ＋（2
p ）2 解得x 1＝－
2p ＋）＋（﹣2p q 2，x 2＝－2p －）＋（﹣2
p q 2
二次项系数不为1的，先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1。 2．公式法 方程
ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）且
b 2－4a
c ≥0，则
x ＝－b ±b 2－4ac
2a
3．因式分解法 一般步骤：
（1）将方程的右边各项移到左边，使右边为0； （2）将方程左边分解为两个一次因式乘积的形式； （3）令每个因式为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
【典型例题】
知识点一：一元二次方程的解法
方法一：直接开平方法
1、36的平方根是___6±_____,49的平方根是_____2
3
±_______。
2、若24x =，则x ＝____2±__________；若221x =，则x ＝__2
2
±
________。 3、求右式中的x ：（x ＋1）2﹣4＝0。
考点： 解一元二次方程－直接开平方法． 专题： 计算题．
分析： 先移项，把方程变为（x ＋a ）2＝b （b ≥0）的形式，用直接开平方法进行解答． 解答： 解：∵（x ＋1）2﹣4＝0即（x ＋1）2＝4 ∴x ＋1＝±2 ∴x ＝1或x ＝﹣3
点评： 用直接开平方求解时，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数． 4、求4x 2﹣25＝0中x 的值。
考点： 解一元二次方程－直接开平方法；平方根． 专题： 计算题．
分析： 先移项，把方程化为x 2＝a 的形式再直接开平方． 解答：
解：移项，得4x 2＝25， 系数化为1，得x 2＝， 开平方，得x ＝±．
点评： 本题考查了解一元二次方程﹣直接开方法，法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，
再开平方取正负，分开求得方程解”。
5、解方程：x 2＋4x ＋4＝1
例1 解下列关于x 的方程
（1）x 2＋2x －35＝0 （2）2x 2－4x －1＝0 （3）x 2﹣2x ＝2x ＋1 分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上． 解：（1）x 2－2x ＝35 x 2－2x ＋12＝35＋1 （x －1）2＝36 x －1＝±6
x －1＝6，x －1＝－6 x 1＝7，x 2＝－5 可以，验证x 1＝7，x 2＝－5都是x 2＋2x －35＝0的两根 （2）x 2－2x －
12＝0 x 2－2x ＝12 x 2－2x ＋12＝12＋1 （x －1）2＝32
x －1＝±62即x －1＝62，x －1＝－62 x 1＝1＋62，x 2＝1－62
（3）x 2﹣2x ＝2x ＋1。
解：∵x 2﹣2x ＝2x ＋1，∴x 2﹣4x ＝1， ∴x 2﹣4x ＋4＝1＋4， （x ﹣2）2＝5， ∴x ﹣2＝±， ∴x 1＝2＋，x 2＝2﹣．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数。
例2 有一块长30cm ，宽20cm 的纸板，要挖出一个面积为200cm 2的长方形的孔，并且四周宽度相等，则这个框的宽应为 5 cm 。
解：设这个框的宽应为xcm ． 依题意有（30﹣2x ）（20﹣2x ）＝200 即x 2﹣25x ＋100＝0． 解得x 1＝5，x 2＝20（不合题意舍去）． 故这个框的宽应为5cm ．
变式训练 1、将方程2
410x ++=x 配方后，原方程变形为（ C ）
A. (23x +=2)
B. (43x +=2)
C. (25x +=-2)
D. (23x +=-2
)
2、解下列方程：
（1） 2
280x +-=x （2） 2
35x +=2x （3） 2
410x -+=2x （4）()1284+=+x x x
1x ＝－4,2x ＝2 1x ＝1,2x ＝5
2
- 1x ＝212+,2x ＝212-+ 3、如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝8m ，CB ＝6m ，点P 、Q 同时由A ，B?两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，?几秒后△PCQ?的面积为Rt △ACB 面积的一半。
B C
A Q
P
（1） (41)(57)0x x -+= （2） 25x x = （3） 3(1)2(1)x x x -=- x 1＝1/4,x 2＝－7/5 x 1＝0,x 2＝
5 x 1
＝1,x 2
＝－2/3
（4） 22(3)9x x -=- （5） 2216(2)9(3)x x -=+ x 1＝3,x 2＝－1 x 1＝17,x 2＝－1/7 变式训练
1.使用直接开方或配方法解下列方程：
（1）24250t -= （2） 25(3)125x -= （3） 2
91241x x ++=
1x ＝
52,2x ＝5
2
- 1x ＝8,2x ＝－2 1x ＝－1/3,2x ＝－1 (4) 2
114
y y -+=
1x ＝3/2,2x ＝－1/2
2.选择适当方法解下列方程：
⑴().6132
=+x ⑵()()3628.x x ++= ⑶0142
=+-x x
1221,21x x =-=-- 121,10x x ==- 1223,23x x =+=-
⑷01432
=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x
122727,33x x +-=
= 122
1,7
x x == 3.如果012
=-+x x ，那么代数式722
3
-+x x 的值。－6
4.一个等腰三角形的两条边长分别是方程27100x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A A ．12 B ．9 C ．13 D ．12或9
一．选择题
1.方程（x ﹣2）2＋4＝0的解是（ ） D
A ．x 1＝x 2＝0
B ．x 1＝2，x 2＝﹣2
C ．x 1＝0，x 2＝4
D ．没有实数根
2．用配方法解方程2x 2﹣4x ＋1＝0时，配方后所得的方程为（ ） C A ．（x ﹣2）2＝3
B ．2（x ﹣2）2＝3
C ．2（x ﹣1）2＝1
D ．
3．方程x（x﹣5）＝0的根是（） C
A．x＝0 B．x＝5 C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝0，x2＝﹣5
4．下列方程中，有实数解的是（） D
A．x2﹣x＋1＝0 B．＝1﹣x C．＝0 D．＝1
5．下列方程中，有两个相等的实数根的是（） A
A．x2﹣4x＋4＝0 B．x2﹣2x＋5＝0 C．x2﹣2x＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
6.一元二次方程x2﹣4x＋6＝0的根的情况是（） D
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
7．已知关于x的一元二次方程：（a﹣1）x2﹣ax＋1＝0有两个相等的实数根，则a的值应为下列哪个值（A）A．2 B．1 C．2或1 D．无法确定
8．对于任意实数k关于x的方程x2﹣2kx＋k2﹣1＝0根的情况为（） A
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
9．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（） C
A．（x＋4）2＝17 B．（x＋4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝15
10．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为（）B A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
11．方程x2﹣2x＋3＝0的根的情况是（） C
A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根
C．没有实数根D．有两个不相等的实数根
12．已知方程（x＋1）（x﹣1）＝（x﹣1），则x的值为（） B
A．﹣1 B．1或0 C．0 D．﹣1或0
13．一元二次方程x2﹣9x＝0的解是（） D
A．x＝0 B．x＝9 C．x1＝﹣3，x2＝3 D．x1＝0，x2＝9
14．方程x（x﹣1）＝5（x﹣1）的解为（） C
A．x＝1 B．x＝5 C．x1＝1，x2＝5 D．x1＝﹣1，x2＝5
15．一元二次方程（x﹣2）＝x（x﹣2）的解是（） D
A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝1
二、解答题
16、用配方法解方程：（1）x2﹣6x＋5＝0
【解答】解：由原方程移项，得x2﹣6x＝﹣5，等式两边同时加上一次项系数一半的平方32．得
x2﹣6x＋32＝﹣5＋32，即（x﹣3）2＝4，∴x＝3±2，∴原方程的解是：x1＝5，x2＝1
（2）2x2﹣3x﹣3＝0
【解答】解：2x2﹣3x﹣3＝0，x2﹣x﹣＝0，x2﹣x＋＝＋，（x﹣）2＝，x﹣＝±，
解得：x1＝，x2＝
17、用适当的方法解方程：
（1）x2＋4x﹣1＝0
【解答】解：∵x2＋4x﹣1＝0 ∴x2＋4x＋4＝1＋4 ∴（x＋2）2＝5 ∴x＋2＝±
，
（2）x2﹣6x＋3＝0．
【解答】解：x2﹣6x＋3＝0，x2﹣6x＝﹣3，x2﹣6x＋9＝﹣3＋9，（x﹣3）2＝6，x﹣3＝，x1＝3＋，x2＝3﹣．
（3）x2﹣3x﹣1＝0
【解答】解：（3）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝9＋4＝13，∴x＝，
∴方程的解为：x1＝，x2＝；
（4）x2＋4x﹣2＝0
解：移项得：x2＋4x＝2，配方得：x2＋4x＋4＝2＋4，即（x＋2）2＝6，∴x＋2＝±，
∴x1＝﹣2＋，x2＝﹣2﹣
18、解方程：①m2﹣6m﹣9991＝0；②2x2﹣5x＝1；③9（2a﹣5）2＝16（3a﹣1）2
④（x2﹣5）2﹣3（x2﹣5）﹣4＝0；⑤x2﹣2|x﹣1|﹣1＝0．
【解答】解：①∵m2﹣6m﹣9991＝0，∴m2﹣6m＋9﹣9﹣9991＝0，∴（m﹣3）2＝10000，
∴m﹣3＝±100，∴m1＝103，m2＝97；
②∵2x2﹣5x＝1，∴a＝2，b＝﹣5，c＝﹣1，b2﹣4ac＝25＋8＝33，x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
③∵9（2a﹣5）2＝16（3a﹣1）2，∴（6a﹣15）2＝（12a﹣4）2，∴6a﹣15＝±（12a﹣4），
∴6a﹣15＝12a﹣4或6a﹣15＝﹣12a＋4，∴﹣6a＝11或18a＝19，∴a1＝﹣，a2＝；
④∵（x2﹣5）2﹣3（x2﹣5）﹣4＝0，∴（x2﹣5）2﹣3（x2﹣5）＋﹣﹣4＝0，
∴（x2﹣5﹣）2＝，∴x2﹣＝±，∴x2＝，∴x2＝或x2＝，
x＝±或x＝±3，∴x1＝x2＝﹣，x3＝3，x4＝﹣3；
⑤∵x2﹣2|x﹣1|﹣1＝0，∴当x＞1时方程为：x2﹣2x＋1＝0，解方程得x＝1，与x＞1不符，故排除，∴当x＝1时，方程成立，故x＝1是方程的根，∴当x＜1时方程为：x2＋2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1（排除）
19、（1）解方程：x2＋3＝3（x＋1）（2）解方程：4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）
【解答】解：（1）由原方程，得x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，解得x1＝0，x2＝3；
（2）原方程化简为：（2x﹣1）（4x﹣3）＝0，解得x1＝，x2＝．
20、若a、b、c是△ABC的三边，且a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判断这个三角形的形状。
【解答】解：由已知条件可把原式变形为（a﹣3）2＋（b﹣4）2＋（c﹣5）2＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，
则三角形为直角三角形。
1.方程x2＋8x＋9＝0配方后，下列正确的是（） A
A．（x＋4）2＝7 B．（x＋4）2＝25 C．（x＋4）2＝﹣9 D．（x＋8）2＝7
2.一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0，其解的情况正确的是（） B
A．有两个相等的实数解B．有两个不相等的实数解
C．没有实数解D．不确定
3.方程x2﹣4x＋4＝0的根的情况是（） A
A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根
C．没有实数根D．有两个不相等的实数根
4.下列方程中有两个相等实数根的是（） B
A．2x2＋4x＋35＝0 B．x2＋1＝2x C．（x﹣1）2＝﹣1 D．5x2＋4x＝1
5.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（） A A．12 B．9 C．13 D．12或9
6.三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x＋36＝0的两根，则该三角形的周长为（）A A．13 B．15 C．18 D．13或18
7.一元二次方程4x2＋1＝4x的根的情况是（） C
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
8.一元二次方程x2＋x＋＝0的根的情况是（） B
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定根的情况
9.方程（x﹣5）（x﹣6）＝（x﹣5）的解是（） D
A．x＝5 B．x1＝5，x2＝6 C．x＝7 D．x1＝5，x2＝7
10.一元二次方程﹣x2＝3x的解是（） D
A．3 B．﹣3 C．3，0 D．﹣3，0
11.方程（x﹣1）2＝x﹣1的根是（） D
A．x＝0或x＝1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝1或x＝2
12.解方程：
（1）3x（x﹣1）＝2x﹣2 （2）x2＋3x＋2＝0．
【解答】解：（1）3x（x﹣1）﹣2（x＋1）＝0，（x＋1）（3x﹣2）＝0，x＋1＝0或3x﹣2＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝；
（2）（x＋1）（x＋2）＝0，x＋1＝0或x＋2＝0，所以x1＝﹣1，x2＝﹣2
13.解方程：
（1）3x2﹣7x＝0 （2）（x﹣2）（2x﹣3）＝2（x﹣2）
【解答】解：（1）x（3x﹣7）＝0，x＝0或3x﹣7＝0，所以x1＝0，x2＝；
（2）（x﹣2）（2x﹣3）﹣2（x﹣2）＝0，（x﹣2）（2x﹣3﹣2）＝0，x﹣2＝0或2x﹣3﹣2＝0，
所以x1＝2，x2＝．
14.用适当的方法解下列方程：（1）3x2＋5x﹣2＝0 （2）x（x﹣7）＝8（7﹣x）
【解答】解：（1）∵3x2＋5x﹣2＝0，∴（3x﹣1）（x＋2）＝0，∴3x﹣1＝0或x＋2＝0，
∴x1＝，x2＝﹣2；
（2）∵x（x﹣7）＝8（7﹣x），∴（x﹣7）（x＋8）＝0，∴x1＝7，x2＝﹣8．
15.已知实数x，y满足x2﹣10x＋＋25＝0，则（x＋y）2015的值是多少？
【解答】解：∵x2﹣10x＋＋25＝0，∴（x﹣5）2＋＝0．∴x﹣5＝0，y＋4＝0．
解得：x＝5，y＝﹣4．∴x＋y＝1．∴（x＋y）2015＝12015＝1．
16.已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x＋18＝0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、
b、c满足，m2＋a2m﹣8a＝0，m2＋b2m﹣8b＝0。求：（1）m的值；（2）△ABC的面积。
【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x＋18＝0有两个正整数根（m是整数）．
∵a＝m2﹣1，b＝﹣9m＋3，c＝18，∴b2﹣4ac＝（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）＝9（m﹣3）2≥0，
设x1，x2是此方程的两个根，∴x1?x2＝＝，
∴
也是正整数，即m 2﹣1＝1或2或3或6或9或18， 又m 为正整数， ∴m ＝2；
（2）把m ＝2代入两等式，化简得a 2﹣4a ＋2＝0，b 2﹣4b ＋2＝0 当a ＝b 时，
当a ≠b 时，a 、b 是方程x 2﹣4x ＋2＝0的两根，而△＞0，由韦达定理得a ＋b ＝4＞0，ab ＝2＞0，则a ＞0、b ＞0． ①a ≠b ，时，由于a 2＋b 2＝（a ＋b ）2﹣2ab ＝16﹣4＝12＝c 2 故△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°，S △ABC ＝．
②a ＝b ＝2﹣，c ＝2
时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去． ③a ＝b ＝2＋，c ＝2时，因
＞
，故能构成三角形．
S △ABC ＝×（2）×
＝
综上，△ABC 的面积为1或
．
【预习思考】
? 韦达定理的两个重要推论：
推论1：如果方程02
=++q px x 的两个根是21,x x ，那么p x x -=+21，q x x =21． 推论2：以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212
=++-x x x x x x ． 练习
1. 如果x x 12、是方程x x 2
720-+=的两个根，那么x x 12+=___7_________。
2. 已知一元二次方程x x 2
350--=的两根分别为x x 12、，那么x x 12
22
+的值是___19______。