【步步高】高考数学二轮复习 专题一 第5讲导数及其应用
第5讲 导数及其应用
(推荐时间：60分钟)
一、填空题
1．如果曲线y ＝x 4
－x 在点P 处的切线垂直于直线y ＝－13x ，那么点P 的坐标为
____________．
2．(原创题)已知全集I ＝R ，若函数f (x )＝x 2
－3x ＋2，集合M ＝{x |f (x )≤0}，N ＝{x |f ′(x )<0}，则M ∩(?I N )＝__________.
3．(2011·辽宁改编)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则
f (x )>2x ＋4的解集为________．
4．已知曲线C ：y ＝2x 2
，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要实现不被曲线
C 挡住，则实数a 的取值范围是____________．
5．设P 为曲线C ：y ＝x 2
－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________．
6．已知函数f (x )＝12mx 2
＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为
________．
7．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )·g (x ) ＝a x ·g (x )，(a >0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，在有穷数列??????f (n )g (n )(n ＝1,2，…10)中，任意取正整数k (1≤k ≤10)，则前k 项和大于15 16 的概率是______． 8．已知函数f (x )＝－12x 2 ＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是 ____________． 9．已知函数f (x )＝1－x ax ＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a 的取 值范围为________． 10．已知函数f (x )＝mx 3 ＋nx 2 的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若 f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是__________． 11．函数f (x )＝2m cos 2x 2 ＋1的导函数的最大值等于1，则实数m 的值为________． 12．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是______． 二、解答题 13．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万 元，且R (x )＝????? 10.8－1 30 x 2 (0 3x 2 (x >10). (1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本) 14.若f (x )＝ax 4 ＋bx 2 ＋c 得图象过点P (0，1)，且在x ＝1处的切线方程为x －y －2＝0，求函数y ＝f (x )的解析式． 15．函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋bx ＋c ，过曲线y ＝f (x )上的点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1. (1)若y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，求f (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值； (3)若函数y ＝f (x )在区间[－2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围． 答 案 1．(1,0) 2.[3 2 ，2] 3．(－1，＋∞) 4．(－∞，10) 5.???? ??34，3 6．[1，＋∞) 7.3 5 8．0 10．[－2，－1] 11．±1 12.12? ???? e ＋1e 13．解 (1)当0 W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 3 30 －10； 当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 000 3x －2.7x . ∴W ＝????? 8.1x －x 3 30－10 (0 3x －2.7x (x >10). (2)①当0 10 ＝0， 得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′>0； 当x ∈(9,10)时，W ′<0， ∴当x ＝9时，W 取最大值，且W max ＝8.1×9－130 ·93 －10＝38.6. ②当x >10时，W ＝98－? ?? ? ?1 0003x ＋2.7x ≤98－2 1 000 3x ·2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝100 9时，W 取最大值38. 综合①②知当x ＝9时，W 取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大． 14．解 因为f (x )图象过点P (0,1)， 所以c ＝1，即f (x )＝ax 4 ＋bx 2 ＋1， 则f ′(x )＝4ax 3 ＋2bx ， 所以k ＝f ′(1)＝4a ＋2b ＝1. ① 由f (x )在x ＝1的切线方程为x －y －2＝0得切点为M (1，－1)，将M (1，－1)代入f (x )＝ax 4 ＋bx 2 ＋1， 得a ＋b ＋1＝－1. ② 由①②解得a ＝52，b ＝－92，所以f (x )＝52x 4－92x 2 ＋1. 15．解 (1)由f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋bx ＋c 求导数得f ′(x )＝3x 2 ＋2ax ＋b . 过y ＝f (x )上点P (1，f (1))的切线方程为y －f (1)＝f ′(1)(x －1)， 即y －(a ＋b ＋c ＋1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)． 而过y ＝f (x )上点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1. 故??? ?? 3＋2a ＋b ＝3， －a ＋c －2＝1， 即????? 2a ＋b ＝0， ①c －a ＝3. ② ∵y ＝f (x )在x ＝－2时有极值， 故f ′(－2)＝0. ∴－4a ＋b ＝－12. ③ 由①②③联立解得a ＝2，b ＝－4，c ＝5， ∴f (x )＝x 3 ＋2x 2 －4x ＋5. (2)f ′(x )＝3x 2 ＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝2 3或x ＝－2. ∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (23)＝95 27. 又∵f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13. (3)y ＝f (x )在[－2,1]上单调递增． 又f ′(x )＝3x 2 ＋2ax ＋b .由(1)知2a ＋b ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－bx ＋b . 依题意在[－2,1]上恒有f ′(x )≥0， 即3x 2 －bx ＋b ≥0在[－2,1]上恒成立， 当x ＝b 6≥1时，即b ≥6时，[f ′(x )]min ＝f ′(1)＝3－b ＋b >0，∴b ≥6时符合要求． 当x ＝b 6 ≤－2时，即b ≤－12时， [f ′(x )]min ＝f ′(－2)＝12＋2b ＋b ≥0，∴b 不存在． 当－2 12≥0，∴0≤b <6， 综上所述b ≥0.