平面向量
1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。(1)向量式:a ∥b (b ≠0)?a =λb ;(2)坐标式:a ∥b (b ≠0)?x 1y 2-x 2y 1=0;
2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x
1,y 1),b =(x 2,y 2), (1)向量式:a ⊥b (b ≠0)?a b =0; (2)坐标式:a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0;
3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a b θ=x 1x 2+y 1y 2;其几何意义是a b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积;
4.设A (x 1,x 2)、B(x 2,y 2),则S ⊿AOB =
122121y x y x -; 5.平面向量数量积的坐标表示:
(1)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a b =x 1x 2+y 1y 2221221)()(y y x x -+-=
; (2)若a =(x,y),则a 2=a a =x 2+y 2,22y x a +=
;
十、向量法 1、设直线、m l 的方向向量分别是、
a b ,平面αβ、的法向量分别是、u v ,则: (1)线线平行:l ∥m ?a ∥b ?=a kb
(2)线面平行:l ∥α?a ⊥u 0?=a u
(3)面面平行:////αβ??=u v u kv
注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行包括线在面内,面面平行包括面面重合.
2、设直线、m l 的方向向量分别是、
a b ,平面αβ、的法向量分别是、u v ,则: (1)线线垂直:⊥?l m a ⊥b 0?=a b
(2)线面垂直:α⊥?l a ∥u ?=a ku
(3)面面垂直:αβ⊥?u ⊥v 0?=u v
3、设直线、m l 的方向向量分别是、
a b ,平面αβ、的法向量分别是、u v ,则: (1)直线、m l 所成的角(0)2π
θθ≤≤,cos θ?=a b
a b
(2)直线l 与平面α所成的角(0)2π
θθ≤≤,sin θ?=a u
a u
(3)平面α与平面β所成的二面角的平面角(0)θθπ≤≤,cos θ?=u v
u v
教学过程:
二、新课讲授
1. 定义:我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大小叫做向量的长度或模.
3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律. ⑴加法交换律:a +b = b + a ; ⑵加法结合律:(a + b ) + c =a + (b + c );
⑶数乘分配律:λ(a + b ) =λa +λb ; ⑶数乘结合律:λ(u a ) =(λu )a .
4. 推广:⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=;
⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=;
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上,所以平行向量也叫做共线向量. 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使b =λa .称平面向量共线定理,
二、新课讲授
1.定义:与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.a 平行于b 记作a //b .
2.关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论: 共线向量定理:空间任意两个向量a 、b (b ≠0),a //b 的充要条件是存在实数λ,使a =λb . 理解:⑴上述定理包含两个方面:①性质定理:若a ∥b (a ≠0),则有b =λa ,其中λ是唯一确定的实数。②判断定理:若存在唯一实数λ,使b =λa (a ≠0),则有a ∥b (若用此结论判断a 、b 所在直线平行,还需a (或b )上有一点不在b (或a )上). ⑵对于确定的λ和a ,b =λa 表示空间与a 平行或共线,长度为 |λa |,当λ>0时与a 同向,当λ<0时与a 反向的所有向量. 3. 推论:如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线,那么对于任意一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t =+a .
平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量,那么对这一平面内的任意一个向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.其中不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
1. 定义:如果表示空间向量a 的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内,则称向量a 平行于平面α,记作a //α.
向量与平面平行,向量所在的直线可以在平面内,而直线与平面平行时两者是没有公共点的.
2. 定义:平行于同一平面的向量叫做共面向量.共面向量不一定是在同一平面内的,但可以平移到同一平面内.
5. 得出共面向量定理:如果两个向量a 、b 不共线,则向量p 与向量a 、b 共面的充要条
件是存在实数对x ,y ,使得 p = x a+y b .
证明:必要性:由已知,两个向量a 、b 不共线.
∵ 向量p 与向量a 、b 共面
∴ 由平面向量基本定理得:存在一对有序实数对x ,y ,使得 p = x a+y b .
充分性:如图,∵ x a ,y b 分别与a 、b 共线, ∴ x a ,y b 都在a 、b 确定的平面内.
又∵ x a+y b 是以|x a |、|y b |为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量,并且此平行四边形在a 、b 确定的平面内,
∴ p = x a+y b 在a 、b 确定的平面内,即向量p 与向量a 、b 共面.
说明:当p 、a 、b 都是非零向量时,共面向量定理实际上也是p 、a 、b 所在的三条直线共面的充要条件,但用于判定时,还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内.
6. 共面向量定理的推论是:空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x ,y ,使得MP xMA yMB =+,① 或对于空间任意一定点O ,有 O P O M x M A
y M =++.② 分析:⑴推论中的x 、y 是唯一的一对有序实数; ⑵由O P O M x M A y M B =++得:()()O P O M x O A O M y O B O M =+-+-, ∴(1)OP x y OM xOA yOB =--++ ③
1. 两个非零向量夹角的概念:已知两个非零向量a 与b ,在空间中任取一点O ,作OA =a ,OB =b ,则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作<a ,b >.
说明:⑴规定:0≤<a ,b >π≤. 当<a 、b >=0时,a 与b 同向; 当<a 、b >=π时,a 与b 反向; 当<a 、b >=2
π时,称a 与b 垂直,记a ⊥b . ⑵ 两个向量的夹角唯一确定且<a ,b >=<b ,a >.
⑶ 注意:①在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的.
②<a ,b >≠(a ,b )
2. 两个向量的数量积:已知空间两个向量a 与b ,|a ||b |cos <a 、b >叫做向量a 、b 的数量积,记作a ·b ,即 a ·b =|a ||b |cos <a ,b >.
说明:⑴零向量与任一向量的数量积为0,即0·a =0;
⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.
几何意义:已知向量AB =a 和轴l ,e 是l 上和l 同方向的单位向量.作点A 在l 上的射影A ′,点B 在l 上的射影B ′,则''A B 叫做向量AB 在轴l 上或在e 方向上的正射影,简称射影.可以证明:''A B =|AB |cos <a ,e >=a ·e .说明:一个向量在轴上的投影的概念,就是a ·e 的几何意义.
3. 空间数量积的性质:根据定义,空间向量的数量积和平面向量的数量积一样,具有以下性质:
⑴a ·e =|a |·cos <a ,e >; ⑵a ⊥b ?a ·b =0
⑶当a 与b 同向时,a ·b =|a |·|b |; 当a 与b 反向时,a ·b =-|a |·|b |.
特别地,a ·a =|a |2或|a
= ⑷cos <a ,b >=a b a b
??; ⑸|a ·b |≤|a |·|b |. 4. 空间向量数量积的运算律:与平面向量的数量积一样,空间向量的数量积有如下运算律:
⑴(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb ) (数乘结合律); ⑵ a ·b =b ·a (交换律);
⑶a ·(b +c )=a ·b +a ·c (分配律)
说明:⑴(a ·b )c ≠a (b ·с);⑵有如下常用性质:a 2=|a |2,(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2
3. 空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系和向量a ,且设i 、j 、k 为坐标向量,则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ,使a =1a i +2a j +3a k .
空间中相等的向量其坐标是相同的.→讨论:向量坐标与点的坐标的关系?
向量在空间直角坐标系中的坐标的求法:设A 111(,,)x y z ,B 222(,,)x y z ,则AB =OB -OA =222(,,)x y z -111(,,)x y z =212121(,,)x x y y z z ---.
5. 两个向量共线或垂直的判定:设a =123(,,)a a a ,b =123(,,)b b b ,则
⑴a //b ?a =λb ?112233,,a b a b a b λλλ===,()R λ∈?312123
a a a
b b b ==; ⑵a ⊥b ?a ·b =0?1122330a b a b a b ++=.
⒈ 向量的模:设a =123(,,)a a a ,b =123(,,)b b b ,求这两个向量的模.
|a
,|b
向量的长度公式.
这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度.
2. 夹角公式推导:∵ a ·b =|a ||b |cos <a ,b >
∴ 1122a b a b a
++
·cos <a ,b >
由此可以得出:cos <a ,b
这个公式成为两个向量的夹角公式.利用这个共识,我们可以求出两个向量的夹角,并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系:
当cos <a 、b >=1时,a 与b 同向;当cos <a 、b >=-1时,a 与b 反向;
当cos <a 、b >=0时,a ⊥b .
3. 两点间距离共识:利用向量的长度公式,我们还可以得出空间两点间的距离公式:
在空间直角坐标系中,已知点111(,,)A x y z ,222(,,)B x
y z ,则
A B d 、,其中A B d 、表示A 与B 两点间的距离.
5. 用向量方法证明:如果两条直线同垂直于一个平面,则这两条直线平行.
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高中数学数列专题大题组卷 一.选择题(共9小题) 1.等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 2.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7 C.6 D. 3.数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n≥1),则a6=() A.3×44B.3×44+1 C.44D.44+1 4.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=﹣,则{a n}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)5.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.C.D. 6.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=()A.138 B.135 C.95 D.23 7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6 8.等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=() A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D. 9.设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a 1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 二.解答题(共14小题) 10.设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。