{高中试卷}江苏省天一中学高三数学二轮复习数列应用题[仅供参考]

20XX年高中测试

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专题9.3：数列应用题

【拓展探究】

1. 在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有20XX 根.现将它们堆放在一起.

（1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根)，并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢？

（2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且不少于七层，

（Ⅰ）共有几种不同的方案?

（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm ，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m ，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？

【解】（1）当纵断面为正三角形时，设共堆放n 层,则从上到下每层圆钢根数是以1为首项、1为公差的等差数列，且剩余的圆钢一定小于n 根，从而由且*N n ∈得，当62=n 时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢；

（2）（Ⅰ）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n 层,则从上到下每层圆钢根数是以x 为首项、1为公差的等差数列，从而2009)1(2

1=-+n n nx ，即4177220092)12(???=?=-+n x n ，因1-n 与n 的奇偶性不同，所以12-+n x 与n 的奇偶性也不同，且12-+

???=-+=574127n x n 或???=-+=2871214n x n 或???=-+=981241n x n 或???=-+=82

1249n x n ，共有4种方案可供选择.

（Ⅱ）因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：若41=n ，则29=x ，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图所示，两腰之长为400 cm ，上下底之长为280 cm 和680cm ，从而梯形之高

为3200 cm ，

而40010103200<++，所以符合条件；

若49=n ，则17=x ，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图所示，两腰之长为480 cm ，上下底之长为160 cm 和640cm ，从而梯形之高为3240 cm ，显然大于4m ，不合条件，舍去；

综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地.

2. 某啤酒厂为适应市场需要，20XX 年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，20XX 年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨．该厂计划从20XX 年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：

（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？

（2）从20XX 年起（包括20XX 年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的2

3？（生产总量是指各年年产量之和）

【解】设从20XX 年起，该车第n 年啤酒和葡萄酒年生产量分别为

n a 吨和n b 吨，经过n 年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为n A 吨和n B 吨．

（1）设第n 年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为n D 吨，根据题意，得

116000(150%)n n a -=-=320002n ，11000(1100%)n n b -=+=5002n ?，（*n N ∈），

则n n n D a b =+=320002n +5002n ?=64500(2)2n n

+5008000≥?=， 当且仅当6422n n =，即3n =时取等号，

故2013年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为8000吨．

（2）依题意，23n n n B A B ≥+，得2n n B A ≥， ∵116000[1()]212320001212n n n n A --==?-，1000[12]1000(21)12n n n B -==--，

∴1000(21)n -≥213200022n n -??，∵210n ->，∴62642n ≥=，∴6n ≥．

答：从第6年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量

之和的2 3．

【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？