八年级初二数学勾股定理知识点及练习题及答案(1)

八年级初二数学勾股定理知识点及练习题及答案(1)

一、选择题

1．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( )

A ．121

B ．110

C ．100

D ．90

2．△ABC 的三边分别为,,a b c ，下列条件能推出△ABC 是直角三角形的有（ ） ①222a c b -=;②2

()()0a b a b c -++=;③ ∠A ＝∠B -∠C; ④∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3 ;⑤111

,,345

a b c ===;⑥10,a = 24,b = 26c = A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

3．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =6，DC =2，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（ ）

A ．8

B ．10

C ．12

D ．14

4．如图所示，用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.用，表示直角三角形的两直角边（），请仔细观

察图案.下列关系式中不正确的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个

等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的面积是( )

A ．2n ﹣2

B ．2n ﹣1

C ．2n

D ．2n+1

6．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2

a b +值为（ ）

A ．25

B ．9

C ．13

D ．169

7．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直

角三角形的两直角边分别是a 、b ，那么2

()a b + 的值为（ ）.

A ．49

B ．25

C ．13

D ．1

8．如图，已知数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1，过点A 作直线l 垂直于

PA ，在l 上取点B ，使1AB =，以点P 为圆心，以PB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 所表示的数为（ ）

A ．5

B ．51-

C ．51+

D ．51-+

9．如图，在矩形ABCD 中，BC=6，CD=3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C '处，B C '交AD 于点E ，则线段DE 的长为（ ）

A ．3

B ．

154

C ．5

D ．

152

10．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90D ?∠=，4=AD ，3BC =．分别以点

A ，C 为圆心，大于

1

2

AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）

A ．22

B ．4

C ．3

D ．10

二、填空题

11．如图，在△ABC 中，OA ＝4，OB ＝3，C 点与A 点关于直线OB 对称，动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 不与点A 、C 重合)，满足∠BPQ ＝∠BAO.当△PQB 为等腰三角形时，OP 的长度是_____．

12．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，

45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=?，则BD 的长为__________．

13．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________ 14．如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S ，已知12310S S S ++=,则2S 的值是____.

15．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.

16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F ，交 AC 于 E ，交 BA 的延长线于 G ，若 EG ＝3，则 BF 的长是______．

17．如图,30AOB ∠=?，点,M N 分别在,OA OB 上，且6,8OM ON ==，点,P Q 分别在,OB OA 上运动，则PM PQ QN ++的最小值为______．

18．如图，E 为等腰直角△ABC 的边AB 上的一点，要使AE ＝3，BE ＝1，P 为AC 上的动点，则PB ＋PE 的最小值为____________．

19．如图的实线部分是由Rt ABC ?经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ?沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中

90ACB ∠=?，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.

20．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM＝7EF，则正方形ABCD的面积为_______.

三、解答题

21．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．

（1）此时梯子顶端离地面多少米？

（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？

22．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．

(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；

(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．

23．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=?，则ADB =∠______． （2）求证：BED CDF △≌△．

（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．

24．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，

（1）求a ，b ，c 的值；

（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．

25．定义：如图1，点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，若以AM 、MN 、

BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点．

（1）已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点，若2AM =，3MN =，求BN 的长； （2）如图2，在Rt ABC △中，AC BC =，点M 、N 在斜边AB 上，45MCN ∠=?，求证：点M 、N 是线段AB 的勾股分割点（提示：把ACM 绕点C 逆时针旋转

90?）；

（3）在（2）的问题中，15ACM ∠=?，1AM =，求BM 的长．

26．如图所示，已知ABC ?中，90B ∠=?，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是

ABC ?的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．

（1）则BC =____________cm ；

（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________? （3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间．

27．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:

(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述); (2)证明勾股定理;

(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2

a b +的值.

28．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .

（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G . ①求证：BE EF =;

②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.

29．（已知：如图1，矩形OACB 的顶点A ，B 的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y 轴上一点且坐标为（0，2），点P 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC ﹣CB 方向运动，到达点B 时运动停止．

（1）设点P 运动时间为t ，△BPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；

（2）当点P 运动到线段CB 上时（如图2），将矩形OACB 沿OP 折叠，顶点B 恰好落在边AC 上点B ′位置，求此时点P 坐标；

（3）在点P 运动过程中，是否存在△BPD 为等腰三角形的情况？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．

30．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ． （1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．

（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45?，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．

（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90?，此时点E 、G 恰好分别落在线段

AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，可得四边形AOLP 是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ 的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．

【详解】

解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，则四边形OALP 是矩形．

90CBF ∠=?，

90ABC OBF ∴∠+∠=?，

又

直角ABC ?中，90ABC ACB ∠+∠=?，

OBF ACB ∴∠=∠，

在OBF ?和ACB ?中，

BAC BOF ACB OBF BC BF ∠=∠??

∠=∠??=?

， ()OBF ACB AAS ∴???，

AC OB =∴，

同理：ACB PGC ???，

PC AB ∴=， OA AP ∴=，

所以，矩形AOLP 是正方形， 边长347AO AB AC =+=+=，

所以，3710KL =+=，4711LM =+=， 因此，矩形KLMJ 的面积为1011110?=， 故选B ．

【点睛】

本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．

2．D

解析：D 【分析】

根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】

解：∵222a c b -=，得222a b c =+，符合勾股定理逆定理，则①正确； ∵2

()()0a b a b c -++=，得到222a c b +=，符合勾股定理逆定理，则②正确； ∵∠A ＝∠B -∠C ，得∠B=∠A+∠C ， ∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠B=90°，故③正确；

∵∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°， ∴3

18090123

C ∠=??

=?++，故④正确；

∵222111()()()45

3

+≠，则⑤不能构成直角三角形，故⑤错误； ∵222102426+=，则⑥能构成直角三角形，故⑥正确； ∴能构成直角三角形的有5个； 故选择：D. 【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理进行判断三角形是直角三角形.

3．B

解析：B 【分析】

过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ，此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小．由DC ＝2，BD ＝6，得到BC ＝8，连接BC ′，由对称性可知∠C ′BA ＝∠CBA ＝45°，于是得到∠CBC ′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】

解：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ．

此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小． ∵DC ＝2，BD ＝6， ∴BC ＝8，

连接BC ′，由对称性可知∠C ′BA ＝∠CBA ＝45°， ∴∠CBC ′＝90°，

∴BC ′⊥BC ，∠BCC ′＝∠BC ′C ＝45°， ∴BC ＝BC ′＝8，

根据勾股定理可得DC ′＝22228610BC BD '+=+=． 故选：B ．

【点睛】

此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P 为何位置时 PC ＋PD 的值最小是解题的

关键．

4．D

解析：D 【解析】 【分析】

利用勾股定理和正方形的面积公式，对公式进行合适的变形即可判断各个选项是否争取. 【详解】

A 中，根据勾股定理等于大正方形边长的平方，它就是正方形的面积，故正确；

B 中，根据小正方形的边长是2它等于三角形较长的直角边减较短的直角边即可得到，正

确；

C 中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确；

D 中,根据A 可得

，C 可得

，结合完全平方公式可以求得

，错误.

故选D. 【点睛】

本题考查勾股定理.在A 、B 、C 选项的等式中需理解等式的各个部分表示的几何意义，对于D 选项是由A 、C 选项联立得出的.

5．A

解析：A 【分析】

连续使用勾股定理求直角边和斜边，然后再求面积，观察发现规律，即可正确作答. 【详解】

解：∵△ABC 是边长为1的等腰直角三角形

1211

11222

ABC S -?∴=??== ，

∴2222AC 112,AD (2)(2)2=+=

=+=

2232

1

2212:

2

1

22122

AACD ADE S S --?∴====??==

∴第n 个等腰直角三角形的面积是22n - ， 故答案为A. 【点睛】

本题的难点是运用勾股定理求直角三角形的直角边，同时观察、发现也是解答本题的关键.

6．A

解析：A 【分析】

根据勾股定理可以求得22a b +等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可

得到ab 的值，然后根据()2

222a b a ab b +=++即可求解． 【详解】

根据勾股定理可得2213a b +=， 四个直角三角形的面积是：

1

4131122

ab ?=-=，即212ab =， 则()2

222131225a b a ab b +=++=+=． 故选：A ． 【点睛】

本题考查了勾股定理以及完全平方式，正确根据图形的关系求得22a b +和ab 的值是关键．

7．A

解析：A 【分析】

根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方25，也就是两条直角边的平方和是25，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12，据此即可得结果. 【详解】

根据题意，结合勾股定理a 2+b 2=25， 四个三角形的面积=4×1

2

ab=25-1=24， ∴2ab=24，

联立解得：（a+b ）2=25+24=49． 故选A.

8．B

解析：B 【分析】

由数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1，得PA=2，根据勾股定理得PB 而即可得到答案． 【详解】

∵数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1， ∴PA=2，

又∵l ⊥PA ，1AB =，

∴PB =

∵

∴数轴上点C 1． 故选B ． 【点睛】

本题主要考查数轴上点表示的数与勾股定理，掌握数轴上两点之间的距离求法，是解题的关键．

9．B

解析：B 【分析】

首先根据题意得到BE=DE ，然后根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程，解方程即可解决问题． 【详解】

解：设ED=x ，则AE=6-x ， ∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ， ∴∠EDB=∠DBC ； 由题意得：∠EBD=∠DBC ， ∴∠EDB=∠EBD ， ∴EB=ED=x ； 由勾股定理得： BE 2=AB 2+AE 2， 即x 2=9+（6-x ）2， 解得：x=154

， ∴ED=

154． 故选：B ． 【点睛】

本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．

10．A

解析：A 【分析】

连接FC ，根据基本作图，可得OE 垂直平分AC ，由垂直平分线的性质得出=AF FC ．再根据ASA 证明FOA BOC ???，那么==3AF BC ，等量代换得到==3FC AF ，利用线段的和差关系求出==1FD AD AF -．然后在直角FDC ?中利用勾股定理求出CD 的长． 【详解】

解：如图，连接FC ，则=AF FC ．

AD BC ∵∥，

FAO BCO ∴∠=∠． 在FOA ?与BOC ?中， FAO BCO OA OC

AOF COB ∠=∠??

=??∠=∠?

， ()FOA BOC ASA ∴???，

3AF BC ∴==，

3FC AF ∴==，431FD AD AF =-=-=．

在FDC ?中，

90D ?∠=，

222CD DF FC ∴+=， 22213CD ∴+=，

22CD ∴=．

故选A ． 【点睛】

本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF 与DF 是解题的关键．

二、填空题

11．1或

78

【分析】

分为三种情况：①PQ BP =，②BQ QP =，③BQ BP =，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】

解：分为3种情况： ①当PB PQ =时，

4=OA ，3OB =，

∴5BC AB ===，

C 点与A 点关于直线OB 对称， BAO BCO ∴∠=∠，

BPQ BAO ∠=∠， BPQ BCO ∴∠=∠，

APB APQ BPQ BCO CBP ∠=∠+∠=∠+∠， APQ CBP ∴∠=∠，

在APQ 和CBP 中， BAO BCP APQ B PQ B P C P ∠=∠??

∠=∠?=??

， ()APQ CBP AAS ∴△≌△，

∴5AP BC ==， 1OP AP OA ∴=-=；

②当BQ BP =时，

BPQ BQP ∠=∠，

BPQ BAO ∠=∠， BAO BQP ∴∠=∠，

根据三角形外角性质得：BQP BAO ∠>∠，

∴这种情况不存在；

③当QB QP =时， QBP BPQ BAO ∠=∠=∠，

PB PA ∴=，

设OP x =，则4PB PA x ==- 在Rt OBP △中，222PB OP OB =+，

222(4)3x x ∴-=+， 解得：7

8

x =

； ∴当PQB △为等腰三角形时，1OP =或

78

； 【点睛】

本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论． 12．5 【分析】

作AD′⊥AD ，AD′=AD 构建等腰直角三角形，根据SAS 求证△BAD ≌△CAD′，证得BD=CD′，∠DAD′=90°，然后在Rt △AD′D 和Rt △CD′D 应用勾股定理即可求解．

【详解】

作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，如图：

∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ， ∴∠BAD=∠CAD′， 在△BAD 与△CAD′中，

{BA CA

BAD CAD AD AD =∠=∠=''

， ∴△BAD ≌△CAD′（SAS ）， ∴BD=CD′，∠DAD′=90°， 由勾股定理得DD′=

22

()4AD AD +='，

∵∠D′DA+∠ADC=90°，

∴由勾股定理得CD′=22(')5DC DD +=， ∴BD=CD′=5 故答案为5． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键． 13．310或10 【详解】 分两种情况：

（1）顶角是钝角时，如图1所示：

在Rt △ACO 中，由勾股定理，得AO 2=AC 2-OC 2=52-32=16， ∴AO=4，

OB=AB+AO=5+4=9，

在Rt △BCO 中，由勾股定理，得BC 2=OB 2+OC 2=92+32=90， ∴BC=310；

（2）顶角是锐角时，如图2所示：

在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD 2=AC 2-DC 2=52-32=16， ∴AD=4， DB=AB-AD=5-4=1．

在Rt △BCD 中，由勾股定理，得BC 2=DB 2+DC 2=12+32=10， ∴10 ；

综上可知，这个等腰三角形的底的长度为1010． 【点睛】

本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．

14．

103. 【分析】

根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG=NG ，

CF=DG=NF ，再根据()21S CG DG =+，2

2S GF =，()2

3S NG NF =-，

12310S S S ++=，即可得出答案.

【详解】

∵八个直三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形 ∴CG=NG ，CF=DG=NF

∴()2

222122S CG DG CG DG CG DG GF CG DG =+=++=+

22S GF =

()2

2232S NG NF NG NF NG NF =-=+-

∴22222

12322310S S S GF CG DG GF NG NF NG NF GF ++=+?+++-?==

∴2

103

GF = 故2103

S =

故答案为

10

3

.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质. 15．21

【分析】

在AB上截取AE=AD，连接CE，过点C作CF⊥AB于点F，先证明△ADC≌△AEC，得出

AE=AD=9，CE=CD=BC＝10的长度，再设EF=BF=x，在Rt△CFB和Rt△CFA中，由勾股定理求出x，再根据AB=AE+EF+FB求得AB的长度．

【详解】

如图所示，在AB上截取AE=AD，连接CE，过点C作CF⊥AB于点F，

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC=∠EAC．

在△AEC和△ADC中，

AE AD

DAC EAC

AC AC

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝

∴△ADC≌△AEC（SAS），

∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10，

又∵CF⊥AB，

∴EF=BF，

设EF=BF=x．

∵在Rt△CFB中，∠CFB=90°，

∴CF2=CB2-BF2=102-x2，

∵在Rt△CFA中，∠CFA=90°，

∴CF2=AC2-AF2=172-（9+x）2，即102-x2=172-（9+x）2，

∴x=6，

∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，

∴AB的长为21．

故答案是：21.

【点睛】

考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．

16．4

【分析】

根据线段垂直平分线得出AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠G=30°，根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE和EF，即可求出FG，再求出BF=FG即可

【详解】

∵AC的垂直平分线FG，

∴AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，

∵∠BAC=120°，

∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°，

∵∠BAC=120°，AB=AC，

∴∠B=∠C=1

2

（180°-∠BAC）=30°，

∴∠B=∠G，

∴BF=FG，

∵在Rt△AEG中，∠G=30°，EG=3，

∴AG=2AE，

即（2AE）2=AE2+32，

∴

即

同理在Rt△CEF中，∠C=30°，CF=2EF，

（2EF）2=EF2+2，

∴EF=1（负值舍去），

∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，

故答案为4．

【点睛】

本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

17．10

【分析】

首先作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN 的最小值，易得△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∠N′OM′=90°，继而可以求得答案．

【详解】

作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．

根据轴对称的定义可

知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，OM′=OM=6，ON′=ON=8，∴△ONN′为等边三角

形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°．在Rt△M′ON′中，M′N．故答案为10．

【点睛】

本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键． 18．5 【解析】

试题分析：作点B 关于AC 的对称点F ，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB +PE 的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF 的长即可，因此要先求AF 的长，证明△ADF ≌△CDB ，可以解决这个问题，从而得出EF =5，则PB +PE 的最小值为5．

解：如图，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，并截取DF =BD ，连接EF 交AC 于P ，连接PB 、AF ，则此时PB +PE 的值最小，

∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴AB =CB ,∠ABC =90°，AD =DC ， ∴∠BAC =∠C =45°， ∵∠ADF =∠CDB ， ∴△ADF ≌△CDB ， ∴AF =BC ,∠FAD =∠C =45°， ∵AE =3，BE =1， ∴AB =BC =4， ∴AF =4，

∵∠BAF =∠BAC +∠FAD =45°+45°=90°, ∴由勾股定理得：EF 22AF AE +2243+，

∵AC 是BF 的垂直平分线， ∴BP =PF ，

∴PB +PE =PF +PE =EF =5， 故答案为5.

点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两点之间线段最短来求解.