当前位置：搜档网 › 2018高考数学常用公式精华总结

2018高考数学常用公式精华总结

2018高考数学常用公

式精华总结

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高中数学常用公式精华总结

1. 元素与集合的关系

U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.

2.德摩根公式

();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.

3．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1

个；非空的真子集有2n –2个. 4.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.

5.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21

),(21k k 内,等价于0)()(21

2211k k a b

k +<-<,或0)(2=k f 且22122k a

k k <-<+. 6.闭区间上的二次函数的最值

二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a

x 2-

=处及区间的两端点处取得，具体如下：（可画图解决问题）

(1)当a>0时，若[]q p a b

x ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a

=-=；

[]q p a

x ,2?-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.

(2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-

=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a

x ,2?-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 7.真值表

8.常见结论的否定形式

9.四种命题的相互关系

互

否否逆逆否否

否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ

10.充要条件

（1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件.

（3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 11.函数的单调性

(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2121在?>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?<--上是减函数.

(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果

0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

12.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数

)]([x g f y =是增函数.

13．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 14.两个函数图象的对称性

(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)同底的指数和对数函数互为反函数，图像关于直线y=x 对称。

15.几个函数方程的周期(约定a>0) )()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； 16.分数指数幂

(1)m n

a =

0,,a m n N *>∈，且1n >）.

(2)1

m n

a a

-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.

17．根式的性质（1

）n a =.

（2）当n

a =；当n

||,0a a a a a ≥?==?-

18．有理指数幂的运算性质

(1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.

注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 19.指数式与对数式的互化式

log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.

20.对数的换底公式

log log log m a m N

N a

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n

b b m

(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 21．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a

a a M

M N N

=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.

22.数列的同项公式与前n 项的和的关系

11,

1,2

n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =++

+).

23.等差数列的通项公式 *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；

其前n 项和公式为 1()2n n n a a s +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-.

24.等比数列的通项公式1*11()n n

n a a a q q n N q

-==

?∈；其前n 项的和公式为 11

(1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=? 或11,11,1

n n a a q

q q s na q -?≠?

-=??=?.

25.同角三角函数的基本关系式

22sin cos 1θθ+=，tan θ=

cos sin ， 27.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 28.和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±=

sin cos a b αα+=)α?+

(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b

?= ). 29.二倍角公式

sin 2sin cos ααα=.

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

22tan tan 21tan α

αα

30.三角函数的周期公式

函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π

；

函数tan()y x ω?=+，,2

x k k Z π

π≠+

∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期

T πω

. 31.正弦定理 2sin sin sin a b c

R A B C

===. 32.余弦定理

2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.

33.面积定理

（1）111

222a b c S ah bh ch =

==（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B ===.

34.三角形内角和定理

在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+ sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B),tanC=-tan(A+B) 35.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa ; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 36.向量的数量积的运算律： (1) a ·b = b ·a （交换律）;

(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c = a ·c +b ·c .

37.平面向量基本定理

如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．

不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 38．向量平行的坐标表示

设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ?-=. 39. a 与b 的数量积(或内积) a ·b=|a||b|cos θ． 40. a ·b 的几何意义

数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 41.平面向量的坐标运算

(1)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.

(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a=(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.

(5)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 42.两向量的夹角公式

cos θ=

(a=11(,)x y ,b=22(,)x y ).

43.平面两点间的距离公式

,A B d =||AB AB AB =?

=11(,)x y ，B 22(,)x y ). 44.向量的平行与垂直

设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则 A||b ?b=λa 12210x y x y ?-=. a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=. 45.三角形的重心坐标公式

△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123

(

,)33

x x x y y y G ++++. 46. 三角形四“心”向量形式的充要条件

设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ?的外心2

OA OB OC ?==. （2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=.

（3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?. （4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=. 47.常用不等式：

（1）,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈

a b

+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）b a b a b a +≤+≤-.

48.均值定理

已知y x ,都是正数，则有

（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；

（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值24

s .

49.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠?=->，如果a 与

2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根

之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

121212()()0()x x x x x x x x x <?--><或.

50.含有绝对值的不等式当a> 0时，有

2x a x a a x a

22x a x a x a >?>?>或x a <-. 51.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,

()()()()f x g x a a f x g x >?>;

()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??

>?>??>?

(2)当01a <<时,

()()()()f x g x a a f x g x >?<;

()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??

>?>??

52..斜率公式

y y k x x -=

-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 53.直线的五种方程

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式

2121

y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y

a b

+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)

（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 54.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-.

(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①111

12222

||A B C l l A B C ?

=≠

； ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 55．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量． (4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是

0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．

56.点到直线的距离

d =

(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).

57. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域

设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：

若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 58. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则

111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是：

111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.

59. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.

（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). 60.点与圆的位置关系

点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

若d =

d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r

直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

0相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d .

其中2

A C Bb Aa d +++=

62.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21

条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; 条公切线内切121??-=r r d ; 无公切线内含??-<<210r r d . 63.椭圆的标准方程及简单的几何性质 64．椭圆的的内外部

（1）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ?+<.

（2）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的外部22

00221x y a b

?+>.

65.双曲线的内外部

(1)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22

00221x y a b ?->.

(2)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的外部22

00221x y a b

?-<.

66.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b

y ±=.

(2)若渐近线方程为x a b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-22

b y a x .

(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x （0>λ，焦点在x

轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 67. 抛物线px y 22=的焦半径公式

抛物线22(0)y px p =>焦半径02

p CF x =+. 过焦点弦长p x x p

x p x CD ++=+++

=21212

2. 68.抛物线px y 22

=上的动点可设为P ),2(2

y p

或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中

22y px =.

69.抛物线的内外部

(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ?>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ?<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ?>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ?>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ?>->. 70.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB =AB=2122121

11y y k

x x k -+

=-+ （弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程???=+=0

)y ,x (F b

kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，

0?>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）. 71．证明直线与直线的平行的思考途径

（1）转化为判定共面二直线无交点；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；

（4）转化为线面垂直；

（5）转化为面面平行.

72．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行.

73．证明平面与平面平行的思考途径

（1）转化为判定二平面无公共点；

（2）转化为线面平行；

（3）转化为线面垂直.

74．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；

（2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直；

（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 75．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.

76.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ．

(2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ． 77.共线向量定理

对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a=λb ．

P A B 、、三点共线?||AP AB ?AP t AB =?(1)OP t OA tOB =-+.

||AB CD ?AB 、CD 共线且AB CD 、不共线?AB tCD =且AB CD 、不共线.

78.球的半径是R ，则

其体积34

V R π=,

其表面积24S R π=． 79．柱体、锥体的体积

V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.

V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.

80.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和 P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．

81.n 个互斥事件分别发生的概率的和

P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 82.独立事件A ，B 同时发生的概率 P(A ·B)= P(A)·P(B).

83.n 个独立事件同时发生的概率

P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．

84.回归直线方程

y a bx =+，其中()()()1122211n n

i i i i i i n n

i i

i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx

====?

---?

?==?--??

=-?∑∑∑∑. 85.相关系数r

|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.

86. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 87.几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）. (2) '1()()n n x nx n Q -=∈.

(3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln =

'；e

a x x

a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 88.导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.

（3）''

()(0)u u v uv v v v -=

≠. 89.判别)(0x f 是极大（小）值的方法当函数)(x f 在点0x 处连续时，

（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值；（2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值. 90.复数的相等

,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈）

91.复数z a bi =+的模（或绝对值）

||z =||a bi +

92.复数的四则运算法则

(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; (2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-;

初中数学重要公式总结

乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．一、公式：设有n个数x1，x2，…，x n，那么： ①平均数为： 12 ...... n x x x x n； ②极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值； ③方差：数据1x、2x……, n x的方差为2s，则 2 s= 222 12 1 ..... n x x x x x x n 标准差：方差的算术平方根. 数据1x、2x……, n x的标准差s，则 s= 222 ..... x x x x x x 一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。设∠A是Rt△ABC的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝，∠A的余弦：cosA ＝，∠A的正切：tanA＝．并且sin2A＋cos2A＝1． 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小余角公式：sin(90o－A)＝cosA，cos(90o－A)＝sinA．特殊角的三角函数值：sin30o＝cos60o＝，sin45o＝cos45o＝，

sin60o＝cos30o＝， tan30o＝，tan45o＝1，tan60o＝． ④斜坡的坡度：i ＝铅垂高度水平宽度＝．设坡角为α，则i ＝tan α＝二次函数的有关知识： 1.定义：一般地，如果 c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0