(新)高中数学必修一知识点总结(全)
第一章集合与函数概念
课时一：集合有关概念
1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东
西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
3.集合的中元素的三个特性：
（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属
于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的
人……
（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合
例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
1）列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}
2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。
4、集合的分类：
（1）有限集：含有有限个元素的集合
（2）无限集：含有无限个元素的集合
（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝
5、元素与集合的关系：
（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A
（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A
◆注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集N*或N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
课时二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
（1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：B
A?（或B?Ａ）注意：B
A?有两种可能（1）A是B的一部分，；
（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或
B A)
或若集合A?B，存在x∈B且x A，则称集合A是集合B的真子集。
③如果A?B, B?C ,那么A?C
④如果A?B 同时B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
课时三、集合的运算
课时四：函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它
对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，
x∈A．
（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做
函数的值域．
2．函数的三要素：定义域、值域、对应法则
3．函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域
（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可
以是连续的曲线、直线、折线、离散的点
等等。
（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定
义域的特征。
4、函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函
数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)
的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，
以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C
上 .
(2) 画法
A、描点法：
B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换。（3）函数图像变换的特点：
1）函数y=f(x) 关于X轴对称y=-f(x)
2）函数y=f(x) 关于Y轴对称y=f(-x)
3）函数y=f(x) 关于原点对称y=-f(-x)
课时五：函数的解析表达式，及函数定义域的求法
1、函数解析式子的求法
（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）、求函数的解析式的主要方法有：
1）代入法：
2）待定系数法：
3）换元法：
4)拼凑法：
2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是
使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
3、相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；
②定义域一致(两点必须同时具备)
4、区间的概念：
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示
课时六：
1．值域: 先考虑其定义域
（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；
（2）反表示法：针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y
的函数关系式，由X的范围类似求Y的范围。
(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值
域，注意定义域的范围。
(4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类
型。
课时七
1.分段函数
（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
（2）各部分的自变量的取值情况．
（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、
g的复合函数。
（4）常用的分段函数
1）取整函数：
2）符号函数：
3）含绝对值的函数：
2．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）→B（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。
所以函数是映射，而映射不一定的函数
课时八函数的单调性(局部性质)及最值
1、增减函数
（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. （2）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种 2、图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 3、函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： ○1任取x1，x2∈D，且x1 ○2作差f(x1)－f(x2)； ○3变形（通常是因式分解和配方）； ○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和 在一起写成其并集. 课时九：函数的奇偶性（整体性质） （1）、偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）、奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． （3）、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： ○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是 非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断； ○2确定f(－x)与f(x)的关系； ○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．（4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性 1）在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数； 奇函数的加减仍为奇函数； 奇数个奇函数的乘除认为奇函数； 偶数个奇函数的乘除为偶函数； 一奇一偶的乘积是奇函数； 2）复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称， (1)再根据定义判定; (2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 课时十、函数最值及性质的应用 1、函数的最值 ○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○2利用图象求函数的最大（小）值 ○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 2、函数的奇偶性与单调性 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。 3、判断含糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于作差法是与 0作比较，作商法是与1作比较。 4、绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。 5、在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0 并不一定可以判断函数为奇函数。（高一阶段可以利用奇函数f(0)=0）。 课时十四 1、指数与指数幂的运算： 复习初中整数指数幂的运算性质： a m*a n=a m+n (a m )n =a mn (a*b)n =a n b n 2、根式的概念：一般地，若a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈ N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。此时，a 的n 次方根用符号 表示。 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 的次方根用符号 表示。正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成 （a>0）。 注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，? ??<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 式子 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 3、 分数指数幂 正数的分数指数幂的 )1,,,0(* >∈>=n N n m a a a n m n m ，)1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 4、 有理数指数米的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 5、无理数指数幂 一般的，无理数指数幂a a （a>0,a 是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。 课时十五：指数函数的性质及其特点（1） 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变 量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？ 2、在同以坐标平面内画出下列函数的图像： （1） （2） （3） （4） （5） 课时十六：指数函数的性质及其特点（1） 指数函数的图象和性质 （1）在[a ，b] 上，值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当a>1时，若X 1 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 b ＝ N N ＝ b 指数 对数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log = ；（2）a b b a log 1log = ． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量， 函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： x y 2log 2=，5 log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 2、对数函数的性质： 1、幂函数定义：一般地，形如αx y=) a∈的函数称为幂函数，其中α为常数． (R 2、幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间) ,0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当1 <α时，幂函数的图象上凸； 0< （3）0<α时，幂函数的图象在区间) ,0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于∞+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．