图像处理中正交变换方法对比
目录
1课程设计目的 (1)
2课程设计要求 (1)
3 正交变换的概述 (1)
3.1 信号的正交分解 (1)
3.2 正交变换的定义 (2)
3.3 正交变换的分类 (3)
3.4 正交变换的标准基 (3)
3.4.1 一维DFT的标准基 (3)
3.4.2 二维DFT (5)
3.4.3 正交变换的标准基图像 (6)
3.5 正交变换在图像处理中的应用 (7)
4 傅里叶变换 (8)
4.1 傅里叶变换的定义及基本概念 (9)
4.2 傅里叶变换代码 (13)
4.3 傅里叶变换与逆变换结果 (14)
5 离散余弦变换 (14)
5.1 离散余弦变换的定义 (14)
5.2 离散余弦变换代码 (17)
5.3 离散余弦变换与逆变换结果 (17)
6 小波变换 (18)
6.1概述 (18)
6.2 小波变换的基本理论 (18)
6.3 小波变换代码 (20)
6.4 小波变换结果 (21)
7 结论 (21)
8 参考文献 (22)
图像处理中正交变换方法对比
1课程设计目的
(1) 理解正交变换的基本概念及分类。 (2) 掌握傅立叶变换及逆变换的基本原理方法。 (3) 掌握离散余弦变换的基本原理方法。 (4) 掌握小波变换的基本原理及方法。
(5) 学会利用matlab 软件进行数字图像处理与分析
2课程设计要求
（1）掌握课程设计的相关知识、概念清晰。
（2）查阅资料，根据不同处理需求，设计完成对数字图像的处理与分析。 （3）熟练掌握matlab 软件的基本操作与处理命令。 （4）进一步理解数字图像处理与分析的过程与意义。
3 正交变换的概述
3.1 信号的正交分解
完备的内积空间称为希尔伯特空间。折X 为一希尔伯特空间,φ1 ,φ2 , ?,φn 是X 空间中的一向量,如果它们是线性独立的,则称之为空间X 中的一组“基”。某一信号x 就可以按这样的一组基向量作分解,即
X=∑=N
n n n a 1φ （式3-1）
式（3-1）中a 1 , a 2 , ?, a n 是分解系数, 它们是一组离散值。假设φ1 ,φ2 , ?,φn 是一组两两互相正交的向量,则式(3-1) 称为x 的正交展开, 或正交分解。系数a 1 , a 2 , ?, a N 是x 在各个基向量上的投影 ,若N=3 ,其含义如图3-1 所示。
图3-1 信号的正交分解
3.2 正交变换的定义
一维序列 }10),({-≤≤N x x f 可以表示成一个N 维向量 [])1(),...,1(),0(-=N f f f T
U
其酉变换可以表示为 AU V = 或 )(),()(10
x f x u a u g N x ∑-==，10-≤≤N u
其中变换矩阵A 满足A
A T
*-=1
（酉矩阵），若A 为实数阵，则满足A A T
=
-1
，
称为正交阵。
向量 =
V [])1(),...,1(),0(-N g g g T
由此，U 可以表示为 V U A
T
*=
或 ),()()(1
x u u g x f N x a ∑-=*
= 10-≤≤N u
可知，给定基向量,}10),,({-≤≤*=→
*
N x x u a a T
10-≤≤N u ，原序列f （x ）
可以由一组系数g （u ）（10-≤≤N u ）表示，这组系数（变换）可以用于滤波，
数据压缩，特征提取等。
若矩阵 ????
?????
???=nn n n n n a a a a a a a a a A .....................212222111211 满足：I A A A A T
T == 则矩阵A 就成为正交矩阵。
对于某向量f ，用上述正交矩阵进行运算： Af g = 若要恢复f ，则 g g f A A
T
=
=
-1
以上过程称为正交变换（酉变换）。
3.3 正交变换的分类
正交变换总的可分为两大类,即非正弦类正交变换和正弦类正交变换。我们经常使用的离散傅立叶变换(DFT) 、离散余弦变换(DCT) 、离散正弦变换(DST) 等属于正弦类变换,其中还包括离散Hartley 变换(DHT) 及离散W 变换(DWT) 等。非正弦类变换包括Walsh —Hadamard 变换(WHT) 、Haar 变换( HRT) 等。由于正弦类变换在理论价值和应用价值上都优于非正弦类变换,从而在正交变换中占据主导地位。
除了正弦类和非正弦类正交变换,还有两种特殊的正交变换,K-L 变换和正交小波变换。K-L 变换去除信号中的相关性最彻底,且有着最佳的统计特性,被称为最佳变换。但是K-L 变换的基函数依赖与原始数据,没有固定的变换核,限制了它的普遍应用。小波变换能够具有很高的时频分辨率,进行局部化分析,通过伸缩平移运算对信号进行多尺度细化,达到高频处时间细分,低频处频率细分。但是小波正交基的结构复杂,具有紧支集的小波正交基不可能具有对称性。随着小波理论及算法的成熟,必将大有作为。
3.4 正交变换的标准基
傅立叶变换是正交变换中最常用的变换,以它为例来讨论正交变换标准基具有普遍意义。
3.4.1 一维DFT 的标准基
首先从傅立叶级数进行考虑。假设函数f ( t)满足收敛定理,则函数f ( t) 的傅立叶级数为 ()∑∞
=++1
0sin cos 2n n n nt b nt a a （式3-2）
a 0 , a 1 ,
b 1 , ?是函数f ( t) 的傅立叶系数。例如,一矩形波f ( t) 是周期为2π的周期函数,在[ -π,π] 上
-1 -π≤t ＜0
（式3-3）
1
0≤t ＜π
由下式求得傅立叶系数,
ntdt t f a n cos )(1
?=ππ
π
?=ππ
π
ntdt t f b n sin )(1
（式3-4） 得到矩形波f （t ） 的傅立叶级数展开为:
)(t f =π4??
????++++++...)12sin(121...3sin 31sin t k k t t ,....)2,,0;(ππ±±≠∞<<-∞t t （式3-5）
上面得到的展开式表明:矩形波是由一系列不同频率的正弦波乘以一个权值叠加而成。这些波的频率依次为基波频率的奇数倍。可以看到,求傅立叶系数的过程相当于傅立叶变换的过程,把原始信号展开,相当于傅立叶逆变换的过程。
实际上,“任意”满足收敛的一个波、一个信号都可以分解成无穷多个不同频率的信号。这里说的这些无穷多的不同频率的信号就是标准基波。在DFT 中也是类似的意思。假设有限长序列f( x) ( x = 0 ,1 , ?, N - 1) ,一维DFT 变换对如下:
其中e
N
j W π
2-=称为变换核。将式（6）写成矩阵形式F = W ·f 即:
W 是正交变换矩阵, 矩阵元素是变换核函数不同次幂构成。W 是正交矩阵,有W
- 1
= W T 。可以看出F( u) 是角频率为2πu/ N 信号的加权系数,也就是它在原
始信号中分量的大小。如此诸多标准基波乘以其各自系数再求和得到了原始信号,
这也就是离散傅立叶反变换。 3.4.2 二维DFT
一幅数字图像可以用一个二维矩阵来表示, f( i , j) 表示i 行j 列这个像素点的灰度值。数字图像处理主要是二维数据处理。假设f ( x , y) ( x =0 ,1 , ?, M - 1 ; y = 0 ,1 , ?, N - 1) 是一幅M ×N 图像,则二维离散傅立叶变换为:
∑∑-=-=+-=1010
)(
2),(),(M X N y N
vy N ux j e
y x f v u F π u=0，1,…,M-1;v=0,1,…,N-1 （式3-9）
逆变换为：
∑∑-=-=+=1010)
(2),(1),(M u
N v N vy
N ux x j e v u F MN y x f x=0，1,…,M-1;y=0,1,…,N-1 (式3-10） 其中，e N vy N ux j )(2+-π称为正交变换核。在二维DFT 中同样可以将（式2-9）写成矩阵形式： F = W ·f ·W T
其中f 是原始的二维矩阵, F 是二维DFT 系数矩阵,W 是正交变换矩阵。从式(10) 就可以得到逆变换的矩阵形式,两边左乘W - 1 ,右乘W 得:
（式3-11）
因为整段数据或整幅图像的相关性小,相对冗余度低, 所以如果对整段数据
或整幅图像进行DFT ,很难保证能量较大的系数处在相对集中的位置。这不符合我们正交变换的目的。为了消除对整幅图像进行DFT 带来的大能量系数不能集中的问题,在实际应用中一般都将图像划分为8 ×8 或16 ×16 的小方块来做。
一幅图像在空间上作周期性变化, 则该周期的倒数称为空间频率。在图像中, 空间频率的大小表征图像明暗变化的快慢, 决定着图像的细节是否丰富[ 。灰度变化缓慢的区域频率低, 而物体边缘或噪声对应高频。F( u , v) 表示在对应
( u ,v) 的频率点的标准基上的分量大小。这里的标准基类似一维DFT 的标准基, 一维DFT 中标准基是特定频率的波,在二维DFT 中每个标准基就应该是一幅图像,将在2.4.3 节中详细描述标准基图像。考虑二维离散傅立叶逆变换, IDFT 就是将原始图像表示成各个标准基图像的加权和。在图像压缩中常用的就是舍去能量小的标准基图像,只取主分量。以此来达到数据压缩的目的。这样压缩后的图像对视觉效果的影响一般不是很明显,略去的只是细节。但如果舍去的阈值设置过高,就会造成图像模糊。
3.4.3 正交变换的标准基图像
由于DFT 得到的变换矩阵元素是复数, mat-lab 图像显示工具不能显示复数数值,所以选择了DCT 为例来绘制标准基图像。如前面的讲述,取8×8 的小方块来进行二维DCT 变换。假设F( u ,v) 对应的标准基图像是N uv , 它也是8 ×8 的二维矩阵。则有
∑∑-=-==11
0,),(),(M o u N v v u N v u F y x f
（式3-12）
设G = W T
,则式(2-12) 变为: f = G ·F ·
W 。将右边前两个矩阵乘积展开有: 8888})7(:,:),,7({...})2(:,:),,7({})1(:,:),,7({............})7(:,:),,2({...})2(:,:),,2({})1(:,:),,2({})7(:,:),,1({...})2(:,:),,1({})1(:,:),,1({),(???????
?
????
???=W F G F G F G F G F G F G F G F G F G y x f （式3-13） 这里的｛G( i , :) , f ( : , j) ｝表示G 的第i 行与F 的第j 列所有元素对
应相乘再求和。实际上就是矩阵相乘得到新矩阵中在( i , j) 位置的元素。即: ∑==8
1
),(),,()}(:,:),,({n j n F n i G j F i G
（式3-14） 再设T = W T
·F, 则f ( X , Y ) 中任意位置( x 0， y 0 ) 的值有: ∑∑∑===??=?=
=8
18
1008
1
0000)
,(),(),()
,(),()}
(:,:),,({),(j i j y j W j i F i x G y j W j x T y W x T y x f （式3-15）
将上式与式(2-12) 比较可以发现, 这里的F( i ,j) 就是在( i , j) 位置对应
频率上的分量, G(x 0 ,j)·W(j,y 0)就是F( i ,j)对应的标准基图像N ij 中(x 0 ,y 0)位置的元素数值,即:
),(),(),(0000y j W i x G y x Nij ?= （式3-16）
其中i 从1 到8 ,j 从1 到8 得到64个标准基图像的二维矩阵, 每个矩阵中又有
x 0 从1 到8 ,y 0 从1到8 得到8×8 个矩阵元素。
经过上面讨论,得到了标准基图像的表达式。图2 就是8×8 二维DCT 变换中的标准基图像。
图2-2 8×8 二维DCT标准基图像
可以看出,只要给定了变换核函数或变换矩阵就可以得到标准基图像。有了标准基图像,就可以更直观地将正交变换理解为对原始图像在诸多标准基图像上的分解。通过对权值矩阵的处理即变换域处理,达到图像处理的目的,得到新的权值矩阵再反变换得到处理后的图像。实际上可以把标准基图像作为一个抽象概念应用到所有的二维正交变换中,并不局限于上面显示的二维DCT。
3.5 正交变换在图像处理中的应用
正交变换研究已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构(或恢复)。从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理(图象可以看作是二维信号)，小波分析的许多分析和应用问题，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随时间是稳定不变的信号（平稳随机过程），处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的（非平稳随机过程），而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。
事实上正交变换的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数
值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。(1)用于信号与图象压缩是一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。(2)在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。(3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。
图像的正交变换作为图像处理技术的重要工具, 通过正交变换改变图像的表示域及表示数据, 给图像处理工作带来了极大的方便。利用这个工具, 可以对图像的频谱进行各种各样的处理, 如滤波、降噪等。
由于傅里叶变换和余弦变换的变换核由正弦、余弦函数组成, 运算速度受影响, 为此，我们在特定问题中往往引进不同的变换方法,要求运算简单且变换核矩阵产生方便，小波变换占用存储空间少, 产生容易, 有快速算法, 在大量数据需要实时处理的图像处理问题中, 得到广泛应用。
4 傅里叶变换
在图像处理技术的发展中，傅立叶变换起着十分重要的作用,主要体现在以下几个方面：
1.是线性系统分析的一个有力工具;
2.能够定量地分析诸如数字图像之类的数字系统;
3.把傅立叶变换的理论与物理解释相结合，将有利于解决大多数图像处理问题;
4.在图像处理中的应用十分广泛，如图像特征提取、图像恢复、纹理分析等。
4.1 傅里叶变换的定义及基本概念
傅里叶变换在数学中的定义是严格的。设f(x)为x 的函数，如果满足下面的狄里赫莱条件：
（１）具有有限个间断点； （２）具有有限个极值点； （３）绝对可积。 则有下列二式成立
正变换式 dx x f u F e
ux
j ?∞
∞--=π2)()( （式4-1）
反变换式 du u F x f e
ux
j ?∞∞
-=π2)()( （式4-2）
式中x 是时域变量，u 为频率变量。如令，则有 dx x f F e
x
j ?∞
∞--=??)()( （式4-3）
??π
?d F x f e x
j ?
∞
∞
-=
)(21
)( （式4-4）
通常把以上公式称为傅里叶变换对。
函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复量，它可以由式（4—5）表示
)()()(???jI R F += （式4-5） 或写成指数形式
e j F F )
()()(?φ??= （式4-6）
)
()(2
2
)(???I R F +=
（式4-7）
)
()
()(???φR I a r c t g = （式4-8）
把 )(?F 叫做)(x f 的傅里叶幅度谱或频谱，而)(?φ叫相位谱。 傅里叶变换广泛用于频谱分析。 例一：求图4—1所示波形f(x)的频谱。
dx x f F e
x
j ?+∞
∞
--=??)()(
dx A e
x
j ?-
-=22
τ
τ?
)(22e e j j j A τ
?
τ??
--= 2
s i n
2?τ
?
A
=
则 2
s i n
2)(?τ
?
?A
F =
22s i n
?τ
?τ
τ
A =
0 τ
π
?τπ)12(24+< τ π ?τ π )1(4)12(2+< <+n n )(x f 的幅度谱及相位谱如图4—2所示。 例二：求周期函数的傅里叶谱。 一个周期为T 的信号)(x f 可用傅里叶级数来表示，即 ∑∞ ∞-- =e x jn n F x f 0)()(? 式中 dx x jn x f T n F T T o e ?-=22 )(1)(? T π?20= 因此，傅里叶变换可写成下式: ] [)(])([)]([)(00x jn x jn e n F e n F x f F ω-∞ ∞ -ω-∞ ∞-∑=∑==ω F F F ) )(2)()(0)(0 ω-ωδ∑π=?∑=??∑=∞ -∞ =ω-ω-∞ ∞-∞ -∞=ω-ω∞ ∞-∞ -∞ =n n F dx e n F dx e e n F n n j n x j jn n ( 图4-2)(x f 的幅度谱及相位谱 图4-3 周期函数的傅里叶谱 由上面的例子可以建立起下面几个概念： （１）只要满足狄里赫莱条件，连续函数就可以进行傅里叶变换，实际上这个条件在工程运用中总是可以满足的。 （２）连续非周期函数的傅里叶谱是连续的非周期函数，连续的周期函数的傅里叶谱是离散的非周期函数。 傅里叶变换可推广到二维函数。如果二维函数),(y x f 满足狄里赫莱条件，那么将有下面二维傅里叶变换对存在： dxdy e y x f v u F vy ux j )(2),(),(+π-∞ ∞-∞∞-??= （式4-9） dudv e v u F y x f vy ux j )(2),(),(+π∞ ∞-∞ ∞-??= （式4-10） 与一维傅里叶变换类似，二维傅里叶变换的幅度谱和相位谱如下式 ) ,(),(),(22v u I v u R v u F += （式4-11） ) ,(),(),(v u R v u I arctg v u =φ （式4-12） ),(),(),(2 2 v u I v u R v u E += （式4-13） 式中：),(v u F 是幅度谱或频谱；),(v u φ是相位谱；),(v u E 是能量谱。 1 2101 21021∑∑1010N y M x N vy M ux j v u F MN y x f M u N ,,,,,,,,exp ),(),( ==+===υπ （式4-15） 在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情况下总是N M =。因 此，二维离散傅里叶变换多采用下面两式形式。 1, ,2,1,0,)(2exp ),(1 ),(101 0-=??? ?? ???? ??+-= ∑∑-=-=N v u N vy ux j y x f N v u F N x N y π （式4-16） 1 , ,2,1,0,)(2exp ),(1),(1010-=? ?? ?? ???? ??+=∑∑-=-=N y x N vy ux j v u F N y x f N u N υπ （式4.-17） 式中符号),(v u F 可称为空间频率。 4.2 傅里叶变换代码 4.3 傅里叶变换与逆变换结果 5 离散余弦变换 傅立叶变换的一个最大问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍，不易计算，因此希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在这个思想的指导下，产生了离散余弦变换。离散余弦变换表示为DCT 5.1 离散余弦变换的定义 一维离散余弦变换的定义由下式表示 ∑-== 1 0)(1 )0(N x x f N F （式5-1） N u x x f N u F N x 2)1(2cos )(2)(10π += ∑-= （式5-2） 式中F(u)是第u 个余弦变换系数，u 是广义频率变量，u=1,2,…,N-1;f(x)是时域N 点序列，x=0，1，…，N-1 一维离散余弦反变换由下式表示 N u x u F N F N x f N u 2)12(cos )(2)0(1)(10π ++=∑-= （式5-3） 显然，式（5-1），式（5-2）和式（5-3）构成了一维离散余弦变换对。 二维离散余弦变换的定义由下式表示 N v y N u x y x f N v u F N u x y x f N u F N v y y x f N v F y x f N F N x N y N y N x N x N y N x N y 2)12(cos 2)12(cos ),(2),(2)12(cos ),(2)0,(2)12(cos ),(2),0() ,(1)0,0(10101 1 1010101 π πππ +?+=+=+?==∑∑∑ ∑ ∑∑∑∑-=-=-=-=-=-=-=-= （式5-4） 式(5—4)是正变换公式。其中),(y x f 是空间域二维向量之元素 1,...,2,1,-=N y x ，),(y x F 是变换系数阵列之元素。式中表示的阵列为N ×N 二维离散余弦反变换由下式表示 N v y N u x v u F N N u x u F N N v y v F N F N y x f N u N v N u N v 2)12(cos 2)12(cos ),(22)12(cos )0,(22)12(cos ),0(2)0,0(1),(11111111πππ π+?++++++=∑∑∑∑-=-=-=-= （式5-5） 式中的符号意义同正变换式一样。式(5—4)和式(5—5)是离散余弦变换的解析式定义。更为简洁的定义方法是采用矩阵式定义。如果令N ＝4，那么由一维解析式定义可得如下展开式 ?????? ?-+-=+--=--+=+++=) 3(271.0)2(653.0)1(653.0)0(271.0)3()3(500.0)2(500.0)1(500.0)0(500.0)2()3(653.0)2(271.0)1(271.0)0(653.0)1() 3(500.0)2(500.0)1(500.0)0(500.0)0(f f f f F f f f f F f f f f F f f f f F （式5-6） 写成矩阵式 ? ? ? ?? ? ???????????????? ???------=????????????)3()2()1()0(271.0653 .0653.0271 .0500.0500.0500.0500.0653.0271.0271.0653.0500.0500.0500 .0500.0)3()2()1()0(f f f f F F F F （式5-7） 若定义[A]为变换矩阵,[F(u)]为变换系数矩阵,[f(x,y)]为时域数据矩阵，则一维离散余弦变换的矩阵定义式可写成如下形式 )](][[)(x f A u F = （式5-8） 同理，可得到反变换展开式 ?????? ?-+-=+--=--+=+++=)3(271.0)2(500.0)1(653.0)0(500.0)3()3(653.0)2(500.0)1(271 .0)0(500.0)2()3(653.0)2(500.0)1(271.0)0(500.0)1()3(271 .0)2(500.0)1(653.0)0(500.0)0(F F F F f F F F F f F F F F f F F F F f （式5-9） 写成矩阵式 ?? ???? ???????????????? ???------=????????????)3()2()1()0(271.0500 .0653.0500 .0653.0500.0271.0500.0653.0500.0271.0500.0271.0500.0653 .0500.0)3()2()1()0(F F F F f f f f （式5-10） 即)]([][)]([u F A x f '= （式5-11） 当然，二维离散余弦变换也是可以写成矩阵式 )],(][[)].([y x f A v u F = )],([][)],([v u F A y x f '= （式5-12） 式中)],([y x f 是空间数据阵列，)],([v u F 是变换系数阵列，][A 是变换矩阵，]['A 是][A 的转置 5.2 离散余弦变换代码 5.3 离散余弦变换与逆变换结果 6 小波变换 6.1概述 由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet 在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier 提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon 表示定理的发现、Hardy 空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg 还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer 偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的统一方法--多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies 撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets ）》对小波的普及起了重要的推动作用。与Fourier 变换、视窗Fourier 变换（Gabor 变换）相比，具有良好的时频局部化特性，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis ），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题，因而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。 6.2 小波变换的基本理论 设=)(t ψ L 2 (R)(L 2 (R)平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间），其傅立叶变换为)(?ψΛ .如果)(?ψΛ 满足允许条件 ? ∞<Λ =R d C ?ψ? ?ψ) (2 （式6-1） 则称)(t ψ为一个基本小波或母小波。将母小波)(t ψ经伸缩和平移后，就 可以得到一个小波函数。 对于连续的情况，小波函数 )( 1)(,a b t a t b a -= ψψ 0,,≠∈a R b a （式6-2） 式中，a 为伸缩因子；b 为平移因子。对于离散的情况，小波序列为 )()(,22 2 /k t t k j j j -=--ψψ Z k j ∈, （式6-3） 在相平面中，b 仅仅影响窗口在时间轴的位置，而a 不仅影响窗口在频率轴的位置，而且也影响窗口的形状。 因此，小波变换对不同频率在时域上的取样步长具有可调节性，即在低频时小波变换的时间分辨率较低，而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间频率较高，而频率分辨率较低，这正好符合低频信号变换缓慢而高频信号变化迅速的特点。这便是它优于傅立叶变换地方。从总体上来说，小波变换比傅立叶变换具有更好的时频窗口特性。 如图6-1所示， 课程名称数字图像处理与分析 实验序号实验4 实验项目图像几何变换 实验地点 实验学时实验类型 指导教师实验员 专业班级 学号姓名 2017年9月25日 成绩： 教 师 评 语 三、实验软硬件环境 装有MATLAB软件的电脑 四、实验过程（实验步骤、记录、数据、分析） 1、图片比例缩放 代码： I=imread('11.jpg'); J=imresize(I,1.25); J2=imresize(I,1.25,'bicubic'); imshow(I); figure,imshow(J); figure,imshow(J2); Y=imresize(I,[100150],'bilinear');%Y=imresize(I,[mrows ncols],method)---返回一个指定行列的图像。若行列比与原图不一致，输出图像将发生变形。 figure,imshow(Y) %nearest,bilinear,bicubic为最近邻插值、双线性插值、双三次插值方法。默认为nearest。 运行结果： 分析：由实验结果可知，实现了图片放大和缩小的效果。 2、图像旋转 代码： J=imrotate(I,32,'bilinear');%J=imrotate(I,angle,method,’crop’)------crop用于剪切旋转后增大的图像部分，返回和原图大小一样的图象。 imshow(I); figure,imshow(J) 运行结果： 分析：由实验结果可知，实现了图片旋转的效果 3、图像剪切 代码： J=imcrop(I); figure(1),imshow(I);title('yuantu'); figure(2),imshow(J);title('croptu') J1=imcrop(I,[604010090]);%对指定区域进行剪切操作figure(3),imshow(J1);title('croptu2'); 运行结果： 运行代码后，出现如下界面，选中要裁剪的区域，双击被选中的区域 出现以下界面： 基于小波变换的图像融合 摘要：图像融合是通过某种算法，将两幅或多幅不同的图像进行合并以形成一一幅新的图像的过程，其的主要目的是通过对多幅图像间的冗余数据的处理来提高图像的可靠性，通过对多幅图像间的互补信息的处理来提高图像的清晰度。本文的研究重点是基于小波变换实现图像的初步融合，完成将两幅不同的图像进行合并以形成一幅新的图像。关键词:图像融合，小波变换，融合算法，图像信息 Abstract The image fusi on is a procedure that comb ine more tha n two images in order to get a new image, and it ' s main purpose of image fusi on of multiple images is enhance the reliability of image through deal with the ultra data of the in itial image, and improve the defi niti on of the image through deal with the compleme ntary in formatio n of the images. The key point of this article is realized the image fusi on based on the wavelet tran sform and comb ines two images to get a new image. Key Words : image fusion, wavelet transform, fusion algorithm, image in formatio n 一、引言 图像融合是通过某种算法，将两幅或多幅不同的图像进行合并以形成一幅新的图像的过程。在众多的图像融合技术，基于小波变换的图像融合方法已成为现今的个热点，图像融合技术是数据融合技术的一种特定情形，它是以图像的形式来表达具 体的信息，它对人的视觉产生作用。图像融合具体来说是根据某一算法，将所获得的针对同一目标场景的多幅配准后的图像进行综合处理，从而得到一幅新的、满足某种条件的、对目标或场景的描述更为准确、更为全面、更为可靠的图像。融合后的图像应该比原始图像更加清晰可靠和易于分辨。图像融合充分利用了多个原始图像所包含的冗余信息和互补信息，能够起到扩大传感范围、提高系统可靠性和图像信息利用率的作用。 二、小波变换图像融合 传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种 改进，小波分析由此产生了。小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier 分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又 一有效的时频分析方法。小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域 变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis ），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。 近些年来，小波变换倍受科技界的重视，它不仅在数学上已形成了一个新的分支， 基于小波变换的数字图像处理 摘要：本文先介绍了小波分析的基本理论，为图像处理模型的构建奠定了基础，在此基础上提出了小波分析在图像压缩，图像去噪，图像融合，图像增强等图像处理方面的应用,最后在MATLAB环境下进行仿真，验证了小波变化在图像处理方面的优势。 关键词：小波分析；图像压缩；图像去噪；图像融合；图像增强 引言 数字图像处理是利用计算机对科学研究和生产中出现的数字化可视化图像 信息进行处理，作为信息技术的一个重要领域受到了高度广泛的重视。数字化图像处理的今天，人们为图像建立数学模型并对图像特征给出各种描述，设计算子，优化处理等。迄今为止，研究数字图像处理应用中数学问题的理论越来越多，包括概率统计、调和分析、线性系统和偏微分方程等。 小波分析，作为一种新的数学分析工具，是泛函分析、傅立叶分析、样条分析、调和分析以及数值分析理论的完美结合，所以小波分析具有良好性质和实际应用背景，被广泛应用于计算机视觉、图像处理以及目标检测等领域，并在理论和方法上取得了重大进展，小波分析在图像处理及其相关领域所发挥的作用也越来越大。在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。但短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行，所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整。 本文介绍了小波变换的基本理论，并介绍了一些常用的小波函数，然后研究了小波分析在图像处理中的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像增强等,本文重点在图像去噪，最后用Matlab进行了仿真[1]。 论文翻译 通信102 吴志昊 译文： 小波变换在图像处理中的仿真及应用 一、课题意义 在传统的傅立叶分析中, 信号完全是在频域展开的, 不包含任何时频的信息, 这对于某些应用来说是很恰当的, 因为信号的频率的信息对其是非常重要的。但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要, 所以人们对傅立叶分析进行了推广, 提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法, 如短时傅立叶变换, Gabor 变换, 时频分析, 小波变换等。而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷, 具有多分辨率分析的特点, 使其在图像处理中得到了广泛应用。 传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。 小波变换是一种快速发展和比较流行的信号分析方法, 其在图像处理中有非常重要的应用, 包括图像压缩, 图像去噪, 图像融合, 图像分解, 图像增强等。小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓。除了连续小波(CWT)、离散小波(DWT), 还有小波包(Wavelet Packet)和多维小波。 小波分析在图像处理中有非常重要的应用, 包括图像压缩, 图像去噪, 图像融合, 图像分解, 图像增强等。小波变换是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的时间一频率窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，因此，小波变换在许多领域都得到了成功的应用，特别是小波变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。从此，小波变换越来越引进人们的重视，其应用领域来越来越广泛。 二、课题综述 （一）小波分析的应用与发展 小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构(或恢复)。从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理(图象可以看作是二维信号)，在小波分析的许 第一章绪论 一.选择题 1. 一幅数字图像是：( ) A、一个观测系统 B、一个有许多像素排列而成的实体 C、一个2-D数组中的元素 D、一个3-D空间的场景。 提示：考虑图像和数字图像的定义 2. 半调输出技术可以：( ) A、改善图像的空间分辨率 B、改善图像的幅度分辨率 C、利用抖动技术实现 D、消除虚假轮廓现象。 提示：半调输出技术牺牲空间分辨率以提高幅度分辨率 3. 一幅256*256的图像，若灰度级数为16，则存储它所需的比特数是：( ) A、256K B、512K C、1M C、2M 提示：表达图像所需的比特数是图像的长乘宽再乘灰度级数对应的比特数。 4. 图像中虚假轮廓的出现就其本质而言是由于：( ) A、图像的灰度级数不够多造成的 B、图像的空间分辨率不够高造成 C、图像的灰度级数过多造成的 D、图像的空间分辨率过高造成。 提示：平滑区域内灰度应缓慢变化，但当图像的灰度级数不够多时会产生阶跃，图像中的虚假轮廓最易在平滑区域内产生。 5. 数字图像木刻画效果的出现是由于下列原因所产生的：（） A、图像的幅度分辨率过小 B、图像的幅度分辨率过大 C、图像的空间分辨率过小 D、图像的空间分辨率过大 提示：图像中的木刻效果指图像中的灰度级数很少 6. 以下图像技术中属于图像处理技术的是：（）（图像合成输入是数据，图像分类输出 是类别数据） A、图像编码 B、图像合成 C、图像增强 D、图像分类。 提示：对比较狭义的图像处理技术，输入输出都是图像。 解答：1.B 2.B 3.A 4.A 5.A 6.AC 二.简答题 1. 数字图像处理的主要研究内容包含很多方面，请列出并简述其中的4种。 2. 什么是图像识别与理解？ 3. 简述数字图像处理的至少3种主要研究内容。 4. 简述数字图像处理的至少4种应用。 5. 简述图像几何变换与图像变换的区别。 解答: 1. ①图像数字化：将一幅图像以数字的形式表示。主要包括采样和量化两个过程。②图像增强：将一幅图像中的有用信息进行增强，同时对其无用信息进行抑制，提高图像的可观察性。③图像的几何变换：改变图像的大小或形状。④图像变换：通过数学映射的方法，将空域的图像信息转换到频域、时频域等空间上进行分析。⑤图像识别与理解：通过对图像中各种不同的物体特征进行定量化描述后，将其所期望获得的目标物进行提取，并且对所提取的目标物进行一定的定量分析。 2. 图像识别与理解是指通过对图像中各种不同的物体特征进行定量化描述后，将其所期望获得的目标物进行提取，并且对所提取的目标物进行一定的定量分析。比如要从一幅照片上确定是否包含某个犯罪分子的人脸信息，就需要先将照片上的人脸检测出来，进而将 %这个是 2D-DWT 的函数,是 haar 小波 %c是图像像素矩阵 steps 是变换的阶数 function dwtc = dwt_haar(c, steps % DWTC = CWT_HARR(C - Discrete Wavelet Transform using Haar filter % % M D Plumbley Nov 2003 N = length(c-1; % Max index for filter: 0 .. N % If no steps to do, or the sequence is a single sample, the DWT is itself if (0==N | steps == 0 dwtc = c; return end % Check that N+1 is divisible by 2 if (mod(N+1,2~=0 disp(['Not divisible 2: ' num2str(N+1]; return end % Set the Haar analysis filter h0 = [1/2 1/2]; % Haar Low-pass filter h1 = [-1/2 1/2]; %Haar High-pass filter % Filter the signal lowpass_c = conv(h0, c; hipass_c =conv(h1, c; % Subsample by factor of 2 and scale c1 = sqrt(2*lowpass_c(2:2:end; d1 = sqrt(2*hipass_c(2:2:end; % Recursively call dwt_haar on the low-pass part, with 1 fewer steps dwtc1 = dwt_haar(c1, steps-1; % Construct the DWT from c1 and d1 dwtc = [dwtc1 d1]; % Done return -------------------------- 分割线 -------------------------- 调用这个函数的例子下面的东西放在另一个文档里 读入一个图像‘ lena ’应该是个最基础的图像了 ~ 之后分别作 0阶和 1阶 2D-DWT 的变换 改变阶数可以做更高阶的 clear all im = imreadreal('lena.bmp'; %read image data 收稿日期:2005-10-25 基金项目:国家自然科学基金(60572011/f010204),“985”特色项目计划基金(LZ985-231-582627),甘肃省自然科学基金(YS021-A22-00910) 小波变换与PC NN 在图像处理中的比较与结合 田 勇,敦建征,马义德,夏春水,吴记群 (兰州大学信息科学与工程学院,甘肃兰州 730000) 摘 要: 主要介绍了小波变换和PCNN 的基本原理,结合它们在图像处理中的应用,比较说明了小波变换和PCNN 各自的优缺点.通过分析表明,将小波变换和PCNN 技术相结合在图像处理中会产生更好的效果. 关键词: 小波变换;脉冲耦合神经网络(PCNN);图像处理 中图分类号: TN 911.73 文献标识码: A 文章编号:1004-0366(2006)04-0053-03 The Comparison Between Wavelet Transform and PC NN in Image Processing and Their Combination TIAN Yo ng ,DUN Jian-zheng,M A Yi-de,X IA Chun-shui,W U J i-qun (School of Information Science &Engineering ,L anzhou University ,Lanzhou 730000,China ) Abstract : The ba sic principles of w av elet transfo rm and PCNN a re first https://www.sodocs.net/doc/8814574750.html, bining their applicatio ns in the image processing ,w e analy ze their adva ntag es and draw backs respectiv ely.From the analysis ,it is co ncluded tha t w e will g et better effects if we co mbine the tw o techniques tog ether in the imag e processing . Key words : wav elet transform;pulse co upled neural netw o rk(PCNN);image processing 小波变换可对函数或信号进行多尺度的细化分析,解决了傅立叶变换不能解决的许多问题,被认为是时间——尺度分析和多分辨率分析的一种新技术[1] .目前,它已被广泛应用于分形、信号处理、图像处理、地震勘探、语音识别等应用领域[1～4].脉冲耦合神经网络PCNN (Pulse Co upled Neural Netw ork,PCNN)是一种不同于传统人工神经网络的新型神经网络.PCNN 有着生物学的背景,是根据对动物的大脑视觉皮层同步脉冲发放所获得的实验结果[5～8] ,建立起来的一种神经网络数学模型.PCNN 在图像处理中的应用已经取得巨大成果[9～12].PCNN 在旋转、平移、尺度不变性等方面起着重要的作用.而小波变换的长处在于它能够生成含有输入信息显著特征的系数并且能够对信号进行由粗及精的逐级多分辨率分析.我们发现小波变换和PCNN 有许多相似点,只是在性能和本质特征上有一些差别. 1 小波变换理论简介 [13～16] 小波(wav elet)即小区域的波.“小”是指在时域 具有紧支集或近似紧支集;“波”指小波具有正负交替的波动性.连续小波函数的确切定义为:设J (t )为一平方可积函数,即J (t )∈L 2(R ),若J (k )(其傅里叶变换)满足容许条件(Admissible Co nditio n) C J =∫ R |J (k )|2 |k |d k <∞(1) 则称J (t )为一个基本小波或母小波(M other Wav elet). 小波函数具有多样性,实际应用中应根据支撑长度、对称性、正则性等标准选择合适的小波.常用的小波有:Haar 小波,Daubechies (dbN )小波系,Bio rthog onal(biorN r.Nd)小波系,Coiflet(coifN )小波系,Sy mletsA (sym N )小波系,M orlet 小波,M exican Hat 小波,M eyer 小波,Battle-Lemarie 小 第18卷 第4期2006年12月 甘肃科学学报Journal of Gans u Sciences Vol.18 No.4 Dec.2006 %这个是2D-DWT的函数，是haar小波 %c是图像像素矩阵steps是变换的阶数 function dwtc = dwt_haar(c, steps) % DWTC = CWT_HARR(C) - Discrete Wavelet Transform using Haar filter % % M D Plumbley Nov 2003 N = length(c)-1; % Max index for filter: 0 .. N % If no steps to do, or the sequence is a single sample, the DWT is itself if (0==N | steps == 0) dwtc = c; return end % Check that N+1 is divisible by 2 if (mod(N+1,2)~=0) disp(['Not divisible 2: ' num2str(N+1)]); return end % Set the Haar analysis filter h0 = [1/2 1/2]; % Haar Low-pass filter h1 = [-1/2 1/2]; %Haar High-pass filter % Filter the signal lowpass_c = conv(h0, c); hipass_c =conv(h1, c); % Subsample by factor of 2 and scale c1 = sqrt(2)*lowpass_c(2:2:end); d1 = sqrt(2)*hipass_c(2:2:end); % Recursively call dwt_haar on the low-pass part, with 1 fewer steps dwtc1 = dwt_haar(c1, steps-1); % Construct the DWT from c1 and d1 dwtc = [dwtc1 d1]; % Done return -------------------------- 分割线-------------------------- 调用这个函数的例子下面的东西放在另一个文档里 利用小波变换实现彩色图像增强 专业：通信工程姓名：李厚福指导教师：王建华 摘要：中国有句谚语“百闻不如一见”，可见视觉信息的重要性。图像是人们获得信息和传递信息的最重要的媒体，人类视觉信息的获取和传播的最主要载体也是图像，因此图像的增强处理受到越来越多的人们关注。而图像在获取或传输过程中，由于各种原因，可能对图像造成破坏，使图像失真，为了满足人们的视觉效果，必须对这些降质的图像进行处理，满足实际需要，使用不同的方法进行图像增强处理，尽可能对图像进行还原。 图像增强技术是数字图像处理的一个重要分支，其方法有很多，主要可以分为空间域增强和频率域增强两大类。但是传统的方法在增强图像的同时，也会带来相应的块效应，不符合人们的视觉效果。小波变换是多尺度多分辨率的分解方式，可以将噪声和信号在不同尺度上分开，根据噪声分布的规律就可以达到图像增强的目的。本文对小波变换理论、小波阈值滤波和增强的方法，小波阈值滤波及增强中的阈值函数和阈值的选取做了理论上的研究，重点研究利用小波变换对图像进行增强处理。关键词：小波变换，图像增强，噪声，信号 第一章绪论 1.1课题研究的意义 图像是人们获取信息和传递信息的最重要的媒体，人类视觉信息的获取和传播的主要载体也是图像。对于生活中的指纹识别，视频监控，生活拍照，医学拍照等无不与图像有着紧密的关系。所以图像增强的目的是改善图像的视觉效果，这对人们的生活有着重要的意义。 图像增强作为基本的图像处理技术，其目的是要改善图像的视觉效果。针对给定图像的应用场合，通过处理设法有选择的突出便于人或机器分析有用的信息，将原来模糊的图像变得清晰，抑制一些没有的信息，得以改善图像质量，丰富信息量，加强图像判读和识别效果，以提高图像的使用价值。 图像增强有很多种方法，传统的方法在增强图像的同时，也会带来相应的块效应，不符合人们的视觉效果。对于其性质随实践是稳定不变的信号，傅立叶变换是理想的工具。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波变换。小波变换是傅立叶变换的发展与延拓，它对不同频率成分在时域上的取样步长具有调节性，高频则小，低频则大。具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整。小波变换解决了傅立叶变换不能解决的许多困难问题，运用到图像增强方面有很重要的现实意义。 本科综合课程设计报告 题 目 ____________________________ 指导教师__________________________ 辅导教师__________________________ 学生姓名__________________________ 学生学号__________________________ _______________________________ 院（部）____________________________专业________________班 ___2008___年 _12__月 _30__日 数字图像处理演示系统 信息科学与技术学院 通信工程 052 1 主要内容 1.1数字图像处理背景及应用 数字图像处理的目的是改善图像的质量，它以人为对象，以改善人的视觉效果为目的。目前，图像处理演示系统应用领域广泛医学、军事、科研、商业等领域。因为数字图像处理技术易于实现非线性处理，处理程序和处理参数可变，故是一项通用性强，精度高，处理方法灵活，信息保存、传送可靠的图像处理技术。本图像处理演示系统以数字图像处理理论为基础，对某些常用功能进行界面化设计，便于初级用户的操作。 1.2 图像处理演示系统设计要求 能加载和显示原始图像，显示和输出处理后的图像； 系统要便于维护和具备可扩展性； 界面友好便于操作； 1.3 图像处理演示系统设计任务 数字图像处理演示系统应该具备图像的几何变换（平移、缩放、旋转、翻转）、图像增强（空间域的平滑滤波与锐化滤波）的简单处理功能。 1.3.1几何变换 几何变换又称为几何运算，它是图像处理和图像分析的重要内容之一。通过几何运算，可以根据应用的需要使原图像产生大小、形状、和位置等各方面的变化。简单的说，几何变换可以改变像素点所在的几何位置，以及图像中各物体之间的空间位置关系，这种运算可以被看成是将各物体在图像内移动，特别是图像具有一定的规律性时，一个图像可以由另外一个图像通过几何变换来产生。实际上，一个不受约束的几何变换，可将输入图像的一个点变换到输出图像中的任意位置。几何变换不仅提供了产生某些特殊图像的可能，甚至还可以使图像处理程序设计简单化。从变换性质来分可以分为图像的位置变换、形状变换等 1.3.2图像增强 图像增强是数字图像处理的基本内容之一，其目的是根据应用需要突出图像中的某些“有用”的信息，削弱或去除不需要的信息，以达到扩大图像中不同物体特征之间的差别，使处理后的图像对于特定应用而言，比原始图像更合适，或者为图像的信息提取以及其他图像分析技术奠定了基础。一般情况下，经过增强处理后，图像的视觉效果会发生改变，这种变化意味着图像的视觉效果得到了改善，某些特定信息得到了增强。 Value Engineering 1小波变换的定义 小波分析是对Fourier 分析的一个重要补充和完善。因此，小波变换的定义应该是尽可能的由少数几个函数生成的；而理想的小波基应该是类似于Fourier 分析的。小波分析主要可以分为两个变换，即连续小波变换和离散小波变换。 2小波分析处理图像的发展 小波分析是一个不断发展的过程，经历“应用-理论-应用”的循环过程。小波分析是多学科交叉理论的结晶，包含泛函数分析、数值分析、分形理论、信息论、调和理论以及逼近论和时频分析等。并提出一种自适应的时-频局部化方法，可在时-频域任意转换，可聚焦任意信号的时段和频段，称为数学中的“望远镜”和“显微镜”。小波变换是Fourier 变换的深层次发展，是近年来工程领域关注的热点，将小波分析用于无损检测、医学CT 、构件探伤等。小波起源就与信号处理密不可分，1984年，法国工程师J.Morlet 和Grossman 对地质信号的分界提出了伸缩、平移的概念，首次提出”Wavelets ”一词。1985年，法国大数学家Meyer 提出光滑正交小波的理念，证明一维小波的存在性，构造出小波函数，是小波数学理论的先驱。随后与他的学生Lemarie 提出多尺度分析的思想。1988年，比利时数学家Ingrid Daubechies 构造出具有紧支撑的有限光滑小波函数，并撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets ）》为小波研究和应用领域的专家学者提供了系统的小波理论讲解。1989年，Mallat 在多分辨的基础上，构造mallat 算法进行分解和重构，打开了小波应用的大门。1990年，Latto 和Tenenbaum 将小波分析用于偏微分方程求解，为小波分析的普及、发展及应用提供了动力。 3小波在图像处理中的主要应用：3.1图像变换小波变换具有捕获点奇异性的能力， 而一维信号中的奇异性主要表现为点奇异性，因此，利用小波变换处理一维信号可以取得很好的效果。图像变换相当于是对数字图像阵列的预处理。因为图像阵列维数相对较大，能够直接进行处理复杂度高、计算繁复，就需要一种算法将它变换，减少计算量，小波变换亦能达到良好去除冗余度的效果。 3.2图像压缩 数字图像的压缩目的即减少图像所需的比特数，经小波变换，通过时间域压缩图像的压缩比比传统的压缩方法高，速度快，而压缩后要能够保持信号与图像的特征基本是不变的，这也是一种有损压缩，但是在传递中抗干扰能力相对较强。Shappro 推倒出离散正交小波变换，提出“嵌入”式的“零树”小波编码图像压缩方法，相比于其它图像编码方法压缩比高、无方块效应。目前，基于小波变换的基础发展起来的图像编码方法称为新的静止图像压缩标准。而基于小波变换分析的压缩方法比较成功的是格型矢量量化小波系数编码，小波包最优基方法，多级树集合分裂算法（SPIHT ），小波域多尺度ARMA 模型纹理方法等。 3.3图像增强与恢复 图像去噪方法分空域滤波、频域滤波和最优线性滤波法。Donoho 和Johnstone 在高斯噪声模型下，应用多维独立正态变量决策理论，提出了小波阈值去噪方法和改进的信号去噪的软阈值方法和硬阈值方法，推导出VisuShrink 阈值公式及SureShrink 阈值公式，从理论上证明该阈值是渐进最优的。Weaver 等人通过分析小波变换高频、低频系数的相关特性，提出基于小波变换域内高、低系数相关的去噪方法。图像复原即利用模糊理论、粗糙集理论等去模糊，研究表明，模糊图像是由降质函数与清晰图像卷积得到，通过分析使图像模糊的因素，如高斯噪声、脉冲噪声、白噪声等，建立图像退化模型，根据采集图像提供的资料恢复清晰的图像。 3.4图像分割 —————————————————————— —作者简介：黄奎（1990-），男，重庆人，硕士，研究方向为水工结构工程。 基于小波变换的图像处理综述 Overview of Image Processing Based on Wavelet Transform 黄奎HUANG Kui （重庆交通大学， 重庆400074）（Chongqing Jiaotong University ，Chongqing 400074，China ） 摘要：小波分析主要广泛应用在科学研究和工程技术中。虽然在现阶段的小波理论相对成熟，近些年关于小波理论的应用和研 究也在不断的发展和更新。小波变化在图像处理领域中的应用也囊括图像与处理的所有方面。本文通过介绍小波变换的起源，将小波 应用在图像处理中的压缩、还原图像、边缘检测和图像分割，宏观剖析小波的研究现状历史、发展动向及优势。 Abstract:The wavelet analysis is widely used in scientific research and engineering technology.Although the wavelet theory is relatively mature at this stage,the application and researches on the wavelet theory in recent years is also in constant development and renewal.The application of wavelet transform in image processing covers all aspects of image processing.Through the introduction of the origin of wavelet transform,and by applying wavelet in image compression,image restoration,edge detection and image segmentation,this article analyzes the research situation,development trend and advantage of wavelet. 关键词：小波分析；图像；应用；边缘检测；宏观剖析Key words:wavelet analysis ；image ；application ；edge detection ；macro analysis 中图分类号：TP391文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）08-0255-02·255· DOI:10.14018/https://www.sodocs.net/doc/8814574750.html,13-1085/n.2015.08.143 基于小波图像去噪的MATLAB 实现 一、 论文背景 数字图像处理(Digital Image Processing ，DIP)是指用计算机辅助技术对图像信号进行处理的过程。数字图像处理最早出现于 20世纪50年代，随着过去几十年来计算机、网络技术和通信的快速发展，为信号处理这个学科领域的发展奠定了基础，使得DIP 技术成为信息技术中最重要的学科分支之一。在现实生活中，DIP 应用十分广泛，医疗、艺术、军事、航天等图像处理影响着人类生活和工作的各个方面。 然而，在图像的采集、获取、编码和传输的过程中，都存在不同程度被各种噪声所“污染”的现象。如果图像被污染得比较严重，噪声会变成可见的颗粒形状，导致图像质量的严重下降。根据研究表明，当一张图像信噪比(SNR)低于14.2dB 时，图像分割的误检率就高于0.5%，而参数估计的误差高于0.6%。通过一些卓有成效的噪声处理技术后，尽可能地去除图像噪声，我们在从图像中获取信息时就更容易，有利于进一步的对图像进行如特征提取、信号检测和图像压缩等处理。小波变换处理应用于图像去噪外，在其他图像处理领域都有着十分广泛的应用。本论文以小波变换作为分析工具处理图像噪声，研究数字图像的滤波去噪问题，以提高图像质量。 二、 课题原理 1.小波基本原理 在数学上，小波定义为对给定函数局部化的新领域，小波可由一个定义在有限区域的函数()x ψ来构造，()x ψ称为母小波，（mother wavelet ）或者叫做基本小波。一组小波基函数，()}{,x b a ψ，可以通过缩放和平移基本小波 来生成： ())(1 ,a b x a x b a -ψ=ψ （1） 其中，a 为进行缩放的缩放参数，反映特定基函数的宽度，b 为进行平移的平移参数，指定沿x 轴平移的位置。当a=2j 和b=ia 的情况下，一维小波基函数序列定义为： ()() 1222,-ψ=ψ--x x j j j i （2） 其中，i 为平移参数，j 为缩放因子，函数f （x ）以小波()x ψ为基的连续小波变换定义为函数f （x ）和()x b a ,ψ的内积： 数字图像处理图像变换实验 报告 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 实验报告实验名称：图像处理 姓名：刘强 班级：电信1102 学号：1404110128 实验一图像变换实验——图像点运算、几何变换及正交变换一、实验条件 PC机数字图像处理实验教学软件大量样图 二、实验目的 1、学习使用“数字图像处理实验教学软件系统”，能够进行图像处理方面的 简单操作； 2、熟悉图像点运算、几何变换及正交变换的基本原理，了解编程实现的 具体步骤； 3、观察图像的灰度直方图，明确直方图的作用和意义； 4、观察图像点运算和几何变换的结果，比较不同参数条件下的变换效 果； 5、观察图像正交变换的结果，明确图像的空间频率分布情况。 三、实验原理 1、图像灰度直方图、点运算和几何变换的基本原理及编程实现步骤 图像灰度直方图是数字图像处理中一个最简单、最有用的工具，它描述了一幅图像的灰度分布情况，为图像的相关处理操作提供了基本信息。 图像点运算是一种简单而重要的处理技术，它能让用户改变图像数据占据的灰度范围。点运算可以看作是“从象素到象素”的复制操作，而这种复制操作是通过灰度变换函数实现的。如果输入图像为A(x,y)，输出图像为B(x,y)，则点运算可以表示为： B(x,y)＝f[A(x,y)] 其中f(x)被称为灰度变换（Gray Scale Transformation，GST）函数，它描述了输入灰度值和输出灰度值之间的转换关系。一旦灰度变换函数确定，该点运算就完全确定下来了。另外，点运算处理将改变图像的灰度直方图分布。点运算又被称为对比度增强、对比度拉伸或灰度变换。点运算一般包括灰度的线性变换、阈值变换、窗口变换、灰度拉伸和均衡等。 图像几何变换是图像的一种基本变换，通常包括图像镜像变换、图像转置、图像平移、图像缩放和图像旋转等，其理论基础主要是一些矩阵运算，详细原理可以参考有关书籍。 实验系统提供了图像灰度直方图、点运算和几何变换相关内容的文字说明，用户在操作过程中可以参考。下面以图像点运算中的阈值变换为例给出编程实现的程序流程图，如下： 任务书 1本课题研究目的 (1)了解图像变换的意义和手段 (2) 熟悉离散余弦变换的基本性质 (3)热练掌握FFT的方法反应用 (4)通过本实验掌握利用MATLAB编程实现数字图像的离散余弦变换。通过本次课程设计，掌握如何学习一门语言，如何进行资料查阅搜集，如何自己解决问题等方法，养成良好的学习习惯。扩展理论知识，培养综合设计能力。 2本课题完成任务(重点、难点) （1）熟悉并掌握离散余弦变换 （2）了解离散余弦在图像处理中的作用 （3）通过实验了解小波分析在图像处理中的应用 （4）用MATLAB实现离散余弦变换仿真 3本课题实施要求 摘要 基于离散余弦变换的图像压缩算法，其基本思想是在频域对信号进行分解，去除信号点之间的相关性，并找出重要系数，滤掉次要系数，以达到压缩的效果，但该方法在处理过程中并不能提供时域的信息，在比较关心时域特性的时候显得无能为力。 但是这种应用的需求是很广泛的，比如遥感测控图像，要求在整幅图像有很高压缩比的同时，对热点部分的图像要有较高的分辨率，单纯的频域分析的方法显然不能达到这个要求，虽然可以通过对图像进行分块分解，然后对每块作用不同的阀值或掩码来达到这个要求，但分块大小相对固定，有失灵活性。 在这个方面，小波分析就优越的多，由于小波分析固有的时频特性，可以在时频两个方向对系数进行处理，这样就可以对感兴趣的部分提供不同的压缩精度。 第一章：课题意义 小波变换是对人们熟知的傅里叶变换与短时(窗口)傅里叶变换的一个重大突破,为信号分析、图像处理、量子物理及其它非线性科学的研究领域带来革命性的影响,是20世纪公认的最辉煌的科学成就之一。图像处理的目的,就是对数字化后的图像信息进行某些运算或处理,以提高图像的质量或达到人们所要求的预期结果。图像处理的任务是对未加工的图像进行一定处理而成为所需的图像。小波在图像处理上的应用思路主要采用将空间或者时间域上的图像信号(数据)变换到小波域上,成为多层次的小波系数,根据小波基的特性,分析小波系数特点,针对不同需求,结合常规的图像处理方法(算法)或提出更符合小波分析的新方法(算法)来处理小波系数,再对处理后的小波系数进行反变换(逆变换),将得到所需的目标图像。 数字图像处理以及小波变换应用研究 周柳阳 1 中国矿业大学计算机学院，江苏徐州（221116） 摘要：随着信息技术的发展，数字信号充斥着整个世界，我们看到的听到的都将转换为可被计算机处理的数字信号。数字图像处理正是基于这一背景，通过计算机的手段将数字化的图像信号进行一系列的处理运算从而符合人们应用的要求。本文给出了基本的数字图像处理，同时介绍了小波变换算法的应用。实现了数字图像处理的几种方法。其中数字图像处理包括，空域分析，时域分析，线性变换与数字图像处理中基本的点运算，滤波，增强等。小波变换通过与传统的MSE方法（方差）进行比较从而得出了小波的优势。 关键词：数字图像处理；小波变换；空域分析 1.引言 随着信息技术的发展计算机技术的引入大大加快了人类文明的进程，信息科学发展的千年的历史里遇到了前所未有的机遇。自然界充斥着各种各样的大量有用的信号怎样被人类所应用成了一个问题，通过模数转换我们得到了有效的数字信号但是同时也带来了各种各样的问题，比如信息量太大，数字信号的压缩就成了问题，对于噪声的抑制与信号的恢复技术同时也包括对于数字信号各种各样的运算。 同样的问题也出现在数字图像信号当中，比如数字图像存储就成了问题，对于不通数字频率在图像的信号我们怎样去提取以及对于图像中噪声信号的干扰的抑制。这都成了数字图像处理当中的问题。 后来人类发现好多传统理论并不能很好的解决这些新的数字图像当中的问题了，当这些传统的理论受到限制的时候。随着数学领域的不断发展人们找到了一种新的思考方法即小波变换，在不同频率尺度上进行缩放可以考察到信号频率的每一个细节，对于不通的频率赋值不通的小波系数采取不通的解决方式，通常被人们称作“数学显微镜”。 因此研究小波理论在数字图像处理的应用有着不可忽视的重要意义。 2 概述 2.1图形、图像概述 图像是二维或三维景物（万事万物）呈现在人心目中的影象。现实世界中图形跟图像信息无处不在，我们的视觉范围可及的部分呈现在人类眼睛视觉的感知都是图形跟图像信息，但是值得注意的是现实世界中的图形或者图像信息都是模拟量，我们清楚的知道计算机是没办法处理模拟信号的，因此把自然界的模拟信号变成数字信号就是我们要做的第一件事情。 把数字图像输入到计算机时人们可以通过计算机来处理这些数字信号[1]，得到自己希望得到的结果或者是数据。比如一个高噪声的图像数据直观上人们看不清楚这幅图片但是经过数字图像处理实验四图像几何变换
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