高考数学玩转压轴题专题3.1复杂数列的通项公式求解问题
专题3.1 复杂数列的通项公式求解问题
一．方法综述
数列的通项公式是数列高考中的热点问题，求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数阵（数表）问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为n a 形式的数列通项公式问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略
类型一 数阵（数表）中涉及到的数列通项公式问题
【例1】【2017安徽马鞍山二模】如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为____．
【答案】12
【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列，先从第一行入手求出第一行数组成的数列),2,1(1??=j A j 的通项公式，再把第一行的数当成首项，再次根据等差数列这一性质求出第j 数列组成的数列),2,1(??=i A ij ，最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.
2.数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要
明确“行”与“列”的概念.横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标ij a 进行表示，其中i 代表行，j 代表列.例如：34a 表示第3行第4列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n 行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列.
【举一反三】【2017江西瑞昌二中第二次段考】把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2015n a =，则n =__________．
【答案】1030
类型二 点列问题中涉及到的数列通项公式问题 【例2】已知点1122(1,),(2,),,(,),n n A y A y A n y L L
顺次为直线11
412
y x =
+
上的点，点1122(,0),(,0),,(,0),n n B x B x B x L L 顺次为x 轴上的点，其中1(01)x a a =<<.对于任意*n N ∈，点
1,,n n n B A B +构成以n A 为顶点的等腰三角形.则数列{}n x 的通项公式为
____________.
【答案】,(1,(n n a n x n a n -?=?+-?
为偶数）
为奇数）
【指点迷津】对于点列问题，要根据图像上点与点之间的关系，以及平面几何知识加以分析，找出关系式即可，本题是直线上的点列，已知点列n A 的通项公式，求点列n B 的通项公式，并研究等腰三角形是否为特殊的等腰直角三角形.
【举一反三】在直角坐标平面中，已知点列111,2A ?
?-
???，2212,2A ?? ???
，3313,2A ??- ???，…，1,(1)2n n n A n ??- ???，…，其中n 是正整数.连接12A A 的直线与x 轴交于点()11,0B x ，连接23A A 的直线与x 轴交于点()22,0B x ，…，连接1n n A A +的直线与x 轴交于点(),0n n B x ，….则数列{}n x 的通项公式为___________.
【解析】直线1n n A A +的斜率为11
121(1)(1)3(1)222n n n n n n k ++++---=-=， 所以111
(1)3(1):()22n n n n n n A A y x n +++-?--=-，2
3
n x n =+. 【答案】23
n x n =+
类型三 函数问题中涉及到的数列通项公式问题
【例3】【全国名校大联考2017-2018年度高三第三次联考】设函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对于任意正数,x y 有()()()f xy f x f y =+，已知112f ??
=-
???
，若一个各项均为正数的数列{}n a 满足
()()()()
*11n n n f S f a f a n N =++-∈，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 中第18项18a =
（ ） A.
1
36
B. 9
C. 18
D. 36
【答案】C
【指点迷津】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前n 项和之间的关系以及公式()12n n n a S S n -=-≥的应用，属于难题.已知n S 求n a 的一般步骤：
（1）当1n =时，由11a S =求1a 的值；（2）当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式；（3）检验1a 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示n a ；（4）写出n a 的完整表达式.
【举一反三】【北京西城35中2017届高三上学期期中数学】已知()112F x f x ?
?
=+
- ???
是R 上的奇函数， ()()()
*
12101n n a f f f f f n N n n n -??????=+++++∈ ? ? ???????
L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）
． A. n a n = B. 2n a n = C. 1n a n =+ D. 2
23n a n n =-+
【解析】∵()112F x f x ??=+
- ???是奇函数，∴11022F F ????+-= ? ?????，令12x =， ()1112F f ??=- ???
， 令12x =-
， ()1012F f ??
-=- ???
，∴()()012f f +=，∴()()1012a f f =+=，
令112x n =
-，∴11112F f n n ????-=- ? ?????，令112x n =-，∴11112n F f n n -????-=- ? ?????
， ∵1111022F F n n ????
-+-=
? ?????
，∴112n f f n n -????
+= ? ?????
，同理可得222n f f n n -??
??+= ? ???
??
，
332n f f n n -????
+= ? ?
????
，∴1221(n n a n n N n +-=+?=+∈）， 故选C 【答案】C
类型四 由复杂递推公式求解数列通项公式问题
【例4】【重庆市第一中学2018届高三上学期第一次月考】我们把满足
的数列
叫做牛顿数
列，已知函数，且数列
为牛顿数列，设，则（ ）
A.
B.
C. D.
【答案】C
【指点迷津】对于复杂的递推公式，关键是进行化简和变形，适当的时候需要换元，本题通过题意，可求
得 即数列{a n }是以2为公比的等比数列，又
a 1=2，利用等比数列的通项公式即可求得答案．
【举一反三】【辽宁省大连市旅顺中学、旅顺第二高级中学、大连市第三中学2018届高三第二次联考】设
数列{}n a 中， 1122
2,,11
n n n n n a a a b a a ++==
=+-， *n N ∈，则数列{}n b 的通项公式为__________． 【解析】1112
2
21242
22211111
n n n n n n n n n n a a a a b b a a a a ++++++++=
===?=--+--+， 所以2q =， 12b =，所以1
2n n b +=.
【答案】12n +
类型五 两边夹问题中的数列通项公式问题
【例5】【2017届浙江省杭州地区（含周边）重点中学联考】设数列{}n a 满足12
3
a =
，且对任意的*n N ∈，满足22n n n a a +-≤， 452n
n n a a +-≥?,则2017a =_________
【答案】2017
23
【答案】2017
23
【指点迷津】解题的关键是要通过所给的不等关系找到数列的项的特征，即452n
n n a a +-=?，然后经过恰
当的变形，将求2017a 的问题转化为数列求和的问题去处理，对于求和问题要把握准数列的公比和数列的项数，这是比较容易出现错误的地方.
【举一反三】【福建省莆田第六中学2017届高三下学期第一次模拟】已知各项都为整数的数列{}n a 中，
12a =，且对任意的*N n ∈，满足1n n a a +-< 1
22
n +
， 2n n a a +- 321n >?-，则2017a =__________． 【答案】2017
2
类型六 下标为n a 形式的数列通项公式问题
【例6】【浙江省湖州、衢州、丽水三市2017届高三4月联考】已知等差数列{}n a ，等比数列{}n b 的公比为()
*,q n q N ∈，设{}n a ， {}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ．若21n n q T S +=，则n a __________． 【答案】21n a n =-
【解析】()21112
22n n n d d S na d n a n -??=+
=+- ??
?， ()
1111111n n n b q b b
T q q q q -==-?---，
因为21n n q T S +=，所以
2211111122n n n b b d d q q a q q q ?
?-?+=+- ?--?
?，这是关于n 的恒等式，所以1
11101{0212
b q
d
a b d q +=--=-=-，解得12{1d a ==，所以()12121n a n n =+-=-．
【指点迷津】本题要求等差数列的通项公式，既没有首项也没有公差，有的只是等差数列与等比数列的一个关系21n n q T S +=，这是一个关于正整数n 的恒等式，因此我们可把等差数列与等比数列的前n 项用基本
量表示，并化已知等式为n
q 的恒等式，利用恒等式的知识求解1,a d ． 【举一反三】【2018届安徽皖江名校联盟12月份联考改编】等差数列和等比数列
的各项均为正整数，
且
的前项和为，数列
是公比为16的等比数列，
.则}{n b 的通项公式____________.
【答案】14-=n n b
三．强化训练
1．【山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次（12月）联考】已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比如3242549,15,23a a a ===，，，，若,2017i j a =，则
i j +=（ ）
A. 64
B. 65
C. 71
D. 72 【答案】D
【解析】奇数数列2120171009n a n n =-=?=，即2017为底1009个奇数.
按照蛇形排列，第1行到第i 行末共有()1122
i i i ++++=
L 个奇数,则第1行到第44行末共有990个奇数；
第1行到第45行末共有1035个奇数；则2017位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2017位于第45行，从右到左第19列，则45,2772i j i j ==?+=，故选D.
2.【湖南省衡阳县2018届高三12月联考】在数列{}n a 中， ()()()112141n
n n n na n a n n +-+=+++，且
11a =，记2
2
i
n
i n i a T i =+=∑，则（ ）
A. 19T 能被41整除
B. 19T 能被43整除
C. 19T 能被51整除
D. 19T 能被57整除 【答案】A
3.【”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷】已知数列{}n a 满足*
1*
,2{ ,2
n n n n
a d N a n
qa N ++?=∈（q 为非零常数），若{}n a 为等比数列，且首项为()0a a ≠，公比为q ，则{}n a 的通项公式为（ ）
A. n a a =或1
n n a q -= B. ()
1
1n n a a -=- C. n a a =或()
1
1n n a a -=- D. 1n n a q -=
【答案】C
4.【浙江省湖州市2017届高三联考】对任意的n∈N *
，数列{a n }满足21cos 3n a n ≤
﹣且22
sin 3
n a n +≤，则a n 等于（ ） A.
22sin 3n - B. 22sin 3n - C. 21cos 3n - D. 21
cos 3
n + 【答案】A 【
解
析
】
∵
21
cos 3
n a n ≤
﹣且
22sin 3n a n +≤
，∴2211
cos 33
n n a cos n -≤≤+， 2222sin sin 33n n a n --≤≤-+，即2251cos cos 33n n a n -≤≤-，∴2212
cos sin 33
n a n n =-=-，故选A.
5.【2016届河北省衡水中学高三下学期猜题】已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足对任意的*
n N ∈，都
有12n n n a a +-≤，232n n n a a +-≥?成立，则2014a =（ ） A ．2014
2
1- B ．201421+ C ．201521- D ．201521+
【答案】A. 【解析】
试题分析：∵12n n n a a +-≤，∴1212n n n a a +++-≤，两式相加，可得122232n n n
n n a a ++-≤+=?，
又∵232n n n a a +-≥?，∴需232n n n a a +-=?，等号成立的条件为：12n n n a a +-=， ∴2n ≥时，1
1
12111(21)
()()2212121
n n n n n n a a a a a a --?-=-+???+-+=+???++==--，
∴2014201421a =-，故选A.
6.【湖北省武汉市2017届高三四月调研】已知数列{}n a 满足11a =， 21
3
a =
，若()()
*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=?≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（ ）
A.
112
n - B. 121n - C. 113n - D. 1
121
n -+ 【答案】B
7.【九江市2017年第三次高考模拟统一考试】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数: 1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：前两个数均为 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列.则()88
22
1
1
1
i i i i i a a a
++==-=∑∑（ ）
A. 0
B. 1-
C. 1
D. 2 【答案】A
【解析】由题意，得222
1322433541211,1341,2591a a a a a a a a a -=?-=-=?-=--=?-=，
2
22
465
8109
38251,,2155341a a a a a a -=?-=-???-=?-=-，所以()88
22111
0i i i i i a a a ++==-=∑∑；故选A.
6．8.【天津市第一中学2018届高三上学期第二次月考改编】已知数列{}n a 满足22,{
2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数
，
且*
12,1,2n N a a ∈==.则{}n a 的通项公式__________.
【答案】()()
2
{
2
n n n n a n ∴=为奇数为偶数
9. 【2016届西藏日喀则一中高三下学期二模改编】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
21111,n n n a S S a ++=+=，数列{}n b 满足13n a n n b b +?=，且11b =.则{}n b 的通项公式__________.
【答案】()
()
122
3
{
3
n n n n b n -=为奇数为偶数
【解析】∵
，①
()212n n n S S a n -+=≥，②
①－②得：
2211n n n n a a a a +++=-，
∴()()1110n n n n a a a a +++--=， ∵
，∴10n n a a ++≠，
∴()11,2n n a a n +-=≥ 又由
得
，即22220a
a --=，∴222,1a a ==-（舍去）.
∴211a a -=，
∴{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴n a n =. 又∵13
n
a n n
b b +?=③
()1132n n n b b n --?=≥④
③
④
得：
又由，可求，
故是首项为1，公比为3的等比数列，是首项为3，公比为3的等比数列.
∴11
212
3,333
n n n
n n
b b
--
-
==?=.
∴
()
()
1
2
2
3
{
3
n
n n
n
b
n
-
=
为奇数
为偶数
.
10.【湖北省黄石市第三中学（稳派教育）2018届高三阶段性检测】下表给出一个“三角形数阵”：
1
8
1
4
，
1
8
3
8
，
3
16
，
3
32
……
已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等.记第i行第j列
的数为
i j
a
-
，则（1）
83
a
-
=_________；（2）前20行中
1
4
这个数共出现了________次．
【答案】
1
4
4
11.【2017届吉林省吉林市普通中学高三毕业班第二次调研测试】艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列.
如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列，设，已知，，则的通项公式__________．
【答案】
12.【2017届河南郑州一中网校高三入学测试】设数列{}n a是首项为0的递增数列，
()()[]*11
sin
,,,n n n n f x x a x a a n N n
+=-∈∈，满足：对于任意的[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为_________ 【答案】()12
n n n a π
-=
数列专题训练包括通项公式求法和前n项和求法 的方法和习题
数列专题 1、数列的通项公式与前n 项的和的关系 11, 1,2 n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ). 2、等差数列的通项公式 *11(1)() n a a n d dn a d n N =+-=+-∈； 3、等差数列其前n 项和公式为 1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-. 4、等比数列的通项公式 1*11()n n n a a a q q n N q -== ?∈； 5、等比数列前n 项的和公式为 11 (1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=? 或 11,11,1 n n a a q q q s na q -?≠? -=??=?. 常用数列不等式证明中的裂项形式: （1）( 1111n n =-+n(n+1)1111 ()1 k n k =-+n(n+k);
(2) 211111()1211 k k k <=---+2k (3)211111111(1)(1)1k k k k k k k k k - =<<=-++-- (4) 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ??=- ??+++++?? ; (5) ()()11 1!!1! n n n n =- ++ (6) = < <=1(1)n n >+) 一.数列的通项公式的求法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 例．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列， 2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =， 即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=? ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①
数列通项公式的求法(较全)
常见数列通项公式的求法 公式： 1、 定义法 若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.
2、 累加法 形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=， 以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.
求数列通项公式专题典型例题精校版
数列的通项公式专题 题型一【积差求商】形如1 1++?=-n n n n a ka a a 例1：已知数列}{n a 满足112++?=-n n n n a a a a ，且2 11=a ，求数列}{n a 的通项公式.变式训练1：已知数列}{n a 满足113++?=-n n n n a a a a ，且911=a ，求数列}{n a 的通项公式.变式训练2：已知数列}{n a 满足113++?=-n n n n a a a a ，且21=a ，求数列}{n a 的通项公式.题型二【n a 与n S 】 例2：已知数列}{n a 的前n 项和22+=n S n ，求数列}{n a 的通项公式.
变式训练1：已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足1)1(log 2+=+n S n ，求数列}{n a 的通项公式.变式训练2：已知数列}{n a 的前n 和为n S ，21=a ，且)1(1++=+n n S na n n ，求n a .变式训练3：已知数列}{n a 的前n 和为n S ，且满足21),2(,0211=≥=?+-a n S S a n n n ，求n a ．变式训练4：已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足2)1(4 1+=n n a S 且0>n a ，求}{n a 通项公式．变式训练5：数列{}n a 满足11154,3 n n n a S S a ++=+=，求n a .
题型三【累加法】形如已知1a 且()1n n a a f n +-=(()f n 为可求和的数列)的形式均可用累加法。例3：已知数列}{n a ，且21=a ，n a a n n =-+1，求通项公式n a .变式训练1：已知数列}{n a 满足21=a ，231++=+n a a n n ，求}{n a 的通项公式.变式训练2：已知数列}{n a ，且21=a ，n n n a a 21+=+，求通项公式n a .变式训练3：数列{}n a 中已知11=a ,3231+++=+n a a n n n ,求{}n a 的通项公式.
数列通项公式方法大全很经典
1，数列通项公式的十种求法： （1）公式法（构造公式法） 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-= ，故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 （2）累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出 11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。 变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 （3）累乘法 例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
数列求通项公式及求和9种方法
数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－ 1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通 项公式．
（二）.累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比 数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥， 1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-??
(完整版)求数列通项公式常用的七种方法
求数列通项公式常用的七种方法 一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解. 例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式. 分析：设数列{}n a 的公差为d ，则???-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =12-n 而111-==s a 不适合上式，() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +，其中11=a ，求n a . 分析：Θ 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 341=+n n a a ()2≥n 又1123 1 31a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥? ? ? ??==-23431112n n a n n 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与1 -n s 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就 可以用这种方法. 例4： ()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a 分析：Θ 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n Λ ()2≥n 又01=a ，所以()2 1-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()2 1-=n a n ( )* ∈N n 五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 例5：111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析：Q 11 n n n a a n -= - ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈ 故3241123123411231 n n n a a a a n a a n a a a a n -===-g g g g L g g g g L g () 2,n n N *≥∈ 而11a =也适合上式，所以() n a n n N *=∈ 六、构造法： ㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是 关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法: 一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+ 则()11n n a ka k m -=+- 而1n n a ka b -=+ ∴()1b k m =- 即1b m k = - 故111n n b b a k a k k -? ?+=+ ?--? ?
数列的通项公式练习题通项式考试专题
数列的通项公式练习题通项式考试专题 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.
数列求和公式练习 1、 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=， 5313 a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ?? ????的前n 项和n S ． 2、(){213}.n n n -?求数列前项和 3、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S .（Ⅰ）求n a 及 n S ；（Ⅱ）令2 1 1 n n b a = -（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T . 4、已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4。（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1*(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S 5、等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数 (0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值；（2）当b=2时，记 1 ()4n n n b n N a ++= ∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T 6、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列 {}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； 7、已知数列{n a }满足：}{,2)32()12(3121n n n b n a n a a 数列+?-=-+++ 的前n 项和 n n n n W n b a n n S 项和的前求数列}{.222?-+=.
数列通项公式求法大全(配练习及答案)
数列通项公式的几种求法 注：一道题中往往会同时用到几种方法求解，要学会灵活运用。 一、公式法 二、累加法 三、累乘法 四、构造法 五、倒数法 六、递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a = （七）、对数变换法 （当通项公式中含幂指数时适用） （八）、迭代法 （九）、数学归纳法 已知数列的类型 一、公式法 *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 1 *11()n n n a a a q q n N q -== ?∈ 已知递推公式 二、累加法 )(1n f a a n n +=+ （1）()f n d = （2）()f n n = （3）()2n f n =
例 1 已知数列{} n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2n a n = 例 2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3 1.n n a n =+-） 三、累乘法 n n a n f a )(1=+ （1）()f n d = （2）()f n n =， 1 n n +，2n 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 （(1)1 2 32 5 !.n n n n a n --=???） 评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+?转化为 1 2(1)5n n n a n a +=+，进而求出 13211221 n n n n a a a a a a a a a ---?????L ，即得数列{}n a 的通项公式。 例4 （20XX 年全国I 第15题，原题是填空题） 已知数列{}n a 满足112311 23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式。（! .2 n n a = ） 评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为 1 1(2)n n a n n a +=+≥，进而求出 132122 n n n n a a a a a a a ---????L ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
数列专题五构造法求通项公式
1.已知数列{a n}中，a1 =1，a n+1＝2a n＋4，,求数列{a n}的通项公式。 2.已知数列{a n}中，a1 =1，a n+1＝3a n＋4n＋1,求数列{a n}的通项公式。 3.已知数列{a n}中，a1 =1，3a n a n+1+2a n+1- a n＝0, 求数列{a n}的通项公式。4．[2012·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列． (1)求a1的值； (2)求数列{a n}的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有1 a1＋1 a2＋…＋ 1 a n< 3 2.
5.2010全国(20)设数列满足且 . （1）求的通项公式； (Ⅱ)设. 6.2011广东20. 设数列满足, (1)求数列的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n,. {}n a 10a =111111n n a a +-=--{}n a 1,1n n n k n k b b S == =<∑记S 证明：0,b >{}n a 111=,(2)22 n n n nba a b a n a n --= ≥+-{}n a 1 112 n n n b a ++≤+
7.（2010全国）已知数列{}n a 中，1111,n n a a c a +==- . （Ⅰ）设51,22 n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 . 8． [2012·全国卷] 函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)、Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标． (1)证明：2≤x n 求数列通项公式专题练习 1、 设n S 就是等差数列}{n a 得前n 项与,已知 331S 与441S 得等差中项就是1,而551S 就是331S 与44 1 S 得等比中项,求数列}{n a 得通项公式 2、已知数列{}n a 中,3 1 1= a ,前n 项与n S 与n a 得关系就是 n n a n n S )12(-= ,试求通项公式n a 。 3、已知数列{}n a 中,11=a ,前n 项与n S 与通项n a 满足)2,(,1 222 ≥∈-=n N n S S a n n n ,求通项n a 得表达式、 4、在数列｛n a ｝中,1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ,求n a 得表达式。 5、已知数}{n a 得递推关系为43 2 1+=+n n a a ,且11=a 求通项n a 。 6、已知数列{}a n 得前n 项与S n b n n =+()1,其中{}b n 就是首项为1,公差为2得等差数列,数列{}a n 得通项公式 7、已知等差数列{a n }得首项a 1 = 1,公差d > 0,且第二项、第五项、第十四项分别就是等比数列{b n }得第二项、第三项、第四项. (Ⅰ)求数列{a n }与{b n }得通项公式;lTsK3。 8、已知数列}{n a 得前n 项与为n S ,且满足322-=+n a S n n )(* N n ∈.(Ⅰ)求数列}{n a 得通项公式; 9、设数列{}n a 满足2 1 123333 3 n n n a a a a -++++= …,n ∈* N .(Ⅰ)求数列{}n a 得通项; 10、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，,求数列}a {n 得通项公式。 11、 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+?+=+，,求数列}a {n 得通项公式。 数列求与公式练习 1、 设{}n a 就是等差数列,{}n b 就是各项都为正数得等比数列,且111a b ==,3521a b +=,5313a b += (Ⅰ)求{}n a ,{}n b 得通项公式;(Ⅱ)求数列n n a b ?? ???? 得前n 项与n S . 2、(){213}.n n n -?求数列前项和 3、已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=、{}n a 得前n 项与为n S 、(Ⅰ)求n a 及n S ;(Ⅱ)令2 1 1 n n b a =-(n N +∈),求数列{}n b 得前n 项与n T 、 4、已知等差数列{}n a 得前3项与为6,前8项与为-4。(Ⅰ)求数列{}n a 得通项公式; (Ⅱ)设1* (4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈,求数列{}n b 得前n 项与n S 5、等比数列{n a }得前n 项与为n S , 已知对任意得n N + ∈ ,点(,)n n S ,均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为 常数)得图像上、(1)求r 得值;(2)当b=2时,记 1 ()4n n n b n N a ++= ∈ 求数列{}n b 得前n 项与n T lJ30p 。 2010届高考数学快速提升成绩题型训练 ——数列求通项公式 在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 已知数列{}n a 中，3 1 1= a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。 已知数}{n a 的递推关系为43 2 1+= +n n a a ，且11=a 求通项n a 。 在数列{}n a 中，11=a ,22=a ，n n n a a a 313212+=++，求n a 。 已知数列｛n a ｝中11=a 且1 1+=+n n n a a a （N n ∈），，求数列的通项公式。 已知数列{}a n 的前n 项和S n b n n =+()1，其中{}b n 是首项为1，公差为2的等差数列. （1）求数列{}a n 的通项公式； 已知等差数列{a n }的首项a 1 = 1，公差d > 0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项． （Ⅰ）求数列{a n }与{b n }的通项公式； 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足 322-=+n a S n n )(*N n ∈． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； 设数列{}n a 满足2 1 123333 3 n n n a a a a -++++= …，n ∈* N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； 已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，1 n n n b a a +=（*n ∈N ），且{}n b 是以q 为公比的等比数列． （I ）证明：22n n a a q +=； （II ）若2122n n n c a a -=+，证明数列{}n c 是等比数列； 1. 设数列{a n }的前项的和S n = 3 1（a n -1） (n * ∈N )． (Ⅰ)求a 1；a 2； (Ⅱ)求证数列{a n }为等比数列． 3. 已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为 '()62f x x =-，数列{}n a 的 前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； 7. 已知数列{}n a 的前n 项和S n 满足2(1),1n n n S a n =+-≥． (Ⅰ)写出数列{}n a 的前3项;,,321a a a (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式． 8. 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ?+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。 9. 已知数列}a {n 满足1a 1 n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。 10. 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 11. 已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 【高考地位】 在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。 【方法点评】 方法一 数学归纳法 解题模板：第一步 求出数列的前几项，并猜想出数列的通项； 第二步 使用数学归纳法证明通项公式是成立的. 例1 若数列{}n a 的前n 项和为n s ，且方程2 0n n x a x a --=有一个根为n s －1，n=1,2,3.. (1) 求12,a a ；（2）猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法证明 【解析】（1）1211 ,26 a a = = （2）第一步，求出数列的前几项，并猜想出数列的通项； 由2(1)(1)0n n n n S a S a ----=知2 210n n n n S S a S -+-= 1(2)n n n a S S n -=-≥代入2210n n n n S S a S -+-= 1210n n n S S S --+=(2)n ≥………（*） 第二步，使用数学归纳法证明通项公式是成立的.学&科网 【变式演练1】已知数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。，求数列错误!未找到引用源。的通项公式。 错误!未找 到引用源。错误!未找到引用源。 由此可知，当错误!未找到引用源。时等式也成立。 根据（1），（2）可知，等式对任何错误!未找到引用源。都成立。 方法二 n S 法 使用情景：已知错误!未找到引用源。()()n n n S f a S f n ==或 解题模板：第一步 利用n S 满足条件p ，写出当2n ≥时，1n S -的表达式； 第二步 利用1(2)n n n a S S n -=-≥，求出n a 或者转化为n a 的递推公式的形式； 第三步 根据11a S =求出1a ，并代入{}n a 的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式或根据1a 和{}n a 的递推公式求出n a . 例2 在数列{}n a 中，已知其前n 项和为23n n S =+，则n a =__________． 【答案】1 5,1 { 2,2 n n n a n -==≥ 【解析】第一步，利用n S 满足条件p ，写出当2n ≥时，1n S -的表达式； 当2n ≥时，321 1+=--n n s ； 公式法求通项公式（退位相减法） 1、数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：2*2()n S n n n N =+∈，求{}n a 的通项公式。【12+=n a n 】 2、数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：2 * 22()n S n n n N =++∈，求{}n a 的通项公式。【1 ,52,12{=≥+=n n n n a 】 3、数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：*21()3n n S a n N =-∈，求{}n a 的通项公式。【1)5 2 (53-=n n a 】 4、数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足： * 53()n n a S n N =-∈，求{}n a 的通项公式。【1 3144n n a -?? =?- ? ?? 】 5、数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：11a =，*121()n n a S n N +=+∈，求{}n a 的通项公式。【13n n a -=】 6、数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：11a =，*13()n n a S n N +=∈， 求{}n a 的通项公式。【21,134,2n n n a n -=?=??≥? 】 7、数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：11a =，*11 ()3 n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式。 【21,114,233n n n a n -=?? =????≥ ???? ?】 8、数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：11a =，* 1343()n n a S n N ++=∈， 求{}n a 的通项公式。【1 13n n a -?? =- ??? 】 9、数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：0n a >，()2 *11()4 n n S a n N = +∈， 求{}n a 的通项公式。【21n a n =-】 10、数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足： *1()n a n N =+∈，求{}n a 的通项公式。【21n a n =-】 11、数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：0n a >，()()*1 12()6 n n n S a a n N =++∈，求{}n a 的通项公式。【3132n n a n or a n =-=-】 12、数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：0n a > *2 ()2n a n N +=∈，求{}n a 的通项公式。【42n a n =-】 13、数列{} n a 的前n 项和n S ，且满足：12 9 a =，1(2)n n n a S S n -=≥，求{}n a 的通项公式。 【2,194,2 (112)(132) n n a n n n ? =?? =??≥--??】 14、数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：11 2 a = ，120(2)n n n a S S n -+=≥，求{}n a 的通项公式 数列专题1：求数列的通项公式 一、观察法 例1、用观察法写出下列数列的一个通项公式： （1）1，6，15，28，45，… （2）5，55，555，5555，55555，… （3）1，2+3，3+4+5，4+5+6+7，5+6+7+8+9，… （4）21，65-，1211，2019-，30 29 ，… 二、由n S 求n a （作差法） 给出数列{}n a 的前n 项和为n S 或1+n S 与n S 的递推关系，或者给出数列{}n a 的前n 项和 n S 与n a 的递推关系，求通项n a 型一：2 111 ≥=?? ?-=-n n S S S a n n n 【法一】“1--n n S S ”代入消元消n a ； 【法二】写多一项，作差消元消n S ． 【注意】检验1=n 的值，若1a 的值适合n a 的表达式，应把1a 合并到n a 中去，否则应 写成分段形式． 型二：??? ??≥==-)2( ) 1( 1 1n T T n T a n n n 【法一】“ 1 -n n T T ”代入消元消n a ， 【法二】写多一项，作商消元消n T . 例2、（1）若)1(21+-=+n n S n n ，求n a ； （2）若11=a ，)(12 3 *1N n S S n n ∈+=+，求n a ． 【变式2】设数列{}n a 的前n 项和为n S （1）若)(3*2N n n n S n ∈-=，求n a ． （2）若n n a S 31+=（* N n ∈），0≠n a ，求n a ． 三、累加、类乘法 型一：)(1n f a a n n =--或)(1n f a a n n +=+，用累加法求通项公式 ) 1()2()2()1(1223211f a a f a a n f a a n f a a n n n n +=+=-+=-+=--- ? 的情况 检验，1) () 1()2()2()1(21 1 11=+=-+-++++=≥∑-=n i f a n f n f f f a a n n i n 型二： )(1 n f a a n n =-或n n a n f a )(1=+，用累乘法求通项公式 )1()2()2()1(1 223211f f n f n f a a a a a a a a n n n n ???-?-=????--- 1)1()2()2()1(,2a f f n f n f a n n ????-?-=≥ 检验1=n 的情况 ? 1． 观察法（求出a1、a2、a3，然后找规律） 即归纳推理，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，然后利用数学归纳法加以证明即可。 例1.设11=a ，)(222 1*+∈++-= N n b a a a n n n ，若1=b ，求32,a a 及数列}{n a 的通项公式． 解：由题意可知：11111+-==a ， 112212212 12+-==++-=a a a ， 113121222223+-=+=++-=a a a . 因此猜想11+-=n a n . 下面用数学归纳法证明上式． （1）当n ＝1时，结论显然成立． （2）假设当n ＝k 时结论成立，即11+-=k a k . (3)则11)1(11)1(11)1(12222 1+-+=++-=++-=++-=+k k a a a a k k k k ， 即当n ＝k ＋1时结论也成立． 由（1）、（2）可知，对于一切正整数n ，都有)(11* ∈+-=N n n a n ．（最后一句总结很重要） 2．定义法（已知数列为等差或者等比） 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。 例2.已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=，求{}n a 的通项公式。 解：设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=，所以2d =. 又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+(1,2,)n = . 3．公式法 若已知数列的前n 项和与的关系，求数列的通项可用公式 求解。（一定要讨论n=1，n≥2） 例3.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23 3.n n S =+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式。 解：（Ⅰ）由 233n n S =+ 可得：当1=n 时， 111(33)32 a S == +=， 当2≥n 时，11111(33)(33)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=+-+=≥ 而 11133a -=≠， 所以 13,1,3, 1.n n n a n -=?=?>? 4．累加法 当递推公式为)(1n f a a n n +=+时，通常解法是把原递推公式转化为。 例4.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列{a n }的前10项和为 解：由题意得： 112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- 12)1(+++-+= n n 2 )1(+=n n 5．累乘法 当递推公式为)(1n f a a n n =+时，通常解法是把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 n s n a {}n a n a 1()n n a a f n +-= 龙文教育-------您值得信赖的专业化个性化辅导学校 龙文教育个性化辅导授课教案 教师： 学生： 时间： 年 月 日 段 课题：数列的通项公式 教学目标：掌握数列通项公式的求法 教学重难点：构造等差等比数列 一、教学内容： 一、利用{ 1(2) 1(1) n n S S n S n n a --≥== 例1．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数 2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式； 解： 22(1) 4 231 a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--……2分 当1,35811n T b ===--=-时 当2,62 6 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分 练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2) 当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3 2．设数列{}n a 的前n 项的和 1 4122 333 n n n S a += - ?+ ，1,2,3,n = （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ； （Ⅱ）设2 n n n T S = ，1,2,3,n = ，证明：1 32 n i i T =< ∑ 解：（I ） 2 11141223 3 3 a S a == - ?+ ，解得：2a = 专题3.1 复杂数列的通项公式求解问题 一．方法综述 数列的通项公式是数列高考中的热点问题，求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数阵（数表）问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为n a 形式的数列通项公式问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略 类型一 数阵（数表）中涉及到的数列通项公式问题 【例1】【2017安徽马鞍山二模】如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为____． 【答案】12 【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列，先从第一行入手求出第一行数组成的数列),2,1(1??=j A j 的通项公式，再把第一行的数当成首项，再次根据等差数列这一性质求出第j 数列组成的数列),2,1(??=i A ij ，最后根据整数解方程的解法列举所有解即可. 2.数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要 明确“行”与“列”的概念.横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标ij a 进行表示，其中i 代表行，j 代表列.例如：34a 表示第3行第4列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n 行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列. 【举一反三】【2017江西瑞昌二中第二次段考】把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2015n a =，则n =__________． 【答案】1030 类型二 点列问题中涉及到的数列通项公式问题 【例2】已知点1122(1,),(2,),,(,),n n A y A y A n y L L 顺次为直线11 412 y x = + 上的点，点1122(,0),(,0),,(,0),n n B x B x B x L L 顺次为x 轴上的点，其中1(01)x a a =<<.对于任意*n N ∈，点数列的通项公式练习题(通项式考试专题)
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