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解三角形(正弦定理、余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案

解三角形

【考纲说明】

1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题

【知识梳理】

一、正弦定理

1、正弦定理：在△ABC 中，R C

B b A a 2sin sin sin ===（R 为△AB

C 外接圆半径）。 2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b c

A B C R R R

== （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）

2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C

++====++.

3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC

abc S ah ab C ac B bc A R A B C R

?====== 4、正弦定理可解决两类问题：

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）二、余弦定理

1、余弦定理：A bc c b a cos 22

-+=?bc

c b A 2cos 2

-+=

B ac a c b cos 22

-+=?ca

b a

c B 2cos 2

-+=

C ab b a c cos 22

-+=?ab

c b a C 2cos 2

22-+=

2、余弦定理可以解决的问题：

北

东

h i l

（1）已知三边，求三个角；（解唯一）

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：

（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.

图1 图2 图3 图4

2、方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图2）. 3、方向角

相对于某一正方向的水平角（如图3）.

4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）

【经典例题】

1、（2012天津理）在ABC ?中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =（）

A ．

B ．725

C ．725

D ．

2425

【答案】A 【解析】

85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，

所以8sin 10sin cos B B B =，易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525

B B

C B B ≠∴=

==-=. 2、（2009广东文）已知ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==

75A ∠=，则b =

α 北

东

南

西 B

目标

( )

A ．2

B ．4

＋ C ．4

— D

【答案】 A

【解析】0

sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304

A ==+=+=

由a c ==

可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2

B =

由正弦定理得1

sin 2sin 2a

b B A

?==,故选A

3、（2011浙江）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=( )

A ．-

12 B ．1

C ． -1

D ． 1 【答案】D

【解析】∵B b A a sin cos =，∴B A A 2

sin cos sin =，

∴1cos sin cos cos sin 2

=+=+B B B A A .

4、（2012福建文）在ABC ?中,

已知60,45,BAC ABC BC ∠=?∠=?=则AC =_______.

【解析】由正弦定理得

sin 45AC AC =?=?

5、（2011北京）在ABC 中，若1

5,,sin 43

b B A π

=∠=

=，则a = . 【答案】

5 【解析】：由正弦定理得

sin sin a b A B =又1

5,,sin 43b B A π=∠==

所以5,13sin 34

a a π==6、（2012重庆理）设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a

c ,且35

cos ,cos ,3,513

A B b ===则c =______ 【答案】14

c =

【解析】由35412cos ,cos sin ,sin 513513

A B A B =

=?==, 由正弦定理sin sin a b A B

得43sin 13512sin 513

b A a B ?

===, 由余弦定理2222142cos 25905605

a c

b b

c A c c c =+-?-+=?=

7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.

己知sin csin sin sin a A C C b B +=. （I ）求B ；（Ⅱ）若0

75,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I

）由正弦定理得222

a c

b +=

由余弦定理得2

22cos b a c ac B =+-.

故cos 2

B =

，因此45B = （II ）sin sin(3045)A =+sin30cos 45cos30sin 45=

故sin 1sin A a b B =?

==+ sin sin 6026sin sin 45

C c b B =?

=?=8、（2012江西文）△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为

a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.

（1）求cosA;

（2）若a=3,△ABC 的面积为求b,c.

【解析】（1） 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()1

1cos()3B C B C B C B C B C B C A π+-=??-=-??

+=-??

?-=-

则1cos 3A =. （2）由（1）得sin A =

,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理 2222291

cos 2123

b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②,

①②两式联立可得32b a =???=??或3

a b =???=??.

9、（2011安徽）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=

3，b=2，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.

【解析】：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ，又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=，即12cos 0A -=，1

cos 2

A =

，又0°

在△ABC 中，由正弦定理

sin sin a b A B

=得sin 2sin 602sin 3b A B a ===，

又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°， ∴BC 边上的高AD ＝AC·sinC 2752sin(4530)=

2(sin 45cos30cos 45sin 30)=+

232131

)2+==10、（2012辽宁理）在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.

（I ）求cos B 的值;

（Ⅱ）边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值. 【解析】（I ）由已知1

2,,,cos 3

B A

C A B C B B π

π=+++=∴=

（Ⅱ）解法一：2

b a

c =，由正弦定理得2

3sin sin sin 4

A C

B ==

，解法二：222222

1,cos 222a c b a c ac b ac B ac ac

+-+-====，由此得22

a b ac ac +-=，得a c =

所以3,sin sin 3

A B C A C π

===

【课堂练习】

1、（2012广东文）在ABC ?中,若60A ∠=?,45B ∠=?,BC =,则AC =（）

A ．

B ．

D 2、（2011四川）在△ABC 中，222

sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（）

A ．(0,]6

B ．[,)6

C ．(0,]3

D ．[,)3

3、（2012陕西理）在ABC ?中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（）

A B C ．12 D ．1

- 4、（2012陕西）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2222c b a =+，则C cos 的最小

值为（） A ．

B ．

2 C ．

D ．21-

5、（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===则sin C 的值为( )

A ．

3 B ．6 C ．3 D ．6

6、（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a

（）

A ．

B ．

D 7、（2012湖北文）设ABC ?的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且

A B C >>,320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为（）

A ．4∶3∶2

B ．5∶6∶7

C ．5∶4∶3

D ．6∶5∶4

8、（2011上海）在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若0

75,60CAB CBA ∠=∠=，则A C 两点之间的距

离是千米。

9、（2012重庆文）设△ABC 的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且1

cos 4

a b C ==1，=2，,则sin B =____ 10、（2012北京文）在△ABC 中,若3a =,3b =,3

A π

∠=

,则C ∠的大小为___________.

11、（2012陕西文）在三角形ABC 中,角A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=6

,c=23,则b=______

12、（2012北京理）在△ABC 中,若2a =,7b c +=,1

cos 4

B =-

,则b =___________. 13、已知△ABC 得三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为_________. 14、如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？

15、（2009安徽理）在?ABC 中，sin()1C A -=, sinB=

. （I ）求sinA 的值；

（II ）设AC=6，求?ABC 的面积.

16、（2012安徽文）设ABC ?的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ,且有2sin cos sin cos cos sin B A A C A C =+

（Ⅰ）求角A 的大小;

（II ）若2b =,1c =,D 为BC 的中点,求AD 的长.

17、（2011江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6sin(A A =+

求A 的值；

（2）若c b A 3,3

cos ==，求C sin 的值.

18、（2012天津文）在ABC ?中,内角,,A B C 所对的分别是,,a b c .已知2

2,2,cos 4

a c A ===-

. （I ）求sin C 和b 的值; （II ）求cos(2)3

A π

的值.

19、（2010陕西）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()

533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，

30? 45? 75?

C D 15?

其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？

20、我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知 6000CD =米，45ACD ∠=?，75ADC ∠=?，目标出现于地面点B 处时，测得30BCD ∠=?，15BDC ∠=?（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）.

【课后作业】

1、（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12

cot 5

A =-

，则cos A = ( ) A ．1213 B ．513 C ． 513- D ． 1213

2、（2009全国卷Ⅱ理）已知ABC ?中，12

cot 5

A =-，则cos A = ( )

A. 1213

B.513

C.513-

D. 1213

3、（2012湖南文）在△ABC 中,BC=2,B =60°,则BC 边上的高等于（）

A B C D 4、在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B ·sin C ，则角A 等于（） A ． π3

B ．

2π3

C ．

3π4

D ．

5π

5、在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状是（） A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

6、在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于 ( )

A ．1∶5∶6

B ．6∶5∶1

C ．6∶1∶5

D ．不确定 7、（2009湖南文）在锐角ABC ?中，1,2,BC B A ==则

cos AC

的值等于，AC 的取值范围为 . 8、（2012湖北理）设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_________. 9、在△ABC 中，已知c ＝10 2 ，C ＝60°，a ＝2033，则∠A ＝ .

10、在△ABC 中，已知三边满足（a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，则∠C 等于 . 11、在△ABC 中，若 a 2b 2 ＝tan A

tan B

，则△ABC 是 .

12、在△ABC 中，已知B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，那么此三角形的最大边的长是 .

13、在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝ 3 sin A sin C

，求B 的度数.

14、如图，在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB .

15、（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知2

2a c b -=，且

sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b.

16、（2009浙江理）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25

cos 2A =，3AB AC ?=．（I ）求ABC ?的面积；（II ）若6b c +=，求a 的值．

17、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 依次成等差数列，又三边a 、b 、c 依次成等比数列，求证：该三角形为正三

角形.

18、（2011山东）在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c a

B b

--=

，（Ⅰ）求

sin sin C A 的值；（Ⅱ）若1

cos ,24

B b ==，求AB

C ?的面积S 。 19、某观测站C 在目标A 南偏西25?方向，从A 出发有一条南偏东35?走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的B 处有一人正沿此公路向A 走去，

走20千米到达D ，此时测得CD 距离为21千米，求此人所在D 处距A 还有多少千米？

20、飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速度为 180km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为'

1830?，经过120秒后又看到山顶的俯角为81?，求山顶的海拔高度（精确到1m ）.

35?

25?

东

北

A B D

【参考答案】

【课堂练习】

1-7、BCCCD DD

10、

π 11、2 12、4

13、4

14、10 2 km

15、sin 3A =

，

ABC

S =

16、,3

A AD π

17、1

,sin 33

A C π

18、sin C ，1b = cos(2)3A π+= 19、需要1小时

20、【课后作业】 1-6、DDBBDA 7、2，)3,2( 8、

π 9、45° 10、60°

11、等腰或直角三角形 12、5 2 13、B ＝150° 14、562

15、40(b b ==或舍）

16、1

sin 22ABC S bc A ?∴=

=，

a ∴=17、证法一：∵A 、B 、C 成等差数列，则2B ＝A ＋C ，

又A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°，∴B ＝60°，再由a 、b 、c 成等比数列，可得b 2＝ac ，因此用余弦定理

b 2＝a 2＋

c 2－2ac cos B ，∴ac ＝a 2＋c 2－2ac ·1

2 ，

即（a －c ）2＝0，∴a ＝c ，A ＝C 又B ＝60°，∴△ABC 为正三角形.

18、

sin 2sin C

=，S =19、15千米 20、18130m

(完整版)必修五正余弦定理习题练习

必修五正余弦定理习题练习一．选择题（共5小题） 1．（2015?秦安县一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（） A．B．C．D． 2．（2016?太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（） A．B．C． D． 3．（2016?大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（） A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（2016?宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C． D．或 5．（2014?新课标II）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．1 二．填空题（共6小题） 6．（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为______． 7．（2015?重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=______． 8．（2015?广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=______． 9．（2015?北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=______．10．（2015?安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=______．11．（2013?福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为______．

动量冲量和动量定理典型例题精析

动量、冲量和动量定理·典型例题精析 [例题1]质量为m的物体，在倾角为θ的光滑斜面上由静止开始下滑．如图7－1所示．求在时间t内物体所受的重力、斜面支持力以及合外力给物体的冲量． [思路点拨]依冲量的定义，一恒力的冲量大小等于这力大小与力作用时间的乘积，方向与这力的方向一致．所以物体所受各恒力的冲量可依定义求出．而依动量定理，物体在一段时间t内的动量变化量等于物体所受的合外力冲量，故合外力给物体的冲量又可依动量定理求出． [解题过程]依冲量的定义，重力对物体的冲量大小为 I G＝mg·t，方向竖直向下．斜面对物体的支持力的冲量大小为 I N＝N·t＝mg·cosθ·t，

方向垂直斜面向上．合外力对物体的冲量可分别用下列三种方法求出． (1)先根据平行四边形法则求出合外力，再依定义求出其冲量．由图7－1(2)知，作用于物体上的合力大小为F＝mg·sinθ，方向沿斜面向下．所以合外力的冲量大小 I F＝F·t＝mg·sinθ·t．方向沿斜面向下． (2)合外力的冲量等于各外力冲量的矢量和，先求出各外力的冲量，然后依矢量合成的平行四边形法则求出合外力的冲量．利用前面求出的重力及支持力冲量，由图7－1(3)知合外力冲量大小为方向沿斜面向下．

或建立平面直角坐标系如图7－1(4)，由正交分解法求出．先分别求出合外力冲量I F在x，y方向上分量I Fx，I Fy，再将其合成． (3)由动量定理，合外力的冲量I F等于物体的动量变化量Δp． I F=Δp=Δmv=mΔv=m(at)=mgsinθ·t． [小结] (1)计算冲量必须明确计算的是哪一力在哪一段时间内对物体的冲量． (2)冲量是矢量，求某一力的冲量除应给出其大小，还应给出其方向． (3)本题解提供了三种不同的计算合外力冲量的方法．

高中数学必备知识点正弦与余弦定理和公式

三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？首先，我们要了解下正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域：（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径）其次，余弦的应用领域余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径）（4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1．在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为 2．已知α为锐角，且，则α的度数是（） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是（） A．75° B．90° C．105° D．120° 4．若∠A为锐角，且，则A=（） A．15° B．30° C．45° D．60° 5.在△ABC中，AB＝AC＝2，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝，E是AC中点， EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。

正余弦定理练习题(答案)

1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) D ．26 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 C ．2 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) 或 3 或3 2 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) B ．2 C. 3 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π 3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝43 3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．

必修五解三角形正弦定理和余弦定理

学案正弦定理和余弦定理导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．自主梳理 1．三角形的有关性质 (1)在△ABC中，A＋B＋C＝________； (2)a＋b____c，a－bb?sin A____sin B?A____B； (4)三角形面积公式：S△ABC＝1 2ah＝ 1 2ab sin C＝ 1 2ac sin B＝_________________； (5)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B?A＝B或________________?三角形为等腰或直角三角形； sin(A＋B)＝sin C，sin A＋B 2＝cos C 2. 自我检测 1．(2010·上海)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC() A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 2．(2010·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A等于() A．30°B．60°C．120°D．150° 3．(2011·烟台模拟)在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为3，则边a的值为() A．27 B.21 C.13 D．3

4．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2， sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________． 5．(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3 ，则a ＝________. 探究点一正弦定理的应用例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c . 变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝13 ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________； (2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 探究点二余弦定理的应用例2 (2011·咸宁月考)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－ b 2＝a c . (1)求角B 的大小； (2)若c ＝3a ，求tan A 的值．变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3 ，b ＝13，a ＋c ＝4，求a . 探究点三正、余弦定理的综合应用例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C . (1)证明：B ＝C ； (2)若cos A ＝－13 ，求sin ????4B ＋π3的值． 1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用． 2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求

三角函数正弦定理和余弦定理

(文）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- . (1)若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c = 2，角ΔABC 的面积 . 答案：证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v Q 即22a b a b R R ? =? ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b =. ABC ∴?为等腰三角形（2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v 即 a b ab ∴+= 由余弦定理可知， 2 2 2 4()3a b ab a b ab =+-=+- 2()340ab ab --=即4(1)ab ab ∴==-舍去. 11 sin 4sin 223 S ab C π ∴==??= 来源：09年高考上海卷题型：解答题，难度：中档

(文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。（Ⅱ）求)4 2sin(π - A 的值。答案：（1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理， A BC C AB sin sin = ，于是522sin sin ===BC A BC C AB （2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC AB BC AC AB A ?-+=2cos 2 22 于是A A 2cos 1sin -== 5 5，从而5 3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-== =A A A A A A 10 2 4 sin 2cos 4 cos 2sin )4 2sin(= -=- π π π A A A 来源：09年高考江西卷题型：解答题，难度：容易在⊿ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且

正余弦定理练习题(答案)

正弦定理 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A. 6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.32 3 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.1 4 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34 C.32或 3 D.34或32 8．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π 3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝43 3 ，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为 110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？ 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2 ，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝3 5， sin B ＝ 10 10 .(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．

正弦定理余弦定理解三角形

第一篇正弦定理和余弦定理【知识清单】一、三角形有关性质（1）在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；a ＋b >c ，a －b b ?sin A >sin B ?A >B ；（2）三角形面积公式：S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝1 2ac sin B ＝1sin 2 bc A ；（3）在三角形中有：sin 2A ＝sin 2B ?A ＝B 或2 A B π += ?三角形为等腰或直角三角形； sin(A ＋B )＝sin C ，()cos cos A B C +=-，sin A ＋ B 2＝cos C 2 . 定理正弦定理余弦定理内容 2sin sin sin a b c R A B C === 2222sin a b c bc A =+- 2222sin b a c ac B =+- 222 2sin c a b ab C =+- 变形形式 ①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =； ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =； ③::c sin :sin :sin a b A B C =； ④sin sin +sin sin a b c a A B C A ++=+. 222cos 2b c a A bc +-=； 222cos 2a c b B ac +-= ； 222cos 2a b c C ab +-= 解决的问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角． ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 三、解斜三角形的类型（1）已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解；（2）已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC ?中， A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 sin a b A < sin a b A = sin b A a b << a b ≥ a b > 解个数无解一解两解一解一解上表中，为锐角，时，无解；为钝角或直角时，或均无解.

动量定理与动量守恒定律·典型例题解析

动量定理与动量守恒定律·典型例题解析【例1】在光滑的水平面上有一质量为2m 的盒子，盒子中间有一质量为m 的物体，如图55－1所示．物体与盒底间的动摩擦因数为μ现给物体以水平速度v 0向右运动，当它刚好与盒子右壁相碰时，速度减为 v 02 ，物体与盒子右壁相碰后即粘在右壁上，求： (1)物体在盒内滑行的时间； (2)物体与盒子右壁相碰过程中对盒子的冲量．解析：(1)对物体在盒内滑行的时间内应用动量定理得：－μmgt ＝ m mv t 0·－，＝v v g 0022 (2)物体与盒子右壁相碰前及相碰过程中系统的总动量都守恒，设碰撞前瞬时盒子的速度为，则：＝＋＝＋．解得＝，＝．所以碰撞过程中物体给盒子的冲量由动量定理得＝－＝，方向向右． v mv m v 22mv (m 2m)v v v I 2mv 2mv mv /61001212210v v 0043 点拨：分清不同的物理过程所遵循的相应物理规律是解题的关键．【例2】如图55－2所示，质量均为M 的小车A 、B ，B 车上挂有质量为的金属球，球相对车静止，若两车以相等的速率M 4 C C B 1.8m/s 在光滑的水平面上相向运动，相碰后连在一起，则碰撞刚结束时小车的速度多大？C 球摆到最高点时C 球的速度多大？解析：两车相碰过程由于作用时间很短，C 球没有参与两车在水平方向的相互作用．对两车组成的系统，由动量守恒定律得(以向左为正)：Mv －Mv ＝

2Mv 1两车相碰后速度v 1＝0，这时C 球的速度仍为v ，向左，接着C 球向左上方摆动与两车发生相互作用，到达最高点时和两车具有共同的速度，对和两车组成的系统，水平方向动量守恒，＝＋＋，解得＝＝，方向向左．v C v (M M )v v v 0.2m /s 222M M 4419 点拨：两车相碰的过程，由于作用时间很短，可认为各物都没有发生位移，因而C 球的悬线不偏离竖直方向，不可能跟B 车发生水平方向的相互作用．在C 球上摆的过程中，作用时间较长，悬线偏离竖直方向，与两车发生相互作用使两车在水平方向的动量改变，这时只有将C 球和两车作为系统，水平方向的总动量才守恒．【例3】如图55－3所示，质量为m 的人站在质量为M 的小车的右端，处于静止状态．已知车的长度为L ，则当人走到小车的左端时，小车将沿光滑的水平面向右移动多少距离？点拨：将人和车作为系统，动量守恒，设车向右移动的距离为s ，则人向左移动的距离为L －s ，取向右为正方向，根据动量守恒定律可得M ·s －m(L －s)＝0，从而可解得s ．注意在用位移表示动量守恒时，各位移都是相对地面的，并在选定正方向后位移有正、负之分．参考答案例例跟踪反馈．．．；；．×·3 m M +m L 4 M +m M H [] 1 C 2h 300v 49.110N s 04M m M 【例4】如图55－4所示，气球的质量为M 离地的高度为H ，在气球下方有一质量为m 的人拉住系在气球上不计质量的软绳，人和气球恰悬浮在空中处于静止状态，现人沿软绳下滑到达地面时软绳的下端恰离开地面，求软绳的长度．

三角函数之正余弦定理

教师寄语：天才=1％的灵感+99％的血汗 1 戴氏教育中高考名校冲刺教育中心【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！！！】主管签字：________ §3.6 正弦定理和余弦定理一、考点、热点回顾 2014会这样考 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．复习备考要这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．基础知识.自主学习 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r . 4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数一解两解一解一解