角的相关概念-教师版
角的定义
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.
角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．
定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.
(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知：
⑴角的组成部分为：两条边和一个顶点； ⑵顶点是这两条边的交点；
⑶角的两条边是射线，是无限延伸的.
⑷射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.
角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
一、角的表示方法
① 利用三个大写字母来表示，如图1.1．
角的相关概念
知识回顾
知识讲解
注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1.2．
注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有
且只有一个．
③ 用数字来表示角，如图2.1．
④ 用希腊字母来表示角，如图2.2．
二、单位换算
1度＝60分(160?=') 1分=60秒(160'=") 三、角的度量
（1） 度量角的工具常用量角器
∠AOB
图1.1
O
B
A ∠A
图1.2
A
∠1
图2.1
1
∠α
图2.2
α
同步课程˙角的相关概念
用量角器注意：对中（顶点对中心）．重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）．读数（读出
角的另一边所在线的度数）
（2） 角的度量单位及其换算
角的度量单位是度．分．秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1?．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''． 角度之间的关系
1周角=360? 1平角＝180? 1直角＝90? 1周角＝2平角 1平角＝2直角
（3） 角的分类：
锐角α（090α<
四、两角的和．差．倍．分
（1）两角的和．差．倍．分的度数等于它们的度数的和．差．倍．分. （2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. （3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法
在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR ，折线使射线QR 与射线QP 重合，把纸展开，以Q 为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR 的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR ？
五、用尺规做已知角的平分线方法
作法：
（1）以O 点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A B 、两点； （2）分别以A ．B 两点为圆心，以大于1
2
AB 长为半径画弧，画弧交于C 点； （3）过C 点作射线OC 。
所以，射线OC 就是所求作的。
O
C
B
A
六、余角．补角
（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”. （2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”. （3）补角．余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等. 七、 方位角
方位角一般以正北．正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东??度”．“北偏西??度”．“南偏东
??度”．
“南偏西??度”，方位角α的取值范围0
900≤≤α.“北偏东45度”为东北方向．“北偏西45度”西北方向．“南偏东45度”为东南方向．“南偏西45度”为西南方向.
八、 钟表角度问题
时针12小时转动360度，每小时转动30度； 分针60分钟转动360度，每分钟转动6度。 秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度。
【例1】 角是由有 的两条射线组成的图形，两条射线的 是这个角的顶点，角也可以看成
是由一条射线 ．
【解析】略
【答案】公共端点 公共端点 绕端点旋转而得到的图形
【例2】 下列语句正确的是（ ）
①角的大小与边的长短无关。
②如果一个角能用一个大写字母A 表示，那么以A 为顶点的角只有一个 ③如果一个角能表示为1∠，那么以1∠顶点为顶点的角只有一个。 ④两条射线组成的图形叫做角
A ①．②
B ①．③
C ①．④
D ②．③
【解析】略 【答案】A
【例3】 如图，角的顶点是 ，边是 ，
用三种方法表示该角分别为 ．
同步练习
【解析】略
【答案】O ；OA ，OB ；AOB ∠，α∠，O ∠．
【巩固1】 在右图中，角的表示方法正确的是（ ）
A ．A ∠
B ．B ∠
C ．C ∠
D ．D ∠
【解析】本题考查用一个大写英文字母表示角，本题选B ． 【答案】B
【巩固2】 如图，以B 为顶点的角共有几个?请把它们写出来，以D 为顶点的角呢?
【解析】略
【答案】以B 为顶点的角有3个：ABE ∠，ABC ∠，EBC ∠
以D 为顶点的角有4个：ADE ∠，ADB ∠，BDC ∠，CDE ∠
【例4】 下图中，以A 为顶点的角是_________。有一边与射线FD 在同一条直线上的角有__________
个。
αB
A
O
D C
E
B
A
【解析】按照约定，我们讨论的角都是小于平角的角。
【答案】以A为顶点的角有：BAE BAD EAD
∠∠∠
，，；
一边与射线FD在同一条直线上的角有10个
【例5】判断
（）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角．
（）用2倍的放大镜看30?的角，这个角就变成了60?．
（）由两条射线组成的图形叫做角．
（）延长一个角的两边．
（）平角就是一条直线；周角就是一条射线．
【解析】略
【答案】×；×；×；×；×．
一、角的分类
【例6】下列语句正确的是（）
A．平角就是一条直线B．周角就是一条射线
C．小于平角的角是钝角D．一周角等于四个直角【解析】答题时首先理解角的概念，然后对各选项进行判断．【答案】平角是一个点和两条射线组成，故A错误，
角度和射线不是同一个概念，故B错误，
小于平角的角不一定是钝角，故C错误，
一周角等于360°，一直角等于90°，故D正确，
故选D．
【点评】本题主要考查角的概念，不是很难．
H
G
F
E
D
C
B
A
【例7】 如图，图中包含小于平角的角的个数有（ ）
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
【解析】根据三角形的性质及平角的概念结合图形解答．
【答案】图中角除∠BDC 为平角外，∠B ．∠C ．∠BAD ．∠BAC ．∠DAC ．∠BDA ．∠CDA 均为小
于180°的角．共七个．故选D ．
【点评】先利用三角形的性质，确定三角形的每个内角都小于180°，再根据角的定义数出角的个数即
可．但要注意顶点为A 的角有3个．
【例8】 如图，∠AOB 是平角，则图中小于平角的角共有（ ）
A ．4个
B ．7个
C ．9个
D ．10个
【解析】当AO 为角的一边时，有3个角；以OC 为角的一边向右再找小于平角的角，依次类推得到所
有小于平角的角．
【答案】小于平角的角为：∠AOC ．∠AOD ．∠AOE ．∠COD ．∠COE ．∠COB ．∠DOE ．∠DOB ．∠
EOB 共9个，故选C ．
【点评】应有规律去寻找角的个数，注意各条射线为角的始边依次向右寻找相关角．
【例9】 如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（ ）
D C
B
A
A ．10个
B ．15个
C ．20个
D ．25个
【解析】找到以每一个字母为顶点的角，若该顶点处有多个角，则必须用三个大写字母表示． 【答案】在该题中，以A 、B 、D 、E 为顶点的角有五个，且该顶点处只有一个小于180度的角，可用
一个大写字母表示；以F 、G 、H 、M 、N 为顶点的角各有四个，共计4×5=20个，而该顶点处只有三个小于180度角，只能用三个大写字母表示．故选C ．
【点评】此题不仅考查了对角的概念的掌握，还考查了数角的方法：找准角的顶点，统计出该顶点处的
所有角，做到不漏数．不多数．
【例10】如图，∠CAE =90°，锐角有（ ）个，钝角至少有（ ）个．
A ．4，3
B ．3，2
C ．6，3
D ．4，2
【解析】根据直角．锐角．钝角的概念来解．∠CAE =90°，通过角的运算，得出结果． 【答案】∵∠CAE =90°，∴∠F AB +∠BAC =90°，∠CAD +∠DAE =90°，
∴∠F AB ＜90°，∠BAC ＜90°，∠CAD ＜90°，∠DAE ＜90°，锐角有四个， ∴∠F AD ＞90°，∠BAE ＞90°，故钝角至少有两个，∠BAD 不能确定．故选D ．
【点评】本题关键是要做到不重复不遗漏的数出角的数量，同时一定要注意∠BAD 不能确定，故不能
计算在内．
二、 角度的换算及运算
【例11】（1）32.43__________'''?=?
（2）654312_____'''?=?
【解析】（1）首先在第一个空上填上32，然后计算(32.4332)0.43?-?=?，0.430.436025.8''?=?=，
25.8250.8'''-=，0.86048''''?=32.43322548'''?=?
H
N
M F G E
D C
B
A
（2）这是如何把度分秒形式的度数转化成小数的形式，12600.2'''÷=，430.243.2'''+=，
43.2600.72'÷=?，65431265.72'''?=?．
【答案】（1）322548'''?；（2）65.72?
【巩固】（1）51492421________''?+?=；（2）39412445__________''?-?=；
（3）2313423_________'''??=；（4）12134________'?÷=．
【解析】（1）5149242175707610''''?+?=?=?；（2）394124453810124451456'''''?-?=?-?=?；
（3）231342369416''''''??=?； （4）121343315''''?÷=?
【答案】（1）7610'?；（2）1456'?；（3）69416'''?；（4）3315'''? 【例12】（1）2020'4______??=。（2）4437'3______?÷= 【解析】（1）原式8080'8120'=?=?
（2）先将度．分．秒的量数都化成3的倍数：
4437'42237'47156'1'47156'60''1452'20''?=?+?=?++=?++=?
【答案】（1）8120'?；（2）1452'20''?
【巩固】（1）77423445______''?+?=； （2）108185623_______''?-?=；
（3） 180(34542133)_______''?-?+?=；（4）23295837______'''?+?=； （5）513932532______''''?-?=； （6） 135********______''??+?÷= （7）57.32_________'''?=?； （8） 122342_______'''?=?
【解析】（1）7742344511227'''?+?=?； （2）1081856235155'''?-?=?；
（3）180(34542133)12333'''?-?+?=?；（4）23295837812937''''''?+?=?； （5）513932532193328'''''''?-?=?； （6）13533157435731136'''''??+?÷=?； （7） 57.3257 19 12'''?=?； （8）12234212.395'''?=?
【答案】（1）11227'?；（2）5155'?；（3）12333'?；（4）812937'''?；
（5）193328'''?；（6）731136'''?；（7）57 19 12'''?（8）12.395?
【例13】在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（ ）个
A ．4个
B ．7个
C ．11个
D ．16个
【解析】用一对普通的三角板能确定度数的最小角为604515?-?=?，而其它角都是15?的倍数．所以在
小
于
平
角
的
范
围
内
，
能
画
出
确
定
度
数
的
角
有
153045607590105120135150165???????????，，，，，，，，，，共11个，故选C ．
【答案】C
【例14】如右图，AOB 是直线，1:2:31:3:2∠∠∠=，求DOB ∠的度数．
【解析】设1x ∠=，23x ∠=，32x ∠=，根据题意有32180x x x ++=?，30x =?，120DOB ∠=?． 【答案】120?
三、 余角和补角
【例15】如图，OE AB ⊥于O ，OF OD ⊥，OB 平分DOC ∠，则图中与AOF ∠互余的角有______个；
互补的角有_________对；
【解析】3；2
由题意可知90AOF FOE ∠+∠=?，所以与AOF ∠互余的角必与FOE ∠相等。 由题中条件可知FOE ∠=BOD BOC ∠=∠，所以余角有3个；
AOF ∠的补角为,EOB ∠所以与AOF ∠互补的角必与EOB ∠相等。
【答案】3；2
【例16】如下图，A ，O ，B 在一条直线上，AOC ∠是锐角，则AOC ∠的余角是（ ）
A ．12BOC AOC ∠-∠
B ．13
22BOC AOC ∠-∠
C ．1()2BOC AOC ∠-∠
D ．1
()3
BOC AOC ∠+∠
F
E
D
C
B A
O
A
B
C
O
同步课程˙角的相关概念
【解析】选C ．111
90()()222AOC AOB AOC AOC BOC AOC BOC AOC ?-∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠-∠
【答案】C
【例17】一个角和它的余角的比是5:4，则这个角的补角是 【解析】设这个角为α，则根据题意可知有
5
904
α
α=?-，
解得50α=?， 所以它的补角为18050130?-?=?。
【答案】130?
【例18】一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，求这个锐角的度数．
【解析】设这个锐角为x 度，根据题意可列方程：1
(90)(180)1802x x x +?-+?-=?，得60x =?．
【答案】60?
【例19】如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大60?，求这个角的余角度数． 【解析】设这个角为x ，则它的补角和余角分别为180x ?-和90x ?-，
(180)(90)[(180)(90)]60x x x x ?-+?--?--?-=?，所以60x =?，
所以这个角的余角的度数为30?
【答案】30?
【巩固】一个角a 与50?角之和的
1
7
等于65?角的余角，求a ． 【解析】1
(50)90657a +?=?-?，125a =?．
【答案】125?
【巩固】已知α的余角是β的补角的13
，并且3
2βα=，试求αβ+的度数．
【解析】根据题意可得：190(180)3αβ-=?-，1303αβ-=，
且3
2βα=，60,90,150αβαβ==+=（度）． 【答案】150?
【例20】已知两角互补，试说明：较小角的余角等于两角差的一半。 【解析】略
【答案】设两角分别为()αβαβ<，
，则180αβ+=?． ∴较小角的余角()()111
90180222
αααβαβα?-=??-=+-=-
∴原结论成立。
四、角平分线
【例21】从一个角的顶点出发，把它分成两个角的直线叫做这个角的平分线．（填“正确”或“错误”）【解析】根据角平分线的定义可知，此话是错误的．
【答案】根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把它分成相等两个角的射线叫做这个角的平分线。
答案为错误．
【点评】主要考查了角平分线的定义．定义：从一个角的顶点出发，把它分成相等两个角的射线叫做这个角的平分线．
【例22】如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（）
A．35°B．55°C．70°D．110°
【解析】利用角平分线的定义和补角的定义求解．
【答案】OE平分∠COB，若∠EOB=55°，∴∠BOC=55+55=110°，∴∠BOD=180﹣110=70°．故选C．【点评】本题考查了角平分线和补角的定义．
【例23】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=80°，则∠AOE的度数是（）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【解析】根据角平分线的定义计算．
【答案】∵∠BOC=80°，∴∠AOD=∠BOC=80度．∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠AOD=×80°=40度．
故填A．
【点评】角的平分线是中考命题的热点，常与其他几何知识综合考查．
【例24】如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为∠ABE的平分线，则∠CBD=（）
A．80°B．90°C．100°D．70°
【解析】利用角平分线的性质和平角的定义计算．
【答案】因为将顶点A折叠落在A′处，所以∠ABC=∠A′BC，又因为BD为∠ABE的平分线，所以∠ABD=∠DBE，因为∠ABC+∠A′BC+∠ABD+∠DBE=180°，所以∠CBD=90°．故选B．
【点评】本题是角平分线性质及平角的性质的应用．
【例25】如图，BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠A=44°，那么∠BDC的度数为（）
A．68°B．112°C．121°D．136°
【解析】BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，且∠A=44°，根据三角形内角和定理结合角平分线定义，即可得出∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB），在△BDC中，根据三角形内角和定理
即可得出∠BDC．
【答案】根据题意，BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠A=44°，
所以有∠CAD+∠DCA=（∠ABC+∠ACB）=68°，在△BCD中，即有∠CAD+∠DCA=68°，所以∠BDC=180°﹣68°=112°．故选B．
【点评】本题主要考查的是三角形的内角和定理和三角形的角平分线定理．
【例26】下列说法正确的是（）
A．两点之间直线最短
B．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大
同步课程˙角的相关概念
C ．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线
D ．直线l 经过点A ，那么点A 在直线l 上
【解析】分别判断每个选项的正确性，注意直线是没有长度的． 【答案】（1）对于A 选项，直线没长度，故A 错误．
（2）放大镜能够把一个图形放大，不能够把一个角的度数放大，故B 错误． （3）对于C 选项，没有提到所分角的相等，故C 错误． （4）直线过A 点，则A 一定在直线上． 综上可得只有D 正确．故选D ．
【点评】本题考查线段和直线的知识，属于基础题，关键在于掌握直线和线段的定义．
五、 方位角
【例27】 下面图形中，表示北偏东60?的是（ ）
【解析】略 【答案】C
【例1】 下列说法不正确的是（ ）
A ．OA 方向是北偏东30?
B ．OB 方向是北偏西15?
C ．OC 方向是南偏西25?
D ．OD 方向是东南方向
【解析】略 【答案】A ．
【例28】 如图，平面内有两点A B ，
（1）分别画出点A 处北偏东70?的方向和点B 处北偏西40?的方向． （2）点A 位于B 的什么方向（精确到1?）
60?
A
东
西
北南
60?B
东
西
北
南60?
C 东
西
北南60?
D
东
西
北
南O 北西
南
东25?
75?45?30?D C
B
A
同步课程˙角的相关概念
【解析】略
【答案】（1）如图，射线AC 表示点A 处北偏东70?的方向，射线BD 表示点B 处北偏西40?方向。
（2）如图，连接AB ，测得34α∠≈?，所以点A 位于点B 南偏西45?方向．
【例29】如图，A 、B 、C 、D 是北京奥运会场馆分布图，请结合图形回答问题．
为了方便指明每个场馆的位置，以天安门为中心（即点O 的位置）建立了位置指示图，直线CO
DE 相交于O ，90COD ∠=?，请按要求完成下列问题：
①若在图上测得20mm OA =，54mm OB =，36BOC AOE ∠=∠=?，则可知场馆B 的位置是北偏西36?，据中心54mm ，可简记为（54mm ，北偏西36?）．据此方法，场馆A 的位置可简记为（_________，________）． ②可求得BOA ∠=________；
③在现有的图形中（不增加新的字母），AOD ∠与_____________是互补的角．
【解析】略
【答案】①20mm ，北偏东54?；②90?；③AOE ∠，BOC ∠．
六、 共定点角的相关计算
B
A
D
C
α
70°40°
B A
E
A
O B
D
东
西北南
C
同步课程˙角的相关概念
【例30】如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF 使COE ∠和BOE ∠互
余，射线OF 和OD 分别平分COE ∠和BOE ∠，求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠．
【解析】略
【答案】COE ∠和BOE ∠互余，所以90AOC BOC ∠=∠=?
111
222
DOF EOF EOD EOC BOE BOC ∠=∠+∠=∠+∠=∠
AOF BOD AOC EOF BOD ∠+∠=∠+∠+∠3BOC EOF EOD DOF =∠+∠+∠=∠
【巩固】如图，直线AB ，CD 相交于点O ，作DOE BOD ∠=∠，OF 平分AOE ∠，若28AOC ∠=?，求EOF ∠．
【解析】28AOC DOE BOD ∠=∠=∠=?，
(1802828)262EOF ∠=?-?-?÷=?．
【答案】62?
【例31】如图所示，80AOB ∠=?，OC 是AOB ∠内部的任意一条射线，若OD 平分BOC ∠，OE 平分
AOC ∠，试求DOE ∠的度数．
【解析】因为OD 是BOC ∠的平分线，所以1
2
DOC BOC ∠=∠，
同理可得1
2
COE COA ∠=∠
所以DOE DOC COE ∠=∠+∠11
22
BOC COA =∠+∠
A
B
C D
E
O 图2
F E
B E
D
C B
A
O
11()22BOC COA AOB =∠+∠=∠1
80402
=??=?． 【答案】040
【例32】如图，ACB ∠是一个平角DCE ACD ∠-∠ECF DCE =∠-∠FCG ECF =∠-∠
GCB FCG =∠-∠10=?，求GCB ∠的度数．
【解析】设ACD x ∠=，则有：10DCE x ∠=+?，20ECF x ∠=+?，30FCG x ∠=+?，40GCB x ∠=+?．
所以5100180x +?=?，16x =?，56GCB ∠=?
【答案】56?
【例33】已知：如图，OC 是AOB ∠外的一条射线，OE 平分AOC ∠．OF 平分BOC ∠．
①若100AOC ∠=?，40BOC ∠=?， 问：?EOF ∠= ②若AOB n ∠=?，求EOF ∠的度数并说明理由．
【解析】略
【答案】①∵OE 平分AOC ∠，OF 平分BOC ∠（已知）
∴12EOC AOC ∠=∠， 1
2FOC BOC ∠=∠（角平分线定义）
∵100AOC ∠=?，40BOC ∠=?（已知）
∴1100502EOC ∠=??=?， 1
40202FOC ∠=??=?（等量代换）
∵502030EOF EOC FOC ∠=∠-∠=?-??＝（等量代换）
G
A
B C D E 图2F
O
C F
E B
A
②∵OE 平分AOC ∠（已知） ∴AOE EOC ∠=∠（角平分线定义） ∵EOC EOB BOF FOC ∠=∠+∠+∠
∴AOE EOB BOF FOC ∠=∠+∠+∠（等量代换） ∵OF 平分BOC ∠（已知） ∴BOF FOC ∠=∠（角平分线定义） ∵AOB AOE EOB ∠=∠+∠
∴2AOB EOB BOF EOB ∠=∠+∠+∠ 2AOB BOF EOB ∠=∠+∠（）
（等量代换） ∵EOB BOF EOF ∠+∠=∠，AOB n ∠=?（已知）
∴11
22EOF AOB n ∠=∠=?（等量代换）
即：1
2
EOF n ∠=?
【例34】BOC ∠为AOC ∠外的一个锐角，射线OM ．ON 分别平分AOC ∠．BOC ∠．
（1）90AOB ∠=°，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；
（2）AOB α∠=，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；
（3）90AOB ∠=°，BOC β∠=，还能否求出MON ∠的度数吗？若能，求出其值，若不能，说明理由．
（4）从前三问的结果你发现了什么规律？
【解析】略
【答案】（1）900602
MON ∠=
=°+3?
°；
（2）302MON α+∠=； （3）90
2
MON β+∠=
；（4）2
AOB BOC
MON ∠+∠∠=
.
【例35】已知：OA ．OB ．OC 是从点O 引出的三条射线85AOB ∠=?，4136'BOC ∠=?，求AOC ∠.
C N
B M
A
O
【解析】注意分情况讨论，容易的到答案：4324'?或12636'?. 【答案】4324'?或12636'?
【例2】 已知一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 与OC ，使60AOB ∠=?，20BOC ∠=?，求A O C
∠的度数.
【解析】 注意分类讨论，为80?或40?. 【答案】80?或40?
【例36】已知,αβ都是钝角，计算
()1
+6
αβ，正确的结果只可能是（ ） A ．26? B ．40? C ．72? D ．90?
【解析】根据题意9018090180αβ?<
∴()1
30606
αβ?<+
【巩固】α．β．γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算
1
()15
αβγ++的值时，有三位同学分别算出了23?．24?．25?这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案，求αβγ++的值．
【解析】00909090180αβγ++<++<++ 1
6()2415αβγ<++<
所以23?答案正确． 【答案】23?
【例37】在同一平面内有射线OA OB OC OD ，，，平分BOC ∠，AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5?，
10AOD ∠=?，求AOC ∠的度数.
【解析】因为AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5?，所以AOC ∠小于AOB ∠；
（1）射线OC 在AOB ∠的外部，如图（1），设 ,AOC x AOB y ∠=∠=，根据题意有 325
1
()102
x y x y x -=??
?+-=??， 解得：4565x y =??=?
，即45AOC ∠=?
（2）射线OC 在AOB ∠的内部，如图（2），设AOC x AOB y ∠=∠=，，根据题意有
325
1
()102
x y x y x -=??
?++=??，解得：911x y =??=?，即9AOC ∠=?
【答案】45?或9?
【例38】以AOB ∠的顶点O 为端点引射线OC ，使得:5:4AOC BOC ∠∠=，且AOC ∠，BOC ∠均小于
180?，若30AOB ∠=?，求AOC ∠的度数.
【解析】如图（1），52
30(16)1640'93
AOC ∠=??=?=?；
如图（2），530150A O C ∠=??=?
如图（3），51
(36030)(183)18320'18093
AOC ∠=??-?=?=?>?，舍去
【答案】1640'?或150?
七、
钟表角度问题
【例39】从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（ ）
A ．30
B ．60°
C ．90°
D ．120°
【解析】时针1小时走1大格，1大格为30°．
【答案】从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（6﹣3）×30°=90°，故选C ． 【点评】解决本题的关键是得到时针1小时旋转的度数．
【例40】下午2点30分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（ ）
图（1）
D C
B
A
O
图（2）
D C
B
A
O
图（1）
C
B
A
O
图（2）
C
B
A
O
图（3）
C
B A
O
1-函数概念与表示(教师用)
函数概念与表示 一．要点精讲 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； （2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 （1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式： ①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）； ②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； ③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。 （2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。 ①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。 3．两个函数的相等： 函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。 4．区间 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示。 5．映射的概念 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A→B”。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。 注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。 （2）“都有唯一”什么意思？ 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。 6．常用的函数表示法 （1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式； （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点
高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
风险的定义与相关概念(初步)
风险管理 第一节、风险定义与相关概念 建设工程活动存在风险是无可质疑的，要进行风险管理，首先了解风险的定义。 一、风险定义（Hazard） 其一：风险就是与出现损失有关的不确定性。 其二：风险就是在给定情况下和特定时间内，可能发生的结果之间的差异 不确定性 二、风险具备的二个条件 产生损失后果 三、造成风险的三大因素 1、自然风险（Physical Hazand） 例：气候、台风所致损失 2、道德风险（Hord Hazard） 例：人的品质缺陷或欺诈行为 3、心理风险（Morde Hazard） 例：（1）投保后疏于对损失的防范 （2）不注重健康引起损失 前一个是有形因素，后一是个无形因素 四、损失 1、直接损失：常以货币单位来衡量 2、间接损失：可能长期作用，且不易定量分析 五、损失机会 ——指损失出现的概率 演绎法：技硬不每一百出现1/2 客观概率归纳法：木屋比砼屋失火概率大 统计法：大量数据分析 主观概率——用专家意见代替客观概率 六、风险的分类 1、按风险的后果分 纯风险：只有损失没有收益的风险 投机风险：可能造成损失也可能创造收益的风险 前者重复出现的可能性大，后者重复出现的可能性小。 2按风险产出的原因分 政治风险 社会风险 经济风险 自然风险 技术风险 3、按风险的影响范围分 基本风险：战争、自然灾害、交通、“9.11事件” 特殊风险：抢劫、失火
前者影响面大，后果严重。 后者影响面小，损失虽大但后果不严重。 4、人员风险 制定制度的人：女孩不唱歌全班不能走 人的行为不规范 人的专业技术不高 人的风险识别能力弱 人的责任心不强 第二节、建设工程风险与风险管理 一、建设工程风险的特点 1、建设工程风险大 例：周期大、环境影响大、损失大 2、参与工程建设的各方均有风险 总价合同：承包商风险大例：不同的合同，其承担的风险不同 可调单价合同：业主风险大 二、风险管理（RiskManagement） ——识别、确定和度量风险，并制定选择和实施处理方案，从而减少意外损失。 1 、风险识别的步骤 （1）确认不确定性的客观存在 （2）建立初步风险清单 （3）确立各种风险事件并推测其结果 （4）进行风险分类 （5）建立风险目录摘要 2 、风险评价 ——将建设工程风险事件的发生可能性和损失后果进行定量化。 3 、风险对策、决策 风险回避 损失控制 风险自留 风险转移 4、实施决策 ——进一步落实具体的计划和措施。 例：预防计划 灾难计划 应急预案计划 确定保险范围 5、检查 ——对各种风险对策的执行情况进行检查，并评价执行效果 第三节建设工程风险识别的方法
2.1.1(一)变量与函数的概念教师版
第二章 函 数 §2.1 函 数 2.1.1 函 数 第1课时 变量与函数的概念 一、基础过关 1．下列对应：①M＝R ，N ＝N ＋，对应法则f ：“对集合M 中的元素，取绝对值与N 中的元素对应”； ②M＝{1，－1,2，－2}，N ＝{1,4}，对应法则f ：x→y＝x 2，x∈M，y∈N； ③M＝{三角形}，N ＝{x|x>0}，对应法则f ：“对M 中的三角形求面积与N 中元素对应”． 是集合M 到集合N 上的函数的有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 2．下列各组函数中，表示同一个函数的是 ( ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1 B ．y ＝x 0和y ＝1 C ．f(x)＝x 2和g(x)＝(x ＋1)2 D ．f(x)＝x 2 x 和g(x)＝x x 2 3．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为 ( ) A ．{x|x≤1} B ．{x|x≥0} C ．{x|x≥1或x≤0} D ．{x|0≤x≤1} 4．函数y ＝x ＋1的值域为 ( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，－1] 5．已知函数f(x)＝2x －3，x∈{x∈N |1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________________． 6．若A ＝{x|y ＝x ＋1}，B ＝{y|y ＝x 2＋1}，则A∩B＝__________. 7．判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数． (1)A ＝R ，B ＝{x|x>0}，f ：x→y＝|x|； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x→y＝x 2； (3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x→y＝x ； (4)A ＝{x|－1≤x≤1}，B ＝{0}，f ：x→y＝0. 8．求下列函数的定义域：(1)y ＝－12x 2＋1； (2)y ＝x －2x 2－4； (3)y ＝1 x ＋|x| ； (4)y ＝x －1＋4－x ＋2； (5)y ＝4－x 2 ＋1|x|－3； (6)y ＝ax －3(a 为常数)． 二、能力提升 9．设集合M ＝{x|0≤x≤2}，N ＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有 ( ) A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③ D ．② 10．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是 ( ) A ．f(x)＝|x| B ．f(x)＝x －|x| C ．f(x)＝x ＋1 D ．f(x)＝－x 11．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f(x ＋2 3)的定义域为________． 12．已知函数f(x ＋ 1)的定义域为[－2, 3]，求f(2x 2－2)的定义域． 三、探究与拓展 13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑) (1)试将横断面中水的面积A(m 2)表示成水深h(m)的函数； (2)确定函数的定义域和值域； (3)画出函数的图象．
第一章集合与函数概念(教师用书)
第一章集合与函数概念 §1.1集合 1.1.1 集合的含义与表示（一） 1．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力． 2．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性． 1．元素与集合的概念 (1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母表示． (2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示． 2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性． 3．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的． 4．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A. 5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．
对点讲练 集合的概念 【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合： (1)著名的数学家；(2)某校2007年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解； (5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体． 解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合． 规律方法判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是() A．高个子的人B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数 答案 D
安全防范基本概念
安全防范基本概念 安全防范，预防和制止盗窃、抢劫、爆炸等治安事件的活动。它可以说是安全防范的定义，也可以说是安全防范的业务范围。 第一节介绍了我们面对的危险（威胁），分为三个大类：自然灾害、系统失效和人的非主观故意造成的事故、人的主观故意（恶意）造成的事件。事件又可分为恐怖活动和治安事件，传统的安全防范就是针对治安事件的，或者说是为局部的、微观的生命财产的保护。可以安防系统的基本特点就是产生于此。同时、我们强调安全技术的共性，其实、安全在不同的领域有不同的表现形式，许多基本的、相同的技术应用于不同的领域就构成了各种行业的安全体系，因此我们在进行技术研究和学习时，应该跳出上述范围的界限。 安全防范主要是针对社会治安的。安全是目的，防范是活动。这种活动可以根据具体的安全需求，有不同的形式，可以由人力来完成，也可以采用各种物理设施、技术设备和系统来实现，或者把它们结合起来，共同来实现防范的目的。安全防范可以是单次的、临时的行动，它需要一定技术支持和保障，也可能是长期运行的体系，这就需要有一个相对稳定的技术系统作为基础。 通常、根据实现防范的基本手段，安全防范分为“人防”、“物防”和“技防”三种形式。 1、人防是一个最古老、最基本的防范手段 我国治安管理部门在这方面，创造和积累了许多行之有效的方法和经验，是具有中国特色的。如治安联防、群防群治、社区的综合管理及安全教育等。在当前强调技术防范、加强技防系统建设的形势下，坚持这些有益的经验仍然是十分必要的。目前、保安业向社会提供各种有偿的服务主要还是人防方面的，但它也不是单纯的提供人力的服务，也要借助和依靠必要的技术装备和系统。比如运钞业务除提供人员外，还需要专用车辆、人员防护和武器等，运钞的过程要有定位、通信及监控系统作保障。单纯人力的防范已不能适应当前治安形势的要求，没有人防的系统也不会是一个完善的安全系统。 2、物防是安防体系的基础 采用适当的物理设施来提高系统整体的防范水平，是安全防范系统必须考虑的。所谓物防是指相对永久的固定设施和提高系统抗冲击能力的设置和设备。物防可以说是技术防范系统的基础条件和有机的组成部分。目前、小区的封闭化管理、加强建筑本身和周界设施的防冲击能力都是物防的新的形式。其实、物防设施很多是具有高技术含量的，包括它的设计（墙体结构与抗冲击的关系等）。许多物防设施与技防设施结合在在一起（保险柜），或成为技防的一部份（出入系统的锁定机构）。 物防是安全防范系统中有效、经济的加固措施，对于可以相对准确预测的危险（防范目标），通过稳定（相对固定）的设施和手段是最合理的防范。如门、墙、锁、柜等，都有预先切断入侵信道，或增加系统抗冲击（机械力破坏）的能力。 3、技防成为安防系统核心是科技强警的必然 利用高新技术产品和技术系统来构筑安全防范系统是当前安全防范的一个主要趋势。是科技进步和发展的必然，也是不断上升的安全需求和治安形势的要求（高技术犯罪、发案率上升）。安防系统在不同历
(完整版)关于课题概念的界定
关于课题概念的界定 课题概念界定就是对课题的关键词做一个解释。在日常生活中，有些概念或词语我们看起来很熟悉，但要说出确切的意思又说不清楚。概念界定就是要把这些看起来熟悉又说不清楚的词语说清楚，讲明白。课题中的核心概念和关键词，不仅对于课题的清晰表述具有重要意义，而且对于课题的实践操作具有重要作用。如果研究者对所研究课题基本概念的理解含糊不清、似是而非的话，那这个课题就无法研究，因为，科学性是选题与研究的基本前提。因而，做研究要实实在在地把课题研究涉及到概念、术语弄懂弄透。 （1）界定的内容 ①研究范围的界定 对研究总体范围的界定既关系到研究对象（研究样本）如何选取，也关系到研究成果的适用范围。如果研究对象的总体不同，那么，同一个研究课题所得到的结论就很可能不同。课题名称如果没有对研究对象的范围进行限制的话，在研究计划里就要做一个界定。例如：“学生课外阅读情况的调查研究”。这里的“学生”就是一个很宽泛的概念，从学段上分，学生有小学生、初中生、高中生和大学生；从区域上分，学生有农村学生和城市学生等；从性别上分，有男生和女生，等等。到底研究哪一类型的学生，要有一个明确的界定。 ②模糊概念的界定 在课题研究中往往会出现一些模糊的概念，内涵不清楚，外延不确定，如“厌学生”“差生”“青年教师”“品德不良学生”等等。作为研究的对象，这些概念都没有一个统一的确切的定义。例如“学困生”这个概念，由于有多种解释，就必须加以界定。在课题“小学数学学困生的成因及对策研究”的研究计划中，主持人对“学困生”作了如下的界定：“所谓学习困难学生是指智力正常而又长期达不到教学目标的学生”。一般来说，给这些模糊概念下定义，应尽可能使用有参考依据的、比较权威的、被大多数人所认可的说法。对概念的界定不能望文生义，生搬硬套，牵强附会，要自圆其说。 ③关键词的界定 一般情况下，关键词的涵义都很明确，无须解释。例如“高一学生”。但有些关键词的涵义不是很明晰或有多种解释。在这种情况下，就必须根据研究的需要加以界定。把关键词界定清楚，可以使课题研究在确定的范围内开展，使课题研究思路明确清晰，具有可操作性，使研究内容成为一个有确切涵义的问题，具有科学性；另一方面也便于别人按照研究者规定的范围来理解研究结果和评价该
三角函数概念x教师版
角的概念、定义 一、知识清单 1. 终边相同的角 ①与α（0°≤α<360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）: {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ; ②终边在x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈?=,180|οββ; ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180|οοββ; ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90|οββ. 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制. 3.弧度制下的公式 扇形弧长公式r =l α，扇形面积公式211 ||22 S R R α==l ，其中α为弧所对圆心 角的弧度数。 4.三角函数定义: 利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边上任取一点(,)P x y （与原点不重合），记22||r OP x y ==+， 则sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α=。 注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数. ⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式: ①诱导公式：即 2 k π αα±→或902k αα±→o 之间函数值关系()k Z ∈，其规律是“奇变偶不变，符号看象限” ；如sin(270)α-=o cos α- ②同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系. ⑶重视用定义解题.
高中数学第一章集合与函数概念知识点
高中数学第一章集合与函数概念知识点 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，N*或N + R表示实数集. （3）集合与元素间的关系 ?，两者必居其一. ∈，或者a M 对象a与集合M的关系是a M （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等
（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集 【1.1.3】集合的基本运算
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法 （2）一元二次不等式的解法 0) 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念
①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域
安全的基本概念
安全的基本概念 1.什么是事故、事故隐患？ 2.什么是危险（风险）、危险源与重大危险源？ 3.什么是安全、本质安全？ 4.什么是安全生产管理？ 5.什么是安全生产标准化？ 1.什么是事故、事故隐患、危险（风险）、危险源与重大危险源？ ?事故 ●《现代汉语词典》：“生产、工作上发生的意外损失或灾祸。” ●国际劳工组织对职业事故定义：“由工作引起或者在工作过程中发生的事件， 并导致致命或非致命的职业伤害。” ●《生产安全事故报告和调查处理条例》的定义：“生产经营活动中发生的造 成人身伤亡或者直接经济损失的事件” ?事故隐患 ●隐患就是在某个条件、事物以及事件中所存在的不稳定并且影响到个人或者 他人安全利益的因素，它是一种潜藏着的因素，“隐”字体现了潜藏、隐蔽， 而“患”字则体现了不好的状况。 生产经营单位违反安全生产法律、法规、规章、标准、规程和安全生产管理制度的规定，或者因其他因素在生产经营活动中存在可能导致事故发生的物的危险状态、人的不安全行为和管理上的缺陷。 ?事故隐患分为一般事故隐患和重大事故隐患。 ?一般事故隐患，是指危害和整改难度较小，发现后能够立即整改排除的隐患。 ?重大事故隐患，是指危害和整改难度较大，应当全部或者局部停产停业，并经过一定时间整改治理方能排除的隐患，或者因外部因素影响致使生产经营 单位自身难以排除的隐患。 ?危险（风险） 危险是人们对事物的具体认识，必须指明具体对象：如危险环境、危险条件、危险状态、危险物质、危险场所、危险人员、危险因素等。 ●一般用危险度来表示危险的程度。 ◆在安全生产管理中，危险度用生产系统中事故发生的可能性与严重 性的结合给出。 即：R = f（F，C） 式中: R——危险度； F——发生事故的可能性； C——发生事故的严重性。 ?危险源 ?从安全生产角度，危险源是指可能造成人员伤害、疾病、财产损失、作业环 境破坏或其他损失的根源或状态。（这是客观存在的） ?重大危险源 ?广义上说，可能导致重大事故发生的危险源就是重大危险源。（企业一般 称重大风险源） ?《安全生产法》第一百一十二条：重大危险源，是指长期地或者临时地生产、 搬运、使用或者储存危险物品，且危险物品的数量等于或者超过临界量的单
人教版数学高二-新课标 《函数的概念》 教学设计
1.2.1 函数的概念（第一课时） 课 型：新授课 教学目标： （1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的三要素； （3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。 教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。 教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。 教学过程： 一、问题链接： 1． 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2．回顾初中函数的定义： 在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、合作探究展示： 探究一：函数的概念： 思考1：（课本P 15）给出三个实例： A ．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米） 与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-。 B ．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空 臭氧层空洞面积的变化情况。（见课本P 15图） C ．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的 高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。（见课本P 16表） 讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着 怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？ 归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对 应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作： :f A B → 函数的定义： 设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作： (),y f x x A =∈ 其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。显然，值域是集合B 的子集。 注意： ① “y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g (x )”； ②函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 思考2：构成函数的三要素是什么？ 答：定义域、对应关系和值域 小试牛刀．1下列四个图象中，不是函数图象的是（ B ）.
安全技术的定义
安全技术主要包括： 1、分析造成各种事故的原因; 2、研究防止各种事故的办法； 3、提高设备的安全性； 4、研讨新技术、新工艺、新设备的安全措施。 安全技术措施的内容很多，例如，在电气设备和机械传动部位设置安全保护装置；在压力容器上设置保险装置；用辅助设备减轻繁重劳动或危险操作；为高空和水下作业设置防护装置等等。 编辑本段 一、安全技术的概念 所谓安全技术，就是指企业在组织进行生产过程中，为防止伤亡事故，保障劳动者人身安全采取的各种技术措施。 在生产活动中，由于在某些作业环境中存在对劳动者安全与健康不利的因素，或者因设备和工具不完善，工艺过程。劳动组织和操作方法存在缺陷，可能引起各种伤亡事故。为了预防这些事故及消除其它一些有碍健康的问题，必须采取各种措施，保障环境、设备、人身安全。所以这些措施，综合统称为安全技术。 安全技术与生产技术紧密相联。如果生产技术和生产工艺有了改变，就必须重新研究是否可能出现新的安全问题，进而采取新的措施，消除新的不安全因素。 一般地讲，通过技术改造，采取更完善的更安全的操作方法，消除危险的工艺过程，设置安全防护装置、保险装置，信号装置、警示装置，为安全
而采用的机械化、自动化，以及为安全而设置的一切防护措施和防护用品等，都是安全技术所研究的范畴。通过分析各种事故的原因，采取各种技术措施去消除各种不安全、不卫生因素，消除对职工安全健康构成威胁的事故隐患，减轻劳动强度，改善劳动条件，就是安全技术的任务。 二、安全技术分类 安全技术作为生产技术的一部分，它的应用领域和范围非常广泛，目前已深入到各行业的生产中和各专业的技术中。一般有如下两种分类方法。 按产业性质分，有矿山安全技术、建筑安全技术、冶金安全技术、机械制造安全技术、化工安全技术、交通运输安全技术、轻工安全技术和纺织技术等。 按机电设备的生产工艺特点分，有机械安全技术、电气安全技术、起重吊运安全技术、防火防爆安全技术、焊接作业安全技术、金属冶炼及热加工安全技术、企业内机动车辆安全技术、锅炉安全技术、压力容器安全技术等。 在安全生产管理与安全技术管理中，上述两种分类并没有截然的界线，如化工安全技术主要涉及的是防火防爆安全技术，而防火防爆技术又不局限于化工行业。除了上述列出的类型，安全技术还有许多学科。 三、安全技术措施 安全技术的最根本目的，就是实现生产过程中的本质安全。即便是人的本身发生不安全行为而违章作业，或者由于个别部件发生了故障，都会因为安全的可靠性作用而避免事故的发生。为了达到这个目的，就要研制在各种生产环境下能确保安全的装置。实现生产过程的机械化与自动化，不仅是发展生产的重要手段，而且也是安全技术措施的奋斗方向，是安全技术首选的
概念界定和理论基础
相关概念界定： 1.医养结合 “医养结合”可视为“整合照料”的一个子概念，它强调老年照顾中的医疗和照护两个方面，并将医疗放在更加重要的位置上。区别于传统的生活照料养老服务，不仅包括日常起居、文化娱乐、精神心理等服务，更重要的是包括医疗保健、康复护理、健康检查、疾病诊治、临终关怀等专业医疗保健服务。需要注意的是，“医养结合”中的医疗必须具有相当的专业水平，不是简单地打针吃药的医疗服务，而是应当达到一级医院以及以上的医疗水平，要具备健全的科室和诊疗项目，硬件上要有足够的空间、房屋设施和相当水平的医疗器械，软件上要有足够资格的，受过专业训练的医师、护士。 “医养结合”是对传统养老模式的创新，需要从六个方面进行阐述，即服务对象、服务提供的主体、服务内容、服务人员、实现路径以及养老服务机构准入标准。 （1）服务对象：”医养结合“养老模式的服务对象从以下三方面进行分析。首先。采用传统家庭养老或者社区居家养老的生活基本能够自理的老年人；其次，对于机构养老，主要面向生活半自理或者完全不能自理的老年人；再次，对于一些高收入老年人，比较注重晚年生活质量，为他们提供优质健康保健服务。 （2）服务提供主体：首先，政府要发挥主导作用，协调各主体之间关系，形成凝聚力。 其次，非营利性或者营利性医疗机构和养老机构要加强合作，资源共享、优势互补，为满足老年群体的医疗保健需求尽职尽责。 （3）服务内容：”医养结合“养老模式服务内容广泛，包括以下三方面：一是基本生活护理服务。而是医疗救治、健康咨询、健康检查、大病康复以及临终关怀等医疗保健服务。三十精神慰藉、精神安慰、老年文化娱乐等精神文化服务。 （4）服务人员：“医养结合”养老模式侧重满足老年人的医疗服务需求，因此对于服务人员有严格的要求。首先，与家庭建立契约关系的医生必须是具有执业医师资格的全科医生，并且熟悉老年病的诊断和治疗。其次，养老机构必须要根据需要增加具有执业医师资格的医生和专业护士。再次，医疗机构为了满足入住老年人的需求，也要增加相应的护理人员。 （5）实现路径：“医养结合”养老模式实现需要政府发挥主导作用和统筹协调作用，具体包括：一是基层社区卫生服务中心或乡镇卫生院集中以治疗老年病为主的全科医生，与家庭建立长期契约关系，定期为老年人提供上门诊疗服务。二是一个或多个养老机构与距离较近的医疗机构建立长期合作关系。三是单一养老机构或者医疗机构提供医疗或养老服务。四是二级以上的医疗机构设立老年科。 （6）养老服务机构的准入标准：医疗服务是一项需要高精技术的服务，关乎人民生命安全，因此卫生行政部门必须根据自身职责，建立相关法规，形成专业的规范制度，完善服务标准、设施标准、人员标准和管理规范，简历严格的行业准入制度，养老机构内设的医疗中心至少要达到一级医院的标准，简历严格的监督制度和评估制度，在此基础上，鼓励全社会对服务进行监督。 2.医养结合养老机构 医养结合养老机构是一种整合医疗和养老功能，以专业的持续的医疗、护理、保健服务为特色的新型养老机构，是对传统养老机构的创新。主要的医养结合养老机构的模式主要有以下几种：一是一个或多个养老机构与距离较近的医疗机构建立长期合作关系，实现资源共享、优势互补、开展预约就诊和双向转诊等服务。二是由单一的养老机构或医疗机构提供医疗货养老服务，一方面通过有条件的养老机构内设医疗中心，为入住机构的老年人提供方便有效的医疗服务；另一方面实力雄厚的大兴医院机构利用自身优势设立以病后康复和保健为特色的养老机构，实现资源共享；三十二级以上的医疗机构设立老年科，针对老年人常见疾病开
数学教案：函数概念X教师版
函数概念 一、 知识清单 1．映射：设非空数集A ，B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射，记为f ：A →B ，f 表示对应法则，b=f(a)。若A 中不同元素的象也不同，且B 中每一个元素都有原象与之对应,则称从A 到B 的映射为一一映射。 2．函数定义：函数就是定义在非空数集A ，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C={f (x )|x ∈A}为值域。 3．函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。 4．函数定义域的求法：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零； 5．函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法. ⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 ① 函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R; ② 二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++= 当0>a 时值域是24[,)4ac b a -+∞,当0=且的值域为+R ； ⑤ 对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R ； ⑥ 函数sin ,cos ()y x y x x R ==∈的值域为[-1，1]； ⑦ 函数 2 k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R ； 二、 课前练习 1.若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =,则A 到B 的映射有 34 个，B 到A 的映射有 43 个；若 }3,2,1{=A ，},,{c b a B =, 则A 到B 的一一映射有 6 个。 2. 设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是 4 3.已知扇形的周长为20，半径为r ，扇形面积为S ，则==)(r f S -r 2-20r ；定义域为0 集合与函数概念 一.课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交 流的能力. 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型 来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展 学生对变量数学的认识. 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述 不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集,培养学生从 具体到抽象的思维能力. 6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 8.学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成 的三要素，了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对 应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表 示法. 9.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法)，并能在实际情境中，恰当 地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象. 10.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，了解奇偶 性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 安全标准的定义和作用 (一)安全标准的定义 标准化是人类在长期生产实践过程中逐渐摸索和创立起来的一门科学，也是一门重要的应用技术。标准和标准化从一开始就来源于人们改造自然的社会实践，且一直服务于这种实践，并不断发展和完善。根据《标准化法》条文解释，“标准”的含义是：对重复事物和概念所作的统一规定，它以科学、技术和实践经验的综合成果为基础，经有关方面协商一致，由主管机构批准，以特定形式发布，作为共同遵守的准则和依据。简单地说，标准是对一定范围内的重复性事物和概念所做的统一规定(目前，这种规定最终表现为一种文件)。如古代，我国陕西省咸阳出土的秦始皇兵马俑，四川省成都市发现的三星堆，从出土的青铜面具、人像、玉环等文物来看，选材、加工、制造等各个环节，不仅反复地、大量地出现，而且已具备技术上相当的一致性，这种统一的一致性要求其实就是标准。重复投入、重复生产、重复加工、重复出现的产品和事物才需要标准。事物具有重复出现的特征，才有制定标准的必要。标准对象就是重复性概念和重复性事物。标准的本质反映的是需求的扩大和统一。单一的产品或者单一的需求不需要标准，对同一需求的重复和无限延伸才需要标准。 依据上述解释,安全标准的含义是：在生产工作场所或者领域，为改善劳动条件和设施，规范生产作业行为，保护劳动者免受各种伤害，保障劳动者人身安全健康，实现安全生产和作业的准则和依据。 标准化是指在经济、技术、科学及管理等社会实践中，对重复性事物和概念通过制定、实施标准，以获得最佳秩序和社会效益的过程。简单地说,标准化是为了在—定范围内获得最佳秩序，对现实问题或潜在问题制定共同使用和重复使用的条款的活动。即标准化是—项活动，一个过程。标准化的目的就是在一定范围内获得最佳秩序。 (二)安全标准的作用 1．安全标准是安全生产法律体系的重要组成部分 从广义讲，我国的安全生产法律体系，是由宪法、国家法律、国务院法规、地方性法规，以及标准、规章、规程和规范性文件等所构成的。在这个体系中，标准处于十分重要的位置，具有技术性法律规定的作用。标准是法律的延伸。与安全生产相关的技术性规定，通常体现为国家标准和行业标准。根据世界贸易组织协议，我国的强制性标准与国外的技术法规具有同样的法律效力。现行法律法规也就此做出了明确规定.《安全生产法》第十六条规定“生产经营单位应当具备本法和有关法律、行政法规和国家标准或者行业标准规定的安全生产条件”。《安全生产许可证条例》第六条，把厂房、作业场所和安全设施、设备、工艺 二、相关概念界定及理论基础 （一）双因素激励理论 双因素激励理论，也就是激励因素与保健因素理论，在20世纪50年代后半期，是美国作为行为科学家的赫茨伯格在对匹兹堡的一些专业技术人员进行走访调查后，分析其对所从事职业的满意程度和在职业中的具体表现行为，提出这一理论。通过该理论我们可以了解到，员工在工作中的需求被满足的程度和最终效果都是因人而异的，员工满意与不满意有着不同的诱导因素。激励因素包括员工对自己工作的热爱与否、工作过程中的认可、工作成就以及对工作所担当的责任，员工的积极性容易受这些与固定座本身相关的因素影响。这些情感都是基于工作环境中产生，是积极的、持久的。保健因素与员工工作的环境和氛围戚戚相关，包括公司管理阶层所制定的政策、人际关系、劳动报酬以及监督部门的运作等。这些都是员工工作本身以外的外在因素，也是一种消极因素。赫茨伯格的双因素理论实质上是针对满意度的目标而言所谓保健因素，即个体对外部条件的要求，而激励因素则是个体对工作本身的要求。① 双因素理论这样一种重要的激励理论可以被运用在基于学生满意度的湖南省地方本科院校教育服务质量的研究中。地方本科院校作为非教育部等国家一级的部门直属的学校而是省市级直属的地方学校。很多这样的地方本院校可能一个地级市就存在一个，大点的城市或者几个，它们在教育服务质量上可能与一些老牌重点大学之间存在一定的差距。我们在评估地方本院校的教育服务质量时，不单从学校有效资源、校园历史和所获得的科研成果等方面去打分，更应该实事求是，站在地方本院校自身发展的角度去评估。所以在用来分析学生满意度的该理论框架中，地方本科院校的奖惩设置、教师对学生的的培养方案、校园文化等会对学生的成人成才产生重要的影响，这就是双理论因素中作为激励因素的运用。高校的外部环境、课程设置、硬件设施等方面的投入，就是它对于学生保健因素的运用。在地方本科院校的管理中运用内容型的双因素理论，了解学生的对学习和学校相关活动开展积极性和受鼓励程度主要取决的学生需求满意程度，从激发学生行为动机的因素这个角度来研究地方本科院校的教育服务质量中学生的满意状况。 ①Herzberg，F.，Maunser，B. and Snyderman，B.The Motivation to Work[M]. New York:John Wileyand Sons Inc.，1959.集合与函数概念
安全标准的定义和作用
相关概念界定及理论基1