2006年考研数学二真题答案解析
2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）解析
一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x x
y x x
+=
-的水平渐近线方程为
15
y =
4sin 11lim lim
5
5x x x
x y x
→∞→∞+
==-
（2）设函数2
30
1sin ,
0(),0
x
t dt x f x x a x ?≠?=??=?
? 在x =0处连续，则a =
13
2200()1
lim ()lim 33
x x sm x f x x →→== （3）广义积分
22
(1)xdx
x +∞
=
+?
12
2222220
1
(1)11
11
0(1)2
(1)2(1)
22
xdx d x x x x +∞+∞
+∞
+=
=-?
=+
=+++?
?
（4）微分方程(1)
y x y x
-'=
的通解是x
y cxe -=)0(≠x
（5）设函数()y y x =由方程1y
y xe =-确定，则0
x dy dx
==e
-
当x =0时，y =1，
又把方程每一项对x 求导，y y
y e xe y ''=--
01
(1)1x x y y
y
y
y
e y xe e
y e xe ===''
+=-=-
=-+
(6) 设A = 2 1 ,2B 满足BA =B +2E ,则|B |= .
-1 2
解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得
|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题
（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>?为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ?与分别为在点处对应增量与微分,若0x ?>，则[A]
（A ）0dy y <
（B ）0y dy
（C ）0y dy ?<<
（D ）0dy y
由()0()f x f x '>可知严格单调增加
()0()f x f x ''>可知是凹的
即知
（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则
()x
f t dt ?是[B]
（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数
（C ）在x =0间断的奇函数 （D ）在x =0间断的偶函数
（9）设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C] （A ）ln 31- （B ）ln 31--
（C ）ln 21--
（D ）ln 21- ∵ 1()()()g x h x g x e +''=，1(1)
12g e
+= g (1)= ln 21--
（10）函数212x x x y c e c xe -=++满足的一个微分方程是[D] （A ）23x y y y xe '''--= （B ）23x y y y e '''--=
（C ）23x
y y y xe '''+-=
（D ）23x
y y y e '''+-=
将函数212x x x y c e c xe -=++代入答案中验证即可.
（11）设(,)f x y 为连续函数，则1
4
(cos ,sin )d f r r rd π
θ
θθγ??等于[C]
（A ）
(,)x
f x y dy ?
（B ）
(,)f x y dy ?
（C ）
(,)y
f x y dx ?
（D ）
(,)f x y dx ?
（12）设(,)(,)f x y x y ?
与均为可微函数，且(,)0,y x y ?'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条
件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是[D]
（A ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则
（B ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 （C ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 （D ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则
(,)(,)
(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)
(,)0x x x
y y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λ
λ?λ?λ??=+'''=+=??
'''=+=??'==?令
今
000000(,)
(,)0,(,)
y y y f x y x y x y ?λ?''≠∴=-
'代入(1) 得 00000000(,)(,)(,)(,)
y x
x y f x y x y f x y x y ??'''=
'
今 00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y x
y f x y f x y x y f x y ?''''≠∴≠≠则 故选[D] (13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ?n 矩阵，则（ ）成立.
(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)
本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.
若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得
c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,
用A 左乘等式两边,得
c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,
于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.
如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs ???σ? r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).
矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此
r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).
由此马上可判断答案应该为(A).
(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0
P = 0 1 0 ,则 0 0 1
(A) C =P -1
AP . (B) C =PAP -1
. (C) C =P T
AP . (D) C =PAP T
. 解: (B)
用初等矩阵在乘法中的作用得出
B =PA , 1 -1 0
C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1
三、解答题
（15）试确定A ，B ，C 的常数值，使23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当
30x x →时比的高阶无穷小.
解：泰勒公式23
31()26
x
x x e x o x =++
++代入已知等式得 23
323[1()][1]1()26
x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++
整理得
233111(1)()()1()22
6B
B x
C B x C o x Ax o x ??+++++++++=++ ???
比较两边同次幂函数得
B +1=A ①
C +B +
1
2=0 ② 1
026
B C ++= ③ 式②-③得
120233
B B +==-则 代入①得
13A = 代入②得
16
C = （16）求arcsin x
x
e dx e ?.
解：原式=2
2arcsin arcsin ()x x x
x e t de e t dt e t =??令
1arcsin arcsin ()t td t t =-=-+?
2arcsin arcsin 1(2)
2(1)t t udu t t u u -=-+=-+-?
2arcsin 1
t du
t u =-
+-?
arcsin 11
ln 21
t u C t u -=-
+++
arcsin arcsin 12x x x x e e dx C e e ∴=-++?. （17）设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥，
计算二重积分2211D
xy
I dxdy x y +=
++??.
解：用极坐标系2201D xy
dxdy x y ??=
?++??
??
1
1
22
2
00
2
ln(1)ln 2122r I d dr r r π
πππθ-==+=+??. （18）设数列{}n x 满足10x π<<，1sin (1,2,3,)n n x x n +==
证明：（1）1lim n n x +→∞
存在，并求极限；
（2）计算1
1lim n x n n n x x +→∞
?? ???
. 证：（1）212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥因此 1sin ,{}n n n n x x x x +=≤单调减少有下界(
)0n x ≥
根据准则1，lim n n x A →∞
=存在
在1sin n n x x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=
因此1lim 0n n x +→∞
=
（2）原式2
1
sin lim "1"n x n n n x x ∞→∞??= ???
为型
离散型不能直接用洛必达法则
先考虑 201
1s i n l i m l n 0
s i n l i m t t t t t t t e t →?
????
?
→??= ???
用洛必达法则201
1(cos sin )lim
sin 2t t t t t t
t t
e
→-=
23233
3
10()0()26cos sin lim
lim
22t t t t t t t t t t t
t t e
e →→????-+--+????????-????
==
33
110()261lim
26
t t t t e
e →??-++ ???-
==.
（19）证明：当0a b π<<<时，1
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a
ππ++>++
. 证：令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加
()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+
cos sin x x x π=-+
()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-< ()f x '∴严格单调减少
又()cos 0f ππππ'=+=
故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加（严格）
()()b a f b f a >>由则
得证
（20
）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f
=满足等式
222
20z z
x y
??+=??. （I ）验证
()
()0f u f u u
'''+
=； （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.
证：（I
）
z
z
f f x
y
??''==??
(
)()
22
2
32
222
2
2z
x y f f x x y x y ?'''=+?++
(
)
()
22
2
32
222
2
2z
y x f f y
x y x y ?'''=+?++
22220
()
()0z z
f x y f u f u u
??''
+=+
=??'''∴+
=代入方程得成立
（II ）令(),;,dp p dp du c f u p c p du u p u u
'==-=-+=??则
22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴=由
（21）已知曲线L 的方程22
1
(0)4x t t y t t ?=+≥?=-?
（I ）讨论L 的凹凸性；
（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （III ）求此切线与L （对应0x x ≤部分）及x 轴所围的平面图形的面积.
解：（I ）
422
2,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t
-==-==-
2223
12110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt ??
?????=?=-?=-<> ???处
(0L t ∴>曲线在处)是凸
（II ）切线方程为201(1)y x t ??-=-+
???
，设2001x t =+，2
000
4y t t =-，
则2
2232
00
000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ??-=-+-=-+ ???
得2
00000020,(1)(2)0
01t t t t t t +-=-+=>∴=
点为（2，3），切线方程为1y x =+
（III ）设L 的方程()x g y =
则()3
()(1)S g y y dy =--?????
(2
2
40221t t y x -+===+解出t 得
由于（2，3）在L
上，由(2
3221()y x x g y ===+=得可知
(3
09(1)S y y dy ??=----??
?
3
3
(102)4y dy =--?
3
3
3
3
220
2
(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+??-
8642
213333
=+-=-
(22)已知非齐次线性方程组
x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，
a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.
① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.
解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.
又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2. 两个不等式说明r(A )=2.
② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:
1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1
(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,
a 1 3
b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:
1 0
2 -4 2 → 0 1 -1 5 -
3 .
0 0 0 0 0 得同解方程组
x 1=2-2x 3+4x 4， x 2=-3+x 3-5x 4，
求出一个特解(2,-3,0,0)T
和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T
,(4,-5,0,1) T
.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T
+c 1(-2,1,1,0)T
+c 2(4,-5,0,1)T
, c 1,c 2任意.
(23) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T
, α2=(0,-1,1)T
都是齐次线性方程组AX =0的解. ① 求A 的特征值和特征向量.
② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q T
AQ =Λ.
解:① 条件说明A (1,1,1)T
=(3,3,3)T
,即 α0=(1,1,1)T
是A 的特征向量,特征值为3.又
α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征
值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.
属于3的特征向量:c α0, c ≠0.
属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0. ② 将α0单位化,得η0=(
33,33,3
3)T
. 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-
22,22)T , η2=(-36,66,6
6)T
. 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且
3 0 0
Q T AQ =Q -1
AQ = 0 0 0 . 0 0 0