《集合的含义及其表示》知识梳理
集合的含义及其表示
一、集合
1．集合某些指定的对象集在一起成为集合。
(1)集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a A;若b不是集合A 的元素，记作b A；
(2)集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体 (对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
( 3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{} 内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 (或变化) 范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
( 4)常用数集及其记法
非负整数集(或自然数集) ，记作N；
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R。
2 ?集合的包含关系
(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集(或B 包含A),记作A B (或A B)；
集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A B且B A,则称A等于B,
记作A=B;若A B且A M B,则称A是B的真子集，记作A目B;
(2)简单性质：1) A A; 2) A;
(3)若A B, B C,则A C;
(4)若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集(其中2°- 1个真子集)；
3 ?全集与补集
(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ;
(2)若S是一个集合，A S,贝U, C s={x|x S且x A}称S中子集A的补
集；
(3)简单性质：1) C s(C s)=A; 2) C s S= , C s =S。
4 ?交集与并集
(1)一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合
A与B的交集。交集A B {x| x A且x B}。
(2)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A 与B的并集。并集A B {x|x A或x B}。
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语
言表达，增强数形结合的思想方法。
5．集合的简单性质
1) A A A,A,A B B A;
2)A A, A B B A;
3)(A B)(A B);
4)A B A B A;A B A B B ；
5)C S(A T B) =:(C s A)U(C s B)，C s (A U B) = ( C s A)T( C s B)
二、函数
1．函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数X,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A- B为从集
合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x) , x€ A。其中，x叫做自变量，x的取值范围
A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)| x€ A ｝叫做函数的值域。
注意：(1) “y=f(x) ”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“ y=g(x) ”；
(2)函数符号“ y=f(x) ”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：
①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等)；
②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。
①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③
不等式法（运用不等式的各种性质）：④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图像等）。
3．两个函数的相等
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则
为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间
（1 ）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2 ）无穷区间；
（3）区间的数轴表示。
5．映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f: A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“ f: A B”。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合” ，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。
注意:（1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的射与B 到A 的映射是截然不同的．其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思:一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
6．常用的函数表示法
（1）解析法:就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
2）列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
(3)图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的关系。
7．分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；
8．复合函数
若y=f(u), u=g(x), x (a, b), u (m, n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。
三、函数性质
1．奇偶性
(1)定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f( —x)= —f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f( —x)=f(x)，则称f(x) 为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x) 既是奇函数，又是偶函数。
注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个X,则—x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。
(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定f( —x)与f(x)的关系；
③作出相应结论：
若f( —x) = f(x) 或f( —x) —f(x) = 0 ，则f(x) 是偶函数；
若f( —x) = —f(x)或f( —x) + f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
( 3)简单性质：
①图像的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于
y轴对称；
②设f(x) , g(x)的定义域分别是D I,D2，那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
2．单调性
(1)定义:一般地，设函数y=f( x) 的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量X1,X2,当X i
①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②必须是对于区间D内的任意两个自变量X i, X2；当X i (2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x) 在这 一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。 (3)设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[ g(x)]定义域的某个区间，B是映射g : x—u=g(x)的象集： ①若u=g(x)在A上是增(或减)函数，y= f(u)在B上也是增(或减)函数，贝U函数 y= f[g(x)]在A上是增函数； ②若u=g(x)在A上是增(或减)函数，而y= f( u)在B上是减(或增)函数，贝函数y= f[g(x)] 在A 上是减函数。 (4)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： ①任取x i，X2 € D，且x i ②作差f(x i) －f(x2) ； ③变形(通常是因式分解和配方) ； ④定号(即判断差f(X i) —f(X2)的正负)； ⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。 ( 5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数f (x) 增函数g(x) 是增函数； 减函数f (x) 减函数g(x) 是减函数； 增函数f(x) 减函数g(x) 是增函数； 减函数f (x) 增函数g(x) 是减函数。 3．最值 (1)定义 最大值：一般地，设函数尸f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x€ I，都有f(x) < M;②存在x°€ I，使得f(x o) = M。那么，称M是函数y=f(x) 的最 大值。 最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x€ I，都有f(x) >M;②存在x°€ I，使得f(x o) = M。那么，称M是函数y=f(x) 的最大值。 ①函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x°€ I，使得f(x o) = M; ②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x€ I，都有f(x) < M (f(x) > M )。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法： ①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值； ②利用图象求函数的最大(小)值; ③利用函数单调性的判断函数的最大(小)值： 如果函数y=f(x)在区间［a, b］上单调递增，在区间［b, c］上单调递减则函数 y=f(x) 在x=b 处有最大值f(b) ; 如果函数y=f(x)在区间［a, b］上单调递减，在区间［b, c］上单调递增则函数 y=f( x) 在x=b 处有最小值f(b) ; 4．周期性 (1)定义：如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有 f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数； (2)性质：①f(x+T)= f(x)常常写作f(x T) f(x T),若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T,则f( CDx)(3工0)是周期函数，且周期为占。 5. 函数图象 (1)作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。 作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势) ；④描点连线，画出函数的图象。 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表