大学高等数学-定积分典型例题

20XX年复习资料

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定积分典型例题

例1 求33322

32

1lim

(2)n n n n n →∞+．

分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．

解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把

2111

n n n

=?的一个因子1

n

乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322

32

1lim

(2)n n n n n →∞+=333

112

lim ()n n n n n

n →∞+=33

4

xdx =?．

例2 20

2x x dx -?

=_________．

解法 1 由定积分的几何意义知，20

2x x dx -?

等于上半圆周22(1)1x y -+=

(0y ≥)

与x 轴所围成的图形的面积．故202x x dx -?=

2

π

． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2

2

t π

π

-

≤≤

），则

2

2x x dx -?

=2

22

1sin t tdt π

π-

-?=2

20

21sin t tdt π

-=220

2cos tdt π

?=

2

π

例3 比较12x e dx ?，2

1

2x e dx ?，1

2(1)x dx +?．

分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．

解法1 在[1,2]上，有2

x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，

()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又

1

22

1

()()f x dx f x dx =-?

?，从而有2

111

2

2

2

(1)x x x dx e dx e dx +>>???．

解法2 在[1,2]上，有2

x

x e e ≤．由泰勒中值定理2

12!

x

e e x x ξ=++得1x e x >+．注意

到12

2

1

()()f x dx f x dx =-??．因此

2

1

11

2

2

2

(1)x x x dx e dx e dx +>>?

??．

例4 估计定积分2

2

x x e dx -?的值．

分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．

解 设 2

()x

x

f x e -=, 因为 2

()(21)x

x

f x e x -'=-, 令()0f x '=，求得驻点1

2

x =

, 而 0

(0)1f e ==, 2

(2)f e =, 141

()2

f e -=,

故

124

(),[0,2]e

f x e x -≤≤∈,

从而

2

12

24

22x

x

e

e dx e -

-≤≤?,

所以

210

2

4

2

22x x

e e

dx e -

--≤≤-?.

例5 设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ≥，()0f x >．求lim ()()b

n a n g x f x dx →∞

?．

解 由于()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由

()0f x >知0M >，0m >．又()0g x ≥，则

()b

n

a

m g x dx ?()()b

n a

g x f x dx ≤?()b

n a

M g x dx ?．

由于1n n n n m M ==，故

lim ()()b n a

n g x f x dx →∞?=()b

a

g x dx ?．

例6求sin lim n p

n

n x

dx x

+→∞?

, ,p n 为自然数． 分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．

解法1 利用积分中值定理 设 sin ()x

f x x

=

, 显然()f x 在[,]n n p +上连续, 由积分中值定理得 sin sin n p n x dx p x ξ

ξ

+=??, [,]n n p ξ∈+, 当n →∞时, ξ→∞, 而sin 1ξ≤, 故

sin sin lim lim 0n p

n

n x dx p x

ξξ

ξ+→∞→∞=?=?

．

解法2 利用积分不等式 因为

sin sin 1ln

n p

n p n p n

n n x x n p

dx dx dx x x x n

++++≤≤=?

??, 而limln

0n n p

n

→∞

+=,所以 sin lim 0n p

n

n x

dx x

+→∞=?

． 例7 求1

0lim 1n

n x dx x

→∞+?．

解法1 由积分中值定理 ()()()()b b

a a f x g x dx f g x dx ξ=??可知

1

01n x dx x +?=

1

1

1n x dx ξ

+?

，01ξ≤≤．

又

1

1

lim lim

01n n n x dx n →∞→∞==+?且11121ξ

≤

≤+， 故

1

0lim 01n n x dx x

→∞=+?． 解法2 因为01x ≤≤，故有

01n

n x x x

≤≤+． 于是可得

1

100

01n

n x dx x dx x ≤≤+??．

又由于

1

1

0()1

n x dx n n =

→→∞+?

． 因此

1

0lim 1n

n x dx x

→∞+?=0． 例8 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且3

4

1

4()(0)f x dx f =?．证明在(0,1)

内存在一点c ，使()0f c '=．

分析 由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件()(0)f f ξ=即可． 证明 由题设()f x 在[0,1]上连续，由积分中值定理，可得

3413

(0)4()4()(1)()4

f f x dx f f ξξ==-=?，

其中3[,1][0,1]4

ξ∈?．于是由罗尔定理，存在(0,)(0,1)c ξ∈?，使得()0f c '=．证毕．

例9 （1）若2

2

()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0()()x

f x xf t dt =?，求()f x '=___．

分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可

()

()

()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?．

解 （1）()f x '=42

2x x xe e ---；

（2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x

f x x f t dt =?，则可得

()f x '=0()()x

f t dt xf x +?．

例20XXXX 设()f x 连续，且31

0()x f t dt x -=?，则(26)f =_________．

解 对等式31

()x f t dt x -=?两边关于x 求导得

32(1)31f x x -?=，

故321(1)3f x x -=

，令3126x -=得3x =，所以1(26)27

f =． 例20XXXX 函数1()(3(0)x F x dt x t

=>?的单调递减开区间为_________．

解 ()3F x x '=，令()0F x '<3x

>，解之得109x <<，即1

(0,)9为所求．

例20XXXX 求0()(1)arctan x

f x t tdt =-?的极值点．

解 由题意先求驻点．于是()f x '=(1)arctan x x -．令()f x '=0，得1x =，0x =．列

故1x =为()f x 的极大值

点，0x =为极小值点．

例20XXXX 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中

2

arcsin 0

()x t g x e dt -=?

，[1,1]x ∈-，

x

(,0)-∞

0 (0,1)

1 (1,)+∞

()f x '

- 0

＋

－

试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n

→∞

．

分析 两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，

(0)(0)f g ''=．

解 由已知条件得

2

0(0)(0)0t f g e dt -===?，

且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知

2

(arcsin )2

(0)(0)11x e f g x

-=''==

=-．

故所求切线方程为y x =．而

3

()(0)

3

lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n

→∞→∞

-'=?==-． 例20XXXX 求 2

20

00

sin lim

(sin )x x x

tdt

t t t dt

→-??

；

分析 该极限属于00

型未定式，可用洛必达法则．

解 2

2000sin lim (sin )x x x

tdt

t t t dt

→-?

?=22

02(sin )lim (1)(sin )x x x x x x →-??-=220()(2)lim sin x x x x →-?-=304(2)lim 1cos x x x

→-?-

=2

012(2)lim sin x x x

→-?=0．

注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．

例20XXXX 试求正数a 与b ，使等式2

201lim

1sin x x dt x b x a t

→=-+?成立． 分析 易见该极限属于00

型的未定式，可用洛必达法则．

解 20201lim sin x x dt x b x a t →-+?=2

20x a x →+=220lim 1cos x x x b x a x

→→-+

2

011cos x x b x a →==-，

由此可知必有0

lim(1cos )0x b x →-=，得1b =．又由

2011cos x x x a a

→==-， 得4a =．即4a =，1b =为所求．

例20XXXX 设sin 20

()sin x f x t dt =?

，

34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）． A ．等价无穷小． B ．同阶但非等价的无穷小． C ．高阶无穷小． D ．低阶无穷小．

解法1 由于 22300()sin(sin )cos lim lim ()34x x f x x x

g x x x

→→?=+ 2200cos sin(sin )

lim lim

34x x x x x x →→=?+ 22011lim 33

x x x →==． 故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．

解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到

sin 223370

111

()[()]sin sin 3!342

x f x t t dt x x =-

+=-+

?

，

则

34434

00011

11

sin (sin )

sin ()1

342342lim lim lim ()13

x x x x x x f x g x x x x

→→→-+

-+

===++． 例20XXXX 证明：若函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调增加，则有

()b

a

xf x dx ?

()2

b

a

a b f x dx +≥?．

证法1 令()F x =()()2x

x

a

a

a x tf t dt f t dt +-

??，当[,]t a x ∈时，()()f t f x ≤，则 ()F x '=1()()()22x a a x xf x f t dt f x +--?=1()()22x

a

x a f x f t dt --?

≥

1()()22x a x a f x f x dt --?=()()22

x a x a f x f x ---0=．

故()F x 单调增加．即 ()()F x F a ≥，又()0F a =，所以()0F x ≥，其中[,]x a b ∈． 从而

()F b =()()2b

b

a a

a b xf x dx f x dx +-

??0≥．证毕． 证法2 由于()f x 单调增加，有()[()()]22

a b a b

x f x f ++--0≥，从而 ()[()()]22

b

a a

b a b

x f x f dx ++-

-?0≥． 即

()()2b

a

a b x f x dx +-

?

()()22b a a b a b x f dx ++≥-?=()()22

b a a b a b

f x dx ++-?=0．

故

()b

a

xf x dx ?

()2b

a

a b f x dx +≥

?． 例20XXXX 计算21

||x dx -?．

分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2

1

||x dx -?＝0

2

1

()x dx xdx --+??

＝220210[][]22x x --+＝5

2

．

注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条

件．如

3

3222111[]6dx x x --=-=?

，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x

在0x =处间断且在被积区间内无界.

例20XXXX 计算2

20max{,}x x dx ?．

分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数

212

()01x x f x x x ?<≤=?≤≤?

．

解 232

12

2

2

12010

1

1717max{,}[][]23236

x x x x dx xdx x dx =+=+=+=???

例20XX 设()f x 是连续函数，且1

0()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b

a f x dx ?是常数（,a

b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而1

0()f t dt ?是常数，记1

0()f t dt a =?，则

()3f x x a =+，且1

1

(3)()x a dx f t dt a +==??．

所以

2101[3]2x ax a

+=，即1

32

a a +=， 从而1

4a =-，所以 3()4

f x x =-．

例21 设23, 01

()52,12x x f x x x ?≤<=?-≤≤?

，0()()x F x f t dt =?，02x ≤≤，求()F x , 并讨论()

F x 的连续性．

分析 由于()f x 是分段函数, 故对()F x 也要分段讨论． 解 （1）求()F x 的表达式．

()F x 的定义域为[0,2]．当[0,1]x ∈时，[0,][0,1]x ?, 因此

23300

()()3[]x

x

x

F x f t dt t dt t x ====??．

当(1,2]x ∈时，[0,][0,1][1,]x x =, 因此, 则

1201

()3(52)x

F x t dt t dt =+-??=31201[][5]x t t t +-=2

35x x -+-，

故

3

2

, 01()35,12x x F x x x x ?≤

． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于

211lim ()lim(35)1x x F x x x +

+

→→=-+-=, 311lim ()lim 1x x F x x -

-

→→==, (1)1F =．

因此, ()F x 在1x =处连续, 从而()F x 在[0,2]上连续．

错误解答 （1）求()F x 的表达式, 当[0,1)x ∈时，

23300

()()3[]x

x

x

F x f t dt t dt t x ====??．

当[1,2]x ∈时，有

0()()x

F x f t dt ==

?0

(52)x

t dt -?

=25x x -．

故由上可知

3

2

, 01()5,12

x x F x x x x ?≤

211lim ()lim(5)4x x F x x x +

+

→→=-=, 311lim ()lim 1x x F x x -

-

→→==, (1)1F =．

因此, ()F x 在1x =处不连续, 从而()F x 在[0,2]上不连续．

错解分析 上述解法虽然注意到了()f x 是分段函数，但（1）中的解法是错误的，

因

为当[1,2]x ∈时，0()()x

F x f t dt =?中的积分变量t 的取值范围是[0,2]，()f t 是分段函数，

1

1

()()()()x

x F x f t dt f t dt f t dt ==+???

才正确．

例22 计算21

2

11x

-+-?．

分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解 21

2

11x

-+-?=21

1

2

2

1111x

x

--++-+-?

?

．22

11x

+-是偶函数，而

2

11x

+-是奇函数，有1

2

011x

-=+-?

, 于是

21

211x -+-?=2

12411x +-?=220(11)

4x x --?=120441dx x dx --?? 由定积分的几何意义可知214

x dx π

-=

?, 故

21

1

2

4444

11dx x

π

π-=-?

=-+-?

?．

例23 计算3

4

12

ln (1ln )

e e x x x -?

．

分析 被积函数中含有1x

及ln x ，考虑凑微分．

解 3

4

12

ln (1ln )

e e x x x -?

=3

4ln (1ln )

e e

x x -?

3

4

12

2

ln 1(ln )

e e

x x -?3

4

12

2

2(ln )1(ln )

e e

d x x -

=3

4

12

[2arcsin(ln )]e e x =

6

π． 例24 计算4

sin 1sin x

dx x

π

+?．

解 40sin 1sin x dx x π

+?=420sin (1sin )1sin x x dx x

π--?=244200sin tan cos x

dx xdx x ππ

-?? =24

420

0cos (sec 1)cos d x

x dx x

π

π

---?

? =44

00

1[][tan ]cos x x x ππ

--=224

π- 注 此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试．

例25 计算2202a

x ax x dx -?，其中0a >．

解 2202a

x ax x dx -?=2220()a

x a x a dx --?，令sin x a a t -=，则

220

2a

x ax x dx -?

=3

2

22

(1sin )cos

a

t tdt π

π-+?

=3

220

2cos 0a

tdt π

+?

=

32

a π

．

注 22a x -，一般令sin x a t =或cos x a t =． 例26 计算0

2

2

a

x a x

+-?

0a >．

解法1 令sin x a t =，则

22

a

x a x +-?

2

cos sin cos t

dt t t

π=+?

201(sin cos )(cos sin )2sin cos t t t t dt t t π++-=+? 201(sin cos )[1]2sin cos t t dt t t

π'

+=++?

[]201ln |sin cos |2t t t π

=++=4

π． 解法2 令sin x a t =，则

22

a

x a x +-?

=2

cos sin cos t

dt t t

π

+?．

又令2

t u π

=

-，则有

20

cos sin cos t dt t t

π

+?

=20sin sin cos u

du u u π

+?．

所以，

22a

x a x +-?

=22001sin cos []2sin cos sin cos t t dt dt t t

t t ππ

+++??=2012dt π?=4π．

注 如果先计算不定积分2

2

x a x

+-，再利用牛顿-莱布尼兹公式求解,则比较

复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．

例27 计算ln 0

1

x x e e -?．

分析 被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式． 解 设1x u e =-，2ln(1)x u =+，221

u

dx du u =

+，则 ln 0

1x x e e -?

=22220(1)241u u u du u u +?=++?2

2222200442244

u u du du u u +-=++??

22

20

1

284

du du u =-=+??

4π-． 例28 计算

220

()x

d tf x t dt dx -?，其中()f x 连续． 分析 要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．

解 由于

220

()x

tf x t dt -?

=

2220

1()2x

f x t dt -?． 故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以

2

2

0()x

tf x t dt -?=201()()2x f u du -?=2

01()2x f u du ?，

故

22

0()x d tf x t dt dx -?=201[()]2x d f u du dx ?=21()22

f x x ?=2()xf x ． 错误解答

220

()x d tf x t dt dx -?22

()(0)xf x x xf =-=． 错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式

()()()x

a

d x f t dt f x dx 'Φ=

=? 中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．

例29 计算30sin x xdx π

?．

分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．

解 3

sin x xdx π

?30

(cos )xd x π

=-?330

0[(cos )](cos )x x x dx π

π

=?---? 30

cos 6xdx π

π

=-+?36

π=

-． 例30 计算12

0ln(1)

(3)

x dx x +-?． 分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法． 解 1

20

ln(1)(3)x dx x +-?=10

1ln(1)()3x d x

+-?=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-?--+? =101

111

ln 2()2413dx x x

-

++-? 11

ln 2ln324

=-． 例31 计算20sin x e xdx π

?．

分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．

解 由于20

sin x

e xdx π

?20

sin x

xde π

=?220

0[sin ]cos x

x e x e xdx π

π

=-?

2

20

cos x e e xdx π

π

=-?， （1）

而

20

cos x

e xdx π

?

20

cos x

xde π

=?2200

[cos ](sin )x

x e x e x dx ππ

=-?-?

20

sin 1x e xdx π

=-?， （2）

将（2）式代入（1）式可得

20

sin x

e xdx π

?

2

20

[sin 1]x e e xdx π

π

=--?,

故

20

sin x

e xdx π

?

21(1)2

e π

=+．

例32 计算1

0arcsin x xdx ?．

分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．

解 1

0arcsin x xdx ?21

0arcsin ()2x xd =?2211

00[arcsin ](arcsin )2

2x x x d x =?-?

2

121421x

π

=--?． （1） 令sin x t =，则

21

2

1x

-?

22

2

sin 1sin t t

π

=-?

220

sin cos cos t

tdt t

π

=??

220sin tdt π

=? 201cos22t dt π

-==?2

0sin 2[]24t t π

-4

π=． （2）

将（2）式代入（1）式中得

10

arcsin x xdx =?8

π． 例33 设()f x 在[0,]π上具有二阶连续导数，()3f π'=且0[()()]cos 2f x f x xdx π

''+=?，求(0)f '．

分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解． 解 由于0[()()]cos f x f x xdx π

''+?00()sin cos ()f x d x xdf x ππ

'=+??

[]000

{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ππ

π

π'''=-++??

()(0)2f f π''=--=．

故 (0)f '=2()235f π'--=--=-． 例34（20XXXX 研） 设函数()f x 连续，

1

()()x f xt dt ?=?，且0

()

lim

x f x A x

→=（A 为常数）

， 求()x ?'并讨论()x ?'在0x =处的连续性．

分析 求()x ?'不能直接求，因为1

0()f xt dt ?中含有()x ?的自变量x ，需要通过换元

将x

从被积函数中分离出来，然后利用积分上限函数的求导法则，求出()x ?'，最后用函数连续的定义来判定()x ?'在0x =处的连续性．

解 由0

()

lim

x f x A x

→=知0lim ()0x f x →=，而()f x 连续，所以(0)0f =，(0)0?=．

当0x ≠时，令u xt =，0t =，0u =；1t =，u x =．1

dt du x

=，则

()()x

f u du x x

?=

?，

从而

2

()()()(0)x

xf x f u du

x x x

?-'=

≠?．

又因为0

2

()()(0)

()lim

lim

lim

22x

x x x f u du x f x A x x x ??→→→-===-?，即(0)?'=2

A

．所以 ()x ?'=02()(),0,02

x xf x f u du x x A

x ?-?≠??

?=???． 由于

2

20

00()()()()lim ()lim

lim lim x

x

x x x x xf x f u du

f u du f x x x

x x ?→→→→-'==-??=(0)2

A ?'=． 从而知()x ?'在0x =处连续．

注 这是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、按定义求导数、讨论函数在一点的连续性等知识点的综合题．而有些读者在做题过程中常会犯如下两种

错误：

（1）直接求出

02()()()x

xf x f u du

x x

?-'=

?，

而没有利用定义去求(0)?'，就得到结论(0)?'不存在或(0)?'无定义，从而得出()x ?'在

0x =处不连续的结论．

（2）在求0

lim ()x x ?→'时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导

致

()()()1

lim ()lim ().22x x xf x f x f x x f x x ?→→'+-''=

=

又由0

()

lim

x f x A x

→=用洛必达法则得到0lim ()x f x →'=A ，出现该错误的原因是由于使用洛必达

法则需要有条件：()f x 在0x =的邻域内可导．但题设中仅有()f x 连续的条件，因此上面出现的0

lim ()x f x →'是否存在是不能确定的．

例35（00研） 设函数()f x 在[0,]π上连续，且

()0f x dx π

=?

，0

()cos 0f x xdx π

=?．

试证在(0,)π内至少存在两个不同的点12,ξξ使得12()()0f f ξξ==．

分析 本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数0()()x

F x f t dt =?，找出

()F x

的三个零点，由已知条件易知(0)()0F F π==，0x =，x π=为()F x 的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明()f x 在(0,)π之间存在两个零点．

证法1 令0()(),0x

F x f t dt x π=≤≤?，则有(0)0,()0F F π==．又

00

()cos cos ()[cos ()]()sin f x xdx xdF x xF x F x xdx π

ππ

π==+?

??

()sin 0F x xdx π

==?，

由积分中值定理知，必有(0,)ξπ∈，使得

()sin F x xdx π

?

=()sin (0)F ξξπ?-．

故()sin 0F ξξ=．又当(0,),sin 0ξπξ∈≠，故必有()0F ξ=．

于是在区间[0,],[,]ξξπ上对()F x 分别应用罗尔定理，知至少存在

1(0,)ξξ∈，2(,)ξξπ∈，

使得

12()()0F F ξξ''==，即12()()0f f ξξ==．

证法2 由已知条件0

()0f x dx π

=?及积分中值定理知必有

10

()()(0)0f x dx f π

ξπ=-=?

，1(0,)ξπ∈，

则有1()0f ξ=．

若在(0,)π内，()0f x =仅有一个根1x ξ=，由0()0f x dx π

=?知()f x 在1(0,)ξ与1(,)ξπ内异号，不妨设在1(0,)ξ内()0f x >，在1(,)ξπ内()0f x <，由

()cos 0f x xdx π

=?

，0

()0f x dx π

=?，

以及cos x 在[0,]π内单调减，可知：

10

0()(cos cos )f x x dx π

ξ=-?=1

1

110()(cos cos )()(cos cos )f x x dx f x x dx ξπ

ξ

ξξ-+-??0>．

由此得出矛盾．故()0f x =至少还有另一个实根2ξ，12ξξ≠且2(0,)ξπ∈使得

12()()0.f f ξξ==

例36 计算20

43

dx

x x +∞

++?

．

分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算． 解 20

43dx x x +∞

++?

=20lim 43t t dx x x →+∞++?=0111lim ()213

t t dx x x →+∞-++?

=011lim [ln ]23t t x x →+∞++=111

lim (ln ln )233

t t t →+∞+-+

=

ln 3

2

． 例37 计算3

2

2

(1)

2x x x +∞

--?．

解 3

22(1)2x x x

+∞

--?2

23

223

sec tan 1sec sec tan (1)(1)1

x d x x π

π

θθ

θ

θθθ

+∞

=-=---?

?

23

3cos 1d π

πθθ==-

?． 例38 计算4

2

(2)(4)

x x --?．

分析 该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当

3

2

(2)(4)

x x --?

4

3

(2)(4)

x x --?均收敛时，原反常积分才是收敛的．

解 由于

3

2

(2)(4)

x x --?

3

2lim (2)(4)

a

a x x +

→--?=3

2

2lim 1(3)

a

a x +

→--?

=32lim[arcsin(3)]a a x +

→-=

2

π

． 4

3

(2)(4)

x x --?

=3

4lim (2)(4)

b

b x x -

→--?=3

2

4lim 1(3)

b

b x -

→--?

=34lim[arcsin(3)]b b x -

→-=

2

π

． 所以 4

2

(2)(4)

x x --?22

π

π

π=

+

=．

例39 计算0

5

(1)

x x +∞

+?．

分析 此题为混合型反常积分，积分上限为+∞，下限0为被积函数的瑕点． 解 x t =，则有

5

(1)

x x +∞

+?

＝50

22

2(1)

tdt t t +∞

+?

＝50

22

2(1)

dt t +∞

+?

，

再令tan t θ=，于是可得 50

2

2

(1)

dt t +∞

+?

＝2

502

2

tan (tan 1)

d π

θθ+?＝2

250sec sec d π

θθθ

?＝2

30sec d πθθ? ＝3

20

cos d π

θθ?＝220(1sin )cos d π

θθθ-?

＝220(1sin )sin d π

θθ-?

＝3/2

1

[sin sin ]3πθθ-＝23

． 例40 计算2

1

4

21dx x -

+?． 解 由于

2

2

1

114

22222

211

1()11

12()d x x x dx dx x x x x x -

--+

-==+++-?

??，

可令1

t x x

=-，则当2x =-2

2

t =-

；当0x -→时，t →+∞；当0x +→时，t →-∞；当1x =时，0t =；故有

2

1

014

22022

11

()()

1112()2()d x d x x x dx x x x x x

-

---=+++-+-?

??

0222()22d t dt

t t +∞

--∞=++?

? 21

arctan )2

π=

+ ． 注 有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．

例41 求由曲线1

2

y x =，3y x =，2y =，1y =所围成

的图形的面积．

分析 若选x 为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．下面选取以y 为积分变量．

解 选取y 为积分变量，其变化范围为[1,2]y ∈，则

面积元素为

dA =1|2|3y y dy -=1

(2)3y y dy -． 于是所求面积为

211(2)3A y y dy =-?=52

．

例42 抛物线22y x =把圆228x y +=分成两部分，求这两部分面积之比．

解 抛物线22y x =与圆228x y +=的交点分别为

2

x y =

1

y =3y x =o 1-3

-3

21

2

1

1

-2-x

y

2y =图5－1

3

4

2-

(2,2)与(2,2)-，如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两

个部分1A ，2A ，记它们的面积分别为1S ，2S ，则有

图5－2

1S =22

2

2(8)2y y dy ---?=244

88cos 3d π

πθθ--?=423π+，218S A π=-=4

63π-，于是

12S S =4

23463

ππ+-=3292

ππ+-． 例43 求心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积．

分析 心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．

解 求得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的交

点为(,)ρθ=3(,)23

π

±，由图形的对称性得心形线

1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积为

图5－3

A =2

2320

3112[(1cos )(3cos )]22

d d π

π

πθθθθ++?

?=54π． 3

π

θ=

3cos ρθ

=3

2

1

1

-x

o

y

1

21

-2A 1

A 1

2

(2,2)

-o

x

y

22y x

=2

2

8

x y +=2-1-1

2

1-2

-1cos ρθ

=+

例44 求曲线ln y x =在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．

分析 要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式．

解 设所求切线与曲线ln y x =相切于点(,ln )c c ，则切

线方程为1

ln ()y c x c c

-=-．又切线与直线2x =，6x =和曲

线ln y x =所围成的平面图形的面积为

图5－4

A =621[()ln ln ]x c c x dx c -+-?=4

4(1)4ln 46ln 62ln 2c c

-++-+．

由于

dA dc =2164c c

-+=24

(4)c c --， 令

0dA dc =，解得驻点4c =．当4c <时0dA dc <，而当4c >时0dA

dc

>．故当4c =时，A 取得极小值．由于驻点唯一．故当4c =时，A 取得最小值．此时切线方程为：

1

1ln 44

y x =

-+． 例45 求圆域222()x y b a +-≤（其中b a >）绕x 轴旋转而成的立体的体积．

解 如图5－5所示，选取x 为积分变量，得上半圆周的方程为

222y b a x =+-，

下半圆周的方程为

221y b a x =--．

图5－5

则体积元素为

dV =2

22

1()y y dx ππ-=224b a x dx π-．于是所求旋转体的体积为 V =22

4a

a

b a x dx π--?

=22

8a

b a x dx π-?

=284

a b ππ?

=222a b π．

注 可考虑选取y 为积分变量，请读者自行完成．

例46（20XXXX 研） 过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D ．

(0,)

b o

222

()(0)

x y b a b a +-=>>x

y

1x

o y

23121

-4567

3

ln y x

=2

x =6

x =(,ln )

c c

高数不定积分例题

不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析：因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案：B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(，则=)(x f （ ） A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析：对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=，所以= )(x f x x cos 答案：C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形 解：1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分

1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=，设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解：1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u ，v '的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dx v '，即dv dx v ='，使积分变为?udv ；②代公式，?udv ?-=vdu uv ，计算出dx u du '=；③计算积分?vdu 解：?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (

非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义

定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所

示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质：①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)| b a，即∫b a f(x)d x＝F(x) |b a＝F(b)－F(a)． 课前预测： 1.∫421 x d x等于( ) A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2

高等数学不定积分习题

第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二．是非判断题 1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。 （A ）?=dx x F )('f(x)+c; （B ）?dx x f )(=F(x)+c; （C ）? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。 （A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3．下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数，且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=，则f(x)=______.

高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1

1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=？11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

高等数学不定积分例题思路和答案超全

高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？

《高等数学》不定积分课后习题详解Word版

不定积分内容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解：53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? （ ） ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ??

★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

高等数学微积分复习题

第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写

高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?

思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12) 3x x e dx ?

[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]

高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:

樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分

分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__

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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx

(完整word版)高等数学第四章不定积分习题,DOC

第四章不定积分 §4–1不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)( '，则F(x)叫做)(x f在该区间上的一个,)(x f的 F= x f )(x A(1,6)和B(2,- .[] 三．单项选择题 1．c为任意常数，且) F=f(x),下式成立的有。 ('x （A）?= =F(x)+c; ('f(x)+c;（B）?dx x F) dx ( f) x （C）?=dx x F)()('x F+c;(D)?dx ('=F(x)+c. x f) 2.F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有。

48 （A ）F(x)=cG(x);（B ）F(x)=G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c;(D))()(x G x F ?=c. 3．下列各式中是||sin )(x x f =的原函数。 (A)||cos x y -=;(B)y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D)y={. 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 dx x -2 x 2sin 9.dx x x 2 )2sin 2(cos -?10.? ++dx x x 2cos 1cos 12 11.?dx x x x 2 2 cos sin 2cos 12.?++-dx x x x 3322332 13.dx x x )12 13( 22?--+14.?-dx x x x )tan (sec sec

15.?- dx x x x )1 1(216.dx x x ? -+11 五．应用题 1．一曲线通过点(2e ,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该 曲线的方程. 2．一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是32t (米/秒),问: ? 15．= -? dx x x 1 12 = -? dx x x 2 2)1 (11=-? 2 )1(11x x d _________ 16.若??≠=++=)0________()(,)()(a dx b ax f c x F dx x f 则 二．是非判断题 1． ??+?=??? ??=c x x d x dx x x 21 2111ln .[]

同济大学(高等数学)_第四章_不定积分

第四章不定积分 前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法． 第1节不定积分的概念与性质 不定积分的概念 在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为 =， s s t () 则质点在时刻t的瞬时速度表示为 =． () v s t' 实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t的瞬时速度 v v t =， () 求出质点的位移函数 =． s s t () 即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．

1.1.1原函数 定义 1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有 ()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数． 例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以 sin x 是 cos x 在 (,) -∞+∞上的一个原函 数．1 (ln )'(0),x x x =>所以ln x 是1x 在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢这里我们给出一个充分条件． 定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有 ()()'=F x f x ． 简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数． 定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论：

高等数学定积分复习题

1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。

高等数学第四章不定积分课后习题详解

第4章不定积分 内容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质， 将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将

定积分与微积分基本定理复习讲义

定积分与微积分基本定理复习讲义 河南省卢氏县第一高级中学山永峰 考 什么怎么考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． [归纳·知识整合] 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质：①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x

高等数学不定积分练习题

作业习题 求下列不定积分。 1、dx x ? +sin 11；2、dx e x ?+-23；3、dx x x x ?+--22)83(32；4、dx e e x x )sin(?； 5、dx e x ?-2； 6、dx x a x ?-2 2 1； 7、dx x x x ? -3 ； 8、dx x x x ? +) 1(arctan 2 2；9、dx x e x ?+22)1(tan ；10、dx x x ?++)1ln(2； 11、?-xdx e x cos ；12、dx x x x x x ?+++-232223；13、dx x ?+sin 451 ； 14、dx x x x -+?111；15、dx x x ?+)1(124； 16、dx b x a x ?++) )((1 。

作业习题参考答案： 1、解：dx x ? +sin 11 ?+-=-=C x x dx x x sec tan cos sin 12 。 2、解：dx e x ?+-23C e x d e x x +-=+--=+-+-?23233 1 )23(31。 3、解：dx x x x ?+--2 2)83(32C x x x x x x d ++--=+-+-=?831)83()83(2222。 4、解：dx e e x x )sin(?C e de e x x x +-==?cos sin 。 5、解：dx e x ?-2 C t t t dt dt dt t t t e t x +-=+-=+? -=???2 arctan 24224222222 C e e x x +-- -=2 2arctan 2 422。 6、解：dx x a x ? -2 2 1 C x x a a a C t t a t a dt t a x +--=+-==?2 2ln 1cot csc ln 1sin sin 。 7、解：dx x x x ? -3dt t t t t t t dt t t t t x )11 1(6623452386 -++++++=-=?? C t t t t t t t +-++++++=)1ln 2 3456(62 3456 C x x x x x x x +-++++++=)1ln 2 3456(661613 1 21 32 65 。 8、解：dx x x x ? +) 1(arctan 2222 21sin cos cot )1(csc arctan t dt t t t t dt t t x t -+-=-=?? C t t t t +-+-=22 1 sin ln cot C x x x x x +-++- =22)(arctan 2 1 1ln arctan 。 9、解：dx x e x ?+22)1(tan ??+=xdx e xdx e x x tan 2sec 222

(完整word版)高等数学不定积分相关题目和答案

不定积分 一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 如果x e -是函数()f x 的一个原函数，则 ()f x dx =? 。 2. 若()2cos 2 x f x dx C =+?，则()f x = 。 3. 设1 ()f x x =，则()f x dx '=? 。 4. ()()f x df x =? 。 5. sin cos x xdx =? 。 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设3 ()ln sin 44 f x dx x C =+?，则()f x =（ ）。 A . cot 4x B . cot 4x - C . 3cos4x D . 3cot 4x 2. ln x dx x =?（ ） 。 A . 2 1ln 2x x C + B . 2 1ln 2 x C + C . ln x C x + D . 221ln x C x x -+ 3. 若()f x 为可导、可积函数，则（ ）。 A . ()()f x dx f x ' ??=?? ? B . ()()d f x dx f x ??=?? ? C . ()()f x dx f x '=? D . ()()df x f x =? 4. 下列凑微分式中（ ）是正确的。 A . 2 sin 2(sin )xdx d x = B . d = C . 1ln ()x dx d x = D . 2 1 arctan ()1xdx d x =+ 5. 若 2()f x dx x C =+?，则2(1)xf x dx -=?（ ） 。 A . 22 2(1)x C ++ B . 22 2(1)x C --+ C . 221(1)2x C ++ D . 221 (1)2 x C --+ 三、计算题（每小题8分，共48分） 1. 21 94dx x -? 2. 3. dx x ? 4. arcsin xdx ? 5. dx x x x ?++21arctan 6. .) 1(212 2 2 dx x x x ?++ 四、综合题（本大题共2小题, 总计22分） 1.（10分）求?'''?-'dx x f x f x f x f x f ]) () ()()()([3 2的值。 2.（12分）设()F x 为()f x 的一个原函数，当0x ≥时有2 ()()sin (0)0,()0f x F x x F F x ==≥且,求()f x 。

《高等数学》不定积分课后习题详解

《高等数学》不定积分课后习题详解 篇一：高等数学第四章不定积分习题 第四章不 定 积 分 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上 F?(x)?f(x)，则 F(x)叫做 f(x)在该区间上的一个 f(x)的 所有原函数叫做 f(x) 在该区间上的__________。 2．F(x)是 f(x)的一个原函数，则 y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 d(arcsinx)? 1?x2 dx ,所以 arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线 y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与 x 成正比例，并且通过点 A(1,6)和 B(2,-9),则该曲线 方程为__________ 。 二．是非判断题 1． 若 f?x?的某个原函数为常数，则 f?x??0.[ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原 函数.[ ] 3． 3 ??f?x?dx???f??x?dx.[ ] ? 4． 若 f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内 f?x?必无原函数. [ ] 5.y?ln?ax?与 y?lnx 是同一函数的原函数.[ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且 F'(x)=f(x),下式成立的有 。（A）?F'(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c; （C）?F(x)dx?F'(x)+c;(D) ?f'(x)dx=F(x)+c. 2. F(x)和 G(x)是函数 f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有 。（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）F(x)+G(x)=c;(D) F(x)?G(x)=c.3．下列各式中是 f(x)?sin|x|的原函数。(A) y??cos|x| ;(B) y=-|cosx|;(c)y=? ?cosx,x?0,cosx?2,x?0; (D) y=? ?cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0. c1、c2 任意常数。 4.F?(x)?f(x),f(x) 为可导函数，且 f(0)=1,又 F(x)?xf(x)?x2，则 f(x)=______.(A) ?2x?1 (B)?x?1 (C)?2x?1(D)?x?1 5.设 f?(sin2x)?cos2x，则 f(x)=________. 1 (A)sinx?sin2x?c;(B)x?1x2?c; (C)sin2x?1sin4x?c;(D)x2?1x4?c; 1 / 30

高等数学不定积分讲义

第3、4 次课 4 学时

不定积分的概念与性质 1、复习13个基本导数公式. 2、原函数与不定积分的概念. （1）定义1 在区间I 上，如果可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ，都有 ()'()F x f x =或()dF x =?dx x f )(， 那么函数()F x 就称为()f x (或()f x dx )在区间I 上的原函数. （2）原函数存在定理 如果函数()f x 在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数 ()F x , 使对任一x I 都有F (x ) ()f x . 注： 1、如果函数()f x 在区间I 上有原函数()F x , 那么()f x 就有无限多个原函数. ()F x C +都是()f x 的原函数. (其中C 是任意常数) ; 2、()f x 的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果 (x )和()F x 都是()f x 的原函 数,则 ()()x F x C Φ-=(C 为某个常数). 简单地说就是,连续函数一定有原函数. 定义2 在区间I 上, 函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x (或?dx x f )()在区间I 上的不定积分. 记作 ?dx x f )(, 其中记号? 称为积分号, ()f x 称为被积函数, ?dx x f )(称为被积表达式,x 称为积分变量. 3、例题讲解. 例1 因为sin x 是cos x 的原函数,所以C x xdx +=?sin cos . 因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=?2 1. 例 2. 求函数x x f 1 )(=的不定积分 解：当0x >时，(ln x ) x 1=，C x dx x +=?ln 1(0x >). 、