三角形中位线辅助线的应用

三角形中位线辅助线的应用

三角形的中位线定理是几何中一个重要定理，它不但反映了图形间线段的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系，利用三角形中位线定理能够解决很多相关的问题.

例1如图1，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）.

（C ）线段EF 的长不变

（D ）线段EF 的长与点P 的位置相关

分析：由E ，F 分别为AP ，RP 的中点，由此可联想三角形的中位线，故连接AR ，因为已知条件可知EF 为ARP 的中位线，根据中位线定理可知EF=21AR ， 因为点P 从点C 到点D 移动的移动过程中，AR 始终不变，∴EF 的长度也不变. 解：连接AR ，∵E ，F 分别是PA ，PR 的中点，∴EF=

21AB ， ∵AR 不变，∴线段EF 的长不变.故选（C ）.

点评：本题通过巧妙地连接AR ，把问题转化为三角形中位线问题，借助于中位线的性质俩来解决.

二、借助中位线定理求长度

例2某花木场有一块如四边形ABCD 的空地(如图2)，两对角线相等，各边的中点分别是E 、F 、G 、H ，用篱笆围成的四边形EFGH 场地的周长为40cm ，则对角线AC= cm

分析：根据E 、F 分别为BA ，BC 的中点，可知EF 为△ABC 的中位线，根据中位线定理可得EF=21AC ，同理可得HG=21AC ，HE=21BD ，FG=2

1BD ，根据两对角线相等可得EF=FG=GH=HE ，由此可求到EF 的长，也就求到AC 的长.

解：∵E ，F 分别是BA ，BC 的中点，∴EF=

21AC ，同理可得HG=2

1AC ， ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH=21BD ，同理可得FG=21BD ， ∵AC=BD ，∴EF=FG=GH=HE ，

∵EF+FG+GH+HE=40cm ，∴EF=10cm ，

∴AC=2EF=20cm.

点评：根据已知条件的特点，本题是将四边形问题转化为三角形问题，通过多次利用三角形中位线的性质，确定EF 的长，进而求到AC 的长.

三、借助中位线定理说理

例3 如图3，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF.

说明EF ∥CB 理由

分析：根据E 为AB 的中点，要说明EF//BC ，可说明EF 为△ABC 的中位线，为此，需要证明F 为AD 的中点.

解：∵CF平分∠ACB，

∴∠DCF=∠ACF.

又∵DC=AC，∴CF是△ACD的中线，

∴点F是AD的中点.

∵点E是AB的中点，

∴ EF//BD，即EF∥BC.

点评：本题根据点E为AB的中点联想三角形的中位线，打开了证明的思路，在解决类似问题中应注意中位线的应用.