挑战中考数学压轴题(版,精选,第一部分)

目录

第一部分函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2011年上海市闸北区中考模拟第25题

例2 2011年上海市杨浦区中考模拟第24题

例3 2010年义乌市中考第24题

例4 2010年上海市宝山区中考模拟第24题

例5 2009年临沂市中考第26题

例6 2009年上海市闸北区中考模拟第25题

例7 2008年杭州市中考第24题

1.2 因动点产生的等腰三角形问题

例1 2011年湖州市中考第24题

例2 2011年盐城市中考第28题

例3 2010年上海市闸北区中考模拟第25题

例4 2010年南通市中考第27题

例5 2009年重庆市中考第26题

例6 2009年上海市中考第24题

1.3 因动点产生的直角三角形问题

例1 2011年沈阳市中考第25题

例2 2011年浙江省中考第23题

例3 2010年北京市中考第24题

例4 2009年嘉兴市中考第24题

例5 2008年河南省中考第23题

例6 2008年天津市中考第25题

1.4 因动点产生的平行四边形问题

例1 2011年上海市中考第24题

例2 2011年江西省中考第24题

例3 2010年河南省中考第23题

例4 2010年山西省中考第26题

例5 2009年福州市中考第21题

例6 2009年江西省中考第24题

例7 2008年太原市中考第29题

1.5 因动点产生的梯形问题

例1 2011年北京市海淀区中考模拟第24题

例2 2011年义乌市中考第24题

例3 2010年杭州市中考第24题

例4 2010年上海市奉贤区中考模拟第24题

例5 2009年广州市中考第25题

例6 2009年河北省中考第26题

1.6 因动点产生的面积问题

例1 2011年南通市中考第28题

例2 2011年上海市松江区中考模拟第24题例3 2010年广州市中考第25题

例4 2010年扬州市中考第28题

例5 2009年兰州市中考第29题

例6 2008年长春市中考第25题

1.7因动点产生的相切问题

例1 2011年上海市奉贤区中考模拟第25题例2 2011年上海市徐汇区中考模拟第25题例3 2010年福州市中考第22题

例4 2010年盐城市中考第28题

例5 2009年江苏省中考第28题

例6 2008年哈尔滨市中考第28题

例7 2008年南京市中考第27题

1.8因动点产生的线段和差问题

例1 2011年嘉兴市中考第24题

例2 2011年菏泽市中考第21题

例3 2010年中山市中考第22题

例4 2010年南通市中考第28题

例5 2009年济南市中考第24题

例6 2009年北京市中考第25题

版权声明

选自东师范大学出版社出版的《挑战中考数学压轴题》（含光盘）一书。该书收录当年全国各地具有代表性的中考数学压轴题，并把它们分为4部分、24小类。该书最大的特色是用几何画板和超级画板做成电脑课件，并为每一题录制了视频讲解，让你在动态中体验压轴题的变与不变，获得清晰的解题思路，完成满分解答，拓展思维训练。

《挑战中考数学压轴题》自出版以来广受读者欢迎，被评为优秀畅销图书。在上海、北京、江苏、浙江等省市的名牌初中的毕业班学生中，几乎人手一本，成为冲刺名牌高中必备用书。

由于格式问题，该书最具特色的电脑课件和视频文件在此无法一并附上，敬请原谅。

第一部分 函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2011年上海市闸北区中考模拟第25题

直线

113

y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点． (1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；

(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；

(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11闸北25”， 拖动点Q 在直线BG 上运动， 可以体验到， △ABQ 的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B 上、下各有两种．

思路点拨

1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角． 2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标． 3．第（3）题判断∠ABQ ＝90°是解题的前提．

4．△ABQ 与△COD 相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q 与点B 的位置关系分上下两种情形，点Q 共有4个．

满分解答

（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．

（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=??=??-+=? 解得1,2,3.a b c =-??=??=?

所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)． （3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ． 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°．

因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么22(3)10BQ x x x =+±． Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况：

①当

3BQ BA =时，10310x

±=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --． ②当13BQ BA =时，101310

x ±=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．

图2 图3

考点伸展

第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是22(3)10BQ x x x +±．

我们换个思路解答第（3）题：

如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．

通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°． 在Rt △BGH 中，sin 110∠=cos 110

∠=

①当3BQ BA

=时，310BQ =

在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =?∠=，cos 19BN BQ =?∠=． 当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --． ②当13BQ BA =时，1103BQ =31(,2)3Q ，41

(,0)3

Q -．

例2 2011年上海市杨浦区中考模拟第24题

Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k

y k x

=

≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．

（1）求m 与n 的数量关系；

（2）当tan ∠A ＝

1

2

时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A 在x 轴上运动，可以体验到，直线AB 保持斜率不变，n 始终等于m 的2倍，双击按钮“面积BDE ＝2”，可以看到，点E 正好在BD 的垂直平分线上，FD //x 轴．拖动点P 在射线FD 上运动，可以体验到，△AEO 与△EFP 相似存在两种情况．

思路点拨

1．探求m 与n 的数量关系，用m 表示点B 、D 、E 的坐标，是解题的突破口． 2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD //x 轴．

3．如果△AEO 与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．

满分解答

（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数k

y x =的图像上，所以4,2.m k n k =??=?

整理，得n ＝2m ．

（2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝1

2

，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)．

已知△BDE 的面积为2，所以11

(1)2222

BD EH m ?=+?=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)．

因为点D （4，1）在反比例函数k

y x

=的图像上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4y x

=

． 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B (4，3)、E (2，2)，得34,22.

k b k b =+??

=+? 解得1

2k =，

1b =．

因此直线AB 的函数解析式为1

12

y x =

+．

图2 图3 图4

（3）如图3，因为直线

1

1

2

y x

=+与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），

所以FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP相似存在两种情况：

①如图3，当EA EF

AO FP

=时，

255

=．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）．

②如图4，当EA FP

AO EF

=时，

25

5

=．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）．

考点伸展

本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：

第（1）题的结论m与n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为

12 y

x

=-，

直线AB为

1

7

2

y x

=-．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP也不可能相似．

图5

例3 2010年义乌市中考第24题

如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标； （2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；

（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I 上下运动，观察图形和图像，可以体验到，x 2－x 1随S 的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q 在DM 上运动，可以体验到，如果∠GAF ＝∠GQE ，那么△GAF 与△GQE 相似．

思路点拨

1．第（2）题用含S 的代数式表示x 2－x 1，我们反其道而行之，用x 1，x 2表示S ．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y 2－y 1＝3．通过代数变形就可以了．

2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．

3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x 轴的下方，或者假设交点G 在x 轴的上方．

满分解答

（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，1

8

-）

． （2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62

x x S x x -+-?3

=

=+-，由此得到

1223s x x +=+．由于213y y -=，所以222122111111

38484

y y x x x x -=--+=．整理，得

21211

1()()384x x x x ??-+-=????

．因此得到2172x x S -=．

当S =36时，212114,2.x x x x +=??-=? 解得126,

8.

x x =??=? 此时点A 1的坐标为（6，3）．

（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x

轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．

在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．

在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．

因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．

由于

3

tan

4

GAF

∠=，tan

5

DQ t

PQD

QP t

∠==

-

，所以

3

45

t

t

=

-

．解得

20

7

t=．

图3 图4

考点伸展

第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．

例4 2010年上海市宝山区中考模拟第24题

如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线2

2y mx mx n =++上． （1）求m 、n ；

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A ′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A ′B ′B 为菱形．再拖动点D 在x 轴上运动，可以体验到，△B ′CD 与△ABC 相似有两种情况．

思路点拨

1．点A 与点B 的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B ′ 的坐标、AC 和B ′C 的长．

2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．

3．探求△ABC 与△B ′CD 相似，根据菱形的性质，∠BAC ＝∠CB ′D ，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．

满分解答

(1) 因为点 A (-2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线2

2y mx mx n =++上，所以

444,20.

m m n m m n -+=??

++=? 解得

43m =-，4n =． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所

以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--

=x x y ()2

416133

x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4．

因此平移后的抛物线的解析式为()3

16434

2,

+--

=x y ．

图2

(3) 由点A (-2，4) 和点B′(6，0)，可得A B′＝45．

如图2，由AM//CN，可得

''

''

B N B C

B M B A

=，即

2

845

=．解得'5

B C=．所以

35

AC=．根据菱形的性质，在△ABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．

①如图3，当

'

'

AB B C

AC B D

=时，

5

35

=，解得'3

B D=．此时OD＝3，点D的坐

标为（3，0）．

②如图4，当

'

'

AB B D

AC B C

=时，

355

=，解得

5

'

3

B D=．此时OD＝

13

3

，点D的

坐标为（13

3

，0）．

图3 图4

考点伸展

在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．

我们也可以讨论△B′CD与△C B B′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算．

例5 2009年临沂市中考第26题

如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．

,

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P 在抛物线上运动，可以体验到，△P AM 的形状在变化，分别双击按钮“P 在B 左侧”、“ P 在x 轴上方”和“P 在A 右侧”，可以显示△P AM 与△OAC 相似的三个情景．

双击按钮“第(3)题”， 拖动点D 在x 轴上方的抛物线上运动，观察△DCA 的形状和面积随D 变化的图象，可以体验到，E 是AC 的中点时，△DCA 的面积最大．

思路点拨

1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．

4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．

满分解答

（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为

)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得2

1

-=a ．所以抛物线的解析式为

22

5

21)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．

（2）设点P 的坐标为))4)(1(2

1

,(---x x x ．

①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(2

1

---=x x PM ，x AM -=4．

如果2==CO AO

PM AM ，那么24)

4)(1(21

=----x

x x ．解得5=x 不合题意． 如果21==CO AO PM AM ，那么2

1

4)

4)(1(21

=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．

②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1

(2

1

--=

x x PM ，4-=x AM ． 解方程2

4)4)(1(21

=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．

解方程2

14)

4)(1(21

=---x x x ，得2=x 不合题意．

③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(2

1

--=x x PM ，x AM -=4．

解方程24)

4)(1(21

=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．

解方程2

1

4)

4)(1(21

=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．

综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．

图2 图3 图4 （3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为22

1

-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<

5

21,(2-+-

m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 22

12

+-=．

因此4)22

1(212?+-=?m m S DAC m m 42

+-=4)2(2+--=m ．

当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．

图5 图6

考点伸展

第（3）题也可以这样解：

如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．

设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<

42)4(21

)2(214)22(21++-=--+-?+=

n m m n n m n S ． 由于22

5212-+-=m m n ，所以m m S 42

+-=．

例6 2009年上海市闸北区中考模拟第25题

如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cos A

＝

3

10

．D为射线

BA上的点（点D不与点B 重合）

，作DE//BC交射线CA于点E.．

(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；

(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；

(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．

图1 备用图备用图

动感体验

请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D可以在射线BA上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．

双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”，可以体验到，△DEF为等腰三角形．

思路点拨

1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．

2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况．

3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．

4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．

满分解答

（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝

3

10

AH

AB

=，所以AH＝

3

2

＝

1

2

AC．所以BH垂直平分AC，△ABC为等腰三角形，AB＝CB＝5．因为DE//BC，所以

AB AC

DB EC

=，即53

y x

=．于是得到

5

3

y x

=，（0

x>）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以

DE AE

BC AC

=，

MN AN

BC AC

=，即|3|

53

DE x

-

=，

1

|3|

2

53

x

MN-

=．因此

5|3|

3

x

DE

-

=，圆心距

5|6|

6

x

MN

-

=．

图2 图3 图4

在⊙M 中，115226M r BD y x =

==，在⊙N 中，1122N r CE x ==． ①当两圆外切时，5162x x +5|6|6

x -=．解得30

13x =或者10x =-．

如图5，符合题意的解为30

13x =，此时5(3)15313

x DE -==．

②当两圆内切时，51

62x x -5|6|6x -=．

当x ＜6时，解得30

7x =，如图6，此时E 在CA 的延长线上，5(3)1537

x DE -==；

当x ＞6时，解得10x =，如图7，此时E 在CA 的延长线上，5(3)3533

x DE -==．

图5 图6 图7

（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．

如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．

如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时

125

34

BF =

．

图8 图9 图10 图11

考点伸展

第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．

例 7 2008年杭州市中考第24题

如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2

tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．

（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ?=2

？请你作出判断，并说明理由； （2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝

2

3

，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“08杭州24”，拖动点A 在y 轴上运动，可以体验到，AQ 与BC 保持平行，OA ∶OB 与OA ∶OB ′保持3∶2．

双击按钮“t ＝3”，“t ＝0．6”，“t ＝－0．6”，“t ＝－3”，抛物线正好经过点B （或B ′）．

思路点拨

1．数形结合思想，把OC OB OA ?=2

转化为212t x x =?．

2．如果AQ ∥BC ，那么以OA 、AQ 为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t ＝b ． 3．分类讨论tan ∠ABO ＝

2

3

，按照A 、B 、C 的位置关系分为四种情况．A 在y 轴正半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况；A 在y 轴负半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况．

满分解答

（1）因为平移2

tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．

因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．

令0=y ，得-=t OB t b

，+=t OC t

b ． 所以-

=?t OC OB (|||||t b )( +t t b )|-=2|t 22|OA t t

b ==．即22

b t t t -=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2

OC OB OA ?=．

（2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2

)(．解得

1,121+=-=t x t x ．

①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．

如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=|||

|OB OA =1

-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832

-+-=x x y ．

如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 5

3

．此时二次函数的解析式为-

=y 532x ＋

2518x ＋125

48

．

图2 图3

②如图4，如图5，当0

3

-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=

y 532x ＋

2518

x －125

48或241832++=x x y ．

图4 图5

考点伸展

第（2）题还可以这样分类讨论：

因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为2

()y t x t t =--+．由3

tan 2

OA ABO OB ∠==，得2

3OB OA =

． ①把2(,0)3B t 代入2

()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）．

②把2(,0)3B t -代入2

()y t x t t =--+，得35

t =±（如图3，图4）．

第一部分 函数图象中点的存在性问题

1.2 因动点产生的等腰三角形问题

例1 2011年湖州市中考第24题

如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．

（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；

（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P 在OC 上运动，可以体验到，△APD 的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”， 拖动点P 由O 向C 运动，可以体验到，点H 在以OM 为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．

思路点拨

1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．

3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ．

满分解答

（1）因为PC //DB ，所以

1CP PM MC

BD DM MB

===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．

（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．

①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得3

2

m =（如图3）．

②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得4

3

m =（如图4）或4m =（不合题意，

舍去）．

③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得2

3

m =（如图5）或2m =（不合题意，

舍去）．

综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为

32，43或23

．

图3 图4 图5

（3）点H 所经过的路径长为5

π．

考点伸展

第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：

①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，3

2

m =． ②如图4，当P A ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43

m =．

第（2）题的思路是这样的：

如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．

图6 图7