九年级数学： 第21章一元二次方程全章教案

21.1 一元二次方程

一、教学内容：认识一元二次方程

二、教材分析：

教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法．一般形式也是对

具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行

归纳的结果；

三、学情分析：

初中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。从年龄特点来看，初中学生好动、好奇、好表现，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住学生这一特点，一方面要运用直观生动的生活实例，激发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。促进学生个性发展。从认知基础上看，学生已经学习了一元一次方程、平方根、因式分解等知识，为本章的学习奠定了基础。学生在利用方程解决实际问题的过程中，会发现仅用这些知识是不能够解决的，因此迫切的需要一元二次方程这个解决问题的工具。

四、教学目标

（一）知识与技能

1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.

2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式

3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根

（二）过程与方法

通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.

（三）情感态度价值观

通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其

它三种特殊形式.

五、教学重难点

教学重点：一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的概念

教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型

六、教学方法和手段：

讲授法、练习法

七、学法指导

讲授指导

八、教学过程

一、复习引入

小学学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次

方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众

多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课

开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念.

二、探究新知

（一）探究课本问题2

分析：

1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？

2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x 个队参赛，如何用含x 的

代数式表示全部比赛场数？

整理所列方程后观察：

1.方程中未知数的个数和次数各是多少？

2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？

4x+3=0；0422=-+x x ；042=-+y x ；0350752=+-x x ；0621=-+x x

（二）概念归纳：

1.一元二次方程定义：

首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2.

2.一元二次方程的一般形式：

①为什么规定a ≠0？

②方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x 的一元二次方

程()002≠=--a c bx ax 的各项分别是什么？各项系数是什么？

3.特殊形式：()002≠=+a bx ax ；()002≠=+a c ax ；()002≠=a ax

（三）课本例题

类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解

变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”

是性质符号负号，不是运算符号减号.

（四）一元二次方程的根的概念

1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念

2.下面哪些数是方程x 2+5x+6=0的根？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．

3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

（1）x 2-64=0（2）x 2+1=0 （3）x 2-3x=0 （4）0122=++x x

4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？

5.排球邀请赛问题中，所列方程562=-x x

的根是8和-7，但是答案

只能有一个，应该是哪个？ 九、课堂小结

1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化

为一般形式，并正确指出其各项系数.

2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根.

十、作业布置

P4练习1

十一、板书设计

21.1 一元二次方程

一元二次方程：

二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数：十二、教学反思

21.2.1配方法

一、教学内容：用配方法解一元二次方程

二、教材分析：

对于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推导建立在直接开平方法的基础上，他又是公式法的基础：同时一元二次方程又是今后学生学习二次函数等知识的基础。一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过的一元二次方程、二次根式、平方根的意义、完全平方式等知识加以巩固。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，如观察、类比、转化等，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程，这就是降次。

三、学情分析：

他们有强烈的好奇心和求知欲。当他们在解决实际问题时发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或可化为一元一次方程的其

他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方式、二次根式，这就为我们继续研究用配方法姐一元二次方程奠定了基础。

四、教学目标：

（一）知识与技能

1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。

2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤。

（二）过程与方法

1．理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法。

2．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。

3．能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤。

（三）情感与价值观要求

通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力。

五、教学重难点：

教学重点：

用配方法求解一元二次方程。

教学难点：

理解配方法。

六、教学方法和手段：

讲练结合法。

七、学法指导：

讲授指导、讲练指导

八、教学过程：

回顾与复习1：

我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。

用配方法解一元二次方程的方法的助手：

平方根的意义：如果x2=a，那么x=±a。

完全平方式：式子a2±2ab＋b2叫完全平方式，且a2±2ab＋b2=（a±b）2

回顾与复习2：

用配方法解一元二次方程的步骤：

1、移项：把常数项移到方程的右边；

2、配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；

3、变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；

4、开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；

5、求解：解一元一次方程；

6、定解：写出原方程的解。

随堂练习：

用配方法解下列方程：

1. x2－2=0

2.x2＋4x=2

3. 3 x2＋8 x－3=0

这个方程与前2个方程不一样的是二次项系数不是1，而是3。

基本思想是：

如果能转化成前2个方程的形式，则方程即可解决。

你想到了什么办法？

例2 解方程：3 x2＋8 x－3=0

解：3 x 2＋8 x －3=0

x 2＋38x －1=0 1、化1：把二次项系数

化为1；

x 2＋38x=1 2.移项：把常数项移到方

程的右边；

x 2＋38x ＋（34）2=1＋（34）2 3 . 配方：方程两边都加上

一次项系数

绝对值一半的平方； （x ＋34）2=（35）2 4. 变形：方程左边分解因式，

右边合并同类项；

x ＋34=±35 5. 开方：根据平方根的

意义，方程两

边开平方；

x ＋34=35 或 x ＋34=－35 6. 求解：解一元一次方

程；

所以x 1==3

1， x 2=－3 7. 定解：写出原方程的

解。

心动不如行动：

用配方法解下列方程

1．3x 2 －9x ＋2=0

2．2x 2＋6=7x

做一做：

一个小球以15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)

与时间t(s)满足关系：

h=15t －5t 2,

小球何时能达到10m 高？

解：根据题意，得：

15t －5t 2=10

即t 2－3t=－2

t 2－3t ＋（23）2=－2＋（2

3

）2

（t －23）2=4

1 即t －23=21 或t －23=－21 所以t 1=2， t 2=1

答：在1s 时，小球达到10m ；至最高点后下落，在2s 时其高度又为10m 。

九、课堂小结

本节复习了哪些旧知识呢？

继续请两个“老朋友”助阵和加深对“配方法”的理解运用： 平方根的意义：如果x 2=a ，那么x=±a 。

完全平方式：式子 a 2±2ab ＋b 2叫完全平方式，且a 2±2ab ＋b 2=

（a ±b ）2

本节课又学会了哪些新知识呢？

用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤：

1、 化1：把二次项系数化为1；

2、 移项：把常数项移到方程的右边；

3、 配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；

4、 变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；

5、 开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；

6、 求解：解一元一次方程；

7、 定解：写出原方程的解。

用一元二次方程这个模型来解答或解决生活中的一些问题（即列一元二次方程解应用题）。

十、作业布置

P9习题2

十一、板书设计：

课题：配方法

1．回顾与复习

平方根的意义：如果x2=a，那么x=±a。

完全平方式：式子a2±2ab＋b2叫完全平方式，且a2±2ab＋b2=（a±b）2

2．随堂练习

用配方法解下列方程：

1. x2－2=0

2.x2＋4x=2

3. 3 x2＋8 x－3=0

3．例2 解方程：3 x2＋8 x－3=0

4．用配方法解下列方程

1．3x2 －9x＋2=0

2．2x2＋6=7x

5．做一做

6．小结

7．作业

十二、教学反思

21.2.2公式法

一、教学内容：用公式法解一元二次方程

二、教材分析：

数学是一种逻辑性很强的科目，有一定的规律可寻，而探索与猜想不仅要体现数学知识的应用，而且要注重在观察实践中抽象出规律。在计算量较大时，规律的探索显得更加重要，本节课是一元二次方程求根公式的推导和应用，通过引导学生自主探究推导出公式，按照：质疑—猜想—类比—探索—归纳—应用的教学流程，让学生进一步体会公式法由配方法产生，且优于配方法，从而达到知识正迁移的目的。

三、学情分析：

本节是在学生已经掌握了配方法解一元二次方程的基础上，从问题入手，推导求根公式，并能用公式法解简单系数的一元二次方程。

四、教学目标：

（一）知识教学点

1、了解一元二次方程求根公式的推导

2、会利用公式法解一元二次方程

（二）能力训练点

通过配方法解一元二次方程的过程，进一步加强推理技能训练，同时发展学生的逻辑思维能力。

（三）德育渗透点

向学生渗透由特殊到一般的唯物辩证法思想。

五、教学重点、难点、关键点

1、教学重点：一元二次方程的求根公式的推导过程

2、教学难点：灵活地运用公式法解一元二次方程

3、教学关键点：

（1）掌握配方法的基本步骤

（2）确定求根公式中a 、b 、c 的值

六、教学方法和手段

讲授法、练习法

七、学法指导

讲授指导

八、教学过程

（一） 创设情境，导入新课：

前面我们己学习了用配方法解一元二次方程，想不想再探索一种比配方法更简单，更直接的方法？ 大家一定想，那么这节课我们一同来研究。

教师；下面我们先用配方法解下列一元二次方程

学生；（每组一题，每组派一名同学板演）

1．2x 2-4x -1=0 2. x 2+1.5=-3x

3．02122=+-x x 4. 4x 2-3x+2=0

完成后小组内进行交流，并进行反馈矫正。

学生:总结用配方法解一元二次方程的步骤

教师板书：（1）移项；

（2）化二次项系数为1；

（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；

（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；

（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解。

教师：通过以上四个方程的求解，你能试着猜想一下上述问题的求解的一般规律吗？

学生：独立思考

（二）新知探索

教师：作进一步引导，如果每一个一元二次方程都通过配方法解，那么计算就较繁杂，针对于一般的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0） 能否也用配方法导出一般求解模式呢？动手试一试。

学生：动手亲自解方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）找一名同学板演。

教师：巡视，作个别点评，辅导。

教师：现在我们大家共同观察黑板上的探索过程

x 2+bx+c=0（a ≠0）

ax 2+bx=-c

教师：这是配方法中的哪一个过程

学生:移项

x 2+b a x=-c a

教师：这是配方法中的哪一个过程

学生：将二次项的系数化为1

x 2+b

a x+（2

b a ）2=-

c a +（2b a

）2 即（x+2b a

）2=2244b ac a - 教师：这是配方法中的哪一个过程

学生：配方

教师：这是什么运算

学生：开平方运算

教师：有条件限制吗？

学生: 有 当22

44b ac a -≥0时,才可以开平方 教师：在什么2244b ac a

-才能大于或等于0？学生：（思考、回答）因为a ≠0所以４a 2

＞0，如果使2244b ac a -≥0，那么只有b 2-4ac ≥0 教师：如果 b 2-4ac<0 时，可以进行开平方运算吗？

学生：不可以，因为负数没有平方根

教师：同学们推导的都很好，那么我们来总结一下，在用配方法解ax 2+bx+c=0（a ≠0）时，需注意什么？

学生：畅所欲言

九、课堂小结

对于

ax 2+bx+c=0（a ≠0），当 b 2-4ac ≥ 0 时，在这里我们

把

称为一元二次方程的求根公式，用公式可以直接解一元二次方程。 十、布置作业：

教材12页 习题1

十一、板书设计

§21.2.2 一元二次方程的解法

用求根公式法解一元二次方程

公式法：___________________ 例题讲解：___________公式法的步骤：_____________ 学生练习：___________注意事项：_________________

十二、教学反思

21.2.3因式分解法

一、教学内容：用因式分解法解一元二次方程

二、教材分析：

本节内容是多项式因式分解中一部分较基本的知识和基本的方法.它

包括因式分解的有关概念,因式分解的常用基本方法.因式分解在代数

学习中具有基础作用.它在代数的恒等变换,分式的通分,约分以及解

方程方面都起着重要作用.通过学习,可以培养学生的观察;分析;运算

能力.这部分知识对学生后续学习将起到重要的基础作用.

三、学情分析：

对于一元二次方程的解法学生基本掌握。大多数学生喜欢用求根公式，但存在的问题是部分学生根式的化简不熟练导致方程的求解不彻底。在本节课中，结合学生的实际，让学生通过复习教材，完成课前导学知识，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习.。

四、教学目标

（一）知识与技能

1.了解因式分解法的概念.

2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因

式分解，根据两个因式的积等于0，必有因式为0，从而降次解方程.（二）过程与方法

经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力.

（三）情感态度价值观

体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法.

五、教学重难点：

教学重点：会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降次解方程

教学难点：将整理成一般形式的方程左边因式分解

六、教学方法和手段

讲授法、小组讨论法

七、学法指导

讲授指导

八、教学过程

一、复习引入

我们学习了用配方法和公式法解一元二次方程，这节课我们来学习一种新的方法.

二、探究新知

1.因式分解

x 2-5x ；； 2x(x -3)-5(x -3); 25y 2-16； x 2+12x+36；4x 2+4x+1

2.若ab=0,则可以得到什么结论？

3.试求下列方程的根 ：

x(x -5)=0; (x -1)(x+1)=0；(2x -1)(2x+1)=0；(x+1)2 =0;

(2x -3)2=0.

分析：解左边是两个一次式的积，右边是0的一元二次方程，初

步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个

因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次

方程，它们的解就都是原方程的解.

4. 试求下列方程的根

①、4x 2-11x =0 x(x -2)+ (x -2)=0 (x -2)2 -(2x -4)=0

②、25y 2-16=0 (3x+1)2 -(2x -1)2 =0 (2x -1)2 =(2-x)2

③、x 2+10x+25=0 9x 2-24x+16=0;

④、5x 2-2x -41= x 2-2x+4

3 2x 2+12x+18=0; 分析：观察①②③三组方程的结构特点，在方程右边为0的前提下，

对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.总结用

因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为0，

其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因

式分别为0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最后解

这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程的解.这种解法

叫做因式分解法.

④中的方程结构较复杂，需要先整理.

5.选用合适方法解方程

x2+x+

1=0 x2+x-2=0 (x-2)2 =2-x

4

2x2-3=0.

分析：四个方程最适合的解法依次是：利用完全平方公式，求根公式法，提公因式法，直接开平方法或利用平方差公式.

归纳：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程. 解一元二次方程的基本思

路：化二元为一元，即降次.

三、课堂训练

1.完成课本练习

2.补充练习：

①已知（x+y）2 –x-y=0，求x+y的值．

②下面一元二次方程解法中，正确的是（）．

A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7

，B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=2

5

x2=3

5

C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2

D．x2=x 两边同除以x，得x=1

③今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，

打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中

a≥20m）

九、课堂小结

本节课应掌握：

1.用因式分解法解一元二次方程

2.归纳一元二次方程三种解法，比较它们的异同，能根据方程特点选择合适的方法解方程

十、作业布置

P14练习1

十一、板书设计

21.2.3因式分解法

因式分解：

练习：

十二、教学反思

21.2.4一元二次方程的根与系数关系

一、教学内容：一元二次方程的根与系数关系

二、教材分析：

本节课在教材中是初中数学九年级第一学期一元二次方程中的重要内容之一，他是在研究一元二次方程的求根公式之后对于一元二次方程根与系数关系的进一步的拓展与研究。他是今后研究一元二次方程的根与系数问题的重要依据，同时也为高中直线与圆锥曲线的位置关系打下了坚实的基础。

三、学情分析：

本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。

四、教学目标：

（一）知识与技能

熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.

提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.

（二）过程与方法

灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.

（三）情感态度价值观

学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明

五、教学重难点：

教学重点：一元二次方程的根与系数关系

教学难点：对根与系数关系的理解和推导

六、教学方法和手段：

讲授法、观察归纳法

七、学法指导：

讲授指导

八、教学过程

一、复习引入

一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？

二、探究新知

1.课本思考

分析：将（x- x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0与x2+px+ q=0对比,易知p=-( x1 +x2)，q= x1 x2. 即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.

2.跟踪练习

求下列方程的两根x1、x2. 的和与积.

x2+3x+2=0；x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0

3. 方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？

分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？

4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两

根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？

分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.

5.跟踪练习

求下列方程的两根x1、x2. 的和与积.

①3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；

②5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x

6.拓展练习

①已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则

b= ,c= .

②已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是,k

的值是 .

③若关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两个根互为相反数，则p= ; 若两个根互为倒数，则q= .

分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和

这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项.

④两个根均为负数的一元二次方程是( )

A.4x 2+21x+5=0

B.6x 2-13x -5=0

C.7x 2-12x+5=0

D.2x 2+15x -8=0 ⑤.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ）

A.4x 2-3=0

B.-3x 2+5x -4=0

C.0.5x 2-4x -3=0

D.2x 2+53x -6=0

⑥.若关于x 的一元二次方程2x 2-3x+m=0,当m 时方程有两个正根；

当m 时方程有两个负根；当m 时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.

三、课堂训练

1.完成课本练习

2.补充练习：

x 1 ，x 2是方程3x 2-2x -4=0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值：①2

111x x +； ②221212x x x x + ③2221x x +； ④()221x x -；⑤2112x x x x + 九、课堂小结

本节课应掌握：

1. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系

2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；

3.韦达定理的应用常见题型：

①不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；

②已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；

③由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；

④判断两个根的符号；○5不解方程求含有方程的两根的式子的值.

十、作业设计

P16练习1

七年级一元二次方程

二元一次方程 二元一次方程：每个方程都含有两个未知数（x 和y ）， 并且含有未知数的项的次数都是1，这 样的方程叫做二元一次方程。 二元一次方程的解：是二元一次方程两边的值相等的两 个未知数的值，叫做二元一次方程 的解。 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方 程和在一起，就组成了一个二元一次 方程组。 二元一次方程组的解：二元一次方程组两个方程的公共 解，叫做二元一次方程组的解。 代入消元法：例1 二元一次方程组的解法 加减消元法： 巩固提升： 用代入消元法解下列方程组 （1）???=+=53x y x （2）???==+y x y x 3232 （3）? ??+-=+8257 3y x y x 练习： 1、下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ） Ａ、???=+=321y x Ｂ、???=-=+01y x y x Ｃ、???==+01xy y x Ｄ、???=-=1 2y x x y 2、已知x ，y 的值：①???==22y x ②???==23y x ③???-=-=23y x ④? ??==66 y x 其中，是二元一次方程42=-y x 的解的 是（ ） Ａ、① Ｂ、② Ｃ、③ Ｄ、④ 3、若方程826=-y kx 有一解?? ?=-=2 3 y x 则k 的值等于（ ） Ａ、61 - Ｂ、61 C 、32 Ｄ、3 2- 4、已知一个二元一次方程组的解是???-=-=2 1 y x 则这个方程组是（ ） Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、 ???=-=+23xy y x ???=--=+123y x y x ???-=-=32x y y x ?????-=+=-4 21 6 532y x y x

解一元二次方程--教学设计(张洁)

一、关联认知经验， 明确研究方向 问题（1）我们上节课已经学习了一元二次方程的概念，按照你以往的学习经验，接下来我们要研究什么呢？ 活动（1）请每组同学写出一些一元二次方程，为了方便观察，我们统一都写成一元二次方程的一般形式. 活动（2）虽然同学们写的都是一般形式，但是我们还是发现大家能够写出看起来是各式各样的一元二次方程.当我们要研究一个比较复杂的情形时可以怎么办呢？对，分类.那么请同学试着将这些一元二次方程分分类吧. 活动（3）请每组同学领一张任务纸，讨论呈现方式后，将自己小组同学写出的所有一元二次方程进行归类。学生预案： 根据已有的学习一元一次方程和分式 方程的经验，我们是按照方程的概念、解 法和应用的顺序展开研究，下面应该研究 一元二次方程的解法了. 学生预案： 分类方法可能有： （1）按等号左边多项式所含的项数分； （2）按系数是否为零分等情况； 教师预案： 根据学生的分类情况及时回应，如果 学生分类范围比较大，追问还能细分么？ 例子中若含有x2+1=0，x2+2x=0则引导学 生细分为两种情况，例子中若不含 x2+2x=0，教师不急于补充，在接下来的环 节中引导学生自主写出. 经过讨论，发现当a>0时，根据b、c 正、零、负的不同取值，一元二次方程共 有9种不同的类型；当a<0时，依据等式 的基本性质可将方程变为a>0的情形，因 此我们可以直接对b、c进行分类,对这9 类情形进行解法探究. 学生预案： 类别的呈现会出现直接罗列、树状 图、列表格等不同的形式。 教师预案： 用实物投影全班展示,比一比谁的呈 现方式更加直观简洁。 让学生有意识的 根据自己的学习经验， 总结代数学中研究方 程的一般顺序.自主提 出研究的内容和方向. 让学生自己写一 元二次方程，是对定义 的一次复习，同时也是 训练学生的发散思维， 提高同学的参与度和 研究兴趣的一种策略. 使学生在分类活 动中逐步认识一元二 次方程的各种形式，为 探究一元二次方程的 解法布好局，学生在接 下来的学习中探究每 个不同形式的方程解 法，也就完成了整个单 元中解法探索的整合 教学.使学生的学习是 连贯的、系统的，知识 的建构是完整的. “列表格”是数学中 常用的分析问题的方 法，既有直观简洁的特 征，又能体现分类者的 思维顺序。这里，通过 填表加深学生对一元 二次方程各项系数的 认识，以及方程不同类 型的理解，并为后续研

21.1一元二次方程教案.1一元二次方程教案.doc

21.1 一元二次方程 一、内容和内容解析 1．内容：一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式． 2．内容解析：一元二次方程是方程在一元一次方程基础上“次”的推广，同时它是解决诸多实际问题的需要，为勾股定理、相似等知识提供运算工具，是二次函数的基础．21 世纪教育网版权所有针对一系列实际问题，建立方程，引导学生观察这些方程的 共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念及一般形式．在这个过程中，通过归纳具 体方程的共同特点，得出一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一 般形式ax2+bx+c=0（a≠0）也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项 数”等角度进行归纳的结果；a≠0的条件是确保满足“二次”的要求，从另一个侧面为理解一元二次方程的概念提供了契机． 二、目标和目标解析 1．教学目标 （1）体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，初步理解一元二次方程的 概念． （2）了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般形式． 2．目标解析 （1）通过建立一元方程解决相关的实际问题，让学生体会到未知数相乘导致方程的 次数升高，继而产生一元二次方程．学生能举例说明一元二次方程存在的实际背景，感 受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性 （2）将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概 括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念．学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的 字母系数方程为一元二次方程的条件． 三、教学问题诊断分析 一元二次方程是学生学习的第四个方程知识，首先在七年级学习了一元一次方程， 接着扩展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程组的学习，八年级 分式的教学，使得对实际问题的刻画从整式推广到有理式，分式方程得以出现，到一元 二次方程第一次实现“次”的提升．学生必然存在着疑问，为什么有些背景列得的方 程是二次的呢？教学中要直面学生的疑问，显化学生的疑问，启发学生自己解释疑问， 才能避免“灌输”，体现知识存在的必要性，增强学好的信念． 培养建模思想，进一步提升数学符号语言的应用能力，让学生自己概括出一元二次 方程的概念，得出一般形式，对初三学生是必须的，也是适可的． 本课的教学重点应该放在形成一元二次方程概念的过程上，不能草草给出方程的概念就反复辨析练习，在概念的理解上要下功夫． 本课的教学难点是一元二次方程的概念． 四、教学过程设计 1．创设情境，引入新知 教师展示教科书本章的章前图，请同学们阅读章前问题，并回答： 问题1．这个方程属于我们学过的某一类方程吗？ 师生活动:学生整理已经学过的方程类型，复习方程的概念，元与次的概念，观察新方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名． 【设计意图】使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的 必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识． 问题2．这样的方程在其他实际问题中是否还存在呢？你能再想出一个例子吗？

第21章 一元二次方程

第二十一章 一元二次方程巩固练习题 姓名：__________ 一．选择题（共10小题） 1．方程(m ﹣1)x 2+2x +3=0是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．m ≠一1 B ．m ≠1 C ．m ≠2 D ．m ≠3 2．方程2x 2﹣6x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．6、2、5 B ．2、﹣6、5 C ．2、﹣6、﹣5 D ．﹣2、6、5 3．关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x +a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．1或﹣1 D ． 12 4．方程：x 2﹣25=0的解是（ ） A ．x =5 B ．x =﹣5 C ．x 1=﹣5，x 2=5 D ．x =±25 5．一元二次方程x 2+6x ﹣5=0配方后变形正确的是（ ） A ．(x ﹣3)2=14 B ．(x +3)2=4 C ．21(6)2 x += D ．（x +3）2=14 6．用公式法解方程4x 2﹣12x =3所得的解正确的是（ ） A ．32x -±= B ．32x ±= C ．32x -±= D ．32x ±= 7．一元二次方程x 2﹣x ﹣2=0的解是（ ） A ．x 1=1，x 2=2 B ．x 1=1，x 2=﹣2 C ．x 1=﹣1，x 2=2 D ．x 1=﹣1，x 2=﹣2 8．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k =0有两个相等的实数根，则k 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．2 D ．﹣2 9．已知关于x 的一元二次方程mx 2+2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜﹣1 B ．m ＞1 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ＞﹣1且m ≠0 10．广州亚运会的某纪念品原价188元，连续两次降价a %，后售价为118元，下列所列方程中正确的是（ ） A ．188(1+a %)2=118 B ．188(1﹣a %)2=118 C ．188(1﹣2a %)=118 D ．188(1﹣a 2%)=118 二．填空题（共10小题） 11．已知关于x 的方程mx |m ﹣2|+2（m +1）x ﹣3=0是一元二次方程，则m = ． 12．把一元二次方程3x （x ﹣2）=4化为一般形式是 ． 13．方程（x ﹣1）2=1的解为 ．

初中数学七年级一元二次方程的四种解法

二元一次方程组知识点 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二 元一次方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元 一次方程组。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一 次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的 解。 5、代入消元法解二元一次方程组： （1）基本思路：未知数由多变少。 （2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 （3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做 代入消元法，简称代入法。 （4）代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个 未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”. 2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” 5、把x、y的值用｛联立起来即“联”｝ 6、加减消元法解二元一次方程组 （1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简 称加减法。 （2）用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数也不相等，那么就用适当的数 乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。 2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。 3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。 4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。 5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。 二元一次方程组应用题 1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即： 2、审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个 未知数； 3、找：找出能够表示题意两个相等关系； 4、列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； 5、解：解这个方程组，求出两个未知数的值； 6、答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案 一．解答题（共16小题）

《第21章一元二次方程》单元测试含答案解析

《第21章一元二次方程》单元测试含答案解析 一、单项选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的字母填在答题卡上） 1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36 C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x ﹣3）2=4+9 2．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范畴是（）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1 3．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（）A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm 4．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k 的取值范畴是（） A．k≥B．k＞C．k＜D．k≤ 5．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分不为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（） A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2 6．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，打算在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则能够列出关于x的方程是（） A．x2+9x﹣8=0 B．x2﹣9x﹣8=0 C．x2﹣9x+8=0 D．2x2﹣9x+8=0 7．下列方程有两个相等的实数根的是（） A．x2+x+1=0 B．4x2+2x+1=0 C．x2+12x+36=0 D．x2+x﹣2=0 8．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务进展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛进展，2014年增速位居全国第一．若

数学人教版七年级上册一元二次方程

21．1 一元二次方程 一、教学内容解析 1、内容 一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的项与系数和一元二次方程的解（根）． 2、内容解析 本节在引言的基础上，安排了两个实际问题，得出一元二次方程的具体例子，然后再引导学生观察出它们的共同点，给出一元二次方程的概念及其表示. 一元二次方程的一般形式是以未知数的个数和次数为标准定义的，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），根据概念的要求，在具体例子的归纳方向上做出引导，有利于学生思考并给出辨析性问题“为什么规定a≠0” 本节都有列方程的内容，这样安排既可以使学生认识引入一元二次方程概念的必要性，也可以分散列方程这一教学难点，循序渐进地培养由实际问题抽象出方程模型的能力。 本节的重点是理解一元二次方程及其有关概念，期中设计一元二次方程根的概念，但是教学中不要过早把学生的注意力引向解方程. 二、教学目标设置 知识与技能 使学生正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项及系数，一次项及系数，常数项，并知道一元二次方程的解（根）. 过程与方法 1、经历由事实问题抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使学生体会到，一元二次方程是刻画现实世界中的数量关系的一个有效模型 2、通过概念教学，培养学生的观察、类比、归纳能力，同时通过变式练习，

使学生对概念的理解具备完整性和深刻性. 情感态度与价值观 通过现实问题认识概念，增强学生对一元二次方程与现实生活的联系的认识. 教学目标解析 达成目标标志： 学生能从实际问题抽象出一元二次方程并理解认识一元二次方程，及其一般形式，识别二次项及系数，一次项及系数，常数项，并知道一元二次方程的解（根）. 学生能积极参与交流讨论，得出结论使学生对概念的理解更加完整和深刻. 三、学生学情分析 学生在七年级和八年级已经学习了一元一次方程，二元一次方程组，分式方程，学生已经对整式方程和分式方程有了辨析，整式方程按其中未知数（元）的个数和未知数的最高次数分类，在教学过程中也是通过这三个方面来掌握本节课的重点一元二次方程的概念。为了通过现实问题认识概念，增强学生对一元二次方程与现实生活的联系的认识，从中抽象出一元二次方程成为本节课的难点. 四、教学策略分析 1、本节课采用了概念教学的一半进程：分析典型丰富的具体例证，抽象不同事例的共同特征、舍弃非本质特征，概括得到概念，给出符号表示，并对关键词进行辨析，再通过例子巩固概念. 2、难点突破方法：通过问题设计引导学生进行分析，并通过交流、讨论得出结论. 教学难点：理解一元二次方程及其有关概念. 教学重点：通过现实问题认识概念，增强学生对一元二次方程与现实生活的联系的认识，从中抽象出一元二次方程. 教学方法：引导、探究式教学

最新人教版九年级数学下册教案全册

最新人教版九年级数学下册教案全册 正弦和余弦（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实． （二）能力训练点 逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． （三）德育渗透点 引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯． 二、教学重点、难点 1．重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实． 2．难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论． 三、教学步骤 （一）明确目标 1．如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少米？ 2．长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上，则A、B间的距离为多少？ 3．若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少？

4．若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角∠CAB为多少度？ 前两个问题学生很容易回答．这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识．但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用．同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来． 通过四个例子引出课题． （二）整体感知 1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值． 学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值．程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长． 2．请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的．大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？ 这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知． （三）重点、难点的学习与目标完成过程 1．通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”．但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃．对于这个问题，部分学生可能能解决它．因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成． 2．学生经过研究，也许能解决这个问题．若不能解决，教师可适当引导：

一元二次方程(全章共21课教案)人教版

第十二章一元二次方程 第1课一元二次方程 一、教学目的 1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义． 2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义． 3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式． 二、教学重点、难点 重点：一元二次方程的定义． 难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 三、教学过程 复习提问 1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？ 2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？ (l)3x+4=l； (2)6x-5y=7； 3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”． 引入新课 1．方程的分类： 通过上面的复习，引导学生答出： 学过的几类方程是 没学过的方程是 x2-70x+825=0，x(x+5)=150． 这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”而在整式方程中，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．” 据此得出复习中学生未学过的方程是 (4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150． 同时指导学生把学过的方程分为两大类：

2．一元二次方程的一般形式 注意引导学生考虑方程 x2-70x+825=0 和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150， 可化为：x2+5x-150=0． 从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为 ax2+bx+c=0(a≠0) 的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．强调，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．要特别注意：二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． 讲解例题 课堂练习 P5-6 1、2 课堂小结 1．方程分为两大类： 判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次．2．一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零． 作业：教材中相关习题． 第2课一元二次方程的解法(一) 一、教学目的 1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程． 2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c ＜0)的方法． 二、教学重点、难点 重点：准确地求出方程的根． 难点：正确地表示方程的两个根． 三、教学过程 复习过程 回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据． 求下列各式中的x： 1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0． 回答解题过程中的依据． 解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．

人教版九年级上册第21章一元二次方程教学案

第二十一章一元二次方程 知识要点： 1.了解一元二次方程及有关概念一般式ax2+bx+c=0a≠0及其派生的概念应用一元二次方程概念解决一些简单题目。 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法应用熟练掌握以上知识解决问题。 重点 1一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。 2.判定一个数是否是方程的根 3.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。 难点 1一元二次方程配方法解题。 2 用公式法解一元二次方程时的讨论。 考点：方程的根与解方程 一元二次方程应用题 知识点

知识点一 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。 知识点三 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时， 0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 知识点四 解方程 1、直接开平方法：若()02≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，表示为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 2、配方法：若()02≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，表示为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 3、公式法：一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根a ac b b x 242-±-= 当042 >-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；

九年级上第21章《一元二次方程》基础练习含答案(5套)

基础知识反馈卡·21.1 时间：10分钟 满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) ) (的一元二次方程，则x 是关于0＝c ＋bx ＋2x 1)－a (．若1 A ．a ≠0 B．a ≠1 C ．a ＝1 D ．a ≠－1 化成一般形式后二次项的系数 1)－x (x ＝1＋x 1)＋m (－2x 2．一元二次方程2为1，一次项的系数为－1，则m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 二、填空题(每小题4分，共12分) ＝ m 的一元二次方程，则x 是关于0＝1＋mx 3＋|m |x 2)＋m (．方程3_______________. ．______的值是m ，则2有一个解为0＝5＋x 1)－m (＋2mx 的方程x ．若关于4 ，二次项 ________________化为一般形式为5＝23)－x (．把一元二次方程5为________，一次项系数为__________，常数项为________. 三、解答题(共7分) ，求 1＝－x 有一根是0＝5＋mx 3＋2x 1)－m (2的一元二次方程x ．已知关于6m 的值．

时间：10分钟 满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) ) (，正确的配方为0＝1－x 23 －2 x ．用配方法解方程1 109＝ 2? ????x －13D. 0 ＝109＋2? ????x －13C. 59＝2? ????x －23B. 89＝2? ????x －13A. ) (的根的情况是0＝14 ＋x ＋2 x ．一元二次方程2 A ．有两个不等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定 二、填空题(每小题4分，共12分) ________. ＝2x ，________＝1x 的解0＝12－x 4－2x ．方程3 ．____________配方后的方程为0＝5－x 2＋2x ．4 ________. ＝x ，得到3＝x 12－2x 4．用公式法解方程5 三、解答题(共7分) 0. ＝2－mx －2x 的一元二次方程x ．已知关于6 (1)对于任意实数m ，判断此方程根的情况，并说明理由； (2)当m ＝2时，求方程的根．

七年级数学下一元二次方程

二元一次方程组复习学案 一、知识回顾 1.1 建立二元一次方程组 （1）二元一次方程：叫二元一次方程。 （2）二元一次方程组：叫做二元一次方程组。 （3）方程组的解：叫方程组的一个解。 例题： 1、下列各方程哪个是二元一次方程（） A 、8x －y ＝y B 、xy ＝3 C 、2x2－y ＝9 D 、 2、已知是方程2x ＋ay ＝5的解，则a ＝。 同类练习： 1、下列方程组：（1）（2）（3）（4）中，属于二元一次方程组的是（ ） （A ）只有一个 （B ）只有两个 （C ）只有三个 （D ）四个都是 2、是二元一次方程ax －2＝－by 的一个解，则2a －b －6的值等于。 1.2 二元一次方程组的解法 （1）解二元一次方程的基本思想：。 （2）代入消元法：这种解方程组的方法叫做代入消元法。 （3）加减消元法：这种解方程组的方法叫做加减消元法。 例题： 1、由2x －3y －4＝0，可以得到用x 表示y 的式子y ＝。 2．以下方程，与???=+=+75252y x y x 不同解的是 （ ） A ．???=+=+104252y x y x B ．? ??=+=+75214104y x y x C ．???=+=+2352y x y x D ．???=+=+7523y x y x 3、已知方程组的解是，则2m+n 的值为。 4、选择恰当的方法解下列方程组 21=-y x ???==12y x ???-==-1253y x y x ???==+y x xy 01? ??+=+=+416z y y x ???=+=326x y x ???-==12y x ???=+=+30ny x y mx ???-==21y x

最新人教版九年级数学全册教案(全册 共58页)

最新人教版九年级数学全册教案（全册共58页） 目录 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 21.2.1配方法(第1课时) 21.2.1配方法(第2课时) 21.2.2公式法 21.2.3因式分解法 21.2.4 一元二次方程的根与系数关系 21.3 实际问题与一元二次方程（第1课时） 21.3 实际问题与一元二次方程（第2课时） 小结 第二十二章二次函数 22.1.1 二次函数（第1课时） 22.1.2二次函的图象和性质(第1课时) 22.1.3.1二次函的图象和性质(第1课时) 22.1.3.2二次函的图象和性质(第2课时) 22.1.3.3二次函的图象和性质(第3课时) 22.1.4 .1二次函的图象和性质(第1课时) 22.1.4.2用待定系数法求二次函数解析式（第1课时） 22.2 用函数观点看一元二次方程（第1课时） 22.3.1 实际问题与二次函数（第1课时） 22.3.2 实际问题与二次函数（第2课时） 小结（3课时） 第二十三章旋转 23.1 图形的旋转(1) 23.1 图形的旋转(2) 23.1 图形的旋转(3) 23.2.1中心对称(1) 23.2.1中心对称(2) 23.2.1中心对称(3) 22.2 中心对称图形，关于原点对称的点的坐标 23.3 课题学习图案设计 小结 第二十四章圆 24.1.1 圆 24．1．2 垂直于弦的直径24．1．3 弧、弦、圆心角 24.1.4 圆周角 24.2.1 点和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系 24.2.3 圆和圆的位置关系 24．3 正多边形和圆 24.4圆锥的侧面积和全面积 小结 第二十五章概率 25.1.1随机事件(第一课时) 25.1.1 随机事件（第二课时） 25.1.2 概率的意义 25.2 用列举法求概率(第一课时)25.2 用列举法求概率(第二课时25.2 用列举法求概率(第三课时) 25.3.1利用频率估计概率 25.3.2利用频率估计概率 25.4课题学习键盘上字母的排列规律 小结

初中数学八年级下册第2章一元二次方程2.1一元二次方程教案新版浙教版

2.1 一元二次方程 教学内容 一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式及有关概念． 教学目标 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念；应用一元二次方程的概念解决一些简单题目． 1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目. 4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重难点 重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 教学过程 一、情景导入 学生活动：列方程． 问题(1)古算趣题：“执竿进屋” 笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭. 有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足. 借问竿长多少数，谁人算出我佩服. 如果假设门的高为x尺，那么这个门的宽为_______尺，长为_______尺. 根据题意，得________． 整理、化简，得__________． 二、探索新知 学生活动：请口答下面问题． (1)上面方程整理后含有几个未知数？ (2)按照整式中的多项式的规定，它的最高次数是几次？ (3)有等号吗？还是与多项式一样只有式子？ 老师点评：(1)只含一个未知数x；(2)它的最高次数是2；(3)有等号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0

人教版21章一元二次方程知识点总结

21章 一元二次方程知识点 一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未 知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。 注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。 二、 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2 =x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等） 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 直接开平方法理论依据：平方根的定义。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=； （2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=； （3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m n c x -±= 。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 （一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： （1） 把一元二次方程化成一般形式 （2） 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这 个数； （3） 把原方程变为()n m x =+2的形式。 （4） 若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。 （二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把一元二次方程化成一般形式 (2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数； （3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为()n m x =+2的形式； （4）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

人教版七年级数学上册第三章：一元二次方程 基础检测题

人教版七年级数学上册第三章《一元一次方程》基础检测题 (时间：80分钟 满分：100分) 一、单项选择题(共12题,共48分) 1.下列方程为一元一次方程的是（ ）. A. x 2-4x=3 B.x=0 C.x+2y=3 D. x-1=x 1 2.已知方程2x+3=5，则等于（ ） A. 15 B. 16 C.17 D. 34 3.若关于x 的方程mx m-2-m+3=0是一元一次方程，则这个方程的解是（ ）. A. 0 B. 3 C.-3 D. 2 4.下列等式变形正确的是（ ）. A.如果s=21ab ，那么b=a s 2； B.如果 2 1 x=6，那么x=3； C.如果x-3=y-3 ，那么x-y=0； D.如果mx=my ，那么 x=y. 5.下列解方程去分母正确的是( ) A.由,得 ； B.由 ,得； C.由 ,得 ； D.由 ,得 . 6.服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多（ ）. A ．60元 B ．80元 C ． 120元 D ．180元 7.把一根长为100cm 的木棍锯成两段，使其中一段的长比另一段的2倍少5cm ，则锯出的木棍不可能是（ ） A ．65cm B ．35cm C ． 65cm 或35cm D ．70cm 8.某市举行的青年歌手大奖赛今年共有人参加，比赛的人数比去年增加20%还多3人， 设去年参赛的有x 人，则为（ ）. A. B. C. D. 9.某校七年级数学竞赛共有10道题，每答对一题得5分，不答或答错一题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（ ）. A.6 B. 7 C.9 D.8 10.某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人（ ）. A.赚16元 B.赔16元 C.不赚不赔 D.无法确定 11.某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造成林地，使旱地面积占林地面积的20%，设把公顷旱地改成林地，则可列方程为（ ）. A. B. C. D. 12.小明在做解方程作业时，不小心将方程中 的一个常数污染了看不 清楚，被污染的方程是 ，怎么办呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是 ，于是很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(共6题,共24分) 13.当=m_________时，方程的解为2x+m=x+1,x=-4 14.当=x_________时，式子与的值互为相反数． 15.甲水池有水31吨，乙水池有水11吨，甲池的水每小时流入乙池2吨，________小时后，甲池的水与乙池的水一样多.

新人教版九年级上册数学全册教案

《人教版九年级上册全书教案》 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥02=a（a≥0（a≥0）． （3（a≥0，b≥0； a≥0，b>0a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1a≥0a≥0）2＝a（a≥0）； （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0）

[初中数学]一元二次方程全章教案 人教版

《一元二次方程》全章教案 第一课时 1 设计思路 通过探究实际问题中的数量关系极其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程。从而引出一元二次方程的一般式，并能识别各项的系数。培养学生的观察能力和思维能力。 3 教学目标 1． 通过探究实际问题中的数量关系极其变化规律，2． 经历由具体问题抽象出一元 二次方程的过程。 2．解一元二次方程的概念；正确掌握一元二次方程的一般形式。 教学重点：正确掌握一元二次方程的概念和一般形式。 教学难点：正确理解和掌握一般形式中的a ≠0 ，“项”和“系数”。 三、教学过程 1 1) 会根据实际问题中的数量关系列出方程。 1．方形桌面的面积是2m 2，求它的边长？ 2．矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。 如果花圃的面积是24m 2，求花圃的长和宽？ 3． 我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册， 平均每年增长的百分率是多少？ 4． 长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙 的距离是3米。如果梯子底端向右滑动的距离与 梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。 根据题意列出方程 22=x 2225)3()4(=++-x x 2.7)1(52=+x 24)219(=-x x

(二)观察以上四个方程它们有什么共同特点 1 都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2. (三)一元二次方程的概念: 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程 (四) 例1:判断下列方程是否为一元二次方程： )0(0).7(0 ).6()2)(1(3).5(023).4(1).3(1 ).2(1).1(222222的常数为不等于m mx c bx ax x x x y x x x x x x x ==+++-=-=+-= ==+ (五)一元二次方程的一般形式: ax 2+ bx +c=0(a 、b 、c 为常数且a ≠ 0) 注意:为什么要限制a ≠0，b ,c 可以为零吗？ 并指出一元二次方程中一二次项、一次项、常数项：二次项系数、一次项系数(六) 例2:一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 2(2)510 2.20x x +-= 2(1)109000x x --= 2(4)30x x += 2(3)2150x -= (5) 3)2(2 =+x (6)0)3)(3(=-+x x 四、归纳小结 （一）小组讨论学习成果,并总结本节课的知识点,提出疑点,由同学解答或老师解答. （二）教师讲解、板演例题、小结（突出重难点）