概率算法统计
复数、算法、统计
1.复数32(1)i i +=（ ）
A.2
B.－2 C ．2i D.2i -
2.若复数(a 2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A.1 B.2 C.1或2 D.-1
3.复数11
212i i +
-+-的虚部是（ ） A ．15i B ．15 C ．15i - D ．15
-
4.在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5.若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z= ．
6.右图中的程序框图. 若输入m =4,n =6, 则输出 a = ,i =___.
(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”)
7.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）
A ．30
B ．25
C ．20
D ．15 8.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量。产品数量的分组区间为：
[)[)[)[)[)95,85,85,75,75,65,65,55,55,45，由此得到频率分布直方图如右图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)75,55的人数是 _. 9.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）
A ．3
B ．
210
5
C ．3
D ．85
技巧点拨
1.（文2理2）已知
),(2R b a i b i
i
a ∈+=+，其中i 为虚数单位，则=+
b a
（A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）3 *2.（理5）已知随机变量ξ服从正态分布),0(2σN ，若023.0)2(=>ξP ，则=≤≤-)22(ξP
（A ）0.477 （B ）0.628 （C ）0.954 （D ）0.977 3.（文6） 在某项体育比赛中一位同学被评委所打出的分数如
题第8文理13
下：90 89 90 95 93 94 93；去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为和方差分别为
（A ） 92，2 （B ）92 ，2.8 （C ） 93，2 （D ）93，2.8
4.（理6）样本中共有五个个体，其值分别为3,2,1,0,a ，若该样本的平均值为1，则样本方差为
（A ）56 （B ）5
6
（C ）2 （D ）2
5.（文13）执行所示流程框图，若输入4x =，则输出y 的值为____．
6.（理13）执行所示程序框图，若输入10=x ，则输出y 的值为 .
概率
习题演练
1.在平面直角坐标系中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率__ ．
2.三人独立破译同一份密码，已知三人各自译出密码的概率分别为111
,,543
，且他
们是否破译出密码互不影响。（Ⅰ）求恰有二人破译出密码的概率；（Ⅱ）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率那个大？说明理由。
3.某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表. 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19 . （Ⅰ）求x 的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生, 问应在初三年级抽取多少名？
（Ⅲ）已知245,245≥≥z y ，求初三年级中女生比男生多的概率.
（下为理科题目）
4.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法种数是( C )
A ．15
B ．45
C ．60
D ．75
5.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( C )
A ．2686C A
B ．2283
C A C ．2286C A
D ．2285C A
6.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（ A ）
A. 20种
B. 30种
C. 40种
D.
60种
7.如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选
种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ B ）
A ．96
B ．84
C ．60
D ．48 8.()()34
121x x +-展开式中x 的系数为___2___。
9.(1＋3x )6
(1＋4
1x
)10
展开式中的常数项为（ D ） A ．1 B ．46 C ．4245
D ．4246
10.若231n
x x ?
?+ ??
?展开式的各项系数之和为32，则n = 5 ，其展开式中的常数项
为10 ．
11.若(x-2)5=a 5x 5+ a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=____31___.(用数字作答)
12.甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是121
,,.352
（I ）现3人各投篮1
次，求3人都没有投进的概率；（II ）用ξ表示投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望.E ξ
解: (Ⅰ)∴ P(A) = P(A 1－A 2－A 3－)=P(A 1－)·P(A 2－)·P(A 3
－) ==(1－13)(1－25)(1－12)=15
(Ⅱ)ξ的可能值有0,1,2,3), ξ~ B(3, 25), P(ξ=k)=C 3k (25)k (3
5
)3－k (k=0,1,2,3) ,
E ξ=np = 3×25 = 6
5
.
13.某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格
方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为2
3
，
科目B 每次考试成绩合格的概率均为1
2
.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E ξ.
答： (Ⅰ) 13.(Ⅱ) 8
3
.
14.某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。（I ）求从甲、乙两组各抽取的人数； （II ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（III ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望。
分析：（II ） 11462
108
15C C P C ?==（III ）ξ的可能取值为0，1，2，3；1234211056(0)75C C P C C ξ==?=，11121
46342212110510528
(1)75C C C C C P C C C C ξ==?+?=
，21622110510
(3)75C C P C C ξ==?=
31(2)1(0)(1)(3)75
P P P P ξξξξ==-=-=-==
15.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．
解：（Ⅰ） 3324541()40A A P E C A ==；（Ⅱ）4424541
()10
A P E C A ==，所以，甲、乙两人不
在同一岗位服务的概率是9
()1()10
P E P E =-=．（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，
2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位
服务，则235334541
(2)4C A P C A ξ===．所以
3(1)1(2)4
P P ξξ==-==，ξ的分布列是
技巧点拨
1.（文19）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4， （Ⅰ）从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； （Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从
袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m +＜的概率。
ξ 1 3 P
34 1
4
*2.（理20）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规则如下：
①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分
②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局； ③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束.
假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为4
1
,31,21,43，且各题回
答正确与否相互之间没有影响.（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.
数学建模案例分析—主成分分析的应用--概率统计方法建模
§8 主成分分析的应用 主成分分析的基本思想是通过构造原变量的适当的线性组合，以产生一系列互不相关的新变量，从中选出少数几个新变量并使它们尽可能多地包含原变量的信息（降维），从而使得用这几个新变量替代原变量分析问题成为可能。即在尽可能少丢失信息的前提下从所研究的m 个变量中求出几个新变量，它们能综合原有变量的信息，相互之间又尽可能不含重复信息，用这几个新变量进行统计分析（例如回归分析、判别分析、聚类分析等等）仍能达到我们的目的。 设有n 个样品，m 个变量（指标）的数据矩阵 (1)1112 1(2)21222()12m m n m n n n nm x x x x x x x x X x x x x ??? ?? ? ? ? ?== ? ? ? ? ????? 寻找k 个新变量12,,,()k y y y k m ≤ ，使得 1、1122,(1,2,,)l l l lm m y a x a x a x l k =+++= 2、12,,k y y y 彼此不相关 这便是主成分分析。主成分的系数向量12(,,,)l l l lm a a a a = 的分量lj a 刻划出第j 个变量关于第l 个主成分的重要性。 可以证明，若12(,,,)T m x x x x = 为m 维随机向量，它的协方差矩阵V 的m 个特征值为 120m λλλ≥≥≥≥ ，相应的标准正交化的特征向量为12,,,m u u u ，则 12(,,,)T m x x x x = 的第i 主成分为(1,2,,)T i i y u x i m == 。 称1 / m i j j λλ =∑为主成分(1,2,,)T i i y u x i m == 的贡献率， 1 1 /k m j j j j λλ ==∑∑为主成分 12,,k y y y 的累计贡献率，它表达了前k 个主成分中包含原变量12,,,m x x x 的信息量大 小，通常取k 使累计贡献率在85%以上即可。当然这不是一个绝对不变的标准，可以根据实 际效果作取舍，例如当后面几个主成分的贡献率较接近时，只选取其中一个就不公平了，若都选入又达不到简化变量的目的，那时常常将它们一同割舍。 计算步骤如下： 1、由已知的原始数据矩阵n m X ?计算样本均值向量12?(,,,)T m x x x x μ== ； 其中1 1(1,2,,)n i ij j x x i m n ===∑
概率计算方法全攻略
概率计算方法全攻略 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件） =0；0 常见大题： 1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”，有多个“原因或者条件 i A ”可以导致 B 这个“结果”发生，考虑结果B 发生的概率，或者求在B 发生的条件下，源于某个原因i A 的概率问题 全概率公式： ()()() 1B |n i i i P B P A P A ==∑ 贝叶斯公式： 1(|)()() ()()n i i i j j j P A B P A P B A P A P B A ==∑｜｜ 一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少？ 解 i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球，4,3,2,1=i i A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球， 2分 则 b a a B P += )(1， 2分 )()()()()(1111111B A P B P B A P B P A P += 111++++++++= b a a b a b b a a b a a b a a += 2分 依次类推 2分 b a a A P i += )( 二（10分）袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少？ 、解 记B ={取到次品}，B ={取到正品}，A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n = = ++，()1P A B =，()1 2r P A B =―—５分 ()()1()212()()()()12 r r r n P B P A B n m n P B A n m n m P B P A B P B P A B m n m n ?+===++?+?++ 三、（10分）一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。现在每次从中任 取一件产品进行检验，检验后放回，连续检验3次，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。在检验时，一件正品被误判为次品的概率为0.05，而一件次品被误判为正品的概率为0.01。（1）求任取一件产品被检验为正品的概率；（2）求这批产品被检验为合格品的概率。 解 设 A 表示“任取一件产品被检验为正品”， B 表示“任取一件产品是正品”，则 ()96100P B = ，()4 100 P B =，()|0.95P A B =，()|0.01P A B = （1）由全概率公式得 ()()()()()||0.9124P A P B P A B P B P A B =+= （2）这批产品被检验为合格品的概率为 ()3 3 0.91240.7596p P A ===???? 四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’，统计资料表明，发出‘0’和‘1’的概 率分别为0.6和0.4，由于存在干扰，发出‘0’时，分别以概率0.7和0.1接收到‘0’和‘1’，以0.2的概率收为模糊信号‘x ’；发出‘1’时，分别以概率0.85和0.05收到‘1’和‘0’，以概率0.1收到模糊信号‘x ’。 （1）求收到模糊信号‘x ’的概率； （2）当收到模糊信号‘x ’时，以译成哪个信号为好？为什么？ 解 设i A =“发出信号i ”)1,0(=i ， i B =“收到信号i ”),1,0(x i =。由题意知 6.0)(0=A P ， 4.0)(1=A P ， 2.0)|(0=A B P x ， 1.0)|(1=A B P x 。 （1）由全概率公式得 ) ()|()()|()(1100A P A B P A P A B P B P x x x += 4分 16.04.01.06.02.0=?+?=。 2分 （2）由贝叶斯公式得 75.016 .06 .02.0)()()|()|(000=?== x x x B P A P A B P B A P ， 3分 25 .075.01)|(1)|(01=-=-=x x B A P B A P 3分 高中数学统计与概率知识点（文） 第一部分:统计 一、什么是众数。 一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。 众数的特点。 ①众数在一组数据中出现的次数最多；②众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是，当一组数据大小不同，差异又很大时，就很难判断众数的准确值了。此外，当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时，用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。 3.众数与平均数的区别。 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。 二、.中位数的概念。 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 三 .众数、中位数及平均数的求法。 ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。 四、中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数； ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同； （6）众数可能是一个或多个甚至没有； （7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。 §7 消费分布规律的分类 为研究辽宁、浙江、河南、甘肃、青海5省份在某年城镇居民生活消费的分布规律，需要用调查资料对这5个省分类.数据见下表： 其中，X 1：人均粮食支出； X 2：人均副食品支出； X 3：人均烟、酒、茶支出； X 4：人均其它副食品支出； X 5：人均衣着商品支出； X 6：人均日用品支出； X 7：人均燃料支出； X 8：人均非商品支出. 在科学研究、生产实践、社会生活中，经常会遇到分类的问题.例如，在考古学中，要将某些古生物化石进行科学的分类；在生物学中，要根据各生物体的综合特征进行分类；在经济学中，要考虑哪些经济指标反映的是同一种经济特征；在产品质量管理中，要根据各产品的某些重要指标而将其分为一等品，二等品等等. 这些问题可以用聚类分析方法来解决. 聚类分析的研究内容包括两个方面，一是对样品进行分类，称为Q 型聚类法，使用的统计量是样品间的距离；二是对变量进行分类，称为R 型聚类法，使用的统计量是变量间的相似系数. 设共有n 个样品，每个样品i x 有p 个变量，它们的观测值可以表示为 n i x x x x pi i i i ,,2,1),,,,(21 == 一、样品间的距离 下面介绍在聚类分析中常用的几种定义样品i x 与样品j x 间的距离. 1、 Minkowski 距离 m m p k kj ki j i x x x x d 11 ][),(∑=-= 2、绝对值距离 ∑=-=p k kj ki j i x x x x d 1),( 3、欧氏距离 21 21][),(∑=-=p k kj ki j i x x x x d 二、变量间的相似系数 相似系数越接近1，说明变量间的关联程度越好.常用的变量间的相似系数有 1、 夹角余弦 概率计算方法全攻略 概率计算方法全攻略 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了 统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)=的结果数 随机事件所有可能出现果数随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件）=0；0 解析：⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得2 1122=++x ∴x=1 答：蓝球有1个 （2）树状图 如下： ∴ 两次摸到都是白球的概率 =6 112 2=. 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果. ②无论哪种都是机会均等的 . 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 四.列表法 例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡 片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的黄白2蓝白2白1蓝黄白1蓝黄白2 第一章随机事件和概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的 选修2-3 2.2.1 条件概率 一、选择题 1．下列式子成立的是( ) A ．P (A | B )＝P (B |A ) B ．0 3．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( ) A.56 B.910 C.215 D.115 [答案] C [解析] 本题主要考查由条件概率公式变形得到的乘法公式， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215，故答案选C. 4．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( ) A.14 B.13 C.12 D.35 [答案] B [解析] 抛掷红、黄两颗骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，两颗骰子点数之积包含4×6,6×4,6×5,6×6共4个基本事件． 所以其概率为4361236 ＝13. 5．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( ) 全：遗传概率的计算方法（高中生物） 概率是对某一可能发生事件的估计，是指总事件与特定事件的比例，其范围介于0和1之间。相关概率计算方法介绍如下： 一、某一事件出现的概率计算法 例题1：杂合子（Aa）自交，求自交后代某一个体是杂合体的概率。 解析：对此问题首先必须明确该个体是已知表现型还是未知表现型。（1）若该个体表现型为显性性状，它的基因型有两种可能：AA和Aa。且比例为1∶2，所以它为杂合子的概率为2/3。（2）若该个体为未知表现型，那么该个体基因型为AA、Aa和aa，且比例为1∶2∶1，因此它为杂合子的概率为1/2。正确答案：2/3或1/2 二、亲代的基因型在未肯定的情况下，其后代某一性状发生的概率计算法 例题2：一对夫妇均正常，且他们的双亲也都正常，但双方都有一白化病的兄弟，求他们婚后生白化病孩子的概率是多少？ 解析：（1）首先确定该夫妇的基因型及其概率？由前面例题1的分析可推知该夫妇均为Aa的概率为2/3，AA的概率为1/3。（2）假设该夫妇为Aa，后代患病的概率为1/4。（3）最后将该夫妇均为Aa的概率（2/3×2/3）与假设该夫妇均为Aa情况下生白化病患者的概率1/4相乘，其乘积1/9，即为该夫妇后代中出现白化病患者的概率。正确答案：1/9 三、利用不完全数学归纳法 例题3：自交系第一代基因型为Aa的玉米，自花传粉，逐代自交，到自交系第n代时，其杂合子的几率为。 解析：第一代 Aa 第二代 1AA 2Aa 1aa 杂合体几率为 1/2 第三代纯 1AA 2Aa 1aa 纯杂合体几率为（1/2）2 第n代杂合体几率为（1/2）n-1 正确答案：杂合体几率为（1/2）n-1 四、利用棋盘法 例题4：人类多指基因（T）是正常指（t）的显性，白化基因（a）是正常（A）的隐性，都在常染色体上，而且都是独立遗传。一个家庭中，父亲是多指，母亲正常，他们有一个白化病和正常指的的孩子，则生下一个孩子只患有一种病和患有两种病以及患病的概率分别是（） A.1/2、1/8、5/8 B.3/4、1/4、5/8 C.1/4、1/4、1/2 D.1/4，1/8，1/2 解析：据题意分析，先推导出双亲的基因型为TtAa（父），ttAa（母）。然后画棋盘如下： 概率计算方法 概率计算方法 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)=的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件）=0；0 摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都是白球的概率. 解析：⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得2 1 1 22=++x ∴x=1 答：蓝球有1个 （2）树状图如下： ∴ 两次摸到都是白球的概率 =6 1 122=. 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是机会均等的. 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 黄 白2白1蓝 黄白1蓝黄白2 四.列表法 例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上． （1）从中随机抽取一 张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？ （2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率． 1 2 3 图 图3 高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。 例2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===? §3 随机性人口模型 如果研究对象是一个自然村落或一个家族人口，数量不大，需作为离散变量看待时，就利用随机性人口模型来描述其变化过程。 记 ()t Z —时刻t 的人口数（只取整数值） ()()()n t Z p t p n ==—人口为n 的概率 模型假设 1、在[]t t t ?+, 出生一人的概率与t ? 成正比，记作t b n ?，出生二人及二人以上的概 率为()t o ?； 2、在[]t t t ?+, 死亡一人的概率与t ? 成正比，记作t d n ?，死亡二人及二人以上的概率为()t o ?； 3、出生与死亡是相互独立的随机事件； 4、进一步设n b 和n d 均为与n 成正比，记,,n d n b n n μλ==λ和μ分别是单位时间内 1=n 时一个人出生和死亡的概率。 模型建立 由假设3~1，可知()n t t Z =?+可分解为三个互不相容的事件之和：()1-=n t Z 且t ?内出生一人；()1+=n t Z 且t ? 内死亡一人；()n t Z =且t ?内无人出生或死亡。按全概率公式 ()()()()t d t b t p t d t p t b t p t t p n n n n n n n n ?-?-+?+?=?+++--1)(1111 即 ()() ()()())(1111t p d b t p d t p b t t p t t p n n n n n n n n n +-+=?-?+++-- 令0→?t ，得关于()t p n 的微分方程 ()()()()t p d b t p d t p b dt dp n n n n n n n n +-+=++--1111 又由假设4，方程为 ()()()()()()t np t p n t p n dt dp n n n n μλμλ+-++-=+-1111 （1） 若初始时刻)0(=t 人口为确定数量0n ，则()t p n 的初始条件为 ()? ? ?≠== 00 ,0,10n n n n p n （2） 高中数学概率统计知识 点总结 标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N] 高中数学概率统计知识点总结 一、抽样方法 1．简单随机抽样 2．简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法。 3．系统抽样：K （抽样距离）=N （总体规模）/n （样本规模） 4．分层抽样： 二、样本估计总体的方式 1、用样本的频率分布估计总体分布 （1）频率分布直方图的画法；（2）频率的算法；（3）频率分布折线图；（4）总体密度曲线；（5）茎叶图。 茎叶图又称“枝叶图”，它的思路是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少。 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）众数、中位数、平均数的算法；（2）标准差、方差公式。 3、样本均值：n x x x x n +++= 21 4、．样本标准差：n x x x x x x s s n 2 22212)()()(-++-+-== 三、两个变量的线性相关 1、正相关 2、负相关 正相关：自变量增加，因变量也同时增加（即单调递增） 负相关：自变量增长，因变量减少(即单调递减) 四、概率的基本概念 （1）必然事件（2）不可能事件（3）确定事件（4）随机事件 （5）频数与频率（6）频率与概率的区别与联系 必然事件和不可能事件统称为确定事件 1他们都是统计系统各元件发生的可能性大小； 2、频率一般是大概统计数据经验值，概率是系统固有的准确值； 3频率是近似值，概率是准确值 第一章 课题：1．7概率与统计 教学目的： 1能运用简单随机抽样、分层抽样的方法抽取样本； 2. 能通过对样本的频率分布估计总体分布； 3. 培养学生动手能力和解决实际问题能力通过例题，对本章部分内容进行一次复习．培养学生的探究能力以及分析与解决实际问题的能力 教学重点：统计在实际生活中的应用 教学难点：学生解决实际问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 二、讲解范例： 例1某中学高中部共有16个班级，其中一年级6个班，二年级6个班，三年级4个班.每个班的人数均在46人左右（44人－49人），各班的男女学生数均基本各占一半.现要调查这所学校学生的周体育活动时间，它是指学生在一周中参加早锻炼、课间操、课外体育活动、体育比赛等时间的总和（体育课、上学和放学路上的活动时间不计在内）.为使所得数据更加可靠，应在所定抽样的“周”之后的两天内完成抽样工作.此外还有以下具体要求： （1）分别对男、女学生抽取一个容量相同的样本，样本容量可在40－50之间选择 （2）写出实习报告，其中含：全部样本数据；相应于男生样本的 - - 1 x与 1 s，相 应于女生的 - - 2 x与 2 s，相应于男、女全体的样本的 - - x；对上面计算结果作出分 析. 解：（1）由于各个年级的学生参加体育活动的时间存在差异，应采用分层抽样；又由于各班的学生数相差不多，且每班的男女学生人数也基本各占一半，为便于操作，分层抽样时可以班级为单位.关于抽取人数，如果从每班中抽取男、女学生各3人，样本容量各为48（3×16），符合对样本容量的要求. （2）实习报告如表一所示. 1 .在本班范围内，就每名学生所在家庭的月人均用水量进行调查.调查的具 习题四 1、在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N 个人的血，可以用两种方法进行。（1）将每个人的血分别检验，这就需要验N 次；（2）按k 个人一组进行分组，把从k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明这k 个人的血都呈阴性反应，这样，这k 个人的血就只需验一次。若呈阳性，则再对这k 个人的血分别进行化验。这样，k 个人的血总共要化验k+1次。假设每个人的血呈阳性的概率为p ，且这些人的试验反应是相互独立的。试说明当p 较小时，选取适当的k ，按第二种方法可以减少化验的次数。并说明当k 取什么值时最适宜？ 2、人群中有健康人和病人两类，病人可以通过与健康人接触将疾病传染给健康人。任何两人之间的接触是随机的，当健康人与病人接触时是否被感染也是随机的。如果通过实际数据或经验掌握了这些随机规律，试估计平均每天有多少健康人被感染。 3、某商店要订购一批商品零售，设购进价1c ，售出价2c ，订购费0c （与数量无关）。随机需求量r 的概率密度为p(r)，每件商品的贮存费为3c （与时间无关）。问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大。这个平均利润是多少？为使这个平均利润为正值，需要对订购费0c 加什么限制？ 4、若零件寿命服从指数分布，证明不存在预防性更换策略。又问，若失效率r(t)为减函数，是否会存在预防性更换策略？ 5、用连续热轧方法制造钢材时要经过两道工序，第一道是粗轧（热轧），形成钢材的雏形；第二道是精轧（冷轧），得到规定长度的钢材。粗轧时由于设备，环境等方面随机因素的影响，钢材冷却后的长度大致上呈正态分布，其均值可以在轧制过程中由轧机调整，而其均方差则是由设备的精确度决定的，不能随意改变。精轧时把多出规定的部分切掉，但是如果发现粗轧后的钢材已经比规定长度短，则整根报废。精轧设备精度很高，可以认为轧出的成品材完全符合规定长度要求。根据轧制工艺的要求，要在成品材规定长度l 和粗轧后钢材长度的均方差σ已知的条件下，确定粗轧后的均值m ，使得当轧机调整到m 进行粗轧，再精轧后得到成品材时的浪费最少。 6、若上题中钢材粗轧后，长度在l l 与1之间时降级使用（比如经济价值上每一根降级材相当于α根成品材）。长度小于1l 才整根报废。试选用合适的目标函数建立优化模型，使某种意义下的浪费量最小。 7、某种水泥在凝固时放出的热量Y (卡/克)与其中的四种化学成分X 1，X 2，X 3，X 4有关，现有13个水泥样品的样本数据列于下表： 算法 统计 概率 一、填空题 1、为了抽查某城市汽车尾气排放执行情况，在该城市的主干道上采取抽取车牌末位数字为8 的汽车检查，这种抽样方式是 2、利用简单随机抽样的方法，从n 个个体(n >13)中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为 3 1 ，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为 3、条件语句表达的算法结构为 4、如下是一个程序操作流程图： 按照这个工序流程图，致废品产生。 5现用直径等于2cm 公共点的概率为 6、如右流程图中，若输入a ,b 的值为 7、已知x 、y 之间的一组数据如下： 则线性回归方程bx a y +=? 8、已知一组数1，2，3，4，a 的方差为9、对于一元n 次多项式，)(x a x f n n =一次式的反复计算，用秦九韶算法求011 1)(a x a x a x a x f n n n n +++=-- ，当0x x =时的值可以减少运算次数， 做加法和乘法的次数分别为 10、从5张800元、3张600元、2张400元的奥运会门票中任取2张，则所取门票价格相同的概率为 11、在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算63.272=χ，根据这一 数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是 （填“有关”“无关”）。 12、满足方程组),,(79,17, 35N z y x z m y m x m ∈?? ? ??+=+=+=的最小正整数m= 13、在光明中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级的两个班的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制出如下的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40，则这两个班参赛的学生人数为 ，这两个班参赛学生的平均成绩大约为 。 14、设有关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0，若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率为 ；若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间 [0,2]内任取的一个数，则上述方程有实根的概率为 二、解答题 15、箱子中装有6张卡片，分别写有1到6这6个整数. 从箱子中任意取出一张卡片，记下它的读数x ，然后放回箱子，第二次再从箱子中取出一张卡片，记下它的读数y ，试求： （Ⅰ）x y +是5的倍数的概率；（Ⅱ）x y ?是3的倍数的概率；（Ⅲ）,x y 中至少有一个5或6的概率。 16、下表为某体育训练队跳高成绩的分布，共有队员40人，成绩分为1～5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人。将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片队员的跳高成绩为x ，跳远成绩为y ，设x ，y 为随即变量（注：没有相同姓名的队员）（1）求4x =的概率及3x ≥且5y =的概率；（2）求m n +的值；若y 的数学期望为105 40 ，求m ，n 的值. 概率与统计知识点： 1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。 2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n X 取每一个值 x i (i=1,2,......）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列 4、分布列性质① p i ≥0, i =1，2， … ；② p 1 + p 2 +…+p n = 1． 5、二项分布：如果随机变量X 的分布列为： 其中0 算法、统计和概率知识点汇总 1.在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤. 2.程序框图又称流程图 ，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形. 3.算法的基本逻辑结构是顺序结构、条件结构和循环结构. 4.当型循环结构：当给定的条件成立时，执行循环体，执行完毕后，再判断条件是否成立，如果仍然成立，再执行循环体，直到条件不成立时离开循环结构. 5.直到型循环结构：先执行一次循环体，然后判断给定的条件是否成立，如果不成立，则继续执行循环体，直到给定的条件成立时离开循环结构. 6.当型循环程序和直到型循环程序 7．输入语句的一般形式： INPUT “提示内容”；变量；其中 “提示内容”可省略. 提示内容 与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开. 8.输出语句的一般形式： PRINT “提示内容”；表达式；其中 “提示内容”可省略. 9.赋值语句的一般形式： 变量＝表达式. 赋值号左边只能是变量. 在表达式中x a a c b a x ,,),(,33+÷应分别写成： 另11,,1,,\or a aMODb b a ->=分别表示： 10.辗转相除法（至整除为止）和更相减损术（至被减数与差相等为止）. 11.1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L =(...( a n x+a n-1)x+a n-2)x+...+a 1)x+a 0 用秦九韶算法求一个n 次多项式当0x x =时的值时，令0n v a =， 反复执行的公式是10(1,2,,) k k n k v v x a k n --=+=L .最多做n 次乘法和n 次加法。 12.进位制概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的个数称为基数.基数为n 则称n 进位制，简称n 进制.现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的. 而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数. ()0111011a k a k a k a a a a a n n n n k n n +?++?+?=---ΛΛ 化十进制为k 进制用除k 取余法. 13.质数（素数）、二分法. 14.随机抽样主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。其中最常用的简单随机抽样有两种：抽签法、随机数法；随机数法可采用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样. 15.一般地,设一个总体有N 个个体, 从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n ≤N ）, 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 则这种抽样方法叫做简单随机抽样. 16.系统抽样的步骤：①编号；②均匀分段（确定分段间隔）；③ 确定起始个体编号l ；④按事先约定的规则抽取样本. 17.分层抽样的步骤：①分层；②按比例确定各层抽取的个体的个数；③各层抽样（方法可以不同）；④汇合成样本. 18.频率分布直方图中纵轴的意义：组距 频率，小长方形的面积表示什么？ 19.极差、组距、组数、频数、频率、频率分布折线图、总体密度曲线、茎叶图. 20.在频率分布直方图中如何求众数、中位数和平均数？标准差和方差如何计算？ 21.相关关系是一种不确定关系，而函数关系是一种确定关系. 22.相关系数：[]75.0,1--∈r 称负相关很强； []1,75.0∈r 称正相关很强； []25.0,25.0-∈r 称相关性较弱；()()75.0,30.030.0,75.0?--∈r 称相关性一般. 23.线性回归直线a x b y ???+=过定点 ()y x ,.()y x ,叫做样本点的中心.截距a ?和斜率b ?是使 ()()21,αββα--=∑=i i n i x y Q 取最小值时βα、的值. WHILE 条件 THEN 循环体 WEND DO 循环体 LOOP UNTIL 条件概率统计常见题型及方法总结
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n Pm ?
随机事件和概率
（1）排列 组合公式
n Cm ?
m! (m ? n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 n!(m ? n)!
（2）加法 和乘法原 理
加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m×n 某件事由两个步骤来完成， 第一个步骤可由 m 种方法完成， 第二个步骤可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但 在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如 下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 ? 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 ? 表示。 一个事件就是由 ? 中的部分点（基本事件 ? ）组成的集合。通常用大写字母 A， B，C，…表示事件，它们是 ? 的子集。 ? 为必然事件，? 为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （A 发生必有事件 B 发生） ：
（3）一些 常见排列 （4）随机 试验和随 机事件
（5）基本 事件、样本 空间和事 件
（6）事件 的关系与 运算
A? B
如果同时有 A ? B ， B ? A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A ? B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表 示为 A-AB 或者 A B ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
1 / 33高中数学教案——概率与统计
数学建模案例分析--概率统计方法建模9习题四
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