经典的组合数学题

经典的组合数学题

加法和乘法原理+一点点的容斥定理

例：

1)求小于10000的含1的正整数的个数

2)求小于10000的含0的正整数的个数

解：

1)小于10000的不含1的正整数可看做4位数, 但0000除外。

故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个

另: 全部4位数有104个,不含1的四位数有94个,

含1的4位数为两个的差:104－94=3439个

2)"含0"和"含1"不可直接套用。0019含1但不含0。

在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。

不含0的1位数有9个，2位数有92个，3位数有个，4位数有94个

不含0小于10000的正整数有9+92++94=(－9)/(9－1)=7380个

含0小于10000的正整数有9999－7380=2619个

部分全排：n个不同的人选r个出来排列的种数（一般不说可重意即无重。）

在上述定义中，一个排列的第1位有n个选择，第2位有(n-1)个选择，第k 位有(n-k+1)个选择，故P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)。

（无重）排列与球放入盒子的方案的对照：

从a,b,c 3个元素中取2个的排列相当于将2个不同的球放入3个不同的盒子里，每盒最多一个球的方案。

组合数的物理意义：

从a,b,c 3个字母中取2个做组合，每个组合对应2!个排列：

ab： ab ,ba；

ac： ac ,ca；

bc： bc ,cb。

部分组合：组合的计数相当于将r个相同的球放入n个不同的盒子里，每盒最多一个球的方案数

注意分类讨论计算！

例：从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？解:将[1,300]分成3类：

A={i|i≡1(mod3)}={1,4,7,…,298},

B={i|i≡2(mod3)}={2,5,8,…,299},

C={i|i≡3(mod3)}={3,6,9,…,300}.

要满足条件，有四种解法：1)3个数同属于A;2)3个数同属于B;3)3个数同属于C;4)A,B,C各取一数.

故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。

注意模型转换！

例：某车站有6个入口处，每个入口处每次只能进一人，一组9个人进站的方案有多少？

解:一进站方案表示成：00011001010100 其中"0"表示人，"1"表示门框，其中"0"是不同元，"1"是相同元。n个门只用n-1个门框。任意进站方案可表示成上面14个元素的一个排列。

[解法1]标号可产生5!个14个元的全排列。故若设x为所求方案，则x·5!=14! ∴x=14!/5!=726485760

[解法2]在14个元的排列中先确定"1"的位置，有C(14,5)种选择，在确定人的位置，有9！种选择。故C(14,5)·9!即所求

[解法3]把全部选择分解成若干步，使每步宜于计算。不妨设9个人编成1至9号。1号有6种选择；2号除可有1号的所有选择外，还可（也必须）选择当与1号同一门时在1号的前面还是后面，故2号有7种选择；3号的选择方法同2号，故共有8种。以此类推，9号有14种选择。故所求方案为[6]9。

圆排列和项链排列的定义：

一般而言，若两个项链排列通过转动、平移和翻转能够重合，就看做是同一个项链排列。

从n个字符中取r个不同的字符构成圆排列的个数为P(n,r)/r，(0≤r≤n)。

从n个字符中取r个不同的字符构成项链排列的个数为P(n,r)/2r，(3≤r≤n)。组合应用：

简单格路问题|(0，0)→(m，n)|=，从(0，0)点出发沿x轴或y轴的正方向每步走一个单位，最终走到(m，n)点，有多少条路径？

解:

无论怎样走法，在x方向上总共走m步，在y方向上总共走n步。若用一个x 表示x方向上的一步，一个字母y表示y方向上的一步。则(0,0) → (m,n)的每一条路径可表示为m个x与n个y的一个多重排列。将每一个多重排列的x与y 分别编号，可得m!n!个m+n元的无重全排列。

设所求方案数为P(m+n；m，n),则P(m+n；m,n)·m!·n!=(m+n)!

故P(m+n;m,n)=＝=C(m+n,m) 设c≥a,d≥b,则由(a,b)到(c,d)的简单

格路数为|(a,b)(c,d)|=

在上例的基础上若设m

解:

从(0,1)点到(m,n)点的格路，有的接触x=y，有的不接触。对每一条接触x=y 的格路，做(0,1)点到第一个接触点部分关于x=y的对称格路，这样得到一条从(1,0)到(m,n)的格路。

容易看出从(0,1)到(m,n)接触x=y的格路与(1,0)到(m,n)的格路(必穿过x=y)一一对应。

故所求格路数为

若条件改为可接触但不可穿过，则限制线要向下或向右移一格，得x－y=1，(0,0)关于x－y=1的对称点为(1, -1)。

所求格路数为

格路也是一种常用模型。

在100名选手之间进行淘汰赛(即一场的比赛结果，失败者退出比赛),最后产生一名冠军，问要举行几场比赛？

解: 99场比赛。

一种常见的思路是按轮计场，费事。

另一种思路是淘汰的选手与比赛(按场计)集一一对应。

(Cayley定理)n个有标号的顶点的树的数目等于n n-2。

生长点不是叶子，每个生长点是[1,n]中的任一元.有n种选择。两个顶点的树是唯一的

鸽巢原理

鸽巢原理的几种形式，应用鸽巢原理的技巧，Ramsey问题，Ramsey数。

【学习指南】

容斥原理

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|－|A∩B|

图－|A∩C|－|B∩C|＋|A∩B∩C|

先利用文氏图对两个，三个集合的并有直观的了解。然后推导n个公式的并的势的计数公式及几个集合的补的交的势的计数公式。

例：求[1，20]中2或3的倍数的个数.

解:2的倍数是：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20。一共10个3的倍数是：3，6，9，12，15，18。一共6个

答案不是10+6=16个，因为6，12，18被重复记数，应该减去，所以答案应为10+6-3=13个。

在论域U，补集中，

DeMorgan定理

，有：

DeMorgan原理的推广：

设、、...是U 的子集，则：

一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同时修数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、化学的20人；同时修物理化学的22人。同时修三门的3人。问这学校共有多少学生？解:令:M为修数学的学生集合；

P 为修物理的学生集合；

C 为修化学的学生集合；

则|M|=170,|P|=130,|C|=120,

＝45,=20,=22,=3

＝|M|+|P|+|C|---

＝170+130+120-45-20-22+3

＝336

即学校学生数为336人。

例1：求a,b,c,d,e,f六个字母的全排列中不允许出现ace和df图象的排列数。解:设A为ace作为一个元素出现的排列集，

B为df作为一个元素出现的排列集，

A∩B为同时出现ace、df的排列集。

∴|A|=4!；|B|=5!；|A∩B|=3!；

根据容斥原理，不出现ace和df的排列数为：

例2：求从1到500的整数中能被3或5除尽的数的个数。

解:令A为从1到500的整数中被3除尽的数的集合，

B为被5除尽的数的集合,

A∩B为能同时被3和5整除的数的集合。

故能被3或5整除的数的个数为：|A∪B|=|A|+|B|－|A∩B|=166+100－33＝233 例3：求由a,b,c,d四个字母构成的位符号串中，a,b,c,d至少出现一次的符号串数目。

解:令A、B、C分别为n位符号串中不出现a，b，c符号的集合。由于n位符号串中每一位都可取a，b，c，d四种符号中的一个，故不允许出现a的n位符号串的个数应是，即：

|A|=|B|=|C|=；

|A∩B|=|A∩C|=|B∩C|＝；

|A∩B∩C|=1

a，b，c至少出现一次的n位符号串集合即为：

例4：求小于120的素数的个数。

解:因为=121,故不超过120的合数必然是2、3、5、7的倍数，而且不超过120的合数的因子不可能都超过11。

设为不超过120的数i的倍数集，i＝2,3,5,7

，，

，，

，

，

，，

，，

，

，

，

∴

＝120-||-||－||－||+|∩|-|∩|+|∩|+|∩|+|∩|+|∩|-|

∩∩|-|∩∩|-|∩∩|-|∩∩|+|∩∩∩|=120-（60+40+24+17）+

（20+12+8+8+5+3）-（4+2+1+1）=27。

注意：27并非就是不超过120的素数个数，因为这里排除了2，3，5，7这四个数，又包含了1这个非素数。2，3，5，7本身是素数。故所求的不超过120的素数个数为: 27+4-1=30。

例5：用26个英文字母作不允许重复的全排列，要求排除dog，god，gum，depth，thing字样的出现，求满足这些条件的排列数。

解:所有排列中，令：

为出现dog的排列的全体；

为出现god的排列的全体；

为出现gum的排列的全体；

为出现depth的排列的全体；

为出现thing的排列的全体；

出现dog字样的排列，相当于把dog作为一个单元参加排列，

故||＝24!类似有：||＝||＝24!，||＝||＝22!

由于god,dog不可能在一个排列中同时出现，故：|∩|＝0；

类似有：|∩|=0；|∩|=0。

由于dog和gum可以在dogum字样中同时出现，故：|∩|＝22!

类似的理由god和depth可以在godepth字样中同时出现，故|∩|=20!

god和thing可以在thingod字样中同时出现，故：

|∩|=20!；|∩|＝0；|∩|＝19!

|∩|=|∩|＝20!|∩∩|＝0；

|∩∩|=0；

|∩∩|＝|∩∩|＝0；

|∩∩|＝|∩∩|＝0；

|∩∩|＝|∩∩|＝0

由于god、depth、thing不可以同时出现，故|∩∩|＝0；|∩∩|＝17!

其余多于3个集合的交集均为空集，不一一列举。故所求的满足要求的排列数为：

26!－3×24!－2×22!＋22!＋4×20!＋19!－17!＝26!－3×24!－22!＋4×20!＋19!－17!

错排问题就是n个元素依次给以标号1，2，…，n。N个元素的全排列中，求

每个元素都不在自己原来位置上的排列数。设Ai为数i在第i位上的全体排列，i＝1,2,...,n．因数字i不动，故：||＝(n－1)!，i＝1,2,...,n。

同理| ∩| ＝(n－2)!，i,j＝1,2,...n，i≠j。……。

每个元素都不在原来位置上的排列数为：

＝

＋

－……±

例1数1，2，…，9的全排列中，求偶数在原来位置上，其余都不在原来位置的错排数目。

解:实际上是1,3,5,7,9五个数的错排问题，总数为：

5!－C(5,1)4!+C(5,2)3!－C(5,3)2!+C(5,4)1!－C(5,5)＝44。

例2：在8个字母A,B,C,D,E,F,G,H的全排列中，求使A,C,E,G四个字母不在原来位置上的错排数目

解:8个字母的全排列中令,,,分别为表A,C,E,G 在原来位置上的排列，则：

|∩∩∩|＝8!－C(4,1)7!+C(4,2)6!－C(4,3)5!+C(4,4)4!＝40320－

20160+4320－480+24＝24024

例3：求8个字母A,B,C,D,E,F,G,H的全排列中只有4个元素不在原来位置上的排列数。

解:8个字母中只有4个不在原来的位置上，其余4个字母保持不动，相当于4个元素的错排，其数目为：4!(1－1/1!+1/2!－1/3!+1/4!)＝9。

故8个字母的全排列中有4个不在原来位置上的排列数应为：C(8,4)×9＝630。

1.有限制排列

错排问题就是一种有限制条件的排列。

例：4个x，3个y，2个z的全排列中，求不出现xxxx、yyy、zz图象的排列数解:出现xxxx图象的排列记为

出现yyy图象的排列记为

出现zz图象的排列记为

xxxx作为一个单元出现进行排列，考虑到y重复3次,z重复2次，故

||＝6!/(3!2!)=60，

||＝7!/(4!2!)=105，

||＝8!/(4!3!)＝280，

|∩|＝4!/2!=12,

|∩|＝5!/3!=20,

|∩|＝6!/4!=30,

|∩∩|＝3!=6,

4个x，3个y，2个z的全排列中不同的排列数为9/(4!3!2!)＝1260。所以|∩∩|

＝1260－||－||－||+|∩|+|∩|+|∩|-|∩∩|

＝1260－(60+105+280)+(12+20+30)－6 = 871。

例1：某校有12个教师，已知教数学的有8位，教物理的有8位，教化学的5位；数、理5位，数、化4位，理、化3位；数理化3位。问教其他课的有几位？只教一门的有几位？只好教两门的有几位？

解:令教数学的教师属于，教物理的属于，教化学的属于。则

＝12，

＝||＋||＋||＝8+6+5＝19；

＝|∩|+ |∩|+|∩|＝12；

＝|∩∩|＝3；

故教其他课的老师数为：

＝－+－＝2

恰好一门的教师数：

＝－2+ 3＝4

恰好教两门的老师数为：

＝－3＝3

n 对夫妻围坐问题

设n 对夫妻围圈而坐，男女相间，每个男人都不和他的妻子相邻，有多少种可能的方案？

解:不妨设n 个女人先围成一圈，方案数为( n－1 )! 。对任一这样的给定方案，顺时针给每个女人以编号1,2,…,n。设第i号与第i + 1号女人之间的位置为第i 号位置，1≤i≤n－1。第n 号女人与第1 号之间的位置为第n 号位置。设第i 号女人的丈夫的编号也为第i 号，1≤i≤ n。让n 个男人坐到上述编号的n 个位置上。设是坐在第i号位置上的男人，则≠ i ，i + 1，1≤i≤n－1；≠n，1。

这样的限制也即要求在下面3行n列的排列中

123……n-1n

2 3 4……n 1

… …

每列中都无相同元素。满足这样的限制的排列···称为二重错排。

设二重错排的个数为，原问题所求的方案数就是( n－1)！。

设为= i 或i + 1 (1≤i≤n－1 )，an = n或1的排列···的集合。

则||= 2 (n－1)!，关键是计算

也就是从( 1 , 2 ) ( 2 , 3 ) …( n－1, n ) ( n , 1)这n对数的k 对中各取一数，且互不相同的取法的计数。这相当于从1 , 2 , 2 , 3 ,3 ,4,…,n－1, n－1, n , n , 1中取k 个互不相邻数的组合的计数，但首尾的 1 不能同时取。回想无重复不相邻组合的计数：

C'(n,r) = C(n－r + 1,r) ,

这里所求的是C(2n-k+1,k)－C(2n-4-(k-2)+1,k-2)=C(2n-k,k)×2n/(2n-k)

抽屉原理

鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本的原理，也叫抽屉原理。即"若有n个鸽子巢，n+1个鸽子，则至少有一个巢内有至少有两个鸽子。"

367人中至少有2人的生日相同。

10双手套中任取11只，其中至少有两只是完整配对的。

参加一会议的人中至少有2人认识的别的参加者的人数相等。

例：从1到2n的正整数中任取n+1个，则这n+1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。

证：设n+1个数是,,…,。每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数

为止。组成序列, ,…,。这n+1个数仍在[1,2n]中，且都是奇数。而[1,2n]

中只有n个奇数。故必有= = r，则，若＞，则是的

倍数。

例：设,,…,是正整数序列，则至少存在k和l , 1≤k≤l≤m，使得和+

+ … + 是m的倍数。证：设，≡ mod m，0≤≤m-1，h = 1,2 ,…, m 。

若存在l，≡0 modm则命题成立。否则，1≤≤m-1。但h = 1,2,…,m。由鸽巢原理，故存在= ，

即≡ ，不妨设h＞k。则

－＝＋+… + ≡ 0 mod m

例：设，，为任意3个整数，为，，的任一排列，则－，

－，－中至少有一个是偶数。

证：由鸽巢原理，，，必有两个同奇偶．设这3个数被2除的余数为xxy，于是，，中被2除的余数有2个x，一个y。这样－，－，－被

２除的余数必有一个为0。

例：设，，…是由1和２组成的序列，已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即+ +… ++9 ≤16，1≤i≤91，则至少存在h 和k ，

k > h，使得+ +… + = 39。

证：令，j =1，2，…，100。显然<<…<，且=(+ … +)+(

+ … +)+…+(+ … +) 根据假定有≤10×16=160，作序列，，… ，，

+39，… ，+39。共200项．其中最大项+39≤160+39由鸽巢原理，必有两项相等．而且必是前段中某项与后段中某项相等．设=+ 39，k＞h，

－=39 ，即+ +… + = 39。

错排问题就是n个元素依次给以标号1，2，…，n。N个元素的全排列中，求每个元素都不在自己原来位置上的排列数。设Ai为数i在第i位上的全体排列，i＝1,2,...,n．因数字i不动，故：||＝(n－1)!，i＝1,2,...,n。

同理|∩|＝(n－2)!，i,j＝1,2,...n，i≠j。……。

每个元素都不在原来位置上的排列数为：

＝

＋

－……±

例1：数1，2，…，9的全排列中，求偶数在原来位置上，其余都不在原来位置的错排数目。

解:实际上是1,3,5,7,9五个数的错排问题，总数为：

5!－C(5,1)4!+C(5,2)3!－C(5,3)2!+C(5,4)1!－C(5,5)＝44。

例2：在8个字母A,B,C,D,E,F,G,H的全排列中，求使A,C,E,G四个字母不在原来位置上的错排数目

解:8个字母的全排列中令,,,分别为表A,C,E,G 在原来位置上的排列，则：

|∩∩∩|＝8!－C(4,1)7!+C(4,2)6!－C(4,3)5!+C(4,4)4!＝40320－

20160+4320－480+24＝24024．

例3：求8个字母A,B,C,D,E,F,G,H的全排列中只有4个元素不在原来位置上的排列数。

解:8个字母中只有4个不在原来的位置上，其余4个字母保持不动，相当于4

个元素的错排，其数目为：4!(1－1/1!+1/2!－1/3!+1/4!)＝9。

故8个字母的全排列中有4个不在原来位置上的排列数应为：C(8,4)×9＝630。

有限制的错排

例：4个x，3个y，2个z的全排列中，求不出现xxxx、yyy、zz图象的排列数解:出现xxxx图象的排列记为

出现yyy图象的排列记为

出现zz图象的排列记为

xxxx作为一个单元出现进行排列，考虑到y重复3次,z重复2次，故

||＝6!/(3!2!)=60，

||＝7!/(4!2!)=105，

||＝8!/(4!3!)＝280，

|∩|＝4!/2!=12,

|∩|＝5!/3!=20,

|∩|＝6!/4!=30,

|∩∩|＝3!=6,

4个x，3个y，2个z的全排列中不同的排列数为9/(4!3!2!)＝1260。所以|∩∩|

＝1260－||－||－||+|∩|+|∩|+|∩|-|∩∩|

＝1260－(60+105+280)+(12+20+30)－6 = 871。

例1某校有12个教师，已知教数学的有8位，教物理的有8位，教化学的5位；数、理5位，数、化4位，理、化3位；数理化3位。问教其他课的有几位？只教一门的有几位？只好教两门的有几位

解:令教数学的教师属于，教物理的属于，教化学的属于。则

＝12，

＝||＋||＋||＝8+6+5＝19；

＝|∩|+ |∩|+|∩|＝12；

＝|∩∩|＝3；

故教其他课的老师数为：

＝－+－＝2

恰好一门的教师数：

＝－2+ 3＝4

恰好教两门的老师数为：

＝－3＝3

例2：n 对夫妻围坐问题

设n 对夫妻围圈而坐，男女相间，每个男人都不和他的妻子相邻，有多少种可能的方案？

解:不妨设n 个女人先围成一圈，方案数为( n－1 )! 。对任一这样的给定方案，顺时针给每个女人以编号1,2,…,n。设第i号与第i + 1号女人之间的位置为第i 号位置，1≤i≤n－1。第n 号女人与第1 号之间的位置为第n 号位置。设第i 号女人的丈夫的编号也为第i 号，1≤i≤ n。让n 个男人坐到上述编号的n 个位置上。设是坐在第i号位置上的男人，则≠ i ，i + 1，1≤i≤n－1；≠n，1。

这样的限制也即要求在下面3行n列的排列中

123……n-1n

2 3 4……n 1

… …

每列中都无相同元素。满足这样的限制的排列···称为二重错排。

设二重错排的个数为，原问题所求的方案数就是( n－1)！。

设为= i 或i + 1 (1≤i≤n－1 )，an = n或1的排列···的集合。

则||= 2 (n－1)!，关键是计算

也就是从( 1 , 2 ) ( 2 , 3 ) …( n－1, n ) ( n , 1)这n对数的k 对中各取一数，且互不相同的取法的计数。这相当于从1 , 2 , 2 , 3 ,3 ,4,…,n－1, n－1, n , n , 1中取k 个互不相邻数的组合的计数，但首尾的 1 不能同时取。回想无重复不相邻组合的计数：

C'(n,r) = C(n－r + 1,r) ,

这里所求的是C(2n-k+1,k)－C(2n-4-(k-2)+1,k-2)=C(2n-k,k)×2n/(2n-k)

１．４计算机系统结构的发展

1.4.1 冯·诺依曼结构

冯·诺依曼等人于1946年提出了一个完整的现代计算机雏型，它由运算器、控制器、存储器和输入输出设备组成，如图1.7所示。

现代的计算机系统结构与冯·诺依曼等人当时提出的计算机系统结构相比虽已发生了重大变化，但就其结构原理来说占有主流地位的仍是以存储程序原理为基础的冯·诺依曼型计算机。存储程序原理的基本点是指令驱动，即程序由指令组成，并和数据一起存放在计算机存储器中，机器一经启动，就能按照程序指定的逻辑顺序把指令从存储器中读出来逐条执行，自动完成由程序所描述的处理工作。冯·诺依曼计算机的特征可概括为：

1．存储器是字长固定的、顺序线性编址的一维结构。

2．存储器提供可按地址访问的一级地址空间，每个地址是唯一定义的。

3．由指令形式的低级机器语言驱动。

4．指令的执行是顺序的，即一般按照指令在存储器中存放的顺序执行，程序分支由转移指令实现。

5．机器以运算器为中心，输入-输出设备与存储器之间的数据传送都途经运算器。运算器、存储器、输入 输出设备的操作以及它们之间的联系都由控制器集中控制。

虽然至今绝大多数计算机仍基于上述结构特点，但这四十多年来计算机系统结构有了许多改进。主要包括以下几个方面：

1．计算机系统结构从基于串行算法改变为适应并行算法，从而出现了向量计算机，并行计算机、多处理机等。

2．高级语言与机器语言的语义距离缩小，从而出现了面向高级语言机器和

直接执行高级语言机器。

3．硬件子系统与操作系统和数据库管理系统软件相适应，从而出现了面向操作系统机器和数据库计算机等。

4．计算机系统结构从传统的指令驱动型改变为数据驱动型和需求驱动型，从而出现了数据流机器和归约机。

5．为了适应特定应用环境而出现了各种专用计算机，如快速傅里叶变换机器、过程控制计算机等。

6．为了获得高可靠性而研制容错计算机。

7．计算机系统功能分散化、专业化，从而出现了各种功能分布计算机，这类计算机包含外围处理机、通信处理机等。

8．出现了与大规模、超大规模集成电路相适应的计算机系统结构。

9．出现了处理非数值化信息的智能计算机。例如自然语言、声音、图形和图象处理等。主要的处理方法已不是依靠精确的算法进行数值计算而是依靠有关的知识进行逻辑推理，特别是利用经验性知识对不完全确定的事实进行非精确性推理。

高中数学题库

迄今为止最全，最适用的高一数学试题（必修1、4） （特别适合按14523顺序的省份） 必修1 第一章 集合测试 一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求) 1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是 （ ） A.学校篮球水平较高的学生 B.校园中长的高大的树木 C.2007年所有的欧盟国家 D.中国经济发达的城市 2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{ 3．已知集合A={a ，b ，c},下列可以作为集合A 的子集的是 （ ） A. a B. {a ，c} C. {a ，e} D.{a ，b ，c ，d} 4．下列图形中，表示N M ?的是 （ ） 5．下列表述正确的是 （ ） A.}0{=? B. }0{?? C. }0{?? D. }0{∈? 6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A ∩B B.A ?B C.A ∪B D.A ?B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14} 又,,B b A a ∈∈则有 （ ） A.（a+b ）∈ A B. (a+b) ∈B C.(a+b) ∈ C D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个 8.集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若B A ={1，2，3，4，5}，则x=（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 9.满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

(完整)小学数学四年级50道奥数题7(2)

1、某五个数的平均值为60，如果将其中一数改为80，这五个数的平均值为70，改的这个数应是多少？ 2、30个同学平分一些练习本，后来又来了6人，大家重新分配，每人分得的练习本比原来少2本，这些练习本共有多少？ 3、甲乙两位同学带着同样多的钱去买日记本，乙买了8本，剩下的钱全部借给了甲，刚好使甲买到了12本。回家后甲还给乙6元，问：日记本每本多少钱？ 4、两个仓库共有10000千克大米，从每个仓库里取出同样多的大米，结果甲仓库里剩下3450千克，乙仓库里剩下4270千克，每个仓库原来有多少千克大米？ 5、把一个减法算式的被减数、减数、差加起来和是180，已知减数比差大26，被减数、减数和差各是多少？ 6、一个数乘8后比原数多了84，原来的数是多少？ 7、小明今年18岁，小强今年14岁，当两人岁数和是70岁时，两人各有多少岁？ 8、小明在算有余数的除法时，把被除数237错写成273。这样商比原来多3而余数正好相同。这道题的除数和余数各是多少？ 9、学校图书馆有科技书和故事书共320本，其中故事书的本数是科技书的3倍，故事书有多少本？ 10、幼儿园小朋友分苹果，如果每人分4个，则多9个，如果每人分5个，则少6个，有多少个小朋友？多少个苹果？ 11、在一个数的末尾添上一个“0”以后，得到的数比原来的数多36。原来的数是多少？

12、计算：⑴ 454十999×999十545 ⑵ 999十998十997十996十1000十1004十1003十1002十1001 15、按下面图形的排列情况，算出第24个图形是什么？（1）○○△□○○△□○○△□……第24个图形是（）（2）☆◇◇△△☆◇◇△△☆◇◇△△……第24个图形是（） 17、有学生若干人参加植树活动，如果每组12人，就多11人，如果每组14人，就少9人。问分成______组，共有______人。 18、村姑卖鸡蛋，第一次卖出一篮的一半又二个；第二次卖出余下的一半又二个；第三次卖出再剩下的一半又二个，这时篮里只剩下二个蛋，问这篮鸡蛋有多少个? 19、一个文具店中橡皮的售价为每块5角，圆珠笔的售价为每支1元，签字笔的售价为每支2元5角。小明要在该店花5元5角购买其中两种文具，他有___________种不同的选择。 20、一个书架上有数学、语文、英语、历史4种书共27本，且每种书的数量互不相同。其中数学书和英语书共有12本，语文书和英语书共有13本。有一种书恰好有7本，是_____________书。 21、下面两个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么A＋B＋C＋D＋E＋F＋G=_____________。 22、芳芳和明明两人集邮，芳芳给明明4张邮票后，芳芳还比明明多2张.芳芳原来比明明多几张邮票? 36、甲乙两个冷藏库共存肉92吨，其中乙库存的肉比甲库存的3倍少4吨，甲库存肉多少吨，乙库存肉多少吨？

小学全部奥数题及答案-经典奥数题目

欢迎阅读六年级奥数题及答案 1、电影票原价每张若干元,现在每张降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一张电影票原价多少元？ 2、甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等，求乙的存款 3、由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的60%。再增加30颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖多少颗？巧克力糖多少颗？ 批零件时，两人各做了多少个零件？ 13、某工会男女会员的人数之比是3：2，分为甲乙丙三组，已知甲乙丙三组人数之比是10:8:7，甲组中男女比是3：1，乙组中男女比是5：3。求丙组男女人数之比 14、甲乙丙三个村合修一条水渠，修完后，甲乙丙村可灌溉的面积比是8：7：5原来三个村计划按可灌溉的面积比派出劳力，后来因为丙村抽不出劳力，经协商，丙村应抽出的劳力由甲乙两村分担，丙村付给甲乙两村工钱1350元，结果，甲村共派出60人，乙村共派出40人，问甲乙两村各应分得工钱多少元？

15、李明的爸爸经营已个水果店，按开始的定价，每买出1千克水果，可获利0.2元。后来李明建 议爸爸降价销售，结果降价后每天的销量增加了1倍，每天获利比原来增加了50%。问：每千克 水果降价多少元？ 16、.哈利.波特参加数学竞赛，他一共得了68分。评分的标准是：每做对一道得20分，每做错一道倒扣6分。已知他做对题的数量是做错题的两倍，并且所有的题他都做了，请问这套试卷共有多少道题？ 17、爸爸妈妈和奶奶乘飞机去旅行，三人所带行李的质量都超过了可免费携带行李的质量，要另付行李费，三人共付了4元，而三人行李共重150千克，如果这些行李让一个人带，那么除了免费部分，应另付行李费8元，求每人可免费携带行李的质量。 18 19、,两堆 20、 21、 8小时,.泥 22 碗, 23 24、 。现25 26 27 两校各多少人参赛？ 28、在浓度为40%的盐水中加入千克水,浓度变为30%,再加入多千克盐,浓度变为50%? 29、某人到商店买红蓝两种钢笔，红钢笔定价5元，蓝钢笔定价9元，由于购买量较多，商店给予优惠，红钢笔八五折，蓝钢笔八折，结果此人付的钱比原来节省的18%，已知他买了蓝钢笔30枝，那么。他买了几支红钢笔？ 30、甲说：“我乙丙共有100元。”乙说：“如果甲的钱是现有的6倍，我的钱是现有的1/3，丙的钱不变，我们仍有钱100元。”丙说：“我的钱都没有30元。”三人原来各有多少钱？ 31、某厂向银行申请甲乙两种贷款共30万，每年需支付利息4万元,甲种贷款年利率为12%，乙种贷款年利率为14%，该厂申请甲乙两种贷款金额各多少元？

经典高中数学最全数列总结及题型精选

高中数学：数列及最全总结和题型精选 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫 这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211，，，，… 说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始 依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=? -?≥ 二、等差数列 (一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1n n -或1(1)n n a a d n +-=≥ 例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a (二)、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-； 说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 例：1.已知等差数列{}n a 中，124971 16a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 3.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或“递减数列”） (三)、等差中项的概念：

小学数学50道经典奥数题及解析汇报

小学数学50道经典奥数题及解析 1.已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍，又知一张桌子比一把椅子多288元，一张桌子和一把椅子各多少元? 2、3箱苹果重45kg。一箱梨比一箱苹果多5kg，3箱梨重多少kg? 3.甲乙二人从两地同时相对而行，经过4小时，在距离中点4km处相遇。甲比乙速度快，甲每小时比乙快多少km? 4.李军和张强付同样多的钱买了同一种铅笔，李军要了13支，张强要了7支，李军又给张强0.6元钱。每支铅笔多少钱? 5.甲乙两辆客车上午8时同时从两个车站出发，相向而行，经过一段时间，两车同时到达一条河的两岸。由于河上的桥正在维修，车辆禁止通行，两车需交换乘客，然后按原路返回各自出发的车站，到站时已是下午2点。甲车每小时行40km，乙车每小时行45km，两地相距多少km?(交换乘客的时间略去不计) 6.学校组织两个课外兴趣小组去郊外活动。第一小组每小时走4.5km，第二小组每小时行3.5km。两组同时出发1小时后，第一小组停下来参观一个果园，用了1小时，再去追第二小组。多长时间能追上第二小组? 7.有甲乙两个仓库，每个仓库平均储存粮食32.5吨。甲仓的存粮吨数比乙仓的4倍少5吨，甲、乙两仓各储存粮食多少吨?

8.甲、乙两队共同修一条长400米的公路，甲队从东往西修4天，乙队从西往东修5天，正好修完，甲队比乙队每天多修10米。甲、乙两队每天共修多少米? 9.学校买来6张桌子和5把椅子共付455元，已知每张桌子比每把椅子贵30元，桌子和椅子的单价各是多少元? 10.一列火车和一列慢车，同时分别从甲乙两地相对开出。快车每小时行75km，慢车每小时行65km，相遇时快车比慢车多行了40km，甲乙两地相距多少km? 11.某玻璃厂托运玻璃250箱，合同规定每箱运费20元，如果损坏一箱，不但不付运费还要赔偿100元。运后结算时，共付运费4400元。托运中损坏了多少箱玻璃? 12.五年级一中队和二中队要到距学校20km的地方去春游。第一中队步行每小时行4km，第二中队骑自行车，每小时行12km。第一中队先出发2小时后，第二中队再出发，第二中队出发后几小时才能追上一中队? 13.某厂运来一堆煤，如果每天烧1500kg，比计划提前一天烧完，如果每天烧1000kg，将比计划多烧一天。这堆煤有多少kg? 14.妈妈让小红去商店买5支铅笔和8个练习本，按价钱给小红3.8元钱。结果小红却买了8支铅笔和5本练习本，找回0.45元。求一支铅笔多少元?

小学一年级数学经典奥数题100道(实用)

小学一年级数学经典奥数题100道（实用） 1.哥哥4个苹果,姐姐有3个苹果,弟弟有8个苹果,哥哥给弟弟1个后，弟弟吃了3个，这时谁的苹果多？ 2．小明今年6岁，小强今年4岁，2年后，小明比小强大几岁？ 3．同学们排队做操，小明前面有4个人，后面有4个人，这一队一共有多少人？ 4．有一本书，小华第一天看了2页，以后每一天都比前一天多看2页，第4天看了多少页？ 5．同学们排队做操，从前面数，小明排第4，从后面数，小 明排第5，这一队一共有多少人？ 6．有8个皮球，如果男生每人发一个，就多2个，如果女生每人发一个，就少2个，男生有多少人，女生有多少人？ 7．老师给9个三好生每人发一朵花，还多出1朵红花，老师共有多少朵红花？ 8．有5个同学投沙包，老师如果发给每人2个沙包就差1个，老师共有多少个沙包？ 9．刚刚有9本书，爸爸又给他买了5本，小明借去2本，刚刚还有几本书？ 10．一队小学生，李平前面有8个学生比他高竺嬗?个学生比他矮，这队小学生共有多少人？ 11．小林吃了8块饼干后，小林现在有4块饼干，小林原来有多少块饼干？ 12．哥哥送给弟弟5支铅笔后，还剩6支，哥哥原来有几支铅笔？ 13．第二中队有8名男同学，女同学的人数跟男同学同样多，第二中队共有多少名同学？ 14．大华和小刚每人有10张画片，大华给小刚2张后，小刚比大华多几张？

15．猫妈妈给小白5条鱼，给小花4条鱼，小白和小花共吃了6条，它们还有几条？ 16．同学们到体育馆借球，一班借了9只，二班借了6只。体育馆的球共减少了几只？ 17．明明从布袋里拿出5个白皮球和5个花皮球后，白皮球剩下10个，花皮球剩下5个。布袋里原来有多少个白皮球，多少个花皮球？ 18．芳芳做了14朵花，晶晶做了8朵花，芳芳给晶晶几朵花，两人的花就一样多？ 19．妈妈买回一些鸭蛋和12个鸡蛋，吃了8个鸡蛋后，剩下的鸡蛋和鸭蛋同样多，问妈妈一共买回几个蛋？ 20．草地上有10只羊，跑走了3只白山羊，又来了7只黑山羊，现在共有几只羊？ 21．冬冬有5支铅笔，南南有9支铅笔，冬冬再买几支就和南南的一样多？ 22．小平家距学校2千米，一次他上学走了1千米，想起忘带铅笔盒，又回家去取。这次他到学校共走了多少千米？ 23．马戏团有1只老虎，3只猴子，黑熊和老虎一样多，问马戏团有几只动物？ 24．春天来了，小明小冬和小强到郊外捉蝴蝶，小明捉了3只，小冬捉了5只，他们一共捉了12只，小强捉了几只？ 25．小华和爸爸妈妈为植树节义务植树，小华植了1棵，爸爸植了5棵，妈妈比爸爸少植2棵，妈妈植了多少棵，他们一共植了多少棵？ 26．第一个盘子里有5个梨，第二个盘子里有4个梨，把第一个盘里拿1个放到第二个盘里，现在一共有多少个梨？ 27．小红有2个玩具，小英有3个玩具，小明的玩具比小红多2个，小明有几个玩具？

经典初中数学题大全

一、填空题： 1．一个正数a的平方根，用符号“________”表示，其中a叫做________，根指数是________． 2．平方根等于它本身的数是________，算术平方根等于它本身的数是________．3．________的平方根有两个，________的平方根只有一个，并且________没有平方根． 4．0.25的算术平方根是________． 5．9的算术平方根是________，的算术平方根是________． 6．36的平方根是________，若，则x＝________． 7．的平方根是________，的平方根是________，的算术平方根是________．8．81的平方根是________，算术平方根是________，算术平方根的相反数是 ________，平方根的倒数是________，平方根的绝对值是________．9．，则x＝________． 10．当 a________时，有意义． 二、判断并加以说明． 1．3 的平方是9；（） 2．1的平方根是1；（） 3．0的平方根是0；（） 4．无理数就是带根号的数；（） 5．的平方根是；（） 6．是25的一个平方根；（） 7．正数的平方根比它的平方小；（） 8．除零外，任何数都有两个平方根；（） 9．的平方根是；（） 10．没有平方根；（）

11．零是最小的实数；（） 12．23是的算术平方根．（） 三、选择题： 1．下列说法正确的是（）． A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．的平方根是 2．在四个数0，，2，中，有平方根的是（）． A．0与 B．0，与 C．0与 D．0，2与 3．若，则x为（）． A．1 B． C． D． 4．的平方根是（）． A．3 B． C．9 D． 5．的算术平方根是（）． A．16 B． C．4 D． 6．如果有意义，则x的取值范围是（）． A．x≥0 B．x＞0 C．x＞ D．x≥ 7．如果一个自然数的平方根是(a≥0)，则下一个自然数的平方根为（）．A． B． C． D． 8．下列叙述正确的是（）． A．是7的一个平方根 B．11的平方根是 C．如果x有算术平方根，则x＞0 D． 9．计算的平方根，下列表达式正确的是（）． A． B． C． D．

世界经典数学名题

鸡兔同笼 《孙子算经》卷下第31题叫?鸡兔同笼?问题，也是一道世界数学名题。?有一群野鸡和兔子关在同一个笼子里，头数是35，脚数是94。问野鸡和兔子的数目各是多少？?这个题目编得很有趣，如果35只动物全是鸡，就应该有70只脚；如果全是兔，就应该有140只脚，而题中却说共有94只脚，给人一种左右为难的印象。其实，解题关键也正在这里，假设35只动物全是鸡，则共有70只脚，与题中?脚数是94?相比较，还差24只脚，将1只兔看作是鸡，脚数就会相差2，有多少只兔被看作是鸡了呢？24 2=12。算到这里，答案也就呼之欲出了。 清朝时，作家李汝珍把这类问题写进了小说《镜花缘》中。书中有这样一个情节，一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个。一位才女把大灯看作是头，小灯看作是脚；把一种灯球看作是鸡，把另一种看作是兔，运用?脚数的一半减头数得兔数，头数减兔数得鸡数?的算法，很快就算出了一大二小的灯是120盏，一大四小的灯是240盏，赢得了一片喝彩声。伴随古代中外文化交流，鸡兔同笼问题很快就漂洋过海流传到了日本。不过到了日本之后，鸡变成了仙鹤，兔变成了乌龟，鸡兔同笼变成了赫赫有名的?鹤龟算?。 狗跑与兔跳 行程问题是中小学里常见的一类数学应用题，也是一类很古老的数学问题。在我国古代数学名著《九章算术》里，收集了很多这方面的题目如书中第6章第14题：?狗追兔子。兔子先跑100步，狗只追了250步便停了下来，这时它离兔子只有30步的距离了。问如果狗不停下来，还要跑多少步才能追上兔子？?这道追及问题编得很有趣，它没有直接告诉狗与兔的?速度差?，反而节外生枝地让狗在追及过程中停了下来，数量关系显得扑朔迷离。2000年前，我们的祖先解决这类问题已经很有经验了，所以书中只是简单地说，用（250 30）作除数，用（100-30）作被除数，即可算出题目的答案。 世界各国人民都很喜爱解答这类问题，一本公元8世纪时在欧洲很流行的习题集中，也记载了一个狗与兔的追及问题：?狗追兔子，兔子在狗前面100英尺。兔子跑7英尺的时间狗可以跑9英尺，问狗跑完多少英尺才能追上兔子？?相传

最全的高中数学数列练习题-附答案与解析

数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a -的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 二、填空题 11．设f (x )＝221 +x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋ f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 . 12．已知等比数列{a n }中，

小学数学奥数题及答案

小学数学经典应用题 1、已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍，又知一张桌子比一把椅子多288元，一张桌子和一把椅子各多少元? 【解题思路】 由已知条件可知，一张桌子比一把椅子多的288元，正好是一把椅子价钱的(10- 1)倍，由此可求得一把椅子的价钱。再根据椅子的价钱，就可求得一张桌子的价钱。 解：一把椅子的价钱：288÷(10-1)=32(元) 一张桌子的价钱：32X10=320(元) 答：一张桌子320元，一把椅子32元。 2、3箱苹果重45千克。一箱梨比一箱苹果多5千克，3箱梨重多少千克? 【解题思路】 可先求出3箱梨比3箱苹果多的重量，再加上3箱苹果的重量，就是3箱梨的重量。 解：45+5x3=45+15=60(千克) 答：3箱梨重60千克。 3、甲乙二人从两地同时相对而行，经过4小时，在距离中点4千米处相遇。甲比乙速度快，甲每小时比乙快多少千米? 【解题思路】 根据在距离中点4千米处相遇和甲比乙速度快可知甲比乙多走4×2千米，又知经过4小时相遇。即可求甲比乙每小时快多少千米。 解：4×2÷4=8÷4=2(千米) 答：甲每小时比乙快2千米。 4、李军和张强付同样多的钱买了同一种铅笔，李军要了13支，张强要了7支，李军又给张强0.6元钱。每支铅笔多少钱? 【解题思路】 根据两人付同样多的钱买同一种铅笔和李军要了13支，张强要了7支，可知每人应该得(13+7)÷2支，而李军要了13支比应得的多了3支，因此又给张强0.6元钱，即可求每支铅笔的价钱。 解：0.6÷[13-(13+7)÷2] =0.6÷[13- 20÷2] =0.6÷3 =0.2(元) 答：每支铅笔0.2元。 5.甲乙两辆客车上午8时同日从两个车站出发，相向而行，经过一段时间，两车同时到达一条河的两岸。由于河上的桥正在维修，车辆禁止通行，两车需交换乘客，然后按原路返回各自出发的车站，到站时已是下午2点。甲车每小时行40千米，乙车每小时行45千米，两地相距多少千米?(交换乘客的时间略去不计) 【解题思路】 根据已知两车上午8时从两站出发，下午2点返回原车站，可求出两车所行驶的时间。根据两车的速度和行驶的时间可求两车行驶的总路程。 解：下午2点是14时。 往返用的时间：14—8=6(时) 两地间路程：(40+45)×6÷2=85×6÷2=255(千米) 答：两地相距255千米。 6.学校组织两个课外兴趣小线去郊外活动。第一小组每小时走4.5千米，第二小组每小时行3.5千米。两组同时出发1小时后，第一小组停下来参观1个果园，用了1小时，再去追第二小组。多长时间能追上第二小组？ 【解题思路】 第一小组停下来参观果园时间，第二小组多行了[3.5一(4.5-3.5)]千米，也就是第一组要追赶的路程。又知第一组每小时比第二组快(4.5-3.5)千米，由此便可求出追赶的时间。 解：第一组追赶第二组的路程： 3.5-( 4.5 -3.5)=3.5- 1= 2.5(千米) 第一组追赶第二组所用时间： 2.5÷(4.5- 3.5)=2.5÷1= 2.5(小时) 答：第一组2.5小时能追上第二小组。 7、有甲乙两个仓库，每个仓库平均储存粮食32.5吨。甲仓的存粮吨数比乙仓的4倍少5吨，甲、乙两仓各储存粮食多少吨? 【解题思路】 根据甲仓的存粮吨数比乙仓的4倍少5吨，可知甲仓的存粮如果增加5吨，它的存粮吨数就是乙仓的4倍，那样总存粮数也要增加5吨。若把乙仓存粮吨数看作1倍，总存粮吨数就是(4+1)倍，由此便可求出甲、乙两仓存粮吨数。 解：乙仓存粮：(32.5x2+5)÷(4+1) =(65+5)÷5=70÷5=14(吨) 甲仓存粮：14X4 -5=56-5=51(吨) 答：甲仓存粮51吨，乙仓存粮14吨。 8.甲、乙两队共同修一条长400米的公路，甲队从东往西修4从西往东修5天，正好修完，甲队比乙队每天多修10米。甲、乙两队每天共修多少米？ 【解题思路】 根据甲队每天比乙队多修10米，可以这样考虑：如果把甲队修的4天看作和乙队4天修的同样多，那么总长度就减少4个10米，这时的长度相当于乙(4+5)天修的。由此可求出乙队每天修的米数，进而再求两队每天共修的米数。 解：乙每天修的米数：(400—10x4)÷(4+5) =(400—40) ÷9=360÷9=40(米) 甲乙两队每天共修的米数： 40X2+10= 80+10 =90(米) 答：两队每天修90米。 9、学校买来6张桌子和5把椅子共付455元，已知每张桌子比每把椅子贵30元，桌子和椅子的单价各是多少元? 【解题思路】 已知每张桌子比每把椅子贵30元，如果桌子的单价与椅子同样多，那么总价就应减少30×6元，这时的总价相当于(6+5)把椅子的价钱，由此可求每把椅子的单价，再求每张桌子的单价。 解：每把椅子的价钱：(455—30×6)÷(6+5) =(455-180)÷11=275÷11=25(元) 每张桌子的价钱：25+30= 55(元) 答：每张桌子55元，每把椅子25元 10.一列火车和一列慢车，同时分别从甲乙两地相对开出。快车每小时行75千米，慢车每小时行65千

高中数学经典题型50道(另附详细答案)

高中数学经典题型50 道(另附详细答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高中数学习题库（50道题另附答案） 1.求下列函数的值域： 解法2 令t＝sin x，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵ |sin x|≤1, ∴ |t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和，求该慧星与 地球的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆 的方程为122 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3 π 时，由椭圆的几何 意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得????? ??+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的

经典趣味数学题及答案

经典趣味数学题及答案趣味数学题及答案1 七天七夜打一数学名词 答案：周长 看谁力量大打一数学名词 答案：比例力 人民的力量打一数学名词 答案：无限 一直不来打一数学名词 答案：恒等 不用再说打一数学名词 答案：已知 千刀万割打一数学名词 答案：分式 大家发表意见打一数学名词 答案：讨论 从后面算起打一数学名词 答案：倒数 北打一数学名词 答案：反比 剑穿楚霸王打一数学名词 答案：通项 算信件打一数学名词 答案：函数

答案：级数 逐优录取打一数学名词答案：0.618法 计算转动杆打一数学名词答案：数轴 不准确打一数学名词 答案：误差 趣味数学题及答案2 搬来数一数打一数学名词答案：运算 隔河相答打一数学名词对应 再算一遍打一数学名词答案：复数 招收演员打一数学名词答案：补角 十八斤打一数学名词 答案：分析 司药打一数学名词 答案：配方 请人做事打一数学名词答案：求作 查帐打一数学名词 答案：对数

答案：公式 小小的房子打一数学名词 答案：区间 齐头并进打一数学名词 答案：平行 废律打一数学名词 答案：除法 大家发表意见打一数学名词 答案：商 彼此盘问打一数学名词 答案：互质 五角钱打一数学名词 答案：半圆 趣味数学题及答案3 1、猩猩最讨厌什么线 A 中位线 B 平行线 C 角平分线 D 射线 2、衣柜里有6只白色袜子，6只黑色袜子。它们除颜色不同之外，其它都一样。如果身处漆黑中，由衣柜取出两只颜色相同的袜子，最少要从衣柜中拿出几只袜子，才能确保其中有两只袜子颜色相同呢? A 1次 B 2次 C 3次 D 4次 3、1874年，德国数学家康托尔创立了集合论。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础上。就在人们认为数学的基础已经很牢固的时候，集合论出现了一系列自相矛盾的结果，即悖论!于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。请选出下面哪个选项不属于悖论 A 有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗?”

《高中最全数学解题的思维策略》

一、 《高中数学解题的思维策略》
很抱歉这么晚才来给大家讲课，因为今年暑假刚去安徽写生画图， 昨天下午坐了 24 个小时的火车过来，误了 4 天的课程，最后咱们 下午物理上完之后再给大家补课，再给大家补 5 天的课程， 去年高考难，很多学生数学考得也很不错， ，很多人可能会问补课 有用吗。给大家举个例子，那几年留学很流行，大家可能会说，留 学很贵，实际上很多海归回来后一年的工资就把多花的挣回来了， 补课也是，讲到的某些知识点能被大家用到高考中，增加分数，高 考中分数的重要性， ，我姐是个老师，我姐经常说孩子们考好了， 家长就说， ，考不好，家长就说老师和郭师哥教的不好，实际上主 体还是我们学生，次要的才是老师，家长，环境，据去年那批学生 反映最后对我们 3 个教的还不错， 我先讲一下我补课大概基本要讲的内容， 把大家数学必修的知识点 基本过一遍，再做相应的习题，中间穿插还有很多我个人感觉很多 好题；很多我归纳的知识和一些数学技巧；在最后 2 天我要给大家 讲一下数学解题策略，如果最后还有时间的话，还会给大家讲一下 一些英语，语文和其他科目的技巧。 导 读
数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效 的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解： 一、数学思维的变通性(举例子过几天再给他们讲，考试的时候有些难题大家容易钻 牛角尖，这个变通不只是说思维，也可以说是大家对数学卷子的一种变通，高考 120 分 钟，12 道选择，4 道填空，基本用时不超过 50 分钟，选这题一般最后 2 个比较难，填空 题一般最后一个比较难，大家很容易被这卡主，流汗，紧张，看到你旁边的人第 2 道大 题都快做完了，这下就慌了，心想肯定完了，最后整个卷子全部慌了，后面计算正确率 也不高了，整个考试最后也可想而知。应该怎么办呀，先做会的，把整个卷子会做的做 完了，再去做会做的，即使有些题不会做也没关系，大题都是按步骤给分，步骤对了，

经典小学1奥数题(带答案)

经典小学奥数题目 1.一圆形纸片的半径是3厘米，一正方形纸片上的边长是4厘米。两纸片重叠一部分放在左面上，覆盖桌面的面积为38平方厘米。问：两纸片重合部分的面积是多少？ 3*3*3.14+4*4-38=4.26平方厘米 3.某班参加体育活动的学生有25人，参加音乐活动的有26人，参加美术活动的有24人，同时参加体、音活动的有16人，同时参加音、美活动的有15人同时参加体、美活动的有14人，三个组同时都参加的有5人。这个班共有多少名学生参加活动？ 25+26+24-16-14-15+5=35人 4.某校六年级举行语文和数学竞赛，参加人数占全年级总人数的百分之40.参加语文竞赛的占竞赛人数的五分之二，参加数学竞赛的占竞赛人数的四分之三，两项都参加的有12人。这个学校六年级共有多少人？ 40%*2/5*X+40%*3/4*X-40%X=12 X=200 5.某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这个班三项都会的至少有几人？ 48+37+39-52*2=20人 6.分母是385的最简真分数共有多少个？这些真分数的和是多少？ 385的最简真分数的个数240个，真分数的和是120 牛吃草问题 例1： 一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？ 这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量——即原来的草的数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。假设1头牛一周吃的草的数量为1份，那么27头牛6周需要吃27×6=162（份），此时新草与原有的草均被吃完；23头牛9周需吃23×9=207（份），此时新草与原有的草也均被吃完。而162份是原有的草的数量与6周新长出的草的数量的总和；207份是原有的草的数量与9周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份数为：（207-162）÷（9-6）=15（份），所以，原有草的数量为：162-15×6=72（份）。这片草地每周新长草15份相当于可安排15头牛专吃新长出来的草，于是这片草地可供21 头牛吃72÷（21-15）＝12（周） 例2： 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？ 与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少，但是，我们同样可以利用与例1类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。 设1头牛1天吃的草为1份，20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份，也就是寒冷导致的每天减

高中数学题库

迄今为止最全，最适用的高一数学试题（必修1、4） （特别适合按14523顺序的省份） 必修1 第一章 集合测试 一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求) 1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是 （ ） A.学校篮球水平较高的学生 B.校园中长的高大的树木 C.2007年所有的欧盟国家 D.中国经济发达的城市 2．方程组2 0{ =+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{ 3．已知集合A={a ，b ，c},下列可以作为集合A 的子集的是 （ ） A. a B. {a ，c} C. {a ，e} D.{a ，b ，c ，d} 4．下列图形中，表示N M ?的是 （ ） 5．下列表述正确的是 （ ） A.}0{=? B. }0{?? C. }0{?? D. }0{∈? 6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A ∩B B.A ?B C.A ∪B D.A ?B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14} 又,,B b A a ∈∈则有 （ ） A.（a+b ）∈ A B. (a+b) ∈B C.(a+b) ∈ C D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个 8.集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若B A ={1，2，3，4，5}，则x=（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 9.满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 10.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ， 6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ） A. A B B. B A C. B C A C U U D. B C A C U U 11.设集合{|32}M m m =∈-<

初中经典趣味数学题

初中经典趣味数学题（一） 教学目的：通过这6道经典数学题，应用简单的整数运算让学生体验数学在实际生活中的应用，激发数学学习兴趣，培养逻辑 思维。 教学难点：依据所给条件，通过逻辑推理建立数学关系式。 课时：1课时 1.有27颗珍珠,其中一颗是假的,但外观和真的一样,只是比真的珍珠轻一点.问:最少用天平称几次(不用砝码),就一定可以把假的珍珠找出来? 解答：3次 第一次把27颗珍珠分成3等份,取其中2份放天平两端称量,如果天平偏斜,则考虑轻的那9颗珍珠,如果不偏斜,则考虑没有称量的那9颗;同理,将这9颗珍珠再分成3等份,,取其中2份放天平两端称量,再次得到3颗"可疑"的珍珠,取出两颗称量,如果天平偏斜,则轻的是次品~否则没称量的是次品 2.埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如用1/3+1/15表

示2/5，用1/4+1/7+1/28来表示3/7等等，现在用90个埃及分子1/2，1/3，1/4，1/5，......。1/90。1/91，其中是否再取10个数，加上正负号后使它们的和为-1，若存在，请写出这10个数，若不存在，请说明理由。 解答:一解： －1=－1/5－1/6－1/8－1/9－1/10－1/12－1/15－1/18－1/20－1/24 二解： 1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/ 9-1/10=1-1/10 所以： 1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/10=1 即： -1/2-1/6-1/12-1/20-1/30-1/42-1/56-1/72-1/90-1/10=-1 3下诗出于清朝数学家徐子云的著作，请算出诗中有多少僧人？ 巍巍古寺在云中，不知寺内多少僧。 三百六十四只碗，看看用尽不差争。

高中数学好题速递

好题速递201题 解析几何模块4．已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线 ()220m n x ny n m ++++=的最大距离为 ． 解法一：由MA MB λ=得()()2 2 2222x y x b y λ??++=-+?? 即()()() 222222211244x y b x b λλλλ-+--+=- 故2222 240 411 b b λλλ?+=? ?-=?-?，将22b λ=-代入22241b λλ-=-得22520b b ++=，得12b =-，2λ= 又直线()220m n x ny n m ++++=恒过定点()2,0-，所以由几何性质知点1,22P ?? - ??? 到直 线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为点()2,0-与1,22P ?? - ??? 的距离为52 解法二：作为小题，由MA MB λ=知是阿氏圆轨迹，故取圆22:1C x y +=直径上的两个点()()1,0,1,0-，即可得 13 11b b λ==+-，解得12 b =-，2λ= 好题速递202题 解析几何模块5．已知M 是28x y =的对称轴和准线的交点，点N 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足PM m PN =，当m 取得最大值时，点P 恰在以M 、N 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 ． 解：作''PP MP ⊥，由抛物线定义'PP PN = '1cos PN PP PM m PN m PM PM θ=? ===，其中'MPP NMP θ=∠=∠ 要使m 取得最小值，即cos θ最小，即NMP θ=∠最大值，即''2 PMP MPP π ∠=-∠最小， 此时MP 是抛物线的切线． 设MP 的方程为2y kx =-， 与28x y =联立得()2820x kx --= 因为相切，故264640k ?=-=，解得1k = 故()4,2P ，2424a PM PN =-=-