梯形的中位线及公式

梯形的中位线及公式

梯形的面积

面积=（上底+下底）高2

三角形中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线．梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方

三角形中位线定理的证明及其教学说明 以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师 一、 三角形中位线定理的几种证明方法 法1： 如图所示，延长中位线DE 至F ，使 ，连结CF ，则 ，有AD FC ，所以FC BD ，则四边形BCFD 是平行四边 形，DF BC 。因为 ，所以DE BC 2 1． 法2： 如图所示，过C 作 交DE 的延长线于F ，则 ， 有FC AD ，那么FC BD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。 因为 ，所以DE BC 2 1． 法3：如图所示，延长DE 至F ，使 ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形 ADCF 为平行四边形，有AD CF ，所以FC BD ，那么四边形BCFD 为平 行四边形，DF BC 。因为 ，所以DE BC 2 1．

法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ???，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DE BC 21。 法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线． 二、教学说明 1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维” 在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。

⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？ A C 图⑴： ⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗? C 图⑵： 说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线B C上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜. 2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

八年级数学梯形的中位线

N M A B C D 教学课题： §16.7梯形的中位线 （2） 课时1 教学目标： 知识与技能：1.使学生初步掌握梯形中位线的概念及其定理． 2．掌握梯形面积的第二个计算公式． 过程与方法：1.使学生会运用梯形中位线定理来解决相关问 题； 2.通过直观演示、猜想实践、归纳论证等教学环节，培养 学生类比和转化的思想方法，锻炼学生独立的思考能力、 缜密的逻辑思维能力和观察归纳的能力． 情感与态度：1.培养学生理论联系实际的科学态度，树立事物间普遍存在联系的哲学观点．2. 通过创设愉悦的学习情境，使学生自始至终处于积极思考、大胆置疑、勇于创 新、合作学习的氛围中，从而提高学习兴趣． 教学重点：梯形中位线的概念及其定理； 教学难点：梯形中位线定理的发现和论证的思想方法． 教学方法： 引导发现法 教学过程： 一、课题引入 1、叙述三角形中位线及其定理； 2、上述基础上引出梯形中位线的概念． 让学生根据上述引入过程，自己用文字概括出梯形中位线的定义； 梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 二、定理的发现 1、强调三角形中位线与第三边的双重关系，提出如下问题让学生思考： （1）梯形中位线与底边的位置关系如何？ （2）梯形的中位线与两底之间存在怎样的数量关系？ 2、用多媒体课件中的测量功能，动态地、分多次测量这三线段的长度，让同座的学生分工合作：一个观测报数，一个记录． 3、给2分钟的时间让学生处理数据，并得出结论． 4、将数量关系推广到一般，得出如下猜想： （1）梯形的中位线平行于两底； （2）梯形中位线的长度等于两底和的一半 三、定理的证明 提出论证猜想的重要性，引导学生用推理的方法证明猜想： 1、利用转化思想，提出能否将梯形的中位线问题转化为三角形的中位线问题，然后用所学知识来解决新问题？ 2、如何利用所学的梯形辅助线的作法，合理地添加辅助线，使上述意图得以实现？ 3、给学生5分钟，按每4个人一组，分小组让学生讨论．

梯形、中位线

梯形、中位线 【知识概要】 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似． 通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是： 1．平移腰：过一顶点作一腰的平行线； 2．平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线； 3．过底的顶点作另一底的垂线． 熟悉以下基本图形、基本结论

【课堂练习】 1.( “希望杯”邀请赛试题) 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a ，AB=b，则CD的长是． 思路点拨平移腰，构造等腰三角形、平行四边形． 注平移腰、平移对角线的作用在于，能得到长度为梯形上下底之差或之和的线段，能把题 设条件集中到同一三角形中来． 2.(全国初中数学联赛试题)已知一个梯形的4条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（） 10 A．4 B．6 C．82 D．2 3 思路点拨给出4条线段，要构成梯形需满足一定条件，解题的关键是确定可能的上、下底．注给出4条线段不一定能构成梯形，需满足一定的条件，讨论的方法是通过平移腰，把问题转化为三角形的问题讨论，请读者思考，设为梯形的上、下底，c、为腰，那么a、b、c、d满足怎样的条件? 3.(1)如图，已知等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，E是梯形外一点，且EA=ED，求证：EB=EC (2)请你将(1)中的“等腰梯形”改为另一种四边形，其余条件不变，使结论“EB=EC”仍 然成立，再根据改编后的问题画图形，并说明理由．

4. 如图，已知梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AD=3，BC=6，高h =2，P 是BC 边上的一个动点，直线m 过P 点，且m ∥DC 交梯形另外一边于E ，若BP=x ，梯形位于直线m 左侧的图形面积为y (1)当3

梯形的中位线

梯形中位线定理 一教材分析 教材的地位和作用 本节课选自鲁教版八年级下册第八章《证明三》第四节，是《证明一》和《证明二》的继续，梯形中位线定理是在学习了三角形、平行四边形，平移和旋转等知识的基础上进行深入探究，是中学数学中的重要定理，为探索中位线与面积的关系奠定基础，具有承上启下的作用。 （二）学习目标： 1、知识技能目标：通过具体情境使学生记住梯形中位线概念，理解梯形中位线定理。 2、过程方法目标：经历观察、猜想、合作、交流、应用等过程，让学生进一步掌握归纳、类比、转化等数学思想方法应用。 3、情感态度目标：引导学生探索、交流与讨论，培养他们的合作与探究精神，促进师生间的教学相长。 （三）、教学重难点 重点：梯形的中位线定理及定理应用． 难点：梯形的中位线定理的证明． 二学情分析与学法分析： 经过初一、初二的学习，初三学生抽象思维能力已得到一定训练。有独立分析解决问题的能力，此外初三学生学习了三角形、平行四边形、旋转、平移等知识，为本节课重难点的解决提供了保障。在教学中应放手学生大胆的猜想并尝试证明，在知识的迁移中进行创造性学习，从而达到授人以渔的目的。 三、教学方法 引导探究法。教师为学生提供充分数学活动，学生在探求的过程中经历知识的发生、发展

和形成，但仍需要教师进行适度的引导，需要留给学生思考、交流空间。 四、教学环境 网络多媒体环境教学环境 五、信息技术应用思路（突出三个方面：使用哪些技术？在哪些教学环节如何使用这些技术？使用这些技术的预期效果是？） 1、利用几何画板软件进行教学展示与学生体验，让学生直观感受三角形中位线与梯形中位线之间的练习与区别、运用几何画板测量和计算来验证学生的猜想，动画演示引导学生的分析，教会学生如何将复杂图形分解来寻找解决问题的突破口，充分应用转化和数形结合的思想突破重点。 2.学生在电子白板画出自己构建的图形，通过成果展示拓宽学生视野的目的，分享证明方法的多样化，配合动画演示引导学生总结辅助线的做法 3、充分得用网络技术，在网络多媒体环境下，进行师生交流与学生演示。 4、在探究梯形中位线定理时运用几何画板软件度量、计算、作图技术及图形运动变化等展示技术，能让学生理解概念，引导学生猜想、探究定理证明，使学生感性认识上升到理性认识。 教学流程。

三角形中位线定理_练习题

三角形的中位线定理 1．三角形中位线的定义： 2．三角形中位线定理的证明： 如图，在△ABC 中，D 、E 是AB 和AC 的中点，求证：DE ∥BC ，DE=2 1 BC ． 方法一： 方法二： 3．归纳：（1）几何语言： （2） 条中位线， 对全等， 个平行四边形 （3）面积 4．拓展：如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC ，求证： DE= 2 1 BC ． 【巩固练习】 1．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ． 2．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF= 1 2 BD ． 3．已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形． 4．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ． 5．已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点．

求证：四边形DEFG 是平行四边形． 6．已知：如图，E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE ＝DC ，连结AE 分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC 交BD 于O ，连结OF ．求证：AB ＝2OF ． 7．如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，点E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点． 求证：△EFG 是等腰三角形。 8．如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点（E 与A D ，不重合），G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点．求证：四边形EGFH 是平行四边形； 9．如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形． 10．已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线， 求证：DE 与AF 互相平分 11．如图所示，在四边形ABCD 中，DC∥AB，以AD ，AC 为边作□ACED ，延长DC?交EB 于． 求证：EF=FB ．(多种方法)

沪教版八年级数学-三角形梯形的中位线-教师版

在△ABC 中①、BC AB F E 、为、 的中点 ②、∵M 、N 分别是BC 、AC 的中点 ∴线段EF 是 △ABC 的中位线 ∴ 线段MN 是△ABC 的中位线 2）、三角形有 3 条中位线，它们构成的三角形叫中点三角形。 3）、三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。 4）、在△ABC 中，AB =3，BC =5，CA =7，顺次连结三边中点得△DEF 的周长为___7.5______. 5）、在△ABC 中，D 、E 、F 分别 为AB 、BC 、CA 的中点，△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长是 20 。 6）、三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是__ 24 。 结论：中点三角形的周长等于原三角形的 一半 . 7）、一个三角形的面积是40，则它的中点三角形的面积是__10 结论：中点三角形的面积是原三角形面积的_ 二、中点四边形 1、定义：顺次连接四边形各边中点的四边形叫 中点四边形 2、中点四边形的形状与原四边形的对角线数量和位置有关 1）、原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形； 2）、原四边形的对角线垂直时，中点四边形是矩形； 3）、原四边形的对角线既相等又垂直时，中点四边形是正方形； 4）、原四边形的对角线既不相等又不垂直时，中点四边形是平行四边形。 5）、任意四边形的中点四边形是平行四边形；菱形的中点四边形是矩形； 矩形、等腰梯形的中点四边形是菱形；正方形的中点四边形是正方形。 三、梯形中位线 1、定义：联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 2、梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半 。 热身练习 1．若三角形三条中位线长分别是3cm 、4cm 、5cm ，则这个三角形的面积是 24 cm 2。 2．梯形的上底长为6，下底长为10，则由中位线所分得的两个梯形的面积之比为 7:9 ． 3. 梯形的两条对角线的中点的连线长为7，上底长为8，则下底长为 22 ． 4. 若等腰梯形的腰长是5cm ，中位线是6cm ，则它的周长是＿22＿＿cm ． 4 1

三角形中位线定理的证明

备课偶得—— 三角形中位线定理的再证明 王贵林 皖南陵县烟墩镇烟墩中心初级中学 241313 三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的半。 关于它的证明方法，课本上给出了一种证法。笔者在备课中发现它的证法有8种之多，而且非常有趣，这里写出来与同仁共享，企斧正。 已知：如图1，△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，求证：D E ∥BC 且 证法一、（构造法）如图2，延长DE 到F ，使EF=DE ，连结AF 、CF 、 DC ∵E 为AC 中点 ∴AE=CE ∵EF=DE ∴四边形ADCF 为平行四边形 ∴CF AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴BD CF ∴四边形DBCF 为平行四边形 ∴DF BC ∴DE=EF ∴DE ∥BC 且 证法二、（构造法）如图3，过CF 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F ，则 ∠A=∠ACF ∵E 为AC 中点 ∴AE=CF ∴△AD E ≌△CFE （ASA ） ∴CF=AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴CF=BD ∵CF ∥BD ∴CF BD ∴四边形DBCF 为平行四边形 ∴DF BC ∴△ADE ≌△CFE ∴DE=EF ∴D E ∥BC 且 证法三、（同一法）如图4，过D 作D E ′∥BC ，交AC 于E ′，过E ′作E ′F ∥AB ，交BC 于F ，则 ∠B=∠ADE ′=∠E ′FC ，∠AE ′D=∠C 四边形DBFE ′是平行四边形 ∴E ′F=BD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴E ′F=AD ∴△ADE ′≌△E ′FC （AAS ） ∴AE ′=CE ′即E ′为AC 中点 ∵E 为AC 中点 ∴E 与E ′重合即DE ∥BC ，△ADE ≌△EFC ，四边形DBFE 为平行四边形 ∴DE=CF DE=BF 即 ∴DE ∥BC 且 图1 B C A D E 图2 B C A D E F 图3 B C A D E F C 图4 B A D E F E ′ 图5 B C A D E 1 2 DE BC =1 2 DE BC =1 2DE BC =12 DE BC =1 2DE BC =

梯形中位线教案

梯形中位线定理教学设计 一、教材分析： 本节课要研究的是梯形的中位线，它是在学生已经学过三角形中位线基础上进行的，是本章的重点内容之一。学习并掌握梯形的中位线的概念和性质，将有利于提高学生解决四边形中的一些计算问题、证明问题和实践性问题的能力。另外，通过本节课的教学，可向学生渗透类比和转化的数学思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。因此，本节课无论是在知识的学习，还是对学生能力的培养上都起着十分重要的作用。 二、教学目标： 1、知识目标：使学生初步掌握梯形中位线的概念及其定理。掌握梯形面积的第二个计算公式。 2、能力目标：使学生会运用梯形中位线定理来解决相关问题；通过直观演示、猜想实践、归纳论证等教学环节，培养学生类比和转化的思想方法，锻炼学生独立的思考能力、缜密的逻辑思维能力和观察归纳的能力。 3、情感目标：培养学生理论联系实际的科学态度。通过创设愉悦的学习情境，使学生自始至终处于积极思考、大胆置疑、勇于创新、合作学习的氛围中，从而提高学习兴趣和教学效益。 三、教学的重、难点： （1）重点：梯形中位线定理及其应用； （2）难点：梯形中位线定理的发现和论证的思想方法。 本节课设计的探究活动和分组讨论的教学环节，就是为了使学生能在教师引导下，发现梯形中位线的性质，并合理地添加辅助线证明定理。 四、教学方法和手段： 结合本节课内容和学生的实际情况，采用引导发现和设疑诱导的教学方法。在教学过程中，通过创设富有启发性和研究性的问题情景，激发学生对问题的猜想和思考，激发学生探求知识的欲望，自觉地经历从发现问题到解决问题的知识发生的全过程。为了增强教学的直观性，有利于教学难点的突破，增大课堂容量，提高教学效率，采用了多媒体计算机辅助教学手段。 五、教具、学具 计算机，刻度尺，量角器 六、教学程序：

三角形中位线定理 知识讲解

三角形中位线定理 【学习目标】 1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2. 掌握中点四边形的形成规律. 【要点梳理】 要点一、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个 小三角形的周长为原三角形周长的1 2 ，每个小三角形的面积为原三角形 面积的1 4 . （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、三角形的中位线 1、（优质试题?北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长． 【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．

梯形的中位线教案

梯形的中位线教案 重难点分析 本节的重点是中位线定理.三角形中位线定理和梯形中位线定理不但给出了三角形或 梯形中线段的位置关系，而且给出了线段的数量关系，为平面几何中证明线段平行和线段 相等提供了新的思路. 本节的难点是中位线定理的证明.中位线定理的证明教材中采用了同一法，同一法学 生初次接触，思维上不容易理解，而其他证明方法都需要添加2条或2条以上的辅助线， 添加的目的性和必要性，同以前遇到的情况对比有一定的难度. 教法建议 1.对于中位线定理的引入和证明可采用发现法，由学生自己观察、猜想、测量、论证，实际掌握效果比应用讲授法应好些，教师可根据学生情况参考采用 2.对于定理的证明，有条件的教师可考虑利用多媒体课件来进行演示知识的形成及证 明过程，效果可能会更直接更易于理解 教学设计示例 一、教学目标 1.掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理 2.掌握定理“过梯形一腰中点且平行底的直线平分另一腰” 3.能够应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能 力和分析能力 4.通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力 5.通过一题多解，培养学生对数学的兴趣 二、教学设计 引导分析、类比探索，讨论式 三、重点和难点 1.教学重点：梯形中位线性质及不规则的多边形面积的计算. 2.教学难点：梯形中位线定理的证明. 四、课时安排

1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片，常用画图工具 六、教学步骤 复习提问 1.什么叫三角形的中位线?它与三角形中线有什么区别?三角形中位线又有什么性质 (叙述定理). 2.叙述平行线等分线段定理及推论1、推论2(学生叙述，教师画草图，如图所示，结 合图形复习). (由线段EF引入梯形中位线定义) 引入新课 梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 现在我们来研究梯形中位线有什么性质. 如图所示：EF是的中位线，引导学生回答下列问题：(1)EF与BC有什么关系?()(2) 如果，那么DF与FC，AD与GC是否相等?为什么?(3)EF与AD、BG有何关系? ，教师用彩色粉笔描出梯形ABGD，则EF为梯形ABGD的中位线. 由此得出梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 现在我们来证明这个定理(结合上面提出的问题，让学生计论证明方法，教师总结). 已知：如图所示，在梯形ABCD中，. 求证：. 分析：把EF转化为三角形中位线，然后利用三角形中位线定理即可证得. 说明：延长BC到E，使，或连结AN并延长AN到E，使，这两种方法都需证三点共线(A、N、E或B、C、E)较麻烦，所以可连结AN并延长，交BC线于点E，这样只需证即可得，从而证出定理结论. 证明：连结AN并交BC延长线于点E. 又，

中位线定理证明题

中位线定理证明题 1、 如图，若CD AB //，E 、F 分别是BC 、AD 的中点， 且a AB =，b CD =，求EF 的长 2、已知矩形ABCD 中，cm AB 15=，cm BC 8=，E 、 F 、 G 、 H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求 四边形EFGH 的周长和面积 3、 如图，已知四边形ABCD 中，BC AD //， 若DAB ∠的角平分线AE 交CD 于E ，连结BE ， 且BE 平分ABC ∠，求证：BC AD AB += 4、如图，在ABC ?中，C B ∠=∠2，BC AD ⊥，垂足为D ，M 是BC 的中点，cm AB 10=，求MD 的长 5、 如图，D 、E 、F 分别是ABC ?三边的中点，G 是AE 的中点， BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点，求BE PQ :的值 6、 如图，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，AD BD ⊥， AC DE //，交AB 于E ，若5=AB ，求DE 的长 7、连接凸四边形一组对边中点的线段等于另一组对边和的一半，问这个凸四边形是什么四边形试证明你的结论

8、分别以ABC ?的边AC 和BC 为一边，在ABC ?外作正方形ACDE 和 CBFG ，点P 是EF 的中点，如图，求证：点P 到边AB 的距离是AB 的一半 9、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，?=∠30B ， ?=∠60C ，E 、M 、F 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点， 已知7=BC ，3=MN ，求EF 的值 10、如图，已知梯形ABCD 中，BC AD //，?=∠=∠90ADC DCB ，E 为AB 中点，求证：DE CE = 11、如图，已知梯形ABCD 中，CD AB //，?=∠=∠90D DAB ，ACB ?是等边三角形，梯形中位线m EF 4 3 = ，求梯形的下底AB 的长 12、如图，梯形ABCD 的面积是12，求此梯形四边的中点组成的四边形EFGH 的面积 13、如图，已知A 为DE 的中点，设DBC ?、ABC ?、EBC ?的面积分别为1S 、 2S 、3S ，求1S 、2S 、3S 之间的关系 14、如图，在ABC ?中，?=∠120BAC ，以AB 、AC 为向形外作等边三角形ABD 和ACE ，M 为AD 中点，N 为AE 中点，P 为BC 中点，试求MPN ∠的度数

梯形的中位线

梯形的中位线 课题梯形的中位线 日期 教学目标1．掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理 2．掌握定理“过梯形一腰中点且平行底的直线平分另一腰” 3．能够应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力和分析能力 4．通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力 5. 通过一题多解，培养学生对数学的兴趣 重难点教学重点：梯形中位线性质及不规则的多边形面积的计算．教学难点：梯形中位线定理的证明． 教 法 引导分析、类比探索，讨论式 角色教师活动学生活动 备 注

教 学过程一、情景创设 上一节课我们通过对三角形的中位线定理的再认识，知道 顺次连接四边形各边的中点会得到一个平行四边形，那么如果 我顺次连接的是矩形，菱形或正方形，又会得到什么样的图形 呢？ 二、引入新课 1.梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 2.现在我们来研究梯形中位线有什么性质. 如图所示：EF是 的中位线，引 导学生回答下列问题：（1）EF与BC有什么关系？ （）（2） 与同学共同讨 论解决。

教学过程. 求证： . 分析：把EF转化为三角形中位线，然后利用三角形中位线 定理即可证得. 说明：延长BC到E，使，或连结AN并延长AN到E，使， 这两种方法都需证三点共线（A、N、E或B、C、E）较麻烦，所 以可连结AN并延长，交BC线于点E，这样只需证即可得，从 而证出定理结论. 3.复习小学学过的梯形面积公式. （其中a、b表示两底，h表示高） 因为梯形中位线所以有下面公式： 例题：如图所示，有一块四边形的地ABC D，测得，顶点B、C到AD的距离分别为10m、4m，求这块地的 面积. 三、【小结】（以回答问题的方式让学生总结） （1）什么叫梯形中位线？梯形有几条中位线？ （2）梯形中位线有什么性质？ （3）梯形中位线定理的特点是什么？ （4）怎样计算梯形面积？怎样计算任意多边形面积？（用 投影仪） （结合上面提 出的问题，让学 生计论证明方 法，教师总结）. 这是一个不规 则的多边形面 积计算问题，我 们可以采取作 适当的辅助线 把它分割成三 角形、平行四边 形或梯形，然后 利用这些较熟 悉的面积公式 来计算任意多 边形的面积. 学过 梯 形、 三角 形中 位线 概念 后， 可以 把平 行线 等分 线段 定理 的两 个推 论， 分别 看成 是梯 形、 三角 形中 位线 的判 定定 理．

三角形梯形中位线定理练习题

《三角形、梯形中位线定理应用练习课》教学设计 一、复习题组 1．知识要点 (1) 如图1，三角形中位线性质定理的条件是， 结论是； 三角形中位线判定定理的条件是， 结论是。 （图1） (2) 如图2，梯形中位线性质定理的条件是， 结论是； 梯形中位线判定定理的条件是， 结论是。 （图2） 2．基本方法 三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？ (1) 全等三角形对应边相等； (2) 等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质； (3) 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； (4) 角平分线上的点到角的两边距离相等； (5) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； (6) 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； (7) 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质； (8) 等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。 系统小结，深刻理解

二、基本题组 1．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是； 2．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是； 3．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是； 4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是； 5．顺次连结正方形各边中点所得的四边形是； 6．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是。 7．顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是。 8．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。 9．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形； 10．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形； 11．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形 12．已知D 、E 、F 是△ABC 各边的中点，则△DEF 与△ABC 的周长比为，面积比为。 13．如图3，在△ABC 中， D 、E 、F 是AB 的四等分点，D'、E'、F' 是AC 的四等分点，BC=28， 则DD'=，EE' =，FF' = 。 14．如图4，在△ABC 中，D 、E 是AB 边的三等分点，D'、E' 是AC 边的三等分点，若BC=18， 则DD'=，EE' =。 15．如图5，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 是AB 的三等分点，EE' // FF' // BC ，分别交CD 于 E'、F'。若BC=28，AD=10，则EE' =，FF' = 。 （图3） （图4） （图5） 16．直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（ ） A ．相等且平分 B ．相等且垂直 C ．垂直平分 D ．垂直平分且相等 17．以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 三、教练题组 例1．已知：如图6，在梯形ABCD 中，AB//CD ，以AD 、AC 为边作□ DC 的延长线交EB 于F 。 求证：EF = FB 。 〖注1〗本题先由学生讨论，拓宽证题思路，再补充、归纳； 〖注2〗本题证法较多，关键是如何添加辅助线，主要方法如下。 （图6） (1)延长EC ，交AB 于点G （如图7）；

《三角形中位线定理》教案

4.5三角形中位线定理 【教案背景】 1、面向学生：初二学生 2、课时：1课时 3、学科：数学 4、学生准备：提前预习本节课的内容，2张三角形纸，剪刀. 【教材分析】 1、教材的地位和作用： 本节教材是浙江教育出版社的八年级数学下册第四章第五节的内容。三角形中位线既是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形性质等知识内容的应用和深化，同时为进一步学习等腰三角形的中位线打下基础，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了归纳、类比、转化等化归思想，它是数学解题的重要思想方法，对拓展学生的思维有着积极的意义。 2、教学目标 （一）知识目标 （1）理解三角形中位线的概念 （2）会证明三角形的中位线定理 （3）能应用三角形中位线定理解决相关的问题； （二）过程与方法目标 进一步经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，发展推理论证的能力。体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用。 （三）情感目标 通过拼图活动，来激发学生的求知欲，进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度。 3.重点与难点 重点：理解并应用三角形中位线定理。 难点：三角形中位线定理的证明和运用。 【教学方法】 学生在前面的数学学习中具有了一定的合作学习的经验，为了让学生进一步经历、猜测、证明的过程，我采取：启发式教学，在课堂教学，我始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地参与教学全过程。

【教学过程】 本节课分为五个环节：设景激趣，引入新课概念学习，感悟新知拼图活动，探索定理巩固练习，强化新知小结归纳，作业布置 （一）设景激趣，导入新课 动手实践探索（请您做一做：让学生拿出自己预先准备好的三角形纸板） 1、找出三边的中点 2、连接6点中的任意两点 3、找找哪些线是你已经学过的，哪些是未曾学过的 设计意图： 在本环节，让学生经过动手操作，学生会发现有3条是已经学过的中线，有3条是没有学过的。最终给出三角形中位线的定义。也引出了本节课的课题：三角形的中位线。这样做，既让学生得出三角形中位线的概念又让学生在无形中区分了三角形的中线和三角形中位线 （二）概念学习，感悟新知 三角形中位线的定义： 连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线 如图，DE、EF、DF是三角形的3条中位线。 跟踪训练： ①如果D、E分别为AB、AC的中点，那么DE为△ABC的； ②如果DE为△ABC的中位线，那么D、E分别为AB、AC的。设计意图： 学以致用，为了及时的使学生加深三角形中位线的概念印象，为后面的探究打下基础，设立了以上两道简单的抢答题，让学生学会及时的从图中找出信息。 （三）拼图活动、探索定理 C B A F E D C B E D

22.6-三角形梯形的中位线(2)讲解学习

课题：22.6（2）梯形的中位线 教学目标 1、理解梯形的中位线概念； 2、经历探索梯形中位线性质的过程，体会转化的思想方法； 3、掌握梯形的中位线的性质定理，能运用梯形中位线定理进行计算和论证．教学重点及难点 重点：掌握梯形中位线定理，并能应用定理进行计算和证明； 难点：识图，认识梯形中位线的性质． 教学过程设计 一、情景引入 1、温故知新 （1）结合图形，讲出三角形中位线定义及其性质； 几何语言：因为……，所以……． （2）习题评析 ①联结三角形各边中点得到的三角形，它的周长为原三角形周长的， 面积为原三角形面积的； ②三角形的一条中位线分原三角形所成的一个小三角形与一个梯形的面积 比是； ③以等腰梯形两底的中点及两对角线的中点为顶点的四边形是； ④顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所成的四边形是． 2、思考：什么是梯形的中位线？梯形中位线有什么性质？ 二、学习新课 1、概念辨析 （1）梯形中位线定义：联结梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线． 如图，已知点E、F分别是梯形的腰AB、CD中点，则EF为梯形ABCD的 中位线． 探讨1：如何添加辅助线 探讨2：如何利用中点条件添加辅助线？

探讨3：能否运用三角形的中位线定理得出梯形的中位线定理？ （3）结论1 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． （4）结论2 梯形面积公式：梯形面积＝中位线×高． 2、例题分析 例 1 如图，一把梯子每一横档都互相平行，高度相等，已知最上面两条横档的长度分别为6、7，那么下面几根横档的长度分别为多少？ 【分析】利用梯形中位线定理可以先得出第三条边，其余的就 迎刃而解了． 例2 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 为AB 的中点，AD+BC=DC ． 求证：DE ⊥EC ． 【分析】利用梯形中位线定理解题，即可考虑添加中位线． 由已知条件，联想到利用梯形ABCD 的中位线，并且可知中位线的长是DC 的一半；又梯形中位线与上、下底平行，于是可以从几对等角中获得结论． B B 另外，也有一种常用的添加辅助线方法，可以探讨是否可行． 3、问题拓展 当梯形的上底收缩为一点时，梯形成为三角形．因此可以说，三角形中位线定理是梯形中位线定理的特殊情况． 三、巩固练习 1、联结三角形各边中点得到的三角形，它的周长为原三角形周长的 ；面积为原三角形面积的 ．

三角形梯形中位线定理教师版

三角形、梯形中位线定理应用练习课 一、复习题组 1．知识要点 A 1，三角形中位线性质定理的条件是，(1) 如图结论是； DE三角形中位线判定定理的条件是，CB结 论是。1）（图AD如图2，梯形中位线性质定理的条件是，(2) 结论是；EF梯形中位线判定定理的条件是， CB 2 结论是。（图）2．基本方法三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线 段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？全等三角形对应边相等； (1) (2) 等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；(3) 角平分线上的点到角的两边距离相等；(4) (5) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；30°角所对的直角边等于斜边的一半；(6) 直角三角形中，(7) 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质；(8) 等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。 二、基本题组 1．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是；．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是；2 ．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是；3 4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是；5．顺次连结正方形各边中点所得的四边形是；．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是。6 7．顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是。8．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。1 / 8 ．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形；9 ．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形；10 11．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。

系统小结，深刻理解 的周长比为，面积比为。各边的中点，则△DEF与△ABCD、E、F是△ABC 12．已知，AC的四等分点，BC=28的四等分点，D'、E'、F' 是13．如图3，在△ABC中，D、E、F是AB FF' = EE' =，。则DD'=，边的三等分点，若BC=18，边的三等分点，D'、E' 是AC 14．如图4，在△ABC中，D、E是AB ，EE' =。则DD'= CD于是AB的三等分点，EE' // FF' // BC，分别交．如图155，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F FF' = 。AD=10，则EE' =， E'、F'。若BC=28，A AADDD' EDED'E'E'FEFF'E'F'CCCBBB（图5）） （图4） 3 （图．直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（）16 D．垂直平分且相等．相等且平分B．相等且垂直C．垂直平分 A ）17．以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（．正方形．矩形C．菱形 D B A．平行四边形、教练题组三 □E为边作AD、AC，ACED，以，在梯形例1．已知：如图6ABCD中，AB//CD EB的延长线交于F。DC FCD求证：EF = FB。1 〖注〗本题先由学生讨论，拓宽证题思路，再补充、归纳；BA）6 2 〖注〗本题证法较多，关键是如何添加辅助线，主要方法如下。（图 2 / 8

中位线定理证明

三角形中位线与梯形中位线 一、知识点梳理 1、三角形中位线定义;每个三角形有3条中位线 2、梯形中位线定义;每个梯形有且只有1条中位线 二、定理证明 知识点1：三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 （数量关系与位置关系 （2）定理的证明 如图，已知点D、E分别是AB、AC的中点。求证：DE∥BC,且DE=1／2BC. 知识点2：梯形中位线定理 （1）定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半。 （2）定理的证明 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AE=EB,DF=FC,求证：EF∥BC,EF=1／2(BC+AD) 三、典型例题分析 题型1 三角形的中位线 例1如图在四边形ABCD中，AC=BD,且M、N分别为AD、CB的中点，AC、BD交于点O，MN交BD于点E,交AC于F。求证：OE=OF

例2如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，G、H分别是对角线AC、BD的中点，求证：EF与GH互相平分。 题型2 梯形的中位线 例 3 如图，已知MN是梯形ABCD的中位线，AC、BD与MN交于点F、E，AD=30cm,BC=40cm.求EF的长。 例4填空： （1）顺次连接四边形各边中点所得图形是。 （2）顺次连接平行四边形四边形各边中点所得图形是。 （3）顺次连接矩形各边中点所得图形是。 （4）顺次连接菱形各边中点所得图形是。 （5）顺次连接正方形形各边中点所得图形是。 （6）顺次连接梯形各边中点所得图形是。 （7）顺次连接直角梯形各边中点所得图形是。 （8）顺次连接四边形各边中点所得图形是。

《中位线定理》教学设计

《中位线定理》教学设计 《中位线定理》教学设计 莱州市程郭中学曲晓梅 【教案背景】 1、面向学生：初三 2、课时：1 3、学科：数学 4、学生准备：提前预习本节课的内容，若干张三角形纸板，彩色油性笔，剪刀 【教材分析】 1、教材的地位和作用： 本节课是初三数学下册第八章第四节第一课时的内容。三角形中位线既是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形性质等知识内容的应用和深化，同时为进一步学习梯形的中位线打下基础，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了归纳、类比、转化等化归思想，它是数学解题的重要思想方法，对拓展学生的思维有着积极的意义。 2、教学目标： 知识目标： （1）理解三角形中位线的概念 （2）会证明三角形的中位线定理 （3）能应用三角形中位线定理解决相关的问题； 过程与方法目标： 进一步经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，发展推理论证的能力。体会合情推

理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用。 情感目标 通过拼图活动，来激发学生的求知欲，进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度。 3、教学重难点： 重点：理解并应用三角形中位线定理。难点：三角形中位线定理的证明和运用。 【教学方法】 学生在前面的数学学习中具有了一定的合作学习的经验，为了让学生进一步经历、猜测、证明的过程，我采取：启发式教学，在课堂教学，我始终贯彻教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地参与教学全过程。

三角形梯形中位线

三角形梯形中位线 知识点： 1．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （1）三角形的中位线有三条，它们把三角形分成四个全等三角形。 （2）三角形的中位线与三角形的中线不同 （3）三角形的中位线性质： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 定理符号语言表达： 在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 的中点， ； 。 2．梯形中位线： 1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 定理符号语言表达： 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∵ ； ∴ 。 注：在同一条件下，有两个结论，一个是位置关系，另一个数量关系； 3）归纳总结出梯形的又一个面积公式： 我们知道：S 梯= 2 1 (a+b)h 设中位线长为l ,则l = , 故 S= 梯形面积等于中位线与高的积 3、中点四边形： 1）顺次连接任意四边形、平行四边形各边中点所得的四边形是 ——— 平行四边形； 2）顺次连接矩形、等腰梯形及对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 —— 菱形； 3）顺次连接菱形、对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 ——— 矩形； 4）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 ————正方形； 总结：中点四边形取决与原四边形的对角线； 1）当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形。 2）当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形。 3）当原四边形的对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形。 E D B C A E B D A C F 图2

试一试： 1．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______． 2．一个三角形的中位线有_________条． 3.如图△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿， 线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿ 4、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点 （1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm （2）如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm，中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿5．等腰梯形的腰长为8，中位线长为9，则梯形的周长为； 6．已知梯形的中位线长为6，上底长为3，则下底长为； 7．已知梯形的高为5，中位线长为6，则梯形面积为； 8．已知梯形中位线长是5cm，高是4cm，则梯形的面积是。 9等腰梯形的腰长是6cm，中位线是5cm，则梯形的周长是。10．顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是______. 11．如图所示，□ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，求证：OE∥BC． 12．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．