动态规划 最优二叉搜索树
摘要
动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解，每个解都对应一个值，要求找到具有最优值的解。其基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，并把所有已解子问题的答案记录到一个表中，而不考虑这些子问题的答案以后是否被用到。用动态规划算法来求解最优二叉搜索树问题，可以描述为对于有序集S及S的存取概率分布(a0，b1，a1，…, bn，an)，在所有表示有序集S的二叉搜索树中找出一棵开销最小的二叉搜索树。
动态规划算法的有效性依赖于问题本身具有最优子结构性质和子问题重叠性质。最典型的就是路由器中的路由搜索引擎查找一条指定的路由最坏情况下最多只用查找31次。
该文给出了用动态规划算法构造最优二叉搜索树的详细步骤，并用C++语言具体实现了该算法，用一定的空间换取时间，提高了解决本问题的效率。
关键词：动态规划，最优二叉搜索树，最优子结构
目录
1 问题描述 (1)
2 问题分析 (2)
3 算法设计 (3)
4 算法实现 (4)
5 测试分析 (6)
结论 (7)
参考文献 (8)
1 问题描述
给定一个有序序列K={k1 2 问题分析 最优二叉搜索树问题具有最优子结构性质。证明:设Tij是有序集{xi,…,xj}关于存取概率分布(ai-1，bi，…，bj，aj)的一棵最优二叉搜索树，平均路长为pij。Tij的根结点存储元素xk。其左右子树Tl和Tr的平均路长分别为pl和pr。由于Tl是关于集合{xi，…，xk-1}的一个二叉搜索树，故pl≥pi,k-1。如果pl＞pi,k-1,那么用Ti,k-1替换Tl可得到平均路长比Tij更小的二叉搜索树。这与Tij 是最优二叉搜索树相矛盾。所以，左子树Tl是一棵最优二叉搜索树，同理可证右子树Tr也是一棵最优二叉搜索树，即最优二叉搜索树的子树也是最优二叉搜索树。建立递归关系式若最优二叉搜索树Ti,j的根结点为k,最小平均路长为pi,j,m[i,j]表示Ti,j的开销，则有m[i,j]=wi,jpi,j，其中 M[i,j]=bk+(m[i,k-1]+wi,k-1)+ (m[k+1,j]+wk+1,j) 而wi,j=bk+wi,k-1+wk+1,j 则m[i,j]=wi,j+m[i,k-1]+m[k+1,j]（1） 将k=i+1，i+2，…,j分别代入<1>式，选取使m[i,j]达到最小的K，这样递归关系式改为： m[i,j]=wi,j+min{m[i,k-1]+m[k+1,j]}m[i,i-1]=0，1≤i≤n 解递归关系，m[1,n]就是所求的最优值。将对应于m[i,j]的断开位置k记录在s[i,j]中（也称为根表，记录子树的根），以便构造最优解。根据记录的最优断开位置s[i,j],可以容易地构造出最优解。 3算法设计 寻找最优子结构。一个最优二叉树的子树必定包含连续范围的关键字ki~kj，1<=i<=j<=n，同时也必须含有连续的虚叶子节点di-1~dj。如果一棵最优二叉查找树T有一棵含有关键字ki~kj的子树T'，那么，T'也是一棵最优查找树，这通过剪贴思想可以证明。 现在开始构造最优子结构：在ki~kj中，选定一个r,i<=r<=j，使以kr为根，ki~k(r-1)和k(r+1)~kj为左右孩子的最优二叉树。注意r=i或者r=j的情况，表示左子树或右子树只有虚叶子节点。 定义e[i,j]为一棵包含关键字ki~kj的最优二叉树的期望代价。当j=i-1时没有真实的关键在，只有虚叶子节点d(i-1)。 于是： 当j=i-1时，e[i,i-1]=q(i-1)。 当j>=i时，需要选择合适的kr作为根节点，然后其余节点ki~K(r-1)和k(r+1)~kj构造左右孩子。这时要考虑左右孩子这些节点成为一个节点的子树后，它的搜索代价的变化：根据E[T]的计算，得知它们的期望代价增加了“子树中所有概率的总和”w。 w[i,j]= pl // 对每个l=i~j +ql //对每个l=i-1~j 于是当j>=i时，e[i,j]=pr + (e[i,r-1]+w[i,r-1])+(e[r+1,j]+w[r+1,j]) = e[i,r-1] + e[r+1,j]+w[i,j]; 4 算法实现 计算最优二叉树的期望代价 e[i,j]= q(i-1) //如果j=i-1 min(e[i,r-1] + e[r+1,j]+w[i,j]),如果i<=j，其中i<=r<=j w[i,j]=q(i-1) 如果j=i-1 w[i,j]=w[i,j-1]+pj+qj 如果i<=j 3.代码实现 view plaincopy to clipboardprint? #include using namespace std; #define MAXNUM 100 #define MAX 65536 //p中为有序关键字k1到k5的搜索概率，k1 double p[MAXNUM] = {0.00,0.15,0.10,0.05,0.10,0.20}; double q[MAXNUM] = {0.05,0.10,0.05,0.05,0.05,0.10}; void optimal_bst(double e[][MAXNUM],int root[][MAXNUM],double w[][MAXNUM],int n) { int i =0,j=0; //针对左或右孩子为空树情况初始化 for(i = 1;i<=n+1;i++) { e[i][i-1] = q[i-1]; w[i][i-1] = q[i-1]; } int l = 0; //计算顺序如下：根据计算式：e[i,j] = e[i,r-1]+e[r+1,j 首先计算节点个数为1的最优二叉树的代价e[1,1],e[2,2]…… 接着计算节点个数为1的最优二叉树的代价e[1,2],e[2,3]…………最后计算结点个数为n的最优二叉树的代价e[1,n]，利用之前保存的较少结点最优二叉树的结果。 for(l = 1;l<=n;l++) { for(i = 1;i<=n-l+1;i++) { j = i+l-1; e[i][j] = MAX; w[i][j] = w[i][j-1] + p[j]+q[j]; for(int r = i;r<=j;r++) { double t = 0; t = e[i][r-1]+e[r+1][j] + w[i][j]; if(t { e[i][j]= t; root[i][j] = r; } } } } } int main() { double e[MAXNUM][MAXNUM]; int root[MAXNUM][MAXNUM]; double w[MAXNUM][MAXNUM]; optimal_bst(e,root,w,5); for(int i =1;i<=6;i++) { for(int j = 0;j<=5;j++) { cout << e[i][j] << " "; } cout << endl; } } 5测试分析 在二叉树中T内搜索一次的期望代价为： (depth(ki)+1)*pi //对每个i=1~n，搜索成功情况 +(depth(di)+1)*qi //对每个i=0~n，搜索失败情况 [i,j]= q(i-1) //如果j=i-1 min(e[i,r-1] + e[r+1,j]+w[i,j]),如果i<=j，其中i<=r<=j w[i,j] = q(i-1) 如果j=i-1 w[i,j]=w[i,j-1]+pj+qj 如果i<=j 结论 最优二叉搜索树是整个搜索成本最低的二叉搜索树。具体来说就是：给定键值序列K = 通过这次课程设计，我们对动态规划算法有了更深的认识，同时也更加熟练了C、C++和JAVA程序设计语言的运用，是开发人员必不可少的有力工具。同时，我们学到了如何用算法的思想分析一个给定的问题，最终动手解决问题。在整个过程中，需要不断的调试，更改代码，当中，我们遇到了很多棘手问题。在不断思考、调试后，不仅锻炼了我的实际动手能力，更锻炼了我们发现问题、分析问题的能力。 参考文献 [1]孙雄勇. 《Visual C++ 6.0 实用教程》. 北京：中国铁道出版社，2004 [2]谭浩强编著.《C++面向对象程序设计》.北京：清华大学出版社，2006 [3]王晓东编著.《计算机算法设计与分析》.北京：电子工业出版社，2007.5 [4]常友渠.动态规划的探讨与研究[M].重庆电力高等专科学报, 2008.9. [5]龚雄兴,堆与动态规划[M],湖北襄樊学院，2003. [6]张洁,朱莉娟.贪心算法与动态规划的比较[M].新乡师范高等专科科学学报, 2005.9. #include 二叉搜索树的详解 所谓二叉搜索树，就是指对包括树本身的任何一棵子树，左子树的值要小于根节点，右子树的值要大于根节点。以便在搜索的时候能够从根节点开始一直往下检索。在搜索树构造合理的情况下复杂度是。 这里主要介绍二叉搜索树的创建和查询以及增加节点和删除节点。 先定义节点的结构体： 为了索引更加方便，定义了父节点。 二叉搜索树的创建 二叉搜索树的显示 二叉搜索树的插入 二叉搜索树的删除 完整代码：链接： 密码： 二叉搜索树的创建 二叉搜索树的创建分为直接创建和随机创建。所谓直接创建，就是拿到一系列树以后，根据原有数据的顺序依次以增加节点的方式扩展原二叉搜索树。而随机创建就是指创建二叉树的过程随机的从给定树种随机选取一个点加入二叉搜索树。先来介绍直接创建的办法： 先创建根节点 判空 寻找下一个节点插入的位置 这里有两点要注意的：是用来表示往下后的父节点。新节点要插入的位置的父节点，它一定不会是有两个孩子的节点。如果比插入点的值要 大，则父节点一定没有左孩子；如果比插入点的值要小，则没有右孩子。 插入节点 直接创建的整个函数为： 二叉树的查找 这里要注意的是，我们认为在二叉查找数中的关键字是没有重复，如果有重复的只会查找到其中一个，而无法保证返回所有的值。 用递归的方法是最简单的方法： 如果为空，或者找到关键词 搜索左子树 搜索右子树 二叉树的显示（层次遍历） 二叉树的层次遍历现在主要事采用队列的方法来处理：队列的原理性的内容随便百度都有，这里直接上源码 值得注意的是，虽然我们定义的节点是带有父节点的内容，但是实际上我们的遍历算法并没有用到父节点，具有一般适应性。 记录层数 初始化 遍历过程 判断是否还有节点 wyf 实现二叉排序树的各种算法 一.需求分析 (1)系统概述： 本系统是针对排序二叉树设计的各种算法，提供的功能包括有：（1）插入新结点（2）前序、中序、后序遍历二叉树（3）中序遍历的非递归算法（4）层次遍历二叉树（5）在二叉树中查找给定关键字(函数返回值为成功1,失败0) 二.总体设计 (1)系统模块结构图 (2)数据结构设计 typedef struct BiTNode{ ElemType data; struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针} BiTNode,*BiTree; typedef BiTree SElemType; typedef BiTree QElemType; typedef struct { QElemType *base; // 初始化的动态分配存储空间 int front; // 头指针,若队列不空,指向队列头元素 int rear; // 尾指针,若队列不空,指向队列尾元素的下一个位置 }SqQueue; typedef struct { SElemType *base; // 在栈构造之前和销毁之后，base的值为NULL SElemType *top; // 栈顶指针 int stacksize; // 当前已分配的存储空间，以元素为单位 }SqStack; // 顺序栈 Status InitStack(SqStack &S) { // 构造一个空栈S，该栈预定义大小为STACK_INIT_SIZE // 请补全代码 S.base = (SElemType * )malloc(STACK_INIT_SIZE * sizeof(SElemType)); if(!S.base) return (ERROR); S.top = S.base ; 最优二叉查找树 【源程序】 //本程序测试用例为课本例题 #include } return C[1][n]; } int main() { int n; double p[100]; printf("请输入字符个数："); scanf("%d",&n); printf("\n"); printf("请输入每个字符的查找概率："); for(inti=0; i 《算法分析与设计》 实验报告 题目： 姓名： 班级： 学号： 指导教师： 完成时间： 一、实验题目 给定一系列键值和权重，构造最优二叉排序树，使得总的查找次数最少。 二、实验目的 1. 理解时间复杂度的概念。 2. 深入地掌握C语言编程。 3. 通过编程直观地理解算法分析的意义 三、实验要求 给定一系列键值和权重，构造最优二叉排序树，使得总的查找次数最少。要求的输出格式为：第一行为最优的查找次数，第二行为最优二叉排序树的前序遍历得到的序列，然后一个空行，随后为源代码。算法的输入如下(冒号前为键值，冒号后为权重)：1:0 2:56 3:19 4:80 5:58 6:47 7:35 8:89 9:82 10:74 11:17 12:85 13:71 14:51 15:30 16:1 17:9 18:36 19:14 20:16 21:98 22:44 23:11 24:0 25:0 26:37 27:53 28:57 29:60 30:60 31:16 32:66 33:45 34:35 35:5 36:60 37:78 38:80 39:51 40:30 41:87 42:72 43:95 44:92 45:53 46:14 47:46 48:23 49:86 50:20 51:77 52:84 53:99 54:99 55:61 56:39 57:26 58:29 59:84 60:2 61:37 62:9 63:67 64:5 65:0 66:91 67:27 68:27 69:58 70:69 71:83 72:72 73:48 74:20 75:74 76:46 77:45 78:94 79:74 80:10 81:59 82:38 83:73 84:60 85:57 86:36 87:15 88:22 89:42 90:80 91:51 92:98 93:75 94:34 95:16 96:65 97:49 98:6 99:69 100:50 101:14 102:94 103:14 104:90 105:69 106:30 107:42 108:7 109:96 110:68 111:15 112:87 113:82 114:58 115:19 116:17 浙江大学城市学院实验报告 课程名称数据结构与算法 实验项目名称实验五二叉搜索树的基本操作 学生姓名蓝礼巍专业班级学号 实验成绩指导老师（签名）日期 一.实验目的和要求 1．掌握二叉搜索树的基本概念。 2．掌握二叉搜索树基本操作的实现。 二. 实验内容 1. 设在一棵二叉搜索树的每个结点的data域中，含有关键字key域和统计相同关键字元素个数的count域。当向该树插入一个元素时，若树中已有相同关键字值的结点，则使该结点的count域值增1，否则由该元素值生成一个新结点插入到该树中，并使其count域值为1。当向该树删除一个元素时，若树中该元素结点的count域值大于1，则使该结点的count域值减1，否则（count 域值等于1）删除该结点。编写头文件bstree.h，实现上述二叉搜索树的存储结构定义与基本操作实现函数；编写主函数文件test8_1.cpp，验证头文件中各个操作。 基本操作包括： ①void InitBSTree(BTreeNode *&bst); //初始化该二叉搜索树 ②void PrintBSTree(BTreeNode *bst); //以广义表形式输出该二叉搜索树（输出内容包括关键字值与相同元素个数值） ③void Insert (BTreeNode *&bst, ElemType item); //插入一个元素到该二叉搜索树（用非递归算法实现） ④int Delete (BTreeNode *&bst , ElemType item); //从二叉搜索树中删除某个元素（用非递归算法实现） ⑤ElemType MaxBSTree(BTreeNode *bst); //求该二叉搜索树的最大关键字值（用非递归算法实现） 2.选做：编写下列操作的实现函数，添加到头文件bstree.h中，并在主函数文件test8_1.cpp中添加相应语句进行测试。 ①void PrintNode1(BTreeNode *bst); //按递减序打印二叉搜索树中所有左子树为空，右子树非空的结点数据域的值 ②void PrintNode2(BTreeNode *bst, int x ); 一、填空题（20 分） 1. 一个算法就是一个有穷规则的集合，其中之规则规定了解决某一特殊 类型问题的一系列运算，此外，算法还应具有以下五个重要特性: , , , _________ , _______ 。 2. 算法的复杂性有_____________ 和__________ 之分，衡量一个算法 好坏的标准是_______________________ 。 3. 某一问题可用动态规划算法求解的显著特征是 4. 若序列X={B,C,A,D,B,C,D} ，Y={A,C,B,A,B,D,C,D} ，请给出序列X 和Y 的一个最长公共子序列 ____________________________ 。_ 5. 用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间，问题的解空间至少 应包含__________ 。 6. 动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干 _______ ， 先求解_____ ，然后从这些_____ 的解得到原问题的解。 7. 以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为_____________ 。 8.0-1 背包问题的回溯算法所需的计算时间为 _______________ ,用动态 规划算法所需的计算时间为 ____________ 。 9. 动态规划算法的两个基本要素是 ____________ 和_________ 。 10. 二分搜索算法是利用______________ 实现的算法。 二、综合题（50 分） 1. 写出设计动态规划算法的主要步骤。 2. 流水作业调度问题的johnson 算法的思想。 3. 若n=4,在机器M1和M2上加工作业i所需的时间分别为日和b i, 且(a i,a2,a3,a4)=(4,5,12,10) , (b i,b2,b3,b4)=(8,2,15,9) 求 4 个作业 的最优调度方案，并计算最优值。 4. 使用回溯法解0/1 背包问题：n=3，C=9，V={6,10,3} ， W={3,4,4}, 其解空间有长度为3 的0-1 向量组成，要求用一棵完全二叉树表示其解空间(从根出发，左 1 右0) ，并画出其解空间树，计算其最优值及最优解。 5. 设S={X i,准…，X n}是严格递增的有序集，利用二叉树的结点 来存储S中的元素，在表示S的二叉搜索树中搜索一个元素X,返回的结果有两种情形,(1)在二叉搜索树的内结点中找到X=X i ,其概率为b i。( 2)在二叉搜索树的叶结点中确定X€( X , X+1),其概率为 a i。在表示S的二叉搜索树T中，设存储元素X的结点深度为C ；叶结点(X , X+1)的结点深度为d i，则二叉搜索树T的平均路长p为多少？假设二叉搜索树T[i][j]= {X , X+i，?…，X}最优值为m[i][j], W[i][j]= a i-1 +b i+ ? ? ? +b+a，贝S m[i][j](1<=i<=j<=n) 递归关系表达式为什么？ 6. 描述0-1 背包问题。 三、简答题 ( 30分) 1?流水作业调度中，已知有n个作业，机器M1和M2上加工作业i所需的时间分别为a i 和b i ，请写出流水作业调度问题的johnson 法则中对 a i 和 b i 的排序算法。(函数名可写为sort(s,n) ) 二叉查找树（BST，Binary Search Tree），又名二叉搜索树或二叉检索树，是一颗满足如下条件的树： 1、每个节点包含一个键值 2、每个节点有最多两个孩子 3、对于任意两个节点x和y，它们满足下述搜索性质: a、如果y在x的左子树里，则key[y] <= key[x] b、如果y在x的右子树里，则key[y] >= key[x] 最优二叉查找树（Optimal BST，Optimal Binary Search Tree） 最优二叉查找树是使查找各节点平均代价最低的二叉查找树。具体来说就是：给定键值序列K = 二叉搜索树 锁定 本词条由“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目审核。 在二叉排序树b中查找x的过程为： 若b是空树，则搜索失败，否则： 若x等于b的根结点的数据域之值，则查找成功；否则： 若x小于b的根结点的数据域之值，则搜索左子树；否则： 查找右子树。 Status SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &*p){ //在根指针T所指二叉排序树中递归地查找其关键字等于key的数据元素，若查找成功，//则指针p指向该数据元素结点，并返回TRUE，否则指针指向查找路径上访问的最后//一个结点并返回FALSE，指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL if(!T){ p=f; return FALSE;} //查找不成功 else if EQ(key, T->data.key) {P=T; return TRUE;} //查找成功 else if LT(key,T->data.key) return SearchBST(T->lchild, key, T, p); //在左子树中继续查找 else return SearchBST(T->rchild, key, T, p); //在右子树中继续查找 pascal语言实现 type Link = ^tree; Tree = record D :longint; Left :link; Right :link; End; function search(n :longint;t :link):boolean; Begin If t^.d < n then begin If t^.right = nil then exit(false) else exit(search(n,t^.right)); End; If t^.d > n then begin If t^.left = nil then exit(false) else exit(search(n,t^.left)); End; Exit(true); End; 插入算法 向一个二叉排序树b中插入一个结点s的算法，过程为： 若b是空树，则将s所指结点作为根结点插入，否则： 若s->data等于b的根结点的数据域之值，则返回，否则： 若s->data小于b的根结点的数据域之值，则把s所指结点插入到左子树中，否则：把s所指结点插入到右子树中。 课程设计任务书 学院专业 学生姓名学号 题目判别给定的二叉树是否为二叉排序树 内容及要求： 设计内容： 判别给定的二叉树是否为二叉排序树，设此二叉树以二叉链表存储，且树中结点的关键字均不相同。为实现上述功能，需要解决的关键问题是：建立一棵二叉树及判定二叉树过程。 要求： 1.设计数据结构： ①建立的是二叉树，所以逻辑结构为树形结构。 ②定义存储结构为链式存储结构，用typedef定义结点的结构体。 2.在Turboc或兼容环境完成上述题目的代码编写与调试； 3.程序运行界面交互性好；输入输出数据时，应该有相应的提示。 4.给出两组测试数据，可以按路径覆盖的方法给出两组主要的测试数据。 任务交付： 1. 课程设计论文，包括需求分析、概要设计、详细设计、调试分析、课程总结、 参考文献等部分。 2. 课程设计论电子文档及程序源代码。 进度安排： 本课程设计时间为17、18教学周。其中包含设计、代码调试、课程设计论文撰写、验收与答辩几个阶段。 第1周查找资料、完成初步设计、代码设计与初步调试； 第2周调试、测试、验收、课程设计论文撰写、答辩。 指导教师（签字）： 2011年 12月16日学院院长（签字）： 2011年12月16日 目录 1 需求分析 (3) 2 概要设计 (4) 2.1存储结构设计说明 (4) 2.2程序功能图 (4) 2.3算法流程图 (5) 3 详细设计 (7) 3.1程序分析 (7) 3.2程序源代码 (7) 4 调试分析 (9) 5 课程总结 (11) 6参考文献 (12) 1 需求分析 77 80 90 50 68 88 34 56 图1-1 二叉树 以图1-1所示的二叉树为例设计，建立一个以二叉链表方式存储的二叉树，输入结点信息时按照完全二叉树的结点顺序输入（1为虚结点，0为输入结束）。由于一棵二叉排序树中序遍历后的序列是递增有序的，因此可利用中序遍历一棵二叉树后的序列是否递增有序来判断是否为二叉排序树。 如图，二叉树的结点输入顺序为77 80 90 50 1 68 88 1 1 34 56 0 （1为虚结点，0为输入结束），中序遍历之后的顺序为50 80 77 34 68 56 90 88 ，由于中序遍历之后的序列不是递增有序的，因此可判断出此二叉树不是二叉排序树。 实验三二叉排序树的建立和查找 一、实验目的 1．掌握二叉排序树的建立算法 2．掌握二叉排序树查找算法。 二、实验环境 操作系统和C语言系统 三、预习要求 复习二叉排序树的生成及查找算法，编写完整的程序。 四、实验内容 实现二叉排序树上的查找算法。具体实现要求：用二叉链表做存储结构，输入键值序列，建立一棵二叉排序树并在二叉排序树上实现查找算法。 五、参考算法 #include else return SearchBST(T->rchild,key); /*继续在右子树中查找*/ } void InsertBST(BSTree *T,int key) { /*插入一个值为key的节点到二叉排序树中*/ BSTNode *p,*q; if((*T)==NULL) { /*树为空树*/ (*T)=(BSTree)malloc(sizeof(BSTNode)); (*T)->key=key; (*T)->lchild=(*T)->rchild=NULL; } else { p=(*T); while(p) { q=p; if(p->key>key) p=q->lchild; else if(p->key 攀枝花学院本科学生课程设计任务书题目二叉排序树与平衡二叉树的实现 1、课程设计的目的 1)使学生进一步理解和掌握课堂上所学各种基本抽象数据类型的逻辑结构、存储结构和操 作实现算法，以及它们在程序中的使用方法。 2)使学生掌握软件设计的基本内容和设计方法，并培养学生进行规范化软件设计的能力。 3）使学生掌握使用各种计算机资料和有关参考资料，提高学生进行程序设计的基本能力。 2、课程设计的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等） 1) (1)以回车('\n')为输入结束标志,输入数列L，生成一棵二叉排序树T； (2)对二叉排序树T作中序遍历，输出结果； (3)计算二叉排序树T查找成功的平均查找长度,输出结果； (4)输入元素x,查找二叉排序树T,若存在含x的结点,则删该结点,并作中序遍历(执行 操作2)；否则输出信息“无x”； (5)用数列L，生成平衡的二叉排序树BT:当插入新元素之后，发现当前的二叉排序树BT 不是平衡的二叉排序树，则立即将它转换成新的平衡的二叉排序树BT； (6)计算平衡的二叉排序树BT的平均查找长度，输出结果。 3、主要参考文献 ［1］刘大有等，《数据结构》（C语言版），高等教育出版社 ［2］严蔚敏等，《数据结构》（C语言版），清华大学出版社 ［3］William Ford，William Topp，《Data Structure with C++》清华大学出版社 ［4］苏仕华等，数据结构课程设计，机械工业出版社 4、课程设计工作进度计划 第1天完成方案设计与程序框图 第2、3天编写程序代码 第4天程序调试分析和结果 第5天课程设计报告和总结 指导教师（签字）日期年月日 教研室意见： 年月日学生（签字）： 接受任务时间：年月日注：任务书由指导教师填写。 北京理工大学珠海学院计算机学院课程设计 动态查找表 摘要 数据结构是研究与数据之间的关系 我们称这一关系为数据的逻辑结构 简 称数据结构。当数据的逻辑结构确定以后 数据在物理空间中的存储方式 称为数据的存储结构。相同的逻辑结构可以具有不同的存储结构 因而有不同的算法。本次课程设计 程序中的数据采用“树形结构”作为其数据结构。具体采用 的是“二叉排序树” 并且使用“二叉链表”来作为其存储结构。本课程设计实现了二叉排序树的创建、中序遍历、插入、查找和删除二叉排序树中某个结点。本课程主要实现动态查找表的功能 通过“二叉排序树”的算法和“二叉链 表”的存储结构来实现。本课程设计说明书重点介绍了系统的设计思路、总体设计、各个功能模块的设计与实现方法。 关键词 数据结构 C语言二叉排序树动态二叉链表 1 2 目录 摘要 (1) 1ABSTRACT (3) 2 3抽象数据类型动态查找表定义 (4) 4 3 系统总体分析 (5) 3.1系统模块划分 (5) 3.2 二叉树的生成过程 (5) 3.3 主要功能模块设计 (5) 3.4 系统详细设计 (7) 3.4.1 主函数菜单模块 (7) 3.4.2 查找模块 (10) 3.4.3 删除模块 (11) 3.4.4 插入模块 (13) 3.4.5 中序输出模块 (15) 参考文献 (17) 心得体会 (18) 教师评语 (19) 附录 (20) 2 1 Abstract(摘要) Data structure is the relationship between research and data, we call this relationship as a logical data structure, referred to as data structures. When the data logical structure is determined, the data stored in the physical space, is known as the data storage structure. The same logical structure can have different storage structure, which has a different algorithm. The curriculum design, program data is "tree" as its data structure. Specific uses "binary sort tree" and use "binary list" as its storage structure. The course is designed to achieve a binary sort tree creation, in-order traversal, insert, find and delete a binary sort tree nodes. This course is mainly the function of dynamic look-up table, through the "binary search tree" algorithm and "binary list" of storage structures. This course is designed to highlight the system design concept, overall design, each functional module design and implementation. Keywords: C Language Data Structure Dynamic Binary Search Tree, Binary List 3 #include } cursor = cursor->lchild; } else { if (NULL == cursor->rchild) { cursor->rchild = node; break; } cursor = cursor->rchild; } } } return; } /* 查找指定值*/ BSTree Search(BSTree tree, ElemType item) { BSTree cursor = tree; while (cursor) { if (item == cursor->data) return cursor; else if ( item < cursor->data) cursor = cursor->lchild; else cursor = cursor->rchild; } return NULL; } 这里给出了二叉搜索树的创建，以及进行中序遍历、元素插入、删除、查找最大最小值的基本代码： #include 6.5 二叉排序树★3◎4 1．二叉排序树定义 二叉排序树（Binary Sort Tree）或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树：（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值。 （2）左右子树也都是二叉排序树，如图6-2所示。 2．二叉排序树的查找过程 由其定义可见，二叉排序树的查找过程为： （1）若查找树为空，查找失败。 （2）查找树非空，将给定值key与查找树的根结点关键码比较。 （3）若相等，查找成功，结束查找过程，否则： ①当给值key小于根结点关键码，查找将在以左孩子为根的子树上继续进行，转（1）。 ②当给值key大于根结点关键码，查找将在以右孩子为根的子树上继续进行，转（1）。 3．二叉排序树插入操作和构造一棵二叉排序树 向二叉排序树中插入一个结点的过程：设待插入结点的关键码为key，为将其插入，先要在二叉排序树中进行查找，若查找成功，按二叉排序树定义，该插入结点已存在，不用插入；查找不成功时，则插入之。因此，新插入结点一定是作为叶子结点添加上去的。构造一棵二叉排序树则是逐个插入结点的过程。对于关键码序列为：｛63，90，70，55，67，42，98，83，10，45，58｝，则构造一棵二叉排序树的过程如图6-3所示。 4．二叉排序树删除操作 从二叉排序树中删除一个结点之后，要求其仍能保持二叉排序树的特性。 设待删结点为*p（p为指向待删结点的指针），其双亲结点为*f，删除可以分三种情况，如图6-4所示。 （1）*p结点为叶结点，由于删去叶结点后不影响整棵树的特性，所以，只需将被删结点的双亲结点相应指针域改为空指针，如图6-4（a）所示。 （2）*p结点只有右子树或只有左子树，此时，只需将或替换*f结点的*p子树即可，如图6-4（b）、（c）所示。 （3）*p结点既有左子树又有右子树，可按中序遍历保持有序地进行调整，如图6-4（d）、（e）所示。 设删除*p结点前，中序遍历序列为： ① P为F的左子女时有：…，Pi子树，P，Pj，S子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，F，…。 ②P为F的右子女时有：…，F，Pi子树，P，Pj，S子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，…。 则删除*p结点后，中序遍历序列应为： ①P为F的左子女时有：…，Pi子树，Pj，S子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，F，…。 ② P为F的右子女时有：…，F，Pi子树，Pj，S子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树， 一、什么是最优二叉查找树 最优二叉查找树： 给定n个互异的关键字组成的序列K= 概率分布： i012345 p i0.150.100.050.100.20 q i0.050.100.050.050.050.10 已知每个关键字以及虚拟键被搜索到的概率，可以计算出一个给定二叉查找树内一次搜索的期望代价。假设一次搜索的实际代价为检查的节点的个数，即所发现的节点的深度加1.计算一次搜索的期望代价等式为： 建立一棵二叉查找树，如果是的上式最小，那么这棵二叉查找树就是最优二叉查找树。 而且有下式成立： 二、最优二叉查找树的最优子结构 最优子结构： 如果一棵最优二叉查找树T有一棵包含关键字ki,..,kj的子树T'，那么这可子树T'对于关键字Ki,...,kj和虚拟键di-1,...dj的子问题也必定是最优的。可以应用剪贴法证明。 姓名学号 序#include"DataStructure_BinaryTree.h"//数据结构第六章树与二叉树函数的定义及声明using namespace std; int main(void) { system("title 数据结构实验实验四：树和二叉树及其应用（I） "); //设置cmd窗口标题 system("color F1"); //设置控制台窗口的背景色和前景色 system("date /T"); //输出当前的日期 print(); cout << "实验内容一：树的遍历" << endl; BiTree T; int num = 0; cout << " 二叉树的建立：" << endl; cout << " 输入二叉树数据："; GreateBiTree(T); //先序建立二叉树 cout << " 二叉树的遍历" << endl << " 【递归遍历】 "; cout << endl << "> 先序遍历："; PreOrderTraverse(T, PrintElement); //先序遍历二叉树 cout << endl << "> 中序遍历："; InOrderTraverse(T, PrintElement); //中序遍历二叉树 cout << endl << "> 后序遍历："; PostOrderTraverse(T, PrintElement); //后序遍历二叉树 cout << endl << "> 层序遍历：" << endl; LevelOrderTraverse(T, PrintElement); //层序遍历二叉树 cout << endl<< " 【非递归遍历】"; cout << endl << "> 先序遍历："; PreOrderTraverseNonRec(T, PrintElement); //先序遍历二叉树 cout << endl << "> 中序遍历："; InOrderTraverseNonRec(T, PrintElement); //中序遍历二叉树 cout << endl << "> 后序遍历："; PostOrderTraverseNonRec(T, PrintElement); //后序遍历二叉树 cout << endl << "> 层序遍历："; LevelOrderTraverseNonRec(T, PrintElement);//层序遍历二叉树 print(); cout << endl << "实验内容二：二叉树的基本操作"; cout << endl << "<1> 二叉树的深度：" << BiTDepth(T) << endl; LeafTNodeNum(T, num); cout << "<2> 二叉树中叶子结点的数目：" << num << endl; cout << "<3> 交换左右子树：" << endl; ExchangeBiTree(T); cout << " 交换后的二叉树：" << endl; LevelOrderTraverse(T, PrintElement); //层序遍历二叉树 BiTree root; TElemType x;最优二叉搜索树
二叉搜索树C语言探讨与实现
实现二叉排序树的各种算法
最优二叉查找树_动态规划
《算法设计与分析》--最优二叉排序树
实验5 二叉搜索树的基本操作(大作业)
算法设计与分析考试题及答案(1)
最优二叉查找树
二叉搜索树
数据结构课程设计__判别给定的二叉树是否为二叉排序树
实验报告 实验三 二叉排序树的建立和查找
二叉排序树与平衡二叉树的实现课程设计
动态查找表(二叉排序树)
二叉排序树的查找
二叉查找树的插入,删除,遍历和查找等C++实现
二叉排序树
最优二叉查找树(动态规划)
实验四 树和二叉树及其应用(I)