南京邮电大学-高数书上的习题答案(下册)
南京邮电大学 《高等数学》(下册) 习题参考答案
第七章 习题7.1 2.(1);)()
(32
????+≥+D
D
d y x d y x σσ (2)
;)()
(23
????+≥+D
D
d y x d y x σσ
(3)
;1
??????Ω
Ω>xyzdv xyzdv (4);)()(2222222
??????Ω
Ω
++≤++dv z y x dv z y x
3. (1);02π≤≤I (2);10036ππ≤≤I (3);3
3323323
ππ≤≤-I
习题7.2
1.(1)
;),(),(44
20
4
2??
?
?
-
y
y x
dx y x f dy dy y x f dx 或
(2)
;),(),(2
22
22
20
?
??
?-----y r y r r
x r r r
dx y x f dy dy
y x f dx 或
(3)
;),(),(),(2
2
1
2
112
112
1
??????
+y
y
x
x
dx y x f dy dx y x f dy dy
y x f dx 或
(4)1
1
1
2
112
1
(,)(,)(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy ----++
+
????
?或
.
),(),(),(),(2
2
2
2
2
2
2
2
41.1
1
141
1
441
2
442
1
?
?
?
?
?
??
?
----------------+
+
+y y y y y y y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy
2.(1)
;),(1
1
??
x
dy y x f dx (2)
;),(2
4
??
x
x dy y x f dx
(3)
;),(2
101
1
?
?--x dy y x f dx (4)
;),(212
11
1
?
?
+--y y dx y x f dy
(5) ;),(1
??
e
e y dx y x
f dy (6)
.),(),(arcsin arcsin 1
arcsin 20
1
?
??
?
---+y
y
y
dx y x f dy dx y x f dy ππ
3.(1)
;320 (2);23π- (3);556 (4);1--e e (5);49 (6).12-π 4. .3π 5. .2
7 6. .617 9.(1)
;)sin ,cos (20
??
b
a
d f d ρρθρθρθπ
(2)
;)sin ,cos (cos 20
22
?
?-θ
π
πρρθρθρθd f d
(3) .)sin ,cos (1
)sin (cos 0
21
?
?
-+θθπρρθρθρθd f d
10.(1)
;)sin ,cos ()sin ,cos (csc 0
24
sec 0
40
?
??
?
+θ
π
πθ
π
ρρθρθρθρρθρθρθd f d d f d
(2)
;)(sec 20
34
?
?θ
π
πρρρθd f d (3)
;)sin ,cos (1
)sin (cos 20
1
?
?
-+θθπ
ρρθρθρθd f d
(4)
.)sin ,cos (sec tan sec 40
?
?
θ
θ
θπ
ρρθρθρθd f d
11.(1) ;4
34
a π (2) ;12- (3) ;)1(4
-e π (4)
.64
32
π 12.(1) ;2
22
π+
(2)
;)2(8
-ππ
(3) ;144a (4)
).(3
2
33a b -π 13.
.4
2a π
14.(1);6π (2) .3
2π 15. (1) ;2ln 37 (2)
;21-e (3) .2
1
ab π 16.(1)提示：作变换;???-=+=x y v y x u (2)提示：作变换.?
??+==y x v x
u
习题7.3 1.(1) ;),,(1
111
1
2
2
2
2
??
?+----y x x x dz z y x f dy dx (2)
;),,(2
2
2
2
2
22111
1
??
?-+----x y x x x dz z y x f dy dx
(3)
;),,(2
22
1
11
?
?
?+-y x x dz z y x f dy dx (4)
.),,(0
10
10
??
?-xy x
dz z y x f dy dx
2. (1)
;3641 (2) );852(ln 21- (3) ;0 (4) ;422R h π
(5) .2π- 4. (1) ;81 (2)
;12
7π (3) .316
π 5. (1) ;5
4π (2) ;674
a π (3)
).(15455a A -π 6.直角坐标系 ;),,(222
22
2
2111
1
?
?
?--+----y x y x x x dz z y x f dy dx
柱面坐标系 ;),sin ,cos (2
21
20?
??-ρρ
π
ρθρθρρθdz z f d d
球面坐标系 .sin )cos ,sin sin ,cos sin (2
240
20
?
??
dr r r r r f d d ??θ?θ??θπ
π
7.(1)
;3
32π (2) ;233a π (3) ;6π (4) ).455(32
-π
8. .)(42
2
t f t π 9..4
R k π 习题7.4 1. .)6
1
2655(
2a π-+ 2. .2π 3. .162R
5.(1);34,0πb y x == (2);0,)
(22
2=+++=y b a a ab b x (3);)(8)(3,0,03344???? ?
?--a A a A (4) .43,0,0??? ??
6..796
,572==
y x I I 7. (1) ;3
84a (2) ;157,0,02a z y x === (3) .451126
ρa 8. .])([2,02
2
2
2
h R a R a h G F F F z y x ++-+--===ρπ 总习题7
1.(1) (C); (2) (A); (3) (B); (4) (D); (5) (B),(D).
2. (1) ;32π (2) ;0 (3) ;2π (4) ;4μ (5) .34
4R π 3.(1) ;94
12
4R R ππ+ (2).π
4. (1)
;3250π (2).3
28163
a π- 5..)]0(3
[3
hf h +π 第八章 习题8.1 1.(1);),(,
),(22??
==
L
y L
x ds y x x I ds y x y I μμ
(2).),(),(,),(),(????==L
L L
L ds
y x ds y x y y ds
y x ds y x x x μμμμ 2. (1) ;21
2+n a
π (2)
;)12655(121-+ (3) ;2)4
2(-+a e a π
(4)
;)1(2
3
2--e (5) ;9 (6) .152563a 3.质心在扇形的对称轴上且与圆心的距离为
?
?
sin a 处. 4..6πk
6. (1) ;23
a π
- (2) ;2π- (3) ;1514- (4)
;3
23
3ππa k - (5) ;13 (6) .21 7. (1)
;334 (2) ;11 (3) ;14 (4) .3
32
8. ;)(12z z mg - 9. .2
3
a π 10. (1) ;2
)
,(),(ds y x Q y x P L
?
+ (2)
;41)
,(2),(2
ds x
y x xQ y x P L
?
++
(3)
.)],()1(),(2[
2ds y x Q x y x P x x L
?-+-
11.
.941)
,,(3),,(2),,(2
2
ds y
x z y x yR z y x xQ z y x P L
?
++++
习题8.2
1. (1) ;8 (2)
.30
1 2. (1) ;1
2 (2) ;0 (3) ;2
4
a π
(4)
;4
2
π (2)
.6
7
42sin - 3. (1)
;25 (2) ;236 (3) ;5 (4) .23
- 4. (1) ;2
122122y xy x ++ (2) ;cos cos 22y x x y + (3) .12124223y
y ye e y x y x +-+
习题8.3 1. ??∑
+=.),,()(2
2dS z y x z y I x μ 3. (1)
;3
13π (2) ;30149π (3) .10111
π 4. (1) ;614 (2) ;427- (3) ;)(22h a a -π (4) .215
644a 5. ).136(15
2+π
6. (1)
;1052
7R π (2) ;23π (3) ;21 (4) .8
1 7.(1)
??∑
++;)53
25253(dS R Q P (2) .441222
2
??
∑
++++dS y
x R yQ xP
8. .8π
习题8.4 1. (1)
;2
3
(2) ;5125a π (3) ;81π (4) ;525a π (5) .4π
2. (1) ;0 (2) ;)6
2(2
3
a a - (3) .108π 3. (1) ;222z y x ++ (2) ;)sin(2)sin(2
xz xz xy x ye xy -- (3) .2x
习题8.5
1. (1) ;32a π- (2) );(2b a a +-π (3) ;20π- (4) .2
9- 2. (1) ;642k j i ++ (2) ;j i +
(3) )]cos()sin(cos [2xz xy z x -i )sin(cos z y -j ]cos )cos([22y x xz z y -+k 3. (1) ;0 (2) .4- 4. (1) ;2π (2) ;12π 6. .0 总习题8
1. (1) ;12a (2) ;4a π (3) ;4 (4) ;6π-
(5) ;)(22223γβαπ++R (6) ;23R π (7) );(C (8) ).(B 2.(1);2arctan 22222
2ln )4
1(3ln 2+--+
+
+π
π
(2) ;18π (3) ;0 (4) ;2a π (5) .16
2π 3. (1) ;arctan
2R
H
π (2) ;414h π- (3) ;2π
4. .8
5. .2
1
6. .2
7..9
3
,
3
,3
,3
max abc W c b a =
=
=
=?ηξ 8.
.2
3 习题9. 1
1. (1) 2(1)ln(1)=++n n u n n ; (2) 11
(1)-+=-n n n u n
;
(3)1(1)!-=-n n x u n ; (4) 1sin (1)-=-n n nx
u n
.
2. (1) 收敛; (2) 发散; (3) 收敛; (4) 发散.
3. (1) 发散; (2) 发散; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 发散.
4. 提示：利用数列收敛与其子列收敛之间的关系.
5. 提示：21221++=+n n n s s u .
习题9. 2
1. (1) 发散; (2) 收敛; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 收敛.
2. (1) 发散; (2) 收敛; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 收敛；
(7) 收敛; (8)b a 时发散，=b a 不能确定.
3. (1) 收敛; (2) 收敛; (3) 收敛; (4) 发散; (5) 收敛; (6) 收敛.
4. (1) 绝对收敛; (2) 条件收敛; (3) 条件收敛; (4) 发散; (5) 条件收敛; (6) 条件收敛. 6. 提示：
11≤n n a b a b . 7.
211
()2≤+n u n
. 8. 提示：0≤-≤-n n n n c a b a . 9. 提示：≤?n n n n a b a b .
10. 当1a 时发散，1=a 时条件收敛，1=-a 时发散. 习题 9. 3
1. (1) 1,[1,1]=-R ; (2) 111
,[,]222
=-R ; (3) 1,[1,1]=-R ;
(4) ,(,)=+∞-∞+∞R ; (5) 3,[0,6)=R ; (6) 1
,[1,0)2
=-R .
2. (1) 11ln (11)21+-<<-x
x x
; (2)
3424(11)(1)-<<-x x x ; (3)
32(11)(1)-<<-x x ; (4) ln(1)(11)1---<<-x
x x x
.
3. ()arctan ,[1,1];=-s x x .
4. (1) 4π; (2) 4; (3) ln 22
π
-; (4) 2(1)ππ-+.
习题9. 4
1. 20
cos (1)
,(,)(2)!∞
==-∈-∞+∞∑n
n
n x x x n .
2. (1) 21
,(,)(21)!+∞
=∈-∞+∞+∑n n x x n ; (2) 1
1
ln 2(1)
,(2,2]∞
-=+-∈-∑n
n n
n x x na ;
(3) 0
(ln ),(,)!∞=∈-∞+∞∑n n
n a x x n ; (4) 2121
(1)21,
(,)(2)!-∞
=-+∈-∞+∞∑n n n
n x x n ；
(5) 11
1(1),(1,1](1)
+∞+=-+∈-+∑
n n n x x x n n ; (6) 2121
1
(1)211
arctan 2,[,]2122
-∞
-=-+∈--∑
n n n n x x n .
3. (1) 110
11()(1),(3,1)23∞
++=-+∈-∑n
n n n x x ; (2) 111(1)(1),(0,2]ln10∞-=--∈∑n
n n x x n ; (3)
(1),
(,)!∞
=-∈-∞+∞∑n
n e
x x n ;
(4) 221111(1)[
())],(,)2(2)!33ππ
∞+=-++∈-∞+∞∑n n n n x x x n .
4. (1) 11
10
(1)[1],
(1,1)2+∞++=--+∈-∑n n n n x x ; (2)
21
1(1)(1)(2),(1,3)2
∞
+=-+
-∈∑n n n n x x .
5. 212
12(2)!(),[1,1]2(21)(!)
∞
+=+∈-+∑
n n n x
x x n n ，()222
0,2,(0)[(2)!],2 1.2(!)=?
?
=?=+??
n k n k f k n k k
6. 1
1
(),(,)(1)!-∞
==∈-∞+∞+∑n n nx f x x n .
7. (1) 0.9848; (2) 0.9461.
习题9. 5 2. (1) 1
1
cos(43)cos(41)()[
],(21),0,1,2,4341
ππ
∞
=--=
-≠+=±±--∑ n n x n x
f x x k k n n ;
(2)121
[1(1)]()(1)()
(){cos sin },(21),0,1,4πππ-∞
=-----+=++≠+=±∑n n n b a a b a b f x nx nx x k k n n
2,± ;
(3) 21
21
2(1)()4cos ,3π+∞=-=+-∞<<+∞∑n n f x nx x n ; (4) 33211(1)()[(3cos sin )],(21),0,1,2,69ππππ-∞=--=
+-≠+=±±+∑ n
n e e f x nx n nx x k k n .
3. (1) 1
212
4
(1)()cos ,
[,]41
ππππ-∞
=-=+∈--∑n n f x nx x n ;
(2) 22
1111(1)(1)1(1)(){cos []sin },211ππππππ--∞=+----+---=
+++++∑n n n
n e e n ne f x nx nx n n n (,)ππ∈-x .
4. 12312
1(1)6
(){(31)[1(1)]}sin ,ππ-∞
=-=+
+---∑n n n f x nx n n n
(0,)π∈x . 5. 211(1)()cos ,[0,]4π
ππ
∞
=--=+∈∑n
n f x nx x n .
6. 12
1cos ()sin ,(0,)(,)ππ
∞
=-=
∈?∑n nh
f x nx x h h n ; 12
sin ()cos ,[0,)(,)ππ
π∞
==
+
∈?∑n h
nh
f x nx x h h n
. 习题9. 6
1. (1) 2
2
1
(1)12()cos ,(,)4ππ
∞
=--=+∈-∞+∞∑n n l l
n x
f x x l n ;
(2)112()sin ,,0,1,2,2ππ∞==-≠=±±∑ n E E n x
f x x kT k n T
;
(3) 1
2
21
111
(1)()cos 2,(,)12ππ
+∞
=-=+∈-∞+∞∑n n f x n x x n .
2. (1) 2212(1)()sin sin sin ,[0,)(,]2222
1ππππ∞=-=+∈?-∑n x n n n x l l
f x x l l l n ;
2
2
1
1211
()c o s (c o s 1)c o s ,
[0,)(,]
222
1
ππππ
ππ
∞
=-=
+
+-
∈?-∑n x n n x
l l f x n x l l l
n
; (2) 33
14
1(1)()sin ,[0,1]ππ∞
=--=∈∑n
n f x n x x n ; 2
21
12
1(1)()cos ,[0,1]6ππ
∞
=+-=-∈∑n
n f x n x x n .
3. 2
2
2
2
1
54
1
1()cos(21),[1,1],
26(21)πππ∞
∞
===-+∈-=+∑∑n n f x n x x n n .
4. (1) 1
sin ()12,(0,2)ππ∞
==--∈∑
n nx
f x x n ; (2) 12
(1)(1)1
()sin ,(0,)πππ∞
=---=∈∑n n f x nx x n
;
(3) 1
2
sin 2(),(0,)2
ππ∞
=-=
-∈∑
n nx
f x x n ; (4) 1
12
(1)()1sin ,(1,1)ππ+∞
=-=-+∈-∑n n f x n x x n
.
5. 1
12
(1)51sin ,(3,5)ππ+∞
=--=-+∈∑n n x n x x n
.
6. 0
(1)51,(3,5)ππ+∞=-∞
≠--=-+∈∑n in x n n i x e x n ;
7. 121()sin cos ,2,0,1,2,τπτπτπ∞==
+≠±+=±±∑ n E E n n t f t t kl k l n l l
. 总习题 9
1. (1) C ; (2) C ; (3) B ; (4) A ; (5) A .
2. (1) 8; (2) 1,01,0><≤≤p p p ; (3)2=R ;
(4) 2
ln(1),[2,0)(0,2),
[2,2),()2
10;?--∈-??-=??=?
x x s x x x (5)14-. 3. (1) 收敛; (2) 发散; (3) 发散; (4) 发散; (5) 1>a 时收敛, 01<≤a 时发散;
(6) 01<a 时发散, 1=a 且1>k 时收敛, 1=a 且01<≤k 时发散. 4. (1) 绝对收敛; (2) 绝对收敛; (3) 条件收敛; (4) 条件收敛. 5. 12>
k 时收敛, 1
2
≤k 时发散. 6. (1) 11[,)33-; (2) 11
(,)-e e
; (3) (2,0)-; (4) (1,1)-.
7. (1)111
ln arctan (11)412++--<<-x x x x x ; (2)11(1)ln(1),(1,0)(0,1],()0,0,1,1;
?
-++∈-???==?
?=-??
x x x s x x x (3)
21(02)(2)-<<-x x x ;
(4)2
22
2((2)+<-x x x . 8. (1)1ln 34; (2)2227
.
9. (1)
881
()(11)∞
+=--<<∑n
n n x
x
x ; (2) 21
0(1)(11)421
π
∞
+=-+-≤<+∑n n n x x n . 10. 3
318
sin(21)()(0);32
(21)πππ∞
=-=≤≤-∑n n x f x x n .
习题10.1
1.(1) 1 ； （2）2 ； （3）1 ； （4） 2 ，
2.（1）不是； （2）不是； （3）不是； （4）是，
4.（1）22(1)4y y '+= ； （2）2220x y xy y '''-+=，
5.（1）222x y y += ； （2）2x y xe =，
6.20x yy '+= ， 习题10.2
1.（1）22(1)x y C -+= ； （2）222(1)(1)x y Cx ++= （3）sin cos y x C = ； （4）1010
x
y
C -+=
（5）()(1)y C x a ay =+- ；
（6）(y x C =
2.（1）2
12ln(1)2ln(1)x
y e e -=+-+； （2）arctan 4
x
y e π
-= ；
（3）(1)1x y += ；
（4）ln tan
2
x
y =， 3.()ln 1f x x =+ 4.（1）cx
y xe =；
（2）3()x y
y Ce
=；
（3）tan()y x x C +=+
（4）2
sin()y x C x
=
5.（1）33
x y Ce
-=；
（2）()x
y x C e -=+；
（3）(ln ln )y x x C =+
（4）2
sin 1
x C y x +=-； （5）1
2(1)y
x y Ce =+； （6）()x x C y e +=
6.（1）x a
e ab e y x
+-=；
（2）1cos x
y x
π--=
；
（3）y x =+ （4）sin 2sin 1x
y e
x -=+-
7.（1）5
3
5
(5)2y x Cx +=；
（2）82
29
1(1)x C x =-+-； （3）2
221
2
x
y Ce
x x =---
； （4）3
243(12ln )xy
x x C -=-+
8.（1）21x
y e =-；
（2）2x
y e =-
9.（1）是，3
23
x xy y C +-=；
（2）是，cos cos y x x y C +=
（3）是，2(1)e C θ
ρ+=
10.（1）4242x xy y C +-=；
（2）arctan()x
x C y
=+
（3
arctan x C y =； （4）2
x y C y x
=+
11.约3.4秒，
13.（1）2
321234ln 2
x y x C x C x C x C =++++； （2）12()x y C x e C -=-+； （3）12
1
1y C x C =-+；
（4）221124(1)()C y C x C -=-
习题10.3 1.(1) 相关；
（2）无关；
（3）无关； （4）相关，
2.2
12()x y C C x e =+，
3.（1）212x y C x C e -=+ ； （2）212(21)x y C e C x =++ 5.2212()(1)1y C x x C x =-+-+，
6.（1）221
1210
(21)!!(2)!!(1(1))((1))(2)!!(21)!!k
k k k k k k k y C x C x k k +∞
+∞
+==-=+-+-+∑∑；
（2）21
1(21)!!k
k x y k +∞
==+-∑ ，
7.（1）2312x x y C e C e -=+； （2）412x y C C e =+ （2
）(1(112x
x
y C e C e =+；
（4
）2
12()x
y e
C x C x -
=+ (5)当0a <
时，12y C C e =+；当0a =时，12y C C x =+；当0a >
时，
12y C C =+；
(6）当1λ>
时，((12x
x
y C e C e λλ--=+；当
1λ=时，12x x y C e C xe λλ--=+；
当
1λ<
时，12()x y e C C λ-=+；
（7）1234cos sin x x y C e C e C x C x -=+++
；
（8）123cos sin y C x C x C =++； （9）1234()cos ()sin y C C x x C C x x =+++；
（10）y =21234()()x x C C x e C C x e -+++； （11）2123()ax y e C C x C x =++； （12）1234()cos sin x y C C x e C x C x =+++；
8.（1）342x
x
y e e =+；
（2）2
(2)x
y x e
-=+；
（3）2(42)x y x e -=-；
（4）(cos3sin3)x y e x x -=+； （5）1
cos sin 2
x t t t =+ 9.1
cos3sin 33
y x x =-
，
10.（1）3122x x y C e C e =++；
（2）2121
()(1)4
x
y C C x e
x =+++； （3）32
12123x y C C e x x x =+---； （4）121cos sin cos 2y C x C x x x =+-；
（5）61275cos sin 7474
x x
y C e C e x x =+++；
（6）2
12231(cos
sin )sin 2cos 22226262
x
y e
C x C x x x -=+-++， 11.（1）()cos ()sin x y Ae B Cx x
D Ex x =++++； （2）4[()cos2()sin 2]x
y xe B Cx x D Ex x =+++； （3）2
[()(cos2sin 2)]x y e x B Cx D x E x =+++； （4）32
[()(cos2sin 2)]x y e x Ax Bx C D x E x =++++； （5）[()cos ()sin ]y x B Cx x D Ex x =+++； （6）2x
y A =， 12.（1）211
22
x
x y e e x -=-
--； （2）11
cos3cos 248
y x x =
+； （3）(sin )x y e x x -=-； （4）2sin x
y xe x =，
13.（1）121
(ln )y C x C x
=
+；
（2）12ln y C C x ax =++；
（3）2
12(ln )ln y x C x C x x =++； （4）2
123(ln )y x C x C C x -=++，
14.x a = ； 15.约1.9秒 ，
总习题10
1.（3）23222(ln )33x x x C y =-++； （4）221
2x y C y
-= ；
（5）1y C C =； （6）11y x =
- ，
2.()1f x =
3.()cos sin x x x ?=+
4.n x Cy = 或n y Cx =
5.22x y Cx += ，
6.（1）21213()164x
x y C C x e
e -=++
+； （2）12cos3cos sin sin 416
x x
y C x C x x =+--； (3)
1211cos 2210x x y C e C e x -=+-+； （4）12))sin(ln )2x y C x C x x =++ ， 7.()x ?=22121(1)22
x
x
x x
C e C e x e ++
-， 8.1
sin 2
x
x y e e x -=-- 9. 约2.8秒. 习题11. 1 1. (1) 32322Re ,Im ,,arctan 2()
131313133π=
=-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z ;
(2) 31311
Re ,Im ,,arctan 2()22223
π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z ; ;
(3) 7726
Re ,Im 13,13,arctan 2()227
ππ=-=-=-+==-+∈z z z i z Argz k k Z ;
(4) Re 1,Im 3,13,arctan32()π==-=+=-+∈z z z i z Argz k k Z . 2. 1,11==x y . 3. (1)2cos sin
2
2
π
π
π
=+=i
i i e ; (2) 1cos sin πππ-=+=i i e ;
(3) 6
sin
cos
cos()sin()3
3
66
π
π
π
ππ
--=-+-=i
i i e
; (4) 42sin )144
πππ
---+-+i i i i .
6. (1)8-i ; (2)16-i ; 7512
12
4
π
ππ-
i
i i ; 11,22
±i i i . 7. 1.
9. (1) 以1为中心，半径为2的圆周； (2)直线3=-x ；
(4) 中心在2-i ，半径为1的圆周及其外部区域；(4)不包含实轴的上半平面. 10. (1) 直线=y x ；(2)双曲线1=xy ；(3)双曲线1=xy 在第一象限中的一支； (4)抛物线21=+y x .
习题11. 2
1. (1)123,22,8=-=-+=w i w i w i ； (2)0arg π< 2. (1)圆周2211()24-+=u v ； (2) 圆周221 4 +=u v ； (3)直线=-v u ； (4) 直线1 2 = u . 3. (1)不存在； (2)0； (3)不存在. 4. (1)处处连续； (2)除=±z i 外处处连续. 习题11. 3 2. (1) 在直线1 2 = y 上可导，在复平面上处处不解析； (2) 0=上可导，在复平面上处处不解析； (3) 在0=z 点可导，在复平面上处处不解析； (4) 在复平面上处处可导、处处解析. 3. (1) 除=±z i 外在复平面上处处解析, 2 2 2()(1)'=-+z f z z ; (2) 当0≠c 时除=- d z c 外在复平面上处处解析, 2()()-'=+ad bc f z cz d ． 4. 3,1,==-=l n m 3()=f z iz , 2()3'=f z iz . 习题11. 4 1. (1) -ei ; )i +; (3)1ch ; (4)sin12cos12ch i sh +. 2. (1) 1ln 2(2),24i k k Z ππ++∈; (2) 4 ln5arctan (21),3 i k i k Z π-++∈; (3) 2,k e k Z π -∈; (4) 1 (2)4 ln 2ln 2 (cos sin ),22 k e i k Z π -+∈. 3. (1) k π; (2) 2 k ππ+; (3) (21)k i π+; (4) 4 k ππ- , 这里0,1,2,k =±± . 4. (1) k i π; (2) 212k i π+; (3) 1 (2)2 k i π+, 这里0,1,2,k =±± . 5. ln z 与Lnz 在除原点与负实轴外处处解析，且1 ()()Lnz lnz z ''== . 6. Lnz w z e αα==对每个单值分支在除原点与负实轴外处处解析，且1()z z ααα-'=. 总习题 11 1. (1) 33333 Re ,Im ,,22422 z z z argz z i π=-====--; (2)充分，必要； (3)C ； (4)2,3,2a b c ==-=； (4) sin 1i ish =, 22 ()k i i e k Z π π +-=∈, 1ln(1)ln 224 i i π-= -. 2. (1)2(1; (2)222 2 cos sin ,0,1,2,34 4 k k i k π π ππ- +- ++=. 3. (1)(2i ; (2)2468tan ,0, ,,, 4 5555 i i e αα ππππ α-=. 6. ()f z 处处不可导、处处不解析. 8. (1) ln 2(2),3 i k k Z π π++∈; (2) 2e -. 习题12. 1 2. (1)31(3)3i +；(2)31(3)3i +；(3)31 (3)3i +. 3. (1)1566i -+；(2) 15 66 i -+. 4. (1)i ； (2) 2i . 5. (1)4i π； (2) 8i π. 6. (1)0； (2) 0. 习题12. 2 1. (1) 0； (2) 0； (3) 0； (4) 0. 2. 相等；不能利用闭路变形原理. 3. 0. 4. (1) 0； (2) π. 5. i π. 6. (1) 0； (2) 1(2)2sh i ππ-； (3) sin1cos1-； (4) 2211 (tan1tan 11)122 th ith -+++. 习题12. 3 2. (1)22e i π；(2) i a π；(3) e π ；(4)0；(5) 0；(6) 0；(7) 0；(8) 12i π. 3. (1) 0；(2) 0,当1α>时；i ie απ-,当1α<时. 4. 当α与α-都不在C 的内部时，积分值为0；当α与α-中有一个在C 的内部时，积 分值为i π；当α与α-都在C 的内部时，积分值为2i π. 习题12. 4 4. 2222,()(1)v x xy y C f z i z iC =+-+=++(C 为实数). 5. (1)2(1)i z --；(2)2(1)i z iC -+ (C 为实数)；(3)21iz +；(4)ln z C +. 6. 当1p =±时，v 为调和函数；当1p =时, ()()z f z e C C R =+∈；当1p =-时, ()()z f z e C C R -=-+∈. 总习题 12 1. (1)D ； (2)D ； (3)C ； (4)D ；(5)B . 2. (1)0； (2)π； (3)i π； (4)2i π；(5)12i π；(6)64i π. 3. (1)0； (2)2i π； (3)ei π-； (4)(2)e i π-. 5. 2i π. 9. 12()u C ax by C =++. 习题13. 1 4. (1) 收敛，极限为1-；(2) 收敛，极限为0；；(3) 收敛，极限为0；(4)发散. 5. (1) 发散；(2) 发散； (3)绝对收敛； (4)条件收敛. 6. (1)2； ； (3)1； (4)1. 习题13. 2 1. (1) i ； (2) 1 1(1) n n n z ∞ -=+∑. 2. (1) 30 (1) ,1n n n z R ∞ =-=∑； (2) 1 1 ,1n n nz R ∞ -==∑； (3) 40 (1) ,(2)!n n n z R n ∞ =-=∞∑； (4) 2121 21(1) ,(2)!n n n n z R n -∞ =+-=∞∑；(5) 21 0,(21)! n n z R n +∞==∞+∑；(6) 20,! n n z R n ∞ ==∞∑. 3. (1) 1 1 (1)(1),22n n n n z R -∞ =--=∑； (2) 21 10 11 (1)( )(2),323 n n n n n z R ∞ ++=-- -=∑； (3) 1 3[(1)],(13)n n n n z i R i ∞+=-+=-∑； (4) 1 1 (1)(1),1n n n z R n -∞ =--=∑. 习题13. 3 2. (1) 1 (1)n n z ∞=---∑, 2 01 (1)(2)n n n z ∞ +=--∑；(2) 1 (2)n n n z ∞ =-+∑, 2 (1)(1) n n n z ∞ =---∑; (3) 23 432121211()524816z z z z z z z ++------- ； (4) 1 1 2 00()(2),(2) () n n n n n n z i i i z i -∞ ∞ ++==+-+∑∑； (5) 2 1 1 1 ()(1) ,01n n n n n z i z i i -∞ -+=--<-<∑； 30 (1)(1),1()n n n n n i z i z i ∞ +=+-<-<+∞-∑； (6) 234111112!3!4!z z z z ---++ . 习题13. 4 1. (1)0z =,一级极点；z i =±,二级极点； (2)1z =-,一级极点；1z =,二级极点； (3)0z =,可去奇点； (4)0z =,三级极点；2(1,2,)k z k i k π==±± ,一级极点； (5)z i =±,二级极点；(21)(1,2,)k z k i k =+=± ,一级极点； (6)0z =,二级极点；1,2,)k ±= 均为一级极点. 2. (1)z a =, m n +级极点；(2) z a =,当m n >时为m n -级极点，当m n <时为n m -级 极点，当m n =时为可去奇点； (3) z a =为极点，级数为m 、n 中较大者；当m n =时z a =为极点, 级数小于或等于m , 也可能是可去奇点. 7. (1)1Re [(),0]2s f z =-，3Re [(),2]2s f z =；(2)4Re [(),0]3s f z =-；(3)1 Re [(),0]6 s f z =-； (4)Re [(),0]0s f z =，1 Re [(),](1),1,2,k s f z k k k ππ =-=±± . 8. (1) 0；(2) 24e i π；(3) 2i π-；(4) 2i π. 总习题 13 1. (1)D ； (2)C ； (3)A ； (4)D ；(5)B . 2. (1)0； (2)1,1R z i =-≤；(3)31a -=-；(4)Re [()(),0](0)s f z g z f =；(5)一级极点, 4 sin 1 Re [ ,0]6z z s z -=. 3. (1)1 e ； (2)1； (3)2； (4)2；； 4. (1)111 1,()ln arctan 412 z R s z z z z +==+--； (2) 231,()(4)z R s z z -== -. 5. (1) 101 (1),33 n n n z R ∞ +=-+=∑； (2) 1 1 (1) ,1n n n z R ∞ -=+=∑； (3) 210(1)(),(21)!n n n z R n π∞ +=---=+∞+∑ ； (4) 21 0(1),121 n n n z R n ∞ +=-=+∑. 6. (1) 在014z <-<内，10 1(1)54n n n z z ∞+=-=--∑； 在41z <-<+∞内，10145(1)n n n z z ∞ +==--∑； (2) 在12z <<内，1 2210 01()2(1) 2 n n n n n n z f z z ∞ ∞ +++===--∑∑； 在02z <-<11101(2)(2)()(1)(2)25 n n n n n n i i f z i z z ++∞ +=+--=+---∑； (3) 2101(1)sin (1),011(21)!n n n z z z n ∞ --=-=--<-<+∞-+∑； (4) 1 (1),011!z n n e z e z z n -∞=-=-<-<+∞-∑. 8. (1)0z =为一级极点，z i =±为二级极点； (2)0z =为三级极点； (3)0z =为可去奇点，1z =为三级极点； (4)1z =为本性奇点，2()k z k i k Z π=∈ 为一级极点． 9. (1)1Re [ ,](1)(),cos 22 k z s k k k Z z ππ ππ++=-+∈； (2)42313Re [,]8(1)z s i i z +=-+, 42313Re [,]8(1)z s i i z +-=+； (3) 1 Re [cos ,1]01s z =-； (4) 1Re [,0]0s zshz =, 1 1(1)Re [,],1,2,k s k i i k zshz k ππ --==±± . 10. m -. 11. (1)2 i π- ； (2)当3m ≥且为奇数时，原式1 2(1)(2)! n i n π-=-；当3m <或为偶数时，原式0=； (3)12i -； (4)26i π-. 12.. (1) 2π ； . 1.填空题 1、当0→x 时，x cos 1-与2x 相比较是 同阶 无穷小。 2、=→2 203sin lim x x x 1/3 3、曲线(1cos ),sin x t t y t =-=在t π=处的切线斜率为 -1/2 4、当k 满足条件__x>2_________时，积分?+∞-1 1k x dx 收敛 5、曲线||x y =的极值点是 x=0 6 、设函数y =则dy = 2xdx 7、若()lim(1)x x t f t x →∞ =+，则=')(t f e t 8、?-=22 35sin cos π πxdx x 0 9、若?=t xdx t f 12ln )(，则=')(t f ln 2 t 10、微分方程0cos 2=-y dx x dy 的通解为siny=x 2__________ 1、当0→x 时，x cos 1-与22x 相比较是 无穷小. 2、设函数?????=≠=0001sin )(3x x x x x f 当当，则=')0(f . 3、设)4)(2)(3)(5()(--++=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根. 4、当k 满足条件___________时，积分1 2k dx x +∞+?收敛. 5、设函数21x y -=，则dy = . 6、函数)2(-=x x y 的极值点是 . 7、=≠∞→)0(sin lim a x a x x . 8、若?=t x dx e t f 02 )(，则=')(t f . 9、?-=π πxdx x 32sin . 10、微分方程 0cos 2=-x dy y dx 的通解为___________. 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 1、函数x x y -=3ln 的定义域为（B ） A ),0(+∞ B ]3,(-∞ C )3,0( D ]3,0( 2、函数()f x 在0x 处)0()0(00+=-x f x f 是()f x 在0x 处连续的( B ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3、函数93)(+=x x f 在0=x 处（C ） A 不连续 ； B 可导； C 连续但不可导； D 无定义 4、下列式子中，正确的是（B ） A. ()()f x dx f x '=? B. 22()()d f x dx f x dx =? C. ()()f x dx f x =? D.?=)()(x f dx x f d 5、设()x f x e -=，则(ln )f x dx x =? _C______. A ． 1C x + B. ln x C + C. 1C x -+ D. ln x C -+ 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．函数241)(x x x f -+=的定义域为（ C ）. A ．]2,2[-； B. )2,2(-； C. ]2,0()0,2[ -； D. ),2[+∞． 2、若)(x f 在0x 的邻域内有定义，且)0()0(00+=-x f x f ，则（B ）. A )(x f 在0x 处有极限，但不连续； B )(x f 在0x 处有极限，但不一定连续; 大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x x 1 ②1 - - ④x 大一高数试题及答案 、填空题（每小题1分，共10分） ----- 2 1 1?函数 v =arcsi nJ 1 — x + _______ 的定义域为 Jl —x 2 2 2 ?函数 y = x ? e 上点（0,1 ）处的切线方程是 ________________ 4 ?设曲线过（0,1）,且其上任意点（ x , y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 3 .设f （X ）在X 。可导, 且f （x ） = A ，则怛。 f(X o 2h)- f(X o - 3h) h 5. x ”dx 6. lim x sin 1 X )二 x 设 f(x,y)=sin(xy) ,则 fx(x,y)= 9.微分方程 3 dx 3 Jh 2的阶数为 dx OO 10 .设级数 n=1 OO 刀 a n 发散，则级数刀 n=1000 二、单项选择题。 （1?10每小题1分，1 1?2 0每小题2分，共3 0分） 1.设函数 1 f (x) , g(x)二 1 -x 则f [g(x)]= () ① tf ( x, y ) ② t 2 f (x, y ) 2. x sin 丄 1 是() x ① 无穷大量 ② 无穷小量 ③ 有界变量 ④ 无界变量 3 .下列说法正确的是 ① F (X) +G (X)为常数 ② F (X) -G (X)为常数 ③ F (X) -G (X) =0 ④ d ! F (x)dx d I G ( x ) dx 1 dx dx 6. 1 -1 x |dx =( ) i ① 0 ②i ③2 ④3 7 .方程2x + 3y =1在空间表示的图形是 () ① 平行于xoy 面的平面 ② 平行于oz 轴的平面 ③ 过oz 轴的平面 ④ 直线 ① 若f ( X )在X = Xo 连续, 则f( X )在X = Xo 可导 ② 若f ( X )在X = Xo 不可导，则f( ③ 若f ( X )在X = Xo 不可微，则f( ④ 若f ( X )在X = Xo 不连续，则f( X )在X = Xo 不连续 X )在X = Xo 极限不存在 X )在X = Xo 不可导 4 .若在区间(a,b )内恒有 f ' ( X ) b)内曲线弧『=f(x )为 () 0 , f " ( X ) 0，则在(a. ① 上升的凸弧 ② 下降的凸弧 ③ 上升的凹弧 ④ 下降的凹弧 '.设 F '(x) G '( x)，则() 8.设 f(x,y)= x 3 y 3 x 2 y t a n ，则 f(tx,ty)= 复 习 题 一、 单项选择题： 1、5 lg 1 )(-= x x f 的定义域是（ D ） A 、()),5(5,+∞∞-Y B 、()),6(6,+∞∞-Y C 、()),4(4,+∞∞-Y D 、())5,4(4,Y ∞-Y ()),6(6,5+∞Y 2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x 2 )的定义域是（ B ） A 、[1，2] B 、[1，2] C 、]2,2[- D 、]2,1[]1,2[Y -- 3、函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ) A 、是奇函数，非偶函数 B 、是偶函数，非奇函数 C 、既非奇函数，又非偶函数 D 、既是奇函数，又是偶函数 解：定义域为R ，且原式=lg(x 2+1-x 2 )=lg1=0 4、函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1 x f （ C ） A 、21x - B 、21x -- C 、)01(12≤≤--x x D 、)01(12≤≤---x x 5、下列数列收敛的是（ C ） A 、1)1()(1 +-=+n n n f n B 、?????-+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,11 )( C 、?????+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1 )( D 、???????-+=为偶数为奇数n n n f n n n n ,2 21,221)( 解：选项A 、B 、D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C 的数列极限为0 6、设1 111.0个n n y Λ=，则当∞→n 时，该数列（ C ） A 、收敛于0.1 B 、收敛于0.2 C 、收敛于 9 1 D 、发散 解：)10 11(91101101101111.02n n n y -=+++= =ΛΛ 7、“f(x)在点x=x 0处有定义”是当x →x 0时f(x)有极限的（ D ） A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充分必要条件 D 、无关条件 大一高数试题及解答 大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋ ────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处 的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h） ３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ， 则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0 ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａ n 发散，则级数∑ ａ n _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， １～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞→x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x ２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('> 期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞=?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：??--012 1),(y dx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x -121?? 6．级数∑∞=+1)1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??（ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 （ D ） A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1 n n u ∞=∑收敛的 （ B ） A 、充要条件 B 、 必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是 三、已知1=a ?，3=b ?，b a ??⊥，求b a ??+与b a ? ?-的夹角.P7 学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线-------------------------------- 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分 ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . （一）函数、极限、连续 一、选择题： 1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。 (A) ;1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y 2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( ) （A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C ）无界函数 （D ）有界函数 3、 当x →1时，31)(,11)(x x x x x f -=+-= ?都是无穷小，则f (x )是)(x ?的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）等阶无穷小 4、 x =0是函数 1 ()arctan f x x =的( ) （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点； （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点 5、 下列的正确结论是（ ） （A ）)(lim x f x x →若存在，则f (x )有界； （B ）若在 0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0 x g x x →),(lim 0 x h x x →都存在， 则),(lim 0 x f x x →也 存在； （C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根; （D ） 当∞→x 时，x x x x x a sin )(,1) (== β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比. 二、填空题： 1、 若),1(3-=x f y Z 且x Z y ==1 则f (x )的表达式为 ; 2、 已知数列n x n 1014- =的极限是4, 对于,101 1=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ; 3、 3214 lim 1 x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、 设 ,)(a x a x x f --=则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、 ,0 , ; 0, )(,sin )(?? ?>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则n = ； 三、 计算题: 1、计算下列各式极限： （1）x x x x sin 2cos 1lim 0-→； （2）x x x x -+→11ln 1lim 0； 大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 . 郑州轻工业学院2013—2014学年 第一学期高等数学A(Ⅲ)试卷A 试卷号：A20140106 一、判断题（每题2分，共10分） 1、=→x x x 1sin lim 0x x 0lim →01sin lim 0=→x x . （ ） 2、函数)(x f 在[]b a ,上连续且单调，0)()(n n 阶泰勒公式中20)(x x -项的系数是（ B ） A !21 B !2)("0x f C )("0x f D )(''! 21ξf （ξ在x 与0x 之间） 4、设)(x f y =是方程0)(4)(2)(=+'-''x f x f x f 的一个解，若0)(0>x f ，且0)(0='x f ，则)(x f y =在点0x （ A ） A 取得极大值 B 取得极小值 C 某邻域内单调增加 D 某邻域内单调减小 5、? =dx x xf )(''（ D ）。 A C x f x xf +'+)()(' B ;)()(''C x f x xf +- 中国传媒大学 2009-2010学年第 一 学期期末考试试卷（B 卷） 及参考解答与评分标准 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2009级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 一. 填空题（将正确答案填在横线上。本大题共3小题，每小题3分，总计 9分 ） 1、0)(0='x f 是可导函数)(x f 在0x 点处取得极值的 必要 条件。 2、设 )20() 1tan(cos ln π < 号中。本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、，则，若设0)(lim 1 3 4)(2=++-+=∞→x f b ax x x x f x ) 44()()44()()44()()44).((，．； ，．； ，．； ，）可表示为，的值，用数组（，----D C B A b a b a 答( B ) 2、下列结论正确的是（ ） )(A 初等函数必存在原函数； )(B 每个不定积分都可以表示为初等函数； )(C 初等函数的原函数必定是初等函数； )(D C B A ,,都不对。 答( D ) 3、若?-=x e x e dt t f dx d 0)(，则=)(x f x x e D e C x B x A 2222)( )()( )(----- 答( A ) 三. 解答下列各题（本大题共2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限0 lim →x x x x 3sin arcsin -。 解 ： lim →x = -x x x 3sin arcsin 0 lim →x 3 arcsin x x x - 高等数学函数极限与连续习题及答案 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与 ()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 大一高数试题及答案 大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2 e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'= ，则 h h x f h x f h ) 3()2(lim 000 --+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞ →x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程2 2 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数x x g x x f -==1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 11- ②x 11- ③ x -11 ④x ２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('> 第二章 导数与微分 典型例题分析 客观题 例 1 设)(x f 在点0x 可导,b a ,为常数,则=??+-?+→?x x b x f x a x f x ) ()(lim 000 ( ) )(0x f ab A ' )()(0x f b a B '+ )()(0x f b a C '- )(0x f b a D ' 答案 C 解 =??+-?+→?x x b x f x a x f x )()(lim 000=?-?+--?+=→?x x f x b x f x f x a x f x )] ()([)]()([lim 00000 -?-?+=→?x a x f x a x f a x ) ()(lim 000x b x f x b x f b x ?-?+→?)()(lim 000 )()(0x f b a '-= 例2（89303）设)(x f 在a x =的某个邻域内有定义,则)(x f 在a x =处可导的一个充分条件是( ) ?? ????-??? ??++∞→)(1lim )(a f h a f h A h 存在 h h a f h a f B h ) ()2(lim )(0+-+→存在 h h a f h a f C h 2) ()(lim )(0 --+→存在 h h a f a f D h ) ()(lim )(0 --→存在 答案 D 解题思路 (1) 对于答案)(A ，不妨设 x h ?=1，当+∞→h 时，+ →?0x ，则有 x a f x a f a f h a f h x h ?-?+=?? ? ???-??? ??++ →?+∞→)()(lim )(1lim 0存在，这只表明)(x f 在a x =处右导数存在,它并不是可导的充分条件,故)(A 不对. (2) 对于答案)(B 与),(C 因所给极限式子中不含点a 处的函数值)(a f ，因此与导数概念不相符和.例如，若取 ? ??≠==a x a x x f ,0,1)( 则)(B 与)(C 两个极限均存在，其值为零，但1)(0)(lim =≠=→a f x f a x ，从而)(x f 在 a x =处不连续，因而不可导，这就说明)(B 与)(C 成立并不能保证)(a f '存在，从而) (B 与)(C 也不对. (3) 记h x -=?,则0→?x 与0→h 是等价的,于是(完整word版)大一高数练习题
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
2019年大一高数试题及答案.doc
大一高等数学复习题含答案
大一高数试题及解答
高等数学函数极限与连续习题及答案
大一高数试题及答案.doc
大一高等数学试题及答案
同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
高等数学(大一)题库
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一上高数试题和答案
高等数学大一期末试卷(B)及答案
高等数学函数极限与连续习题及答案
大一高数试题及答案电子教案
高数极限习题
相关文档
- 大一高数试题及答案电子教案
- 大一高等数学试题及答案精编WORD版
- 精选-大一(第一学期)高数期末考试题及答案
- 大一高数试题及解答
- 大一上学期 第一学期 高数期末考试题及答案
- 大一上高数试题和答案
- 大一高数试题及解答
- 大一高数试题及答案
- 关于大一高等数学复习题含答案
- 2017最新大一上学期(第一学期)高数期末考试题(含答案)(有答案)
- 大一上学期第一学期高数期末考试题及答案
- 大一高数试题及答案
- 大一第一学期期末高等数学(上)试题和答案
- 大一高数习题含答案
- 大一第二学期高数期末考试题(含答案)
- 大一高数试题和答案与解析
- 大一高等数学试题及答案
- 大一高等数学复习题(含标准答案)
- 大一第一学期期末高等数学(上)试题及标准答案
- 高等数学期末考试试题及答案(大一考试)