初中数学知识点汇总(整理完全版)
第二章、整式加减
1、整式：⑴单项式：只含有数或字母的积的式子叫单项式。（单独一个字母或数字也是单项式）；系数：单项式中的数字因数；次数：单项式中，所有字母的指数和。
⑵多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
①项：每一个单项式（注意带符号）。②次数：多项式里次数最高的项的次数。
2、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。几个常数项也是同类项。
3、合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变。
4、去括号时符号变化规律：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号不变；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
第三章、一元一次方程
含有未知数的等式叫做方程，使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
只含有一个未知数，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。
1、等式的性质一：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
等式的性质二：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
2、一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。
注意：①去分母：两边同乘分母的最小公倍时，每一项都不能漏乘。
②去括号：“去正不变，去负全变”。
③移项：是从等号一端移到另一端，移项要变号。
④合并同类项：系数相加减做系数，字母和字母的指数不变。
⑤系数化为一
列方程解应用题：（1）设未知数。（2）找出相等的数量关系，（3）根据相等关系列
几何图形：我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。
立体图形：各部分不都在同一平面内，这种图形叫做立体图形。
平面图形：各部分都在同一平面内，这种图形叫做平面图形。
平面展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
三视图：指主视图、左视图、俯视图。
立体图形也称几何体简称为体，棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、球等都是几何体。包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种。面和面相交的地方形成线，线和线相交的地方是点。点、线、面、体经过运动变化，组合成各种几何图形。点动成线，线动成面，面动成体。几何图形的结构：点、线、面、体组成几何图形。点是构成图形的基本元素。
点：表示一个物体的位置，通常用一个大写字母表示，如点A、点B。
直线的表示方法：①可以用这条直线上任意两点的字母（大写）来表示；②也可以用一个小写字母来表示。
1、直线、射线、线段：
①两点确定一条直线。②两点之间线段最短。③线段的比较：度量法和叠合法。
④两点间的距离：连接两点间线段的长度。⑤线段中点：将线段平均分成两部分
直线的特征：①直线没有端点，不可量度，向两方无限延伸；②直线没有粗细；③两点确定一条直线；④两条直线相交有唯一一个交点。
点与直线的位置关系：①点在直线上，也可以说这条直线经过这个点；②点在直线外，也可以说直线不经过这个点。
两条直线的位置关系有两种：①相交，当两条不同的直线有一个公共点时，我们就说这两条直线相交，这个公共点叫做这两条直线的交点。②不相交（即平行）。
射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。
射线的表示方法：①用两个大写字母表示，表示端点的字母写在前面，在两个字母前加上“射线”；②用一个小写字母表示。
射线的性质：①射线是直线的一部分；②射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量、不能比较长短；③射线上有无穷多个点；④两条射线的公共点可能没有，可能只有一个，可能有无穷多个。
线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段。
线段的特点：线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短。
线段的表示方法：①用两个端点的大写字母表示；②用一个小写字母表示。
线段的基本性质：两点间的所有连线中，线段最短。简称：两点之间线段最短。
两点的距离：连接两点间的线段的长度叫做这两点的距离。
线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。
线段大小的比较方法：（1）叠合法；（2）度量法；（3）估测法。比较线段的大小与比较数的大小一样，也可以用“＞”、“＜”或“＝”来表示，字母前面的“线段”省略不写。线段的和差与其数量的和差是一致的。
2、角：
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。⑵角也可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部。
注意：①角的大小与边的长短无关，只与构成角的两边张开的幅度大小有关；②角的大小可以度量，可以比较，也可以参与运算。
角的表示方法：角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写希腊字母表示。角的符号是“∠”。
具体表示方法如下：①用角的符号和数字表示一个角；②用角的符号和小写的希腊字母表示一个角；③用角的符号和一个大写的英文字母表示一个独立的角（在一顶点处只有一个角）；④用角的符号和三个大写的英文字母表示任意一个角，表示顶点的字母要写在中间。
角的分类：按角的大小可分为锐角、直角、钝角、平角、周角等。
角的度量单位及换算：度、分、秒是常用的角的度量单位。把一个周角等分成360份，每一份就是1度的角，记做1°；把1度角等分成60份，每一份就是1分的角，记做1′；把一分的角等分成60份，每一份就是1秒的角，记做1″。1°=60′，1′=60″，1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°，1周角=2平角=4直角=360°，1平角=2直角
=180°。
角的大小的比较方法：（1）叠合法：比较两个角的大小时，把角叠合起来使两个角的顶点及一边重合，另一边落在同一条边的同旁，则可比较大小；（2）度量法：量出角的度数，就可以按照角的度数的大小来比较角的大小。比较的结果有三种：①两角相等；②一角大于另一角；③一角小于另一角。角的和、差、倍、分的度数等于角的度数的和、差、倍、分。
角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角。
补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。
互余、互补的性质：同角（或等角）的余角（或补角）相等。
方位角：表示方向的角，它是指正北（或正南）方向线与目标方向线之间所夹的锐角。如东北方向35 .
第五章、相交线与平行线
1、三线八角：对顶角（相等），邻补角（互补），同位角，内错角，同旁内角。
2、垂直的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
3、垂线段最短。
4、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
5、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
6、平行线的判定：
①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。③同旁内角互补，两直线平行。
推论：垂直于同一直线的两直线互相平行。
7、平行线的性质：
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。
8、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。②对应点的线段平行且相等。
平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
9、命题：判断一件事情的语句叫命题。
命题分为题设和结论两部分；题设是如果后面的，结论是那么后面的。
命题分为真命题和假命题两种；定理是经过推理证实的真命题。
用尺规作线段和角
1．关于尺规作图
尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。
2．关于尺规的功能
直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。
圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。
第六章、平面直角坐标系
1、对应关系：平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。
2、平面内两条互相垂直、原点重合组成的数轴组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；
竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上为正方向；
两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第
（—，—）（+，—）标不变；
关于原点对称→横纵坐标都互为相反数。
6、平移规律：左右平移→纵坐标不变，横坐标左减右加；上下平移→横坐标不变，
纵坐标上加下减。
第七章、三角形
三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
1、三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
2、三条重要的线段：
高：过顶点作对应边的垂线段
中线：连接顶点与对应底边中点的线段
角平分线：角的平分线与对应边相交所得的线段
三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
3、三角形的内角和等于180°，外角和等于360°.
4、三角形的外角：三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
1、不等式：含有“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”的式子
2、一元一次不等式：一个未知数，未知数的次数是1的不等式
3、不等式的性质：
①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向改变。
②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
③不等式两边乘（或除以）同一负数，不等号的方向改变。
4、不等式的解法：同一元一次方程一样，注意符号和不等号方向。
5、不等式组的解：“大大取大”，“小小取小”，“大小小大取中间”，“大大小小是无解”。
第十章、数据的收集、整理与描述
全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。
总体：要考察的全体对象称为总体。
个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。
样本：被抽取的所有个体组成一个样本。
样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。
频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。
频率：频数与数据总数的比为频率。
组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。
1、数据处理一般包括收集数据、整理数据、描述数据和分析数据等过程。
（1）通过调查收集数据的一般步骤：
①明确调查问题②确定调查对象③选择调查方法④展开调查⑤记录结果⑥得出结论
（2）收集数据常用的方法：①民意调查：如投票选举②实地调查：如现场进行
观察、收集、统计数据③媒体调查：报纸、电视、电话、网络等调查都是媒体调查。
2、数据的表示方法：
（1）统计表：直观地反映数据的分布规律（2）折线图：反映数据的变化趋势
（3）条形图：反映每个项目的具体数据（4）扇形图：反映各部分在总体中所
占的百分比
（5）频数分布直方图：直观形象地反映频数分布情况 6）频数分布折线图：在
频数分布直方图的基础上，取每一个长方形上边的中点，和左右频数为零与直方图
相距半个组距的两个点
3、调查方式：（1）全面调查，优点是可靠，、真实；（2）抽样调查，优点是省时、省力，减少破坏性；随机抽样调查具有广泛性和代表性。。
4、总体和样本：（1）总体：要考察的所有对象（2）个体：组成总体的每一个
考察对象
（3）样本：从总体中抽出的所有实际被调查的对象组成一个样本。
（4）样本容量：样本中给个体的数目
5、组距：每个小组两个端点之间的距离
6、画直方图的一般步骤：
（1）计算最大值与最小值的差；
（2）决定组距与组数，先根据数据个数确定组距，再计算组数，
注意无论整除与否，组数总是比商的整数位数多1；
（3）确定分点，并分组；
（4）列频数分布表；
（5）绘制频数分布直方图
八年级数学知识点
第十一章、全等三角形
1）全等三角形的含义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2）全等的性质：①全等三角形的对应边相等，②全等三角形的对应角相等。
3）三角形全等的判定: ①三边对应相等的两个三角形全等（SSS），②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)，③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。④两个角和其中的一个角的对应边对应相等的两个三角形相等（AAS）.
4) 角的平分线的性质：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等；②角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
第十二章、轴对称
1.1）轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合。这条直线就是它的对称轴。
2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所在连线段的垂直平分线。
3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
2.作轴对称图形
3.1）等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等（简写：等边对等角）；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简写：等角对等边）
3.2等边三角形的性质：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
第十三章、实数
1、平方根特例（0的算术平方根是0）
2、立方根：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数； 0的立方根是0.
3、实数：①无限不循环小数叫做无理数；②有限小数或无限循环小数叫做有理数；③有理数和无理数统称实数；④0也是实数。
4、数a的相反数是-a,一个正实数的绝对值的它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
第十四章、一次函数
1、变量与函数，1）变量；我们称数值发生变化的量为变量；有些量的数值是始终不变的是常量；2）函数；3）函数的图像
2.一次函数
1）正比例函数（y=kx,k是常数，k≠0）；2）一次函数(y=kx+b,k,b是常数，k≠0)
3、用函数观点看方程（组）与不等式
1）一次函数与一元一次方程
2）一次函数与二元一次方程（组）
4、课题学习
1）用哪种灯省钱
2）怎样租车
3）怎样调水
第十五章、整式的乘除与因式分解
1、整式的乘法
1）同底数幂的乘法，公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加
2）幂的乘方，公式：幂的乘方，底数不变，指数相乘
3）积的乘方，公式：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘4）整式的乘法，公式：①单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；②单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
2、乘法公式
1）平方差公式：（a+b）(a-b)= a2-b2
2）完全平方公式：(a -b )2=:a 2-2ab+b 2；:(a +b )2=:a 2+2ab+b 2
3、整式的除法
1）同底数幂的除法，即底数不变，指数相减；任何不等于0的数的0次幂都等于1。2）整式的除法，①单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
4、因式分解
1）提公因式法
2）公式法（平方差，完全平方差（和）的公式运用）
第十六章、分式
如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式（fraction）。分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方要把分子、分母分别乘方。
a^-n=1/a^n (a≠0) 这就是说，a^-n (a≠0)是a^n的倒数。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
第十七章、反比例函数
形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函
(inverse proportional function)。
反比例函数的图像属于双曲线（hyperbola）。
当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；
当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。
第十八章、勾股定理
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a^2+b^2=c^2 勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
经过证明被确认正确的命题叫做定理(theorem)。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
第十九章、四边形
平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线互相平分。平行四边形的判定1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.对角线互相平分的四边形是平行四边形； 3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD
矩形判定定理：
1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.对角线相等的平行四边形是矩形。
3.有三个角是直角的四边形是矩形。菱形的定义：邻边相等的平行四边形。
菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的判定定理：
1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3.四条边相等的四边形是菱形。S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）
正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。
正方形判定定理：
1.邻边相等的矩形是正方形。
2.有一个角是直角的菱形是正方形。
梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形
等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
线段的重心就是线段的中点。平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。三角形的三条中线交于疑点，这一点就是三角形的重心。
第二十章、数据的分析
1.加权平均数：加权平均数的计算公式。权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。
学会权没有直接给出数量，而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。
2.将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
3.一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode）。
4.一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。
5. 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。
数据的收集与整理的步骤：1.收集数据 2.整理数据 3.描述数
据 4.分析数据 5.撰写调查报告 6.交流 6. 平均数受极端
值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算很少不受极端值的影响。
九年级数学知识点
第二十一章、二次根式
1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最
简二次根式，而，，5 ，都是最简二次根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2 ，
=3 ，它们与的被开方数均为2。
4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如与，a+ 与a- ，- 与+
，互为有理化因式。
二次根式的性质：
1. (a≥0)是一个非负数, 即≥0;
2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；
3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=
4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a≥0,b ≥0）。
5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a ≥0,b>0）。
二次根式的乘除
1. 二次根式的乘法
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。
说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数；
（2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）；
（≥0，≥0，≥0，≥0）。
（3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。
2. 二次根式的除法
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。
说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0；
（2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）；
（3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。
3. 最简二次根式
（1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式；
（2）被开方数中不含分母。
二次根式的加减
1. 同类二次根式
注：判断几个二次根式是否为同类二次根式，关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式，再观察它们的被开方数是否相同。
（2）合并同类二次根式：合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似，系数相加减，二次根号及被开方数不变。
2. 二次根式的加减
（1）二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。
（2）二次根式的加减法与多项式的加减法类似，首先是化简，在化简的基础上去括号再合并同类二次根式，同类二次根式相当于同类项。
一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：
i）将每一个二次根式都化简成最简二次根式
ii）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组
iii）合并同类二次根式
3. 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算可以说是二次根式乘法、除法、加、减法则的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：
（1）观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的。
（2）在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”。
（3）观察式中二次根式的特点，合理使用运算律和运算性质，在实数和整式中的运算律和运算性质，在二次根式的运算中都可以应用。
4.分母有理化
（1）我们在前面的学习中研究了分母形如形式的分式的分母有理化
综合起来，常见的有理化因式有：①的有理化因式为，②的有理化因式为，③的有理化因式为，④的有理化因式为
，⑤的有理化因式为
（2）分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。
第二十二章、一元二次方程
一元二次方程
在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。
降次——解一元二次方程
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：
1、直接开平方法：
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=± m.
2、配方法
1.转化：
2.系数化
3.移项：
4.配方：
5.变形：
6.开方：
3、公式法
公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因
式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
实际问题与一元二次方程
列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展
从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．
第二十三章、旋转
图形的旋转
1. 图形的旋转
（1）定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。（2）生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针、分针、秒针的转动，风车的转动等；另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。
（3）图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图形上也可以在图形外。
（4）会找对应点，对应线段和对应角。
2. 旋转的基本特征：
（1）图形在旋转时，图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）图形在旋转时，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；（3）图形在旋转时，图形的大小和形状都没有发生改变。
3. 几点说明：
旋转中心的确定分两种情况，即在图形上或在图形外，若在图形上，哪一点旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心；若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。
23.2 中心对称
中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，假如它能够与另一个图形重合，那么这个图形关于这个点对称或中心对称。
中心对称的性质：①关于中心对称的刘遇图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。②关于中心对称的刘遇图形是全等形。
中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
对称点的坐标规律：①关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，
②关于y轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标不变，
③关于原点对称：横坐标、纵坐标都互为相反数。
第二十四章、圆
1、定义：圆是平面上到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，
圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；
②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
2、点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
①点在圆上<===>d=r；②点在圆内<===>d
3、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
4、与圆相关的概念：
①弦和直径。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：经过圆心的弦叫做直径。
②圆弧、半圆、优弧、劣弧。
圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)
③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。⑦弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。
5、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；
②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
6、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，
那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
7、1°的弧的概念：把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的角都是1°的圆心角，相应的整个圆也被等分成360份，每一份同样的弧叫1°弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
8、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
9、确定圆的条件：
①理解确定一个圆必须的具备两个条件：圆心和半径，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。经过一点可以作无数个圆，经过两点也可以作无数个圆，其圆心在这个两点线段的垂直平分线上。
②经过三点作圆要分两种情况：(1)经过同一直线上的三点不能作圆。(2)经过不在同一直线上的三点，能且仅能作一个圆。定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。10、 (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三
角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形。(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。(3)三角形的外心的性质：三角形外心到三顶点的距离相等。
11、直线和圆的位置关系：
(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。
(2)相切：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点做切点。
(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
(4)直线与圆的位置关系的数量特征：设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，则
①d
②d=r<===>直线L和⊙O相切。
③d>r<===>直线L和⊙O相离。
12、切线的总判定定理：经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个。
①垂直于切线；②过切点；③过圆心。（P73-13、P74-3、P75-14）
13、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形内心的性质：(1)三角形的内心到三边的距离相等。(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角。由此性质引出一条重要的辅助线：连接内心和三角形的顶点，该线平分三角形的这个内角。（P77-2、P78-14）
14、两圆的位置关系：（P79-6、P81-13）
(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。
(2)外切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。这个惟一的公共点叫做切点。
(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这个两个圆相交。
(4)内切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个惟一的公共点叫做切点。
(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。两圆同心是两圆内的一个特例。
(6)两圆位置关系的性质与判定：(1)两圆外离<===>d>R+r；(2)两圆外切<===>d=R+r；
(3)两圆相交<===>R-r
<===>d
(7)相切两圆的性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
(8)相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦。
15、圆周长公式：圆周长C=2πR(R表示圆的半径)。圆的面积公式：S=πR2(R表示圆的半径)。
弧长公式：2nπR/360(R表示圆的半径，n表示弧所对的圆心角的度数)。（P82-6）
扇形定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
（P82-9、P84-1、P85-8）
扇形的面积公式：扇形的面积=nπR2/360(R表示圆的半径，n表示弧所对的圆心角的度数)。
弓形定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形
高。
16、圆锥：可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形，另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面。
圆锥的侧面展开图与侧面积计算：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点。如果设圆锥底面半径为r，侧面母线长(扇形半径)是l，底面圆周长(扇形弧长)为c，那么它的侧面积是：
S=cl/2=2πrl/3=πrl。
总面积=侧面积+底面积。（P87-7，9，11）
17、若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。圆内接四边形的特征：①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角。
18、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
19、和圆有关的比例线段：
①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；
②推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
20、切割线定理：
①从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
21、两圆连心线的性质：
①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。
②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。（P91-7
24.3 正多边形和圆
1、正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形与圆的关系：
(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。
(2)这个圆是这个正多边形的外接圆。
3、正多边形的有关概念：
(1)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。
(2)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。
(3)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。
(4)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。
4、正多边形性质：
(1)任何正多边形都有一个外接圆。
(2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正n边形的对称轴有n条。
(3)边数相同的正多边形相似。
重点：正多边形的有关计算。
弧长和扇形面积
知识点1、弧长公式
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是，
于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，
说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半
径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。
（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。
知识点2、扇形的面积
如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°的扇形面积是
，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。
又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另
一个计算公式：。
知识点3、弓形的面积
（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。
（2）弓形的周长＝弦长＋弧长
（3）弓形的面积
如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB 的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，
当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，
当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，
注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。
圆周长弧长圆面积扇形面积
公
式
（2）扇形与弓形的联系与区别
（2）扇形与弓形的联系与区别
图
示
面
积
知识点4、圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积
说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆
锥的全面积。
（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算
问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确
圆锥全面积与侧面积之间的关系。
知识点5、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积，圆柱的全
面积
知识小结：
名称圆锥圆柱
图形
图形的形成过程
由一个直角三角形旋转得到
的，如Rt△SOA绕直线SO
旋转一周。
由一个矩形旋转得到的，如矩形
ABCD绕直线AB旋转一周。
图形的组成一个底面和一个侧面两个底面和一个侧面
侧面展开图的特征扇形矩形
面积计算方法
第二十五章、概率初步
随机事件与概率
1．随机试验与样本空间
具有下列三个特性的试验称为随机试验：
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行；
(2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；
(3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现．
第二十六章、二次函数
1、定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。
2、二次函数2ax y =的性质：
（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴；
（2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系：
①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；
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