导数压轴大题大招(精华)
导数压轴大题方法总结一、零点问题（隐零点压轴）
【压轴1】已知函数f(x)=e x ln(x+m)
（Ι）设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0.
【压轴2】已知函数ln ()x f x x
=．（Ⅰ）求函数()y f x =在点(1,0)处的切线方程；
（Ⅱ）设实数k 使得()f x kx <恒成立，求k 的取值范围；
（Ⅲ）设()() (R)g x f x kx k =-∈，求函数()g x 在区间21
[,e ]e
上的零点个数．【压轴3】已知函数1()x x f x xe ae -=-，且'(1)f e =.
(Ⅰ)求a 的值及()f x 的单调区间；
(Ⅱ)若关于x 的方程2()2(2)f x kx k =->存在两个不相等的正实数根12,x x ，证明：124ln x x e
->.
二、零点问题（放缩法压轴）
【压轴1】设函数2)(--=ax e x f x
.
（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若1=a ，k 为整数，且当x ＞0时，1)(')(++-x x f k x ＞0，求k 的最大值.【压轴2】已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++．
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()
00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值；
（Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.
【压轴3】已知函数22
1ln )(-+-=a ax x x f ，R a ∈.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若2)()(+=x xf x g ，求证：当a ＜e
2ln 时，)(x g ＞a 2.【压轴4】已知函数12
1ln )(2+++=x ax x x f .（Ⅰ）当2-=a 时，求)(x f 的极值点；（Ⅱ）当0=a 时，证明：对任意的x ＞0，不等式x xe ≥)(x f 恒成立.
【压轴5】已知对任意的x ＞0，不等式1ln 2---x kx xe x ≥0恒成立，求实数k 的取值范围.
【压轴6】已知函数x x x x f ln +=)(，当x ＞１时，不等式)∈(),()1(Z k x f x k ＜－恒成立，则的最大值为多少？
三、対数平均
【压轴1】
【压轴2】已知函数2ln )(-+
=x
a x x f .（I）讨论)(x f 的单调性；（II）若函数)(x f y =的两个零点为)(,2121x x x x <，证明：a x x 221>+.
【压轴3】已知函数()()ln f x x ax b a b =-+∈R ，有两个不同的零点12x x ，．（I）求()f x 的最值；（II）证明：122
1
x x a < 【压轴4】已知函数()()ln ,x a f x m a m R x
-=
-∈在x e =（e 为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．
（I）求实数m 的取值范围；（II）记函数()f x 的两个零点为12,x x ，证明：2
12x x e >．
四、极值点偏移
【压轴1】已知函数2
)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点.
（I）求a 的取值范围
（II）设21,x x 是)(x f 的两个零点，求证：221<+x x 【压轴2】已知函数()()21ln 12f x x ax a x =-+
+-.（Ⅰ）若1a >-，讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若01x <<，求证：()()11f x f x +<-；
（Ⅲ）若0a >，设1x ，2x 为函数()f x 的两个零点，记1202
x x x +=，()'f x 为函数()f x 的导函数，求证：()0'0f x >.
【压轴3】已知函数
(),x f x x e x R -=?∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；
（Ⅱ）已知()g x 与
()f x 关于1x =对称，求证：1x >时，()()f x g x >；（Ⅲ）若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：122x x +>.
【压轴4】已知函数()()2ln +2f x x ax a x =--.
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设0a >，求证：当10x a <<时，11f x f x a a ????+>- ? ?????；（Ⅲ）若函数()y f x =的图像与x 轴交与A ，B 两点，线段AB 重点的横坐标为0x ，求证：()0'0f x <.
【压轴5】已知函数()x
f x e ax =+.（Ⅰ）若()f x 在0x =处切线过点()2,1-，求a 的值；
（Ⅱ）讨论()f x 在()1,+∞内的单调性；
（Ⅲ）令1a =，()()2F x xf x x =-，且12x x ≠求证：122x x +<-.
【压轴6】已知函数()x f x e x a =-+，21()x g x x a e
=
++，a R ∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）设1x ，2x 是函数()f x 的两个不同零点，求证：121x x e +<．
【压轴7】已知函数21()ln (1)2
f x x ax a x =-
+-)0( x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()F x 存在“中值相依切线”．试问：函数()f x 是否存在“中值相依切线”，请说明理由． 【压轴8】已知函数()()11ln 0f x a x x a a x ??=+ +-> ???．（Ⅰ）求()f x 的极值点； （Ⅱ）若曲线()y f x =上总存在不同两点()()()()1122,,,P x f x Q x f x ，使得曲线()y f x =在,P Q 两点处的切线互相平行，证明：122 x x +> 五、二次求导 【压轴1】设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+， （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间. 【压轴2】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x R =-+∈。（Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值； （Ⅱ）求证：当a ＞ln 21-且x ＞0时，x e ＞221x ax -+. 【压轴3】已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f . （Ⅰ）若1)('2 ++≤ax x x xf ，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：0)()1(≥-x f x .【压轴4】知函数2 2 ()ln (1)1x f x x x =+-+．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式11e n n α+??+ ???≤对任意的*n ∈N 都成立 （其中e 是自然对数的底数）．求α的最大值． 六、洛必达法则 【压轴1】已知函数()πcos sin 02f x x x x x ??=-,∈,???? ，（Ⅰ）求证：()0f x ≤；（Ⅱ）若sin x a b x <<对π02x ??∈, ??? 恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.【压轴2】已知函数()1ln 1x f x x +=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ??>+ ???. 【压轴3】当0x ≥时，2e 10x x ax ---≥恒成立，求a 的取值范围. 【压轴4】当0x >，且1x ≠时，ln 1ln 11x x a x x x x +>++-恒成立，求a 的取值范围．【压轴5】当0,2x π??∈ ??? 时，3sin x x ax >-恒成立，求a 的取值范围. 导数压轴题题型 1. 高考命题回顾 例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷） (1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. (1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )?f ′(x )＝e x －1x ＋m ?f ′(0)＝e 0－1 0＋m ＝0?m ＝1， 定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x －1 x ＋m ＝ e x x ＋1－1 x ＋1 ， 显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． (2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1 x ＋2 (x >－2)． h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)?h ′(x )＝e x ＋1 x ＋22>0， 所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根， 又g ′(－12)＝1e －13 2 <0，g ′(0)＝1－1 2>0， 所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间??? ?－1 2，0内， 设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1 t ＋2＝0????－12 导数压轴题处理专题讲解（上） 专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理）..................................................... - 2 -专题二分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）.................................... - 4 -专题三导数与零点问题（如何取点） .................................................................. - 7 -专题四隐零点问题整体代换.............................................................................. - 13 -专题五极值点偏移 ........................................................................................... - 18 -专题六导数处理数列求和不等式....................................................................... - 25 - 专题一 双变量同构式（含拉格朗日中值定理） 例1. 已知（1）讨论的单调性 （2）设，求证：例2. 已知函数，。（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若，则对任意x ，x ，x x ，有 。 例3. 设函数. （1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值； （2）讨论函数零点的个数； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. ()()21ln 1f x a x ax =+++()f x 2a ≤-()()()121212 ,0,,4x x f x f x x x ?∈+∞-≥-()2 1(1)ln 2 f x x ax a x = -+-1a >()f x 5a <12∈(0,)+∞1≠21212 ()() 1f x f x x x ->--()ln ,m f x x m R x =+ ∈m e =e ()f x ()'()3 x g x f x = -()() 0, 1f b f a b a b a ->><-m 函数与导数压轴题方法归纳与总结 题型与方法 题型一 切线问题 例1 (二轮复习资料p6例2) 归纳总结： 题型二 利用导数研究函数的单调性 例2 已知函数f (x )＝ln x －a x . (1)求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为3 2，求a 的值； (3)若f (x ) 归纳总结： 题型三 已知函数的单调性求参数的围 例 3.已知函数()1 ln sin g x x x θ=+?在[)1,+∞上为增函数， 且()0,θπ∈, ()1 ln ,m f x mx x m R x -=--∈ （1）求θ的值. （2）若[)()()1,f x g x -+∞在上为单调函数，求m 的取值围. 归纳总结： 题型四 已知不等式成立求参数的围 例4..设f (x )＝a x ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3. (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ； (3)如果对任意的s ，t ∈????12，2都有f (s )≥g (t )成立，数a 的取值围. 归纳总结： 跟踪1.已知()ln 1 m f x n x x =++（m,n 为常数）在x=1处的切线为x+y －2=0（10月重点高中联考第22题） （1） 求y=f(x)的单调区间； （2） 若任意实数x ∈1,1e ?? ???? ，使得对任意的t ∈[1,2]上恒有32()2f x t t at ≥--成立，数a 的取值围。 跟踪2. 设f (x )＝－13x 3＋12 x 2＋2ax .（加强版练习题） (1)若f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a 的取值围； (2)当0 导数压轴 一．解答题（共20小题） 1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数． （1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围； （2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1． 2．设． （1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立； （2）讨论关于x的方程根的个数． 3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）． （1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性； （2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围． 4．已知函数． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若存在成立，求整数a的最小值．5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）． （Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0． 6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1． （Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围； （Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）． （2）若对?x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围． 8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝． （Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a； （Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围． 9．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）． 导数压轴题题型 引例 【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知. （I ）讨论的单调性； （II ）当时，证明对于任意的成立. 1. 高考命题回顾 例1.已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. ()2 21 ()ln ,R x f x a x x a x -=-+ ∈()f x 1a =()3 ()'2 f x f x +＞[]1,2x ∈ 例2.（21）（本小题满分12分）已知函数()()()2 21x f x x e a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围； (II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 例3.（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=31 ,()ln 4 x ax g x x ++ =- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{ ()min (),()(0)h x f x g x x => ， 讨论h （x ）零点的个数 例4.(本小题满分13分) 已知常数,函数 (Ⅰ)讨论在区间 上的单调性; (Ⅱ)若存在两个极值点且 求的取值范围. 例5已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. 例6已知函数)(x f 满足21 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=- (1)求)(x f 的解析式及单调区间； (2)若b ax x x f ++≥2 2 1)(，求b a )1(+的最大值。 例7已知函数，曲线在点处的切线方程为。 （Ⅰ）求、的值； （Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。 ln ()1a x b f x x x = ++()y f x =(1,(1))f 230x y +-=a b 0x >1x ≠ln ()1x k f x x x >+-k 一类高考导数压轴题的统一解法 163316 黑龙江省大庆实验中学 姜本超 导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在. 2011年全国新课标卷理科数学21题就是一道典型的以导数为背景，通过求最值分类讨论解决恒成立问题。学生在思考的过程中会产生两种常见的想法，但并不是每一种方法都能达到预期的效果，下面我们就来探讨一下解决这类问题的统一方法。 原题：（2011年高考试题全国新课标卷理科数学21题） 已知函数ln ()1a x b f x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （I ）求,a b 的值； （II ）如果当0x >且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >+-，求k 的取值范围． 解：（I ）略（II ）由（Ⅰ）知22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x ---+=+--． 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=． (i)设0k ≤，由22 2(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <．而(1)0h =， 故当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得2 1()01h x x >-；当(1,)x ∈+∞时，()0,h x < 21()01h x x >-可得从而当0,x >且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >+-恒成立 （ii ）设01k <<时由于当21(1,)(1)(1)20,1x k x x k ∈-++>-时，故'()0,h x > 而1(1)0,(1,)1h x k =∈-故当时，()0,h x >2 1()01h x x <-与题设矛盾 （iii ）设1,'()0,(1)0,k h x h ≥>=此时而故当(1,)()0,x h x ∈+∞>时，可得出矛盾 综合可得k 的取值范围是(,0]-∞ 评析：该题在解决的过程中是通过构造一个新的函数，通过讨论该函数的单调性和零点，找 等号两边无法求导的导数恒成立求参数范围几种处理方法常见导数恒成立求参数范围问题有以下常见处理方法： 1、求导之后，将参数分离出来，构造新函数，计算 1+ ln x 例：已知函数 f (x ) = ． （Ⅰ）若函数在区间 (a , a + 12) （其中 a > 0 ）上存在极值，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）如果当 x ≥ 1 时，不等式 f (x ) ≥ k 恒成立，求实数 k 的取值范围； x +1 解：（Ⅰ）因为 f (x ) = 1+ ln x ， x > 0 ，则 ' = - ln x ， … 1 分 x f (x ) x 当 0 < x < 1 时， ' > 0 ；当 x > 1 时， ' ． 所以 f (x ) 在（0，1）上单调递 f (x ) f (x ) < 0 增 ； 在 (1, +∞) 上 单 调 递 减 ， 所 以 函 数 f (x ) 在 x = 1 处 取 得 极 大 值 ． … 2 分 因为函数 f (x ) 在区间 (a , a + 1 ) （其中 a > 0 ）上存在极值， 2 ?a < 1 1 所以 ?? 1 , 解得 < a < 1. … 4 分 ?a + > 1 2 2 ? （Ⅱ）不等式 f (x ) ≥ k ，即为 (x +1)(1+ ln x ) ≥ k , 记 g (x ) = (x +1)(1+ ln x ) , x +1 x x 所以 ' ' x - ln x … 6 分 [(x +1)(1+ ln x )] x - (x +1)(1+ ln x ) g (x ) = x 2 = x 2 , 令 h (x ) = x - ln x , 则 h '(x ) = 1 - 1x ， x ≥ 1,∴ h '(x ) ≥ 0. ∴ h (x ) 在 [1, +∞) 上单调递增，∴[h (x )]min = h (1) = 1 > 0 ，从而 g '(x ) > 0 故 g (x ) 在 [1, +∞) 上也单调递增，∴[g (x )]min = g (1) = 2 ，所以 k ≤ 2 …8 分 2、直接求导后对参数展开讨论，然后求出含参最值，从而确定参数范围 导数压轴题7大题型归类总结，逆袭140+ 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 设a> 0,函数g(x)= (a A2 + 14)e A x + 4?若E 1、E 2 € [0 , 4],使得|f( E 1) - g( E 2)| v 1 成立, 求a 的取值范围. 二、交点与根的分布 三、不等式证明 （一）做差证明不等式 LL期嗨敕门划=1扣 M】求的单调逼减区创！ <2)^7 I >-1 r求证1 I ----- + x+ 1 W；的宦义域为(一4 + Ehl&￡ /I U li 故)白 )替换构造不等式证明不等式 >=/U ) “川理k C 1；/< <6 N 实出氓I:的崗散丿I + 2 一个导数压轴题的解法探究与命制背景的分析 张嘉钦 福建省惠安荷山中学 362141 发表于《福建中学数学》2015 1．试题再现 【2014年高考陕西卷理科第21题】设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数. （1）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式； （2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明. ２．解法探究： （1）由题设可知1()n g x +与()n g x 有一定的递推关系，可否运用数列的递推公式进行求解呢？ 解：由题设可得：11()()(),()(())11() n n n n g x x g x g x g x g g x x g x +====++， 因此有：11()111()()()n n n n g x g x g x g x ++==+，所以，数列1()n g x ??????是以11()1x g x x =+为首项， 公差为1的等差数列，因此有 11(1)1()1n x nx n g x x x +=+-?=+，故有()(0)1n x g x x nx =≥+ 评析：注意到1()n g x +与()n g x 的递推关系，巧妙地运用数列的递推公式，结合数列的知识进行求解，另辟蹊径，令人拍案叫绝． （2）考虑到恒成立问题的两种处理方法，可采用直接构造函数法和分离参数法进行求解． 解法一：令()()()ln(1)(0)1ax h x f x ag x x x x =-=+-≥+，() 2(1)'()1x a h x x --=+(0)x ≥， 令'()0h x =得：1x a =-． 当1a ≤时，'()0h x ≥，()h x 在[0,)+∞单调递增；当1a >时，若(0,1)x a ∈-，'()0h x <，()h x 在(0,1)a -单调递减，且(0)0h =，所以，当1a >时存在0(0,1)x a ∈-使得0()0h x <，不合题意． 综上可得，a 的到值范围内是(,1]-∞． 解法二：由题设得： ln(1)1ax x x +≥+在[0,)+∞恒成立． 导数应用之双变量问题 （一）构造齐次式，换元 【例】已知函数()2 ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =. （1）求实数,a b 的值； （2）设()()()()2 1212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点，求证：0F ' <. 【解析】（1）1,1a b ==-； （2）()2 ln f x x x x =+-，()()1ln F x m x x =+-，()11F x m x '=+- ， 因为12,x x 分别是函数()F x 的两个零点，所以()()11 221ln 1ln m x x m x x +=???+=?? ， 两式相减，得1212ln ln 1x x m x x -+=-， 1212ln ln 1x x F m x x -' =+=- 0F '< ，只需证 12 12ln ln x x x x -< -. 思路一：因为120x x << ，只需证 1122ln ln ln 0 x x x x -> ?>. 令()0,1t ，即证12ln 0t t t -+>. 令()()12ln 01h t t t t t =-+<<，则()()2 22 12110t h t t t t -'=--=-<， 所以函数()h t 在()0,1上单调递减，()()10h t h >=，即证1 2ln 0t t t -+>. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把12,x x 转化为t 的函数，常把12,x x 的关系变形 为齐次式，设12111222 ,ln ,,x x x x t t t x x t e x x -= ==-=等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法. 思路二：因为120x x << ，只需证12ln ln 0x x -， 设( ))22ln ln 0Q x x x x x =-<<，则 () 21 10 Q x x x '= ==<， 所以函数()Q x 在()20,x 上单调递减，()() 20Q x Q x >=，即证2ln ln x x -. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于1x （或2x ）的一元函数来处理．应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．此乃主元法. 高中数学导数尖子生辅导（填选压轴） 一．选择题（共30小题） 1．（2013?文昌模拟）如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（） A．B．C．D． 考点：利用导数研究函数的极值；函数的图象与图象变化． 专题：计算题；压轴题；数形结合． 分析：先利用图象得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，求出其导函数，利用x1，x2是原函数的极值点，求出x1+x2=，，即可求得结论． 解答：解：由图得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x， ∴f'（x）=3x2﹣2x﹣2 ∵x1，x2是原函数的极值点 所以有x1+x2=，， 故x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==． 故选D． 点评：本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值，是对基础知识的考查，属于基础题． 2．（2013?乐山二模）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（） A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．γ＞α＞βD．β＞γ＞α 考点：导数的运算． 专题：压轴题；新定义． 分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可． 解答： 解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2， 由题意得： α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2， ①∵ln（β+1）=， ∴（β+1）β+1=e， 当β≥1时，β+1≥2， ∴β+1≤＜2， ∴β＜1，这与β≥1矛盾， ∴0＜β＜1； ②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立， 导数系列:一类以自然指数对数为背景的导数压轴题解法教师版 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： ? 一类以自然指数和对数为背景的压轴题解法 注: 本文以目前数学成绩在一本线上下的学子的数学水准，进行展开讲解。 根据“遗传学规律”明年全国乙卷再次考到的可能性极大,打出来给学生将保准学生横扫此类压轴题! 源于课本:1-1课本99页B 组1题或课本２-2第32页B 组１题的习题:利用函数的单调性,证明下列不等式，并通过函数图像直观验证:x e x +≥1； 【探究拓展】 探究１：证明不等式x e x +≥1* 变式1：设a x e x f x --=)(，其中,R a ∈若对于任意R x ∈，0)(>x f 恒成立，则参数a 的取值范围是＿＿＿______ 1-+ 变形3:)1()1ln(->≤+x x x 变形4:)0(1ln >-≤x x x * 变形５:)0(11 ln >+-≥x x x 变形6：)0(11 ln >+-≥x x x 归一：我们只要通过画图并记住x e x +≥1*,)0(1ln >-≤x x x ＊即可，考试出现了其它变形换元转化为这２个不等式即可。 历年导数压轴经典题目 证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤-> ②≤ln +1(1)x x x ≤>-（） ③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥- ⑤ ln 1(1)12x x x x -<>+ ⑥ 22ln 11(0)22x x x x <-> ⑦ 1≥e^x （1-x ） 1.已知函数 321 ()3 f x x ax bx =++,且'(1)0f -= (1) 试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间； （2）令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点M (1x , 1()f x )，N(2x ,2()f x )， P(, ()m f m ), 12x m x <<,请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势， 并解释以下问题： （I ）若对任意的m ∈(t, x 2)，线段MP 与曲线f(x)均有异于M,P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你 的结论； （II ）若存在点Q(n ,f(n)), x ≤n< m ,使得线段PQ 与曲线f(x)有异于P 、Q 的公共点，请直接写出m 的取值 范围（不必给出求解过程） 2. 本小题满分14分）已知函数 ，，且 是函数 的极值点。 （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围； （Ⅲ）若直线是函数 的图象在点处的切线，且直线与函数 的图象相切于点，，求实数的取值范围。 1 x x + 3. 已知函数()() ()()201,10.x f x ax bx c e f f =++==且 （I ）若()f x 在区间[]0,1上单调递减，求实数a 的取值范围； （II ）当a=0时，是否存在实数m 使不等式()224141x f x xe mx x x +≥+≥-++对任意 x R ∈恒成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由 4. 已知：二次函数()g x 是偶函数，且(1)0g =，对,()1x R g x x ?∈≥-有恒成立，令 1 ()()ln ,()2 f x g x m x m R =++∈ （I ）求()g x 的表达式； （II ）当0m 0,使f(x)0成立，求m 的最大值； （III ）设12,()()(1),m H x f x m x <<=-+证明：对12,[1,]x x m ?∈，恒有 12|()()| 1.H x H x -< 5. 已知函数()(a x ax x f ln -=＞)().2 8,0+=x x x g （I ）求证();ln 1a x f +≥ （II ）若对任意的??????∈32,211x ，总存在唯一的?? ????∈e e x ,1 22（e 为自然对数的底数），使得 ()()21x f x g =，求实数a 的取值范围. 6. 已知函数2 ()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ （I ）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t （II ）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交 点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。 7. 已知函数()x f x e kx =-，x ∈R 2020高考文科复习：导数压轴题 1．（2019?新课标Ⅱ）已知函数()(1)1f x x lnx x =---．证明： （1）()f x 存在唯一的极值点； （2）()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 2．（2019?天津）设函数()(1)x f x lnx a x e =--，其中a R ∈． （Ⅰ）若0a …，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若10a e <<， ()i 证明()f x 恰有两个零点； ()ii 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->． 3．（2019?新课标Ⅰ）已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数． （1）证明：()f x '在区间(0,)π存在唯一零点； （2）若[0x ∈，]π时，()f x ax …，求a 的取值范围． 4．（2019?北京）已知函数321()4 f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2x ∈-，4]时，求证：6()x f x x -剟； （Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a R =-+∈，记()F x 在区间[2-，4]上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值． 5．（2018?北京）设函数2()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围． 6．（2018?北京）设函数2()[(31)32]x f x ax a x a e =-+++． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线斜率为0，求a ； （Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围． 函数导数压轴小题 一、单选题 1．已知数列中，，若对于任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为（） A．B． C．D． 2．已知实数，满足，则的值为（） A．B．C．D． 3．定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.若，则下列四个命题：①是在上的“追逐函数”；②若是在上的“追逐函数”， 则；③是在上的“追逐函数”；④当时，存在，使得 是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（） A．①③B．②④C．①④D．②③ 4．若，恒成立，则的最大值为（） A．B．C．D． 5．设，，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m 的取值范围是 A．B．C．D． 6．已知定义域为的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，，则下列判断正确的是（） A．B．C．D． 7．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围（） A．B．C．D． 8．若函数的图象与曲线C:存在公共切线，则实数的取值范围为（） A．B．C．D． 9．设函数（，e为自然对数的底数）.定义在R上的函数满足， 且当时，.若存在，且为函数的一个零点，则实数a的取值范围为( ) A．B．C．D． 10．已知函数在上可导，其导函数为，若满足：当时，>0，，则下列判断一定正确的是( ) A．B．C．D． 11．已知函数有两个零点，则的取值范围为（） A．B．C．D． 12．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，若函数有零点，则的取值范围是（） A．B．C．D． 13．设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是( ) A．B． C．D． 导数压轴题双变量问题题型 归纳总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 导数应用之双变量问题 （一）构造齐次式，换元 【例】已知函数()2 ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =. （1）求实数,a b 的值； （2）设()()()()2 1212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点，求证：0F ' <. 【解析】（1）1,1a b ==-； （2）()2 ln f x x x x =+-，()()1ln F x m x x =+-，()11F x m x '=+- ， 因为12,x x 分别是函数()F x 的两个零点，所以()()11 221ln 1ln m x x m x x +=???+=?? ， 两式相减，得1212ln ln 1x x m x x -+=-， 1212ln ln 1x x F m x x -' =+=- 0F '< ，只需证 12 12ln ln x x x x -< -. 思路一：因为120x x << ，只需证 1122ln ln ln 0 x x x x -> ?>. 令()0,1t = ，即证12ln 0t t t -+>. 令()()1 2ln 01h t t t t t =-+<<，则()()2 22 121 10t h t t t t -'=--=-<， 所以函数()h t 在()0,1上单调递减，()()10h t h >=，即证1 2ln 0t t t -+>. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把12,x x 转化为t 的函数，常把12,x x 的关系变形 为齐次式，设12111222 ,ln ,,x x x x t t t x x t e x x -===-=等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法. 思路二：因为120x x << ，只需证12ln ln 0x x -， 设( ))22ln ln 0Q x x x x x =-<<，则 () 2 21 10Q x x x '= ==<， 所以函数()Q x 在()20,x 上单调递减，()()2 0Q x Q x >=，即证2ln ln x x -. 由上述分析可知0F ' <. 高考导数压轴题的解法 导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在. 2011年全国新课标卷理科数学21题就是一道典型的以导数为背景，通过求最值分类讨论解决恒成立问题。学生在思考的过程中会产生两种常见的想法，但并不是每一种方法都能达到预期的效果，下面我们就来探讨一下解决这类问题的统一方法。 原题：（2011年高考试题全国新课标卷理科数学21题） 已知函数ln ()1a x b f x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线方程为230x y +-=． （I ）求,a b 的值； （II ）如果当0x >且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >+-，求k 的取值范围． 解：（I ）略（II ）由（Ⅰ）知22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x ---+=+--． 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=． (i)设0k ≤，由22 2 (1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <．而(1)0h =， 故当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得2 1()01h x x >-；当(1,)x ∈+∞时，()0,h x < 21()01h x x >-可得从而当0,x >且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >+-恒成立 （ii ）设01k <<时由于当21(1,)(1)(1)20,1x k x x k ∈-++>-时，故'()0,h x > 而1(1)0,(1,)1h x k =∈-故当时，()0,h x >2 1()01h x x <-与题设矛盾 （iii ）设1,'()0,(1)0,k h x h ≥>=此时而故当(1,)()0,x h x ∈+∞>时，可得出矛盾 综合可得k 的取值范围是(,0]-∞ 评析：该题在解决的过程中是通过构造一个新的函数，通过讨论该函数的单调性和零点，找出恒成立的范围，再举出反例将其它范围舍去。在解决该类问题时还有一个常见的办法，就 导数压轴题精选 三、解答题： 10．已知函数2 1()22 f x x x = -、()log a g x x =（0a >，且1a ≠） ，其中a 为常数． 如果函数()()()h x f x g x =+是(0,)+∞上的增函数，且函数()h x '存在零点 （函数()h x '为函数()h x 的导函数）． ⑴求实数a 的值； ⑵设11(,)A x y 、2212(,)()B x y x x <是函数()y g x =的图象上两点， 又21 021 ()y y g x x x -'=-（()g x '为()g x 的导函数），证明：102x x x <<． 10．已知函数()2ln b f x ax x x =- -，且(1)0f =． ⑴若函数()f x 在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围； ⑵若函数()f x 的图象在1x =处的切线的斜率为0， 且211 ( )11 n n a f n a n +'=-+-+，又已知14a =，求证：22n a n ≥+； ⑶在⑵的条件下，试比较12111111n a a a ++++++与25 的大小， 并说明你的理由． 10．定义：对于函数()()f x x M R ∈?，若()()f x f x '<对于定义域M 内的任意x 恒成立，则称函数()f x 为M 上的?函数． ⑴判断函数()ln x f x e x =是否为其定义域上的?函数，并证明你的结论； ⑵若函数()F x 为R 上的?函数，试比较()F a 与(0)()a e F a R ∈的大小； ⑶若函数()F x 为R 上的?函数，求证：对于定义域内的任意正数1x 、2x 、、n x ， 均有1212[ln()](ln )(ln )(ln )n n F x x x F x F x F x +++>+++成立． 自然指数和对数为背景的压轴题解法 注: 本文以目前数学成绩在一本线上下的学子的数学水准，进行展开讲解。 根据“遗传学规律”明年全国乙卷再次考到的可能性极大，打出来给学生将保准学生横扫此类压轴题！ 源于课本：1-1课本99页B 组1题或课本2-2第32页B 组1题的习题：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图像直观验证：x e x +≥1； 【探究拓展】 探究1：证明不等式x e x +≥1* 变式1：设a x e x f x --=)(，其中,R a ∈若对于任意R x ∈，0)(>x f 恒成立，则参数a 的取值范围是_________ 1-+ 变形3：)1()1ln(->≤+x x x 变形4：)0(1ln >-≤x x x * 变形5：)0(11 ln >+-≥x x x 变形6：)0(11 ln >+-≥x x x 归一：我们只要通过画图并记住x e x +≥1*,)0(1ln >-≤x x x *即可，考试出现了其它变形换元转化为这2个不等式即可。高三导数压轴题题型归纳
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