人教版高中数学-图象变换的三种形式

图象变换的三种形式

一、相位变换（左右平移：φ>0左移，φ<0右移）

相位变换: 函数y ＝sin(x ＋?)，x ∈R (其中?≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向

左(当?＞0时)或向右(当?＜0时＝平行移动｜?｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清

方向：“加左”“减右”)

【例1】 要得到函数y=3cos 24x π?

?

-

??

?

的图象，可以将函数y=3sin2x 的图象（ ）.

A. 向左平移8π

单位 B. 向右平移8π单位

C. 向左平移4

π

单位

D. 向右平移4

π

单位

【思考与分析】 我们知道，当a ＞0时，把函数y=f （x ）的图象沿x 轴向右平移a 个单位，便得到函数y=f （x －a ）的图象，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移a 个单位，便得到函数y=f （x ＋a ）的图象.本题中y=3cos 24x π??

-

??

?

与y=3sin2x 的对应法则不同，应当把它们变为“y=f （x ）与y=f （x ＋a ）”的形式后，再讨论平移关系．因为我们关心的是对函数y=3sin2x 的图象平移，所以要把y=3cos 24x π??

- ??

?

变形，变到y=3sin （2x ＋φ）的形式．

由正弦曲线和余弦曲线的关系，不难看出，把余弦曲线沿x 轴向右平移

2

π

，就得到正弦曲线，即是cos 2x π??

-

??

?

＝sinx （这与诱导公式的结论是一致的）．利用这个关系，可以得到：

这样问题变成为：把函数y=3sin2x 的图象沿x 轴进行怎样的平移，可以得到函数y=3sin 24x π?

?

+ ??

?

的图象？

如果y=3sin2x=f （x ），那么

可见，把函数y=3sin2x 的图象向左平移

8

π个单位后，可得到函数y=3sin 24x π??

+

??

?

的图象， 即得到函数y=3cos 24x π??

-

??

?

的图象．因此选A ．

二、周期变换（横坐标的伸缩：ω>1，横坐标缩短到原来的

1ω

倍；0<ω<1，横坐标伸长到原来的

1ω

倍）

周期变换:函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐

标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的

ω

1

倍（纵坐标不变）．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图ω决定了函数的周期

【例2】 下列变换中，正确的是（ ）.

A. 将y ＝sin2x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）即可得到y ＝sin x 的图象

B. 将y ＝sin2x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）即可得到y ＝sin x 的图象

C. 将y ＝sin2x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的1

2

倍（纵坐标不变）即可得到y ＝sin

x 的图象

D. 将y ＝sin2x 图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）即可得到y ＝sin x 的图象

【思考与分析】 令f （x ）=sin2x ，则f 2x ??

???

=sin x.由f （x ）的图象变化到f 2x ??

???

的图象，需将f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到. 故答案选A.

三、振幅变换（纵坐标的伸缩：A>1，纵坐标伸长到原来的A 倍；0

振幅变换:y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标

伸长(A>1)或缩短(0

【例3】 用图象变换的方法，在同一坐标系内由函数y ＝sin x 的图象画出函数y ＝－12

sin （－2x ）

的图象. 解：y ＝－

12sin （－2x ）＝1

2

sin2x ， 作图过程如下：

画图：

四、三种变换的综合应用

例1 如何由函数x y sin =的图象经过变换得到函数??

?

?

?

+=32sin 3πx y 的图象？ 方法1：先“平移”后“伸缩”

x y sin =?

???→?3π

向左平移

)

3

sin(π

+=x y ????????→?21横坐标缩短到原来的

)3

2sin(π

+

=x y

?????????→?倍

纵坐标伸长到原来的3)3

2sin(3π+=x y

方法2：先“伸缩”后“平移”

x y sin =????????→?21

横坐标缩短到原来的

x y 2sin =?????????→

?倍

纵坐标伸长到原来的3x y 2sin 3=?

???→?6π

向左平移

)6

(2sin 3π

+=x y )3

2sin(3π

+

=x

例1的两种方法中，我们发现变化的顺序变了，图象平移的量也就不同，方法1是先

向左平移

3π，而方法2中则是最后向左平移6π

，而不少同学会在方法二的最后一步认为是向左平移3

π

，这正是平时我们容易做错的地方，为什么会导致这样的错误呢？方法2中由

函数x y 2sin 3=向函数)3

2sin(3π

+=x y 变化过程中，是先缩短了横坐标之后，再平移横

坐标的，所以相应的平移单位也发生了变化，即

x y 2sin 3=?

???→?6π

向左平移

)6

(2sin 3π

+=x y 。也就是说，相位变换与周期变换是对同

一字母x 而言的，图象变化要看“变量x ”起多大变化，而不是看角变化了多少，即相位变

化是自变量x 与一个常数的和的关系，周期变化是自变量x 与一个常数积的关系，如函数

x y 31sin =向左平移6

π

个单位得函数)6(31sin π+=x y 而不是函数)631sin(π+=x y ；又

如函数)6sin(π+=x y 横坐标伸长到原来的3倍，得)6

31sin(π

+=x y ，而不是函数

)6

(31sin π

+=x y 的图象。

例2 如何由函数??? ?

?

+=32sin 3πx y 的图象得到函数x y sin =的图象？

分析 从例1已经知道由x y sin =的图象变化到??

?

?

?+=32sin 3πx y 的图象的过程，则例2不如“正话反说”，说明图象的变换

解 先由x y sin =的图象变化到??

?

?

?+=32sin 3πx y 的图象，如例1解答，再“正话反说”。

方法1：)

3

2sin(3π

+=x y ??

???????→?倍

纵坐标缩短到原来的31

)3

2sin(π

+

=x y

????????→?2

横坐标伸长到原来的)3

sin(π

+=x y ????→?3π

向右平移

x y sin = 方法2：)3

2sin(3π

+

=x y )6

(2sin 3π

+

=x ?

???→?6π

向左平移

x y 2sin 3= ??

???????→?倍

纵坐标缩短到原来的31

x y 2sin =?????????→?倍

横坐标伸长到原来的2x y sin =

例3（2006

年福建卷）已知函数22

()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈

（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；

（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？ 分析：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。

解：（I

）1cos 2()2(1cos 2)22x f x x x -=+++

132cos 22223

sin(2).

62x x x π=++=++ ()f x ∴的最小正周期2.2

T π

π==

由题意得222,,2

6

2

k x k k Z π

π

π

ππ-≤+

≤+

∈

即 ,.3

6

k x k k Z π

π

ππ-

≤≤+

∈

()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ?

?-+∈???

?

（II ）方法一：

先把sin 2y x =图象上所有点向左平移

12π个单位长度，得到sin(2)6

y x π

=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移3

2个单位长度，就得到3

sin(2)62

y x π=++的图象。

方法二：

把sin 2y x =图象上所有的点按向量3

(,)122a π=-

平移，就得到3

sin(2)62

y x π=++的图象。

例4（天津卷）要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)4

2sin(2π

+

=x y 的图象上

所有的点的（C ）

(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π

个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4

π

个单位长度

(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π

个单位长度

(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8

π

个单位长度

例5 把函数y x =+

??

???sin 245π的图象上各点向右平移π

2

个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，所得图象的函数式是

。

解析 把函数y x =+

??

???sin 245π的图象上各点向右平移π

2

个单位，所得图象函数式是y x x =-??

???+??????=-?

? ???sin sin 224525πππ；再把横坐标缩小到原来一半所得图象函数式是y x =-?? ???sin 45π；纵坐标再扩大到原来的4倍，所得图象函数式是y x =-?

? ??

?445sin π。

因此所求图象的函数式是y x =-

?

?

?

?

?445sin π。 答案：y x =-

??

?

?

?445sin π。