2019年辽宁省本溪市中考数学试卷

2019年辽宁省本溪市中考数学试卷

青海一中 李清

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）（2019?本溪）下列各数是正数的是( ) A ．0

B ．5

C ．1

2

-

D ．2-

2．（3分）（2019?本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)

A ．

B ．

C ．

D ．

3．（3分）（2019?本溪）下列计算正确的是( ) A ．77x x x ÷=

B ．224(3)9x x -=-

C ．3362x x x =

D ．326()x x =

4．（3分）（2019?本溪）2019年6月8日，全国铁路发送旅客约9560000次，将数据9560000科学记数法表示为( ) A ．69.5610?

B ．595.610?

C ．70.95610?

D ．495610?

5．（3分）（2019?本溪）下表是我市七个县（区)今年某日最高气温(C)?的统计结果：

县（区) 平山区 明山区 溪湖区 南芬区 高新区 本溪县 恒仁县 气温(C)? 26

26

25

25

25

23

22

则该日最高温(C)?的众数和中位数分别是( ) A ．25，25

B ．25，26

C ．25，23

D ．24，25

6．（3分）（2019?本溪）不等式组30

280x x ->??-?

的解集是( )

A ．3x >

B ．4x

C ．3x <

D ．34x <

7．（3分）（2019?本溪）如图所示，该几何体的左视图是( )

A ．

B ．

C ．

D ．8．（3分）（2019?本

溪）下列事件属于必然事件的是( 错误!未找到引用源。 A ．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”

B ．若原命题成立，则它的逆命题一定成立

C ．一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小

D ．在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数

9．（3分）（2019?本）为推进垃圾分类，推绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x 万元，根据题意，所列方程正确的是( ) A ．360480

140x x

=

- B ．360480

140x x

=

- C ．

360480

140x x += D ．

360480

140x x

-=

10．（3分）（2019?本溪）如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA AB

⊥，

-=，则下列函数图象能反映y与

=，PA PD y

PD AC

⊥于点D，连接AP，设AP x

x之间关系的

是()

A．

B．

C．

D．

二、填空题（本題共8小题，每小题3分，共24分）

11．（3分）（2019?本溪）2

x-则x的取值范围为．12．（3分）（2019?本溪）函数5

=的图象经过的象限是．

y x

13．（3分）（2019?本溪）如果关于x的一元二次方程240

-+=有实数根，那

x x k

么k 的取值范围是 ．

14．（3分）（2019?本溪）在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(4,2)A ，(5,0)B ，

以点O 为位似中心，相们比为1

2

，把ABO ?缩小，得到△11A B O ，则点A 的对应点1A 的坐标为 ．

15．（3分）（2019?本溪）如图，BD 是矩形ABCD 的对角线，在BA 和BD 上分别截取BE ，BF ，使BE BF =；分别以E ，F 为圆心，以大于1

2

EF 的长为半径作弧，两弧在ABD ∠内交于点G ，作射线BG 交AD 于点P ，若3AP =，则点P 到BD 的距离为 ．

16．（3分）（2019?本溪）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形ABCD 内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为 ．

17．（3分）（2019?本溪）如图，在平面直角坐标系中，等边OAB ?和菱形OCDE 的边OA ，OE 都在x 轴上，点C 在OB 边上，3ABD S ?=，反比例函数(0)k

y x x

=>的图象经过点B ，则k 的值为 ．

18．（3分）（2019?本溪）如图，点1B 在直线1

:2

l y x =上，点1B 的横坐标为2，过

1B 作111B A ⊥，交x 轴于点1A ，以11A B 为边，向右作正方形1121A B B C ，延长21B C 交x

轴于点2A ；以22A B 为边，向右作正方形2232A B B C ，延长32B C 交x 轴于点3A ；以33A B 为边，向右作正方形3343A B B C 延长43B C 交x 轴于点4A ；?；按照这个规律进行下去，点n C 的横坐标为 （结果用含正整数n 的代数式表示）

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

19．（10分）（2019?本溪）先化简，再求值222

412

()4422a a a a a a

--÷-+--，其中a 满足2320a a +-=．

20．（12分）（2019?本溪）某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：

A ．机器人，

B ．围棋，

C ．羽毛球，

D ．电影配音．每人只能加入一个社团．为

了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中A 所占扇形的圆心角为36?．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有 人； （2）请你将条形统计图补充完整；

（3）若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团；

（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21．（12分）（2019?本溪）如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥，45B ∠=?，延长CD 到点E ，使DE DA =，连接AE ． （1）求证：AE BC =；

（2）若3AB =，1CD =，求四边形ABCE 的面积．

22．（12分）（2019?本溪）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE ，箱长BC ，拉杆AB 的长度都相等，B ，F 在AC 上，

C 在DE 上，支杆30DF cm =，:1:3CE C

D =，45DCF ∠=?，30CDF ∠=?，请根据以

上信息，解决下列向题．

（1）求AC 的长度（结果保留根号）；

（2）求拉杆端点A 到水平滑杆ED 的距离（结果保留根号）．

五、解答题（满分12分）

23．（12分）（2019?本溪）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价y （元)与一次性批发量x （件

)(x 为正整数）之间满足如图所示的函数关系．

（1）直接写出y 与x 之间所满足的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？

六、解答题（满分12分）

24．（12分）（2019?本溪）如图，点P 为正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，连接BP 并延长交CD 于点E ，交AD 的延长线于点F ，O 是DEF ?的外接圆，连接DP ．

（1）求证：DP 是O 的切线；

（2）若1

tan 2

PDC ∠=，正方形ABCD 的边长为4，求O 的半径和线段OP 的长．

七、解答题（满分12分）

25．（12分）（2019?本溪）在Rt ABC ?中，90BCA ∠=?，A ABC ∠<∠，D 是AC 边上一点，且DA DB =，O 是AB 的中点，CE 是BCD ?的中线．

（1）如图a ，连接OC ，请直接写出OCE ∠和OAC ∠的数量关系： ； （2）点M 是射线EC 上的一个动点，将射线OM 绕点O 逆时针旋转得射线ON ，使MON ADB ∠=∠，ON 与射线CA 交于点N ．

①如图b ，猜想并证明线段OM 和线段ON 之间的数量关系；

②若30BAC ∠=?，BC m =，当15AON ∠=?时，请直接写出线段ME 的长度（用含m 的代数式表示）．

八、解答题（满分14分）

26．（14分）（2019?本溪）抛物线22

9

y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(5,0)B 两点，顶点为C ，对称轴交x 轴于点D ，点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点（点P 不与C ，D 重合）．过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E ，交x 轴于点F ． （1）求抛物线的解析式；

（2）当PCF ?的面积为5时，求点P 的坐标；

（3）当PCF ?为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．

2019年辽宁省本溪市中考数学试卷 参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列各数是正数的是( ) A ．0

B ．5

C ．1

2

-

D ．2-

【分析】此题利用正数和负数的概念即可解答．

【解答】解：0既不是正数，也不是负数；5是正数；1

2

-和2-都是负数． 故选：B ．

2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义即可判断．

【解答】解：A 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．

故选：B ．

3．（3分）下列计算正确的是( ) A ．77x x x ÷=

B ．224(3)9x x -=-

C ．3362x x x =

D ．326()x x =

【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：A 、76x x x ÷=，故此选项错误；

B 、224(3)9x x -=，故此选项错误；

C 、336x x x =，故此选项错误；

D 、326()x x =，故此选项正确；

故选：D ．

4．（3分）2019年6月8日，全国铁路发送旅客约9560000次，将数据9560000科学记数法表示为( ) A ．69.5610?

B ．595.610?

C ．70.95610?

D ．495610?

【分析】科学记数法的表示形式为10n a ?的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．

【解答】解：将数据9560000科学记数法表示为69.5610?． 故选：A ．

5．（3分）下表是我市七个县（区)今年某日最高气温(C)?的统计结果：

则该日最高气温(C)?的众数和中位数分别是( ) A ．25，25

B ．25，26

C ．25，23

D ．24，25

【分析】根据众数和中位数的概念求解即可．

【解答】解：在这7个数中，25(C)?出现了3次，出现的次数最多，

∴该日最高气温(C)?的众数是

25；

把这组数据按照从小到大的顺序排列位于中间位置的数是25， 则中位数为：25； 故选：A ．

6．（3分）不等式组30

280x x ->??-?

的解集是( )

A ．3x >

B ．4x

C ．3x <

D ．34x <

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【解答】解：30280x x ->??

-?

①

②，

由①得：3x >， 由②得：4x ，

则不等式组的解集为34x <， 故选：D ．

7．（3分）如图所示，该几何体的左视图是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看是一个矩形，中间有两条水平的虚线， 故选：B ．

8．（3分）下列事件属于必然事件的是( ) A ．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”

B ．若原命题成立，则它的逆命题一定成立

C ．一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小

D ．在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数 【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案．

【解答】解：A 、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，是随机事件，不合题意；

B 、若原命题成立，则它的逆命题一定成立，是随机事件，不合题意；

C 、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小，是必然事件，符合题意；

D 、在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数，是随机事件，不合题意； 故选：C ．

9．（3分）为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x 万元，根据题意，所列方程正确的是( ) A ．360480

140x x

=

- B ．360480

140x x

=

- C ．

360480

140x x += D ．

360480

140x x

-=

【分析】设甲种型号机器人每台的价格是x 万元，根据“用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于x 的分式方程． 【解答】解：设甲型机器人每台x 万元，根据题意，可得：360480

140x x

=

-， 故选：A ．

10．（3分）如图，点P 是以AB 为直径的半圆上的动点，CA AB ⊥，PD AC ⊥于点

D ，连接AP ，设AP x =，PA PD y -=，则下列函数图象能反映y 与x 之间关系的

是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【分析】设圆的半径为R ，连接PB ，则1

sin 22AP ABP x R R

∠=

=，则2

11sin 22PD AP x x x R R

α==?

=，即可求解． 【解答】设：圆的半径为R ，连接PB ，

则1sin 22AP ABP x R R

∠=

=， CA AB ⊥，即AC 是圆的切线，则PDA PBA α∠=∠=，

则2

11sin 22PD AP x x x R R

α==?=， 则2

12y PA PD x x R

=-=-

+， 图象为开口向下的抛物线，

故选：C ．

二、填空题（本題共8小题，每小题3分，共24分）

11．（3

x 的取值范围为 2x ． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得20x -，再解即可． 【解答】解：由题意得：20x -， 解得：2x ， 故答案为：2x ．

12．（3分）函数5y x =的图象经过的象限是 一、三 ．

【分析】利用这个比例函数的性质结合比例系数的符号直接回答即可． 【解答】解：函数5y x =的图象经过一三象限， 故答案为：一、三

13．（3分）如果关于x 的一元二次方程240x x k -+=有实数根，那么k 的取值范围是 4k ．

【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的范围． 【解答】解：根据题意得：△1640k =-， 解得：4k ． 故答案为：4k ．

14．（3分）在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(4,2)A ，(5,0)B ，以点O 为位似中心，相们比为12

，把ABO ?缩小，得到△11A B O ，则点A 的对应点1A 的坐标为 (2,1)或(2,1)-- ．

【分析】根据位似变换的性质计算即可．

【解答】解：以点O 为位似中心，相们比为12

，把ABO ?缩小，点A 的坐标是(4,2)A ， 则点A 的对应点1A 的坐标为1

(42

?，12)2

?或1(42

-?，12)2

-?，即(2,1)或(2,1)--，

故答案为：(2,1)或(2,1)

--．

15．（3分）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，

使BE BF

=；分别以E，F为圆心，以大于1

2

EF的长为半径作弧，两弧在ABD

∠内

交于点G，作射线BG交AD于点P，若3

AP=，则点P到BD的距离为 3 ．

【分析】首先结合作图的过程确定BP是ABD

∠的平分线，然后根据角平分线的性质求得点P到BD的距离即可．

【解答】解：结合作图的过程知：BP平分ABD

∠，

90

A

∠=?，3

AP=，

∴点P到BD的距离等于AP的长，为3，

故答案为：3．

16．（3分）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的

小正方形ABCD内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为15

16

．

【分析】如图所示，AD与直线的交点为E，AB与直线的交点为F，分别求出AE、AF所占边长的比例即可解答．

【解答】解：如图所示，AD与直线的交点为E，AB与直线的交点为F，

根据题意可知12AE AB =，14

AF AB =，

∴211111

222416

AEF S AE AF AB AB AB ?=

=??=， ∴小球停留在阴影区域的概率为：115

11616

-

=． 故答案为：

1516

17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等边OAB ?和菱形OCDE 的边OA ，OE 都在x 轴上，点C 在OB 边上，3ABD S ?=，反比例函数(0)k

y x x

=>的图象经过点B ，则k 的值为

3 ．

【分析】连接OD ，由OAB ?是等边三角形，得到60AOB ∠=?，根据平行线的性质得到60DEO AOB ∠=∠=?，推出DEO ?是等边三角形，得到60DOE BAO ∠=∠=?，得到//OD AB ，求得BDO AOD S S ??=，推出3AOB ABD S S ??==B 作BH OA ⊥于H ，由等边三角形的性质得到OH AH =，求得3

OBH S ?= 【解答】解：连接OD ，

OAB ?是等边三角形， 60AOB ∴∠=?，

四边形OCDE 是菱形，

//DE OB ∴，

60DEO AOB ∴∠=∠=?， DEO ∴?是等边三角形， 60DOE BAO ∴∠=∠=?， //OD AB ∴， BDO AOD S S ??∴=，

ADO ABD BDO AOB ABDO S S S S S ????=+=+四边形，

3AOB ABD S S ??∴==，

过B 作BH OA ⊥于H ，

OH AH ∴=，

32

OBH S ?∴=

， 反比例函数(0)k y x x

=>的图象经过点B ，

k ∴的值为3，

故答案为：3．

18．（3分）如图，点1B 在直线1

:2

l y x =上，点1B 的横坐标为2，过1B 作111B A ⊥，交x 轴于点1A ，以11A B 为边，向右作正方形1121A B B C ，延长21B C 交x 轴于点2A ；以

22A B 为边，向右作正方形2232A B B C ，延长32B C 交x 轴于点3A ；以33A B 为边，向右

作正方形3343A B B C 延长43B C 交x 轴于点4A ；?；按照这个规律进行下去，点n C 的横坐标为

1

73()22

n -+ （结果用含正整数n 的代数式表示）

【分析】根据点1B 的横坐标为2，在直线1:2

l y x =上，可求出点1B 的坐标，由作图可知图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1:2，然后依次利用

相似三角形的性质计算出1C 、2C 、3C 、4C ??的横坐标，根据规律得出答案． 【解答】解：过点1B 、1C 、2C 、3C 、4C 分别作1B D x ⊥轴，11C D x ⊥轴，22C D x ⊥轴，33C D x ⊥轴，44C D x ⊥轴，??垂足分别为D 、1D 、2D 、3D 、4D ?? 点1B 在直线1:2

l y x =上，点1B 的横坐标为2，

∴点1B 的纵坐标为

1，

即：2OD =，11B D =，

图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1:2，

111112

11111

12B D DA C D D A OD B D A D C D =====? ∴点1C 的横坐标为：0

132()22+

+， 点2C 的横坐标为：001011331353532()()()()()2

2

2

4

2

2

2

4

2

+++?+=+?+ 点3C 的横坐标为：

00112012133133135353532()()()()()()()()22242242224242

+

++?++?+=+?+?++ 点4C 的横坐标为：01235

3535353()()()()2

2

4

2

4

2

4

2

=+?+?+?+

??

点n C 的横坐标为：012341535353535353()()()()()()224242424242

n -=+?+?+?+?+???+

01234155333333

[()()()()()]()24222222n -=++?+++??+ 173()22

n -=

+ 故答案为：173()2

2

n -+

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

19．（10分）先化简，再求值222

412

()4422a a a a a a

--÷-+--，其中a 满足2320a a +-=． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据2320a a +-=，可以求得所求式子的值．

【解答】解：222

412

()4422a a a a a a

--÷-+-- 2(2)(2)1(2)

[]

(2)22

a a a a a a +--=+-- 21(2)

()

222

a a a a a +-=+-- 3(2)

22a a a a +-=-

(3)

2

a a +=

232

a a

+=

， 2320a a +-=， 232a a ∴+=，

∴原式2

12

=

=． 20．（12分）某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A ．机器人，

B ．围棋，

C ．羽毛球，

D ．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参

加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中A 所占扇形的圆心角为36?．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有200 人；

（2）请你将条形统计图补充完整；

（3）若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团；

（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

【分析】（1）由A类有20人，所占扇形的圆心角为36?，即可求得这次被调查的学生数；

（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；

（3）该校1000学生数?参加了羽毛球社团的人数所占的百分比即可得到结论；（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）A类有20人，所占扇形的圆心角为36?，

∴这次被调查的学生共有：

36

20200

360

÷=（人)；

故答案为：200；

（2）C项目对应人数为：20020804060

---=（人)；补充如图．