人教版九年级数学下册第二十七章相似三角形知识点总结(无答案)

相似三角形基本知识

知识点一：相似图形

1._______＿_________＿的两个图形说成是相似的图形。

注意:（1） 我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形__＿________＿__得到的．（２)全等形是相似图形的一种＿＿＿___＿＿＿_＿_．

2.相似多边形：如果两个多边形 ________＿__＿＿,对应角___＿______,对应边__＿_＿_____＿＿____＿__,则这两个多边形是相似多边形。__________＿___＿____＿＿__＿记为相似比。

3.相似多边形的性质:对应角________＿,对应边＿___＿_＿____＿＿＿________。 注意:当两个相似的多边形是全等形时,他们的相似比是＿______＿_．

练习1、在比例尺为1:8000000的“中国政区”地图上，量得甲市与乙市之间的距离是6．5cm ，则这两市之间的实际距离为 ｋm;

知识点二:平行线分线段成比例定理

(一)平行线分线段成比例定理

1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比. 已知ｌ1∥l ２∥l 3 ,可得

___＿__＿__＿_＿_,___＿＿_＿_＿____＿_，__＿＿＿＿____＿___＿_＿

2．推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. ∵ ＤE ∥BC

∴________＿_________＿＿_______＿__＿.

3、判定三角形相似定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．

即： ∵ DE ∥ＢＣ ∴_＿＿______＿＿＿____.

练习１、如图,Ｅ是平行四边形ABCD 的边B Ｃ的延长线上的一点,

连结ＡE 交ＣD 于F,则图中共有相似三角形?（ ) A １对 B 2对 C ３对 D 4对 练习2、如图，△AB Ｃ中，点D 、E 分别是AB 、ＡＣ的中点，下列结论不正确的是( )

A.ＢC=２ＤE

B. △ADE ∽△ABC

C. AC AB

AE AD = D ． ADE ABC S S ??=3

练习3、在菱形ＡＢＣD 中,E 是ＢＣ边上的点,连接A Ｅ交B Ｄ于点F, 若ＥC =2

ＢE , 则

FD

BF

的值是( ) A C D

F E

Ａ.

21 B.31 C.41 D ．51

8、如图小明在打网球时，使球恰好能打过网,而且落点恰好在离网6米的位置上,则球拍击球的高度h 为（ )

A 、815

B 、 1

C 、 43

D 、85

知识点三：相似三角形

1、相似三角形

定义：如果两个三角形中，三角对应__＿____＿,三边对应_____＿___＿＿,那么这两个三角形叫做相

似三角形。如△ＡB Ｃ与△DEF 相似,记作_____＿＿＿___＿＿＿＿________＿。 相似比：两个相似三角形的_________＿比,叫做这两个三角形的相似比。相似比为k 。 2、三角形相似的判定

（1）定义法：对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似。

（2）三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 (3）三角形相似的判定定理：

判定定理1:三边__＿__＿＿＿_______＿,两三角形相似.

∵__________＿___＿_＿___ ∴_＿_______________判定定理２:两边＿____＿__＿_且夹角_＿_____＿__，两三角形相似. ∵＿____＿_____＿________ ∴__＿___＿＿_＿＿＿______. 判定定理３：两角对应_＿__＿_＿_＿_＿__＿_,两三角形相似.(此定理用的最多) ∵___＿__＿＿__＿____＿____ ∴_____＿___＿__

＿____＿.

直角三角形相似判定定理: ___________＿______＿___＿_＿＿___＿___＿＿＿____两直角三角形相似。

在Rt △ＡBC 与Rt △A ＇Ｂ'Ｃ'中 ∵________＿__________＿

∴＿____＿＿___＿＿_＿____.

相似三角形的传递性： 若已知△ABC ∽△A'B'C ＇, △Ａ＇Ｂ'C'∽A"B ＂C"， 则_＿_________＿_＿___＿__

补充一:直角三角形中双垂直：

斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.

补充二：直角三角形中三垂直：

练习1、下列命题中正确的是 ? ?? （ ） A B A'

B'

C'

A

B

A

B

C

A B D E C

6

0.8

4

h

①三边对应成比例的两个三角形相似

②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似

③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似

④一个角对应相等的两个等腰三角形相似

A、①③

B、①④

C、①②④

D、①③

④

练习2、如图,D E

，两点分别在ABC

△的边AB AC

，上,DE与BC不平行,

当满足条件（写一个即可)时，

ADE ACB

△∽△.

练习３、如图，在平行四边形ABＣＤ中，AD=10厘米，CD＝6厘米，Ｅ为AD上一点,且BE=ＢC,CE

＝CD,则ＤＥ= 厘米.

练习４、手工制作课上, 小红利用一些花布的边角料, 剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪

裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边,其中, 每个图案花边的宽度都

相等, 那么, 每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（) ．

练习5、如图, △AB C是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC上的高, BC=4０cｍ, AD＝3０

ｃｍ, 从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽ＨE的２倍的矩形EFGH, 使它的一边E F在B C 上, 顶点G、 H 分别在ＡC、AB上，ＡD与HG 的交点为M．(１) 求证：

(2) 求这个矩形EＦGＨ的周长.

练习6、矩形AＢCD中,Ｅ是DＣ上一点,BE⊥AF，若BE＝10cｍ,AＦ=４ｃm,

则Ｓ

矩形

=___＿__cm２.

练习7、如图,四边形ABＣＤ、CDEF、EFGH都是正方形．

(1)⊿ACF与⊿ACＧ相似吗?说说你的理由．

(2)求∠1+∠2的度数.

练习8、如图，ＡB⊥ＢC,DＣ⊥BC,垂足分别为B、C，且AB=8,DＣ＝

A

A

E

C

D

D

A E

6，BC=１4，ＢC 上是否存在点P 使△ABP 与△DCP 相似?若有，有几个？并求出此时ＢＰ的长,若没有，请说明理由。

知识点四:相似三角形的性质

①相似三角形对应角_＿＿__＿____＿、对应边＿__________.

②相似三角形＿＿_＿__＿＿__、_＿________＿_＿__、＿__＿_＿_____、_____＿＿_＿__的比都等于______＿___

③相似三角形____＿___＿__的比等于相似比的平方.

练习１、如图，已知△ACP ∽△AB Ｃ，AC=４，ＡP=2,则A Ｂ的长为_____＿__。

练习2、等腰三角形AB Ｃ和ＤE Ｆ相似，其面积比为1：４，则它们底边上对应高线的比为（ ） A 、1：4 B 、4：1 C 、1:2 Ｄ、2:１

练习3、两个相似三角形面积之比是9：25，较大的三角形的周长是20ｃm,则较小的三角形的周长是______cm.

练习4、如图所示,在长为8cm,宽为６cm 的矩形中,截去一个矩形(图中阴影部分)，如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是( )

（A)2８cm 2 （B ）27cm ２ (Ｃ)2１c ｍ２ (D ）２0cm 2

练习5、如图,在△ＡＢC 中,∠C ＝９０°,将△AB Ｃ沿直线MN 翻折后，顶

点C 恰好落在ＡB 边上的点D 处,已知ＭN ∥A Ｂ,MC ＝6,ＮC =则四边形M ＡBN 的面积是

A ．

B ．

C ．Ｄ．

知识点五:实际应用

练习１、如图,为了测量水塘边A 、Ｂ两点之间的距离,在可以看到的A 、B 的点

E 处,取ＡＥ、BE 延长线上的C 、D 两点,使得CD ∥AB ED=３m,则A 、B 两点间的距离为＿____＿_＿___。 练习2、如图所示,在离某建筑物4m 处有一棵树,垂直地面， 影长为2m ，此时,子映在建筑物的墙上,墙上的影高为2m,

N

M

D

A

C

B

练习3、如图，一束光线从ｙ轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点Ｂ（6,2),则光线从A点到B点经过的路线的长度为 .

练习4、（2014?潍坊)如图,某水平地面上建筑物的高度为AＢ，在点Ｄ和点F处分别竖立高是２米的标杆CD和EF，两标杆相隔50米,并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内,从标杆CD 后退２米到点G处,在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端Ｃ在同一条直线上；从标杆ＦE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是＿_＿__ 米．

知识点五：位似

1、定义：如果两个多边形__＿＿_＿___＿＿＿_、__＿＿__________＿＿____＿_＿,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做____＿___＿____＿，这时的相似比又称为_＿__＿＿___＿_＿_。

2、性质:

①位似图形首先是相似图形,所以它具有相似图形的一切性质。

②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。

③位似图形的对应线段_＿_____＿＿______＿_＿____＿____________＿___＿＿。

3、一般的,在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点（ｘ,ｙ)对应的位似图形的点的坐标为__＿_____＿

____.

练习１、已知:Ｅ(-4，2)，F（－1,－1），以O为位似中心，按比例尺１∶2，把△EＯＦ缩小，则点E的对应点Ｅ′

的坐标为（)

A．(2,－1)或(－2,１) Ｂ．（8,－4）或(－8,4)

C.(2,－1）?? D．(８，－4）

练习2、如图,以某点为位似中心,将△AOＢ进行位似变换得到△CDE,记

△AOＢ与△CDE 对应边的比为ｋ,则位似中心的坐标和k的值分别为

（）

A.(00)

，,2 B. (22)

，,1

2 C. (22)

，，2 Ｄ．(22)

，，３

练习３、如图,△ABＣ中，A,B两个顶点在ｘ轴的上方，点C的坐标是（-1,０)。以点C为位似中心，在x轴的下方作△ＡBＣ的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,记所得的像是△A′B′C。设点Ｂ的对应点B′的横坐标是a,则点B的横坐标是（）

Ａ．1

2a

-? B.

1

(1)

2

a

-+ C.

1

(1)

2

a

-- D.

1

(3)

2

a

-+

练习4、如图，已知O是坐标原点,Ｂ、C两点的坐标分别为(３,－1)、(2,1).

(１）以０点为位似中心在y轴的左侧将△ＯBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为２),画出图形；

(2）分别写出Ｂ、C两点的对应点B′、C′的坐标;