有限元基础课程学习总结

有限元基础理论学习总结报告

中国矿业大学（北京）14级硕士王涛

通过课上和课下的学习，对有限元基础理论有了一定的了解和认识。经过学习，更加深刻的理解了有限元的离散、单元类型、插值函数构造和等参变换等知识，现对有限元的基本理论和用法做了如下学习和报告。

已经发展的偏微分方程数值分析方法可以分为两大类。一类是有限差分法，其特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解，求解步骤归纳为：首先将求解域划分为网格，然后在网格的节点上用差分方程来近似微分方程。借助于有限差分法能够求解相当复杂的问题，特别是求解方程建立于固结在空间的坐标系（Euler坐标系）的流体力学问题，有限差分法有自身的优势，因此在流体力学领域内，至今仍占支配地位。但是对于固体结构问题，由于方程通常建立于固结的物体上的坐标系（Lagrange坐标系）和形状复杂，另一类数值分析方法——有限元法则更为合适。

有限差分法：

特点：以差分方程近似微分方程，直接数值求解原问题的微分方程，在流体力学，岩土力学领域占重要地位。

有限元法：

特点：区别于有限差分法，即不是直接从问题的微分方程和相应的定解条件出发，而是从等效的积分形式出发，数值求解原问题的

等效积分方程。

基本思想：1 将求解域离散为有限个子域（单元）的集合

2 分片逼近待求函数

分析过程：1 单元特性分析，单元节点位移与节点力之间的关系

2 系统特性分析，将单元刚度矩阵集成整体刚度方程

1. 有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理

1.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法

1.1.1 微分方程的等效积分形式

工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件形式提出来的，可以一般地表示为未知函数应满足微分方程组

()0A u =（在Ω内） （1.1.1） 域Ω可以是体积域、面积域等。同时未知函数还应满足边界条件

()0B u =（在Г内） （1.1.2） Г是域Ω的边界。

由于微分方程组（1.1.1）在域Ω中每一点都必须为零，因此就有

0...))()(()(2211=Ω++=Ω??ΩΩd A A d A T μυμυμυ （1.1.3）

其中

是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。（1.1.3）式与微分方程组（1.1.1）式是完全等效的积分形式。同理，加入边界条件（1.1.2）也同时在边界上每一点都得到满足，则其等效积分形式（微分方程）为

0)()(=Γ+Ω??ΓΩd B d A T

T μυμυ (1.1.5) 对（1.1.5）分部积分得到等到另一种形式 0)()()()(=Γ+Ω??ΓΩd F E d D C T μυμυ

(1.1.6)

其中C 、D 、E 、F 是微分算子，它们中包含的阶数较（1.1.5）式的A 低，这样对函数只需要求较低阶的连续性就可以了。在（1.1.6）式中降低的连续性要求是以提高υ和υ的连续性要求为代价的。这种通过适当提高对任意函数υ和υ的连续性要求，以降低对微分方程场函数的连续性要求所建立的等效积分形式称为微分方程的等效积分“弱”形式。

1.1.2 基于等效积分形式的近似方法——加权余量法

对微分方程（1.1.1）式和边界条件（1.1.2）式所表达的物理问题，假设未知场函数可以采用近似函数来表示。近似函数是一族带有待定参数的已知函数，一般形式是

Na a N i i n

i ==≈∑=1μμ （1.1.7）

其中i a 是待定参数；i N 是称之为试探函数（或基函数、形函数）的已知函

数，它取自完全的函数序列，是线性独立的。

显然，近似解不能精确满足微分方程（1.1.1）式和全部边界条件（1.1.2）式，它们将产生残差R 和R ，即R Na A =)(;R Na B =)(。残差R 和R 亦称为余量。在（1.1.5）式中用n 个规定的函数来代替任意函数υ和υ，即

j W =υ； j W =ν )~1(n j = （1.1.8） j W 和j W 称为权函数。

对应等效积分“弱”形式（1.1.6）式，同样可以得到它的近似形式为

0)()()()(=Γ+Ω??Γ

Ωd Na F W E d Na D W C j T j T ),...,1(n j = （1.1.9） 采用使余量的加权积分为零来求得微分方程近似解得方法称为加权余量法。 对于权函数不同的选择可分为配点法，子域法，最小二乘法，力矩法和伽辽

金法。

1.2 变分原理

如果微分方程具有线性和自伴随的性质，则不仅可以建立它的等效积分形式，并利用加权余量法求其近似解，还可以建立与之相等效的变分原理，并进而得到基于它的另一种近似求解方法，即里兹方法。

1.2.1 线性、自伴随微分方程变分原理的建立

1. 线性、自伴随微分算子

若有微分方程

0)(=+b u L （在Ω域内） （1.2.1） 其中微分算子L 具有如下性质

)()()(2121u L u aL u au L ββ+=+ （1.2.2）

则称L 为线性算子，方程（1.2.1）为线性微分方程。其中a 和β是两个常数。

现定义)(u L 和任意函数的内积为

?ΩΩvd u L )( （1.2.3）

对上式进行分部积分直至u 的倒数消失，这样就可以得到转化后的内积并伴随有边界项。结果可表示如下：

),.(.)()(*v u t b d v L vd u L +Ω=Ω??Ω

Ω （1.2.4） ),.(.v u t b 表示在Ω的边界Г上由u 和v 及其导数组成的积分项。*L 称为L 的伴随算子。若*L =L ，则称算子是自伴随的。微分方程（1.2.1）为线性、自伴随的微分方程。

2. 泛函的构造

原问题的微分方程和边界条件表达如下

0)()(=+=f u L u A （在Ω内）

0)(=u B （在Г上） （1.2.5） 和以上微分方程及边界条件相等效的伽辽金提法可表示如下

0)(])([=Γ-Ω+??Γ

Ωd u B u d f u L u T T δδ （1.2.6） 利用算子是线性、自伴随的，就可得到原问题的变分原理

0)(=∏u δ （1.2.7）

其中

).(.])(2

1[)(u t b d f u u L u u T T +Ω+=∏?Ω 是原问题的泛函，以为内此泛函中u （包含u 的导数）的最高次为二次，所以称为二次泛函。

原问题的微分方程和边界条件的等效积分的伽辽金提法等效于它的变分原理，即原问题的微分方程和边界条件等效于泛函的变分等于零，亦即变分取驻值。

1.3 弹性力学的基本方程和变分原理

1.3.1弹性力学基本方程的张量形式

1. 平衡方程

0,=+i j ij f σ（在V 内） )3,2,1(=i （1.3.1）

2. 几何方程——应力-位移关系

)(2

1,,i j j ij ij u u +=ε（在V 内） )3,2,1,(=j i （1.3.2）

3. 物理方程——应力-应变关系 kl ijkl ij D εσ= （在V 内） )3,2,1,,,(=l k j i （1.3.3）

4. 力的边界条件

i i T T = （在σS 内） )3,2,1(=i （1.3.4）

其中 j ij i n T σ=，j n 是外界法线n 的三个方向余弦。

5. 位移边界条件

i i u u = （在u S 上） )3,2,1(=i （1.3.5）

6. 应变能和余能

单位体积应变能

kl ij ijkl mn D U εεε2

1)(=

（1.3.6） 单位体积余能 kl ij ijkl mn C V σσσ2

1)(= （1.3.7） 1.3.2 平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式——虚功原理

虚功原理是虚位移原理和虚应力原理的总称。

作为弹性力学微分方程的等效积分形式，虚位移原理与虚应力原理分别是平衡方程与力的边界条件和几何方程与位移边界条件的等效积分形式。在导出它们的过程中都未涉及到物理方程，所以它们不仅可以用于线弹性问题，而且可以用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。

将物理方程引入虚位移原理和虚应力原理可以分别导出最小位能原理和最小余能原理。它们本质上和等效积分的伽辽金“弱”形式相一致。这是建立弹性力学有限元方程的理论基础。弹性力学最小位能原理和最小余能原理都属于自然变分原理。

2 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式

通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元方法表达格式的基本步骤。最小位能原理的未知场变量是位移，以节点位移为基本未知量，并以最小位能原理为基础建立有限单元为位移元。它是有限元方法中应用最为普遍的单元。

对于一个力学或物理问题，在建立其数学模型以后，用有限元方法对它进行分析的首要步骤是选择单元形式。平面问题3节点三角形单元是有限元方法最早采用，而且至今仍经常采用的单元形式。以它作为典型，讨论如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法与步骤，并进而引出弹性力学问题有限元方法的一般表达式。

2.1 弹性力学平面问题的有限元格式

2.1.1 单元位移模式及插值函数的构造

图2.1 3节点三角形单元

1. 单元的位移模式和广义坐标

在有限元方法中单元的位移模式或称位移函数一般采用多项式作为近似函数，因为多项式运算简便，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数x y 0 u m v m u i v i u j v j i j m

曲线。多项式的选取应有低次到高次。

3节点三角形单元位移模式选取一次多项式

u = β1 + β2x + β3y

v = β4 + β5x + β6y （2.1.1） 其中61~ββ是待定系数，称之为广义坐标。6个广义坐标可由单元的6个节点位移来表示。在（2.1.1）的1式中带入节点i 的坐标),(i i y x 可得到节点i 在x 方向的位移i u ，同理可得j u 和m u 。它们表示为

i i i y x u 321βββ++=

j j j y x u 321βββ++=

m m m y x u 321βββ++= （2.1.2）

2. 位移插值函数

将求得的广义坐标61~ββ代入（2.1.1），可将位移函数表示成节点位移的函数，即

m m j j i i u N u N u N u ++=

m m j j i i v N v N v N v ++= （2.1.3） 其中 )(21y c x b a A

N i i i i ++= ),,(m j i （2.1.4） i N ，j N ，m N 称为单元的插值函数或形函数，对于当前情况，它是坐标y 、x 的一次函数，其中的m c ,...,c b i i ，是常数，取决于单元的3个节点坐标。

2.2.2 利用最小位能原理建立有限元方程

对于离散模型，系统总位能的离散公式

[]∑?∑?++=∏e S e V p e e dS dV U σ

ψφ （2.2.1）

将结构总位能的各项矩阵表达成各个单元总位能的各对应项矩阵之和，隐含着要求单元各项矩阵的阶数（即单元的节点自由度数）和结构各项矩阵的阶数（即结构的节点自由度数）相同。为此需要引入单元节点自由度和结构节点自由度的转换矩阵G ，从而将单元节点位移列阵e a 用结构结点位移列阵a 表示，即

Ga a e = （2.2.2）

则离散形式的总位能可表示为

??

?--+ ??-=∏???∑??e e e e e S T V T V T e V T V T T T p dS dV dV dV dV σσεT N f N B D B Ga DB B G a ~2100 P a Ka a T T -=2

1 （2.2.3） 由于离散形式的总位能p ∏的未知变量是结构的结点位移a ，根据变分原理，泛函p ∏取驻值的条件是它的一次变分为零，δ ∏ p ＝0，这样就得到有限元的求解方程

P Ka = （2.2.4） 其中

∑=e e T G K G K ∑=E

e T P G P （2.2.5）

K 和P 分别称之为结构整体刚度矩阵和结构结点载荷列阵。

它们都是有单元敢赌矩阵e K 和单元等效结点载荷列阵e P 集合而成。

需要注意，将单元刚度矩阵和单元等效结点载荷列阵集成为结构刚度矩阵和结构等效载荷列阵时，实际执行的并不是如（2.2.5）式所示需通过转换矩阵G 的运算，而是将单元矩阵或列阵的元素直接“对号入座”，叠加到结构矩阵或列

阵而成。

以上表述的是基于弹性力学最小位能原理形成的有限元求解方程的一般原理。

2.2.3 引入位移边界条件

最小位能变分原理是具有附加条件的变分原理，它要求场函数u满足几何方程和位移边界条件。现在离散模型的近似场函数在单元内部满足几何方程，因此由离散模型近似的连续体内几何方程也是满足的。但是在选择场函数的试探函数（多项式）时，却没有提出在边界上满足位移边界条件的要求，因此必须将这个条件引入有限元方程，使之得到满足。

可以引入边界条件的方法有直接代入法、对角元素改1法和对角元素乘大数法。直接代入法要重新组合方程，组成的新方程阶数降低了，但结点位移的顺序性已被破坏，这给编制程序带来了一些麻烦；对角元素改1法引入强制边界条件比较简单，不改变原来方程的阶数和结点未知量的顺序编号。但这种方法只能用于给定零位移；对角元素乘大数法使用简单，对任何给定位移（零值或非零值）都适用。采用这种方法引入强制边界条件时方程阶数不变，结点位移顺序不变，编制程序十分方便，因此在有限元法中经常采用。

2.3 广义坐标有限元法一般格式

2.3.1 广义坐标有限元位移模式的选择和插值函数的构造

1. 选择广义坐标有限元位移模式的一般原则

（1）广义坐标的个数应与单元结点自由度数相等，否则待定广义坐标 无法以单元结点位移来表示。例如，3结点三角形单元有6个自由度，因此其广义

坐标个数只能是6，每个方向3个。

（2）多项式中常数项和坐标的一次项必须完备，目的是确保所选位移模式能反映单元的刚体位移和常应变特性。

（3）多项式选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式。

对于平面问题：

零次完全多项式： x 0，y 0

一次完全多项式： x, y

二次完全多项式： x 2, xy, y 2

三次完全多项式： x 3, x 2y, xy 2, y 3

若由于项数限制不能选取完全多项式时，选择的多项式应具有坐标对称性。且一个方向的次数不应超过完全多项式的次数。如二次：xy ；三次：x 2y ，xy 2。

2. 建立广义坐标有限元位移插值函数的一般步骤

（1）假设位移模式；

（2）将各结点坐标代入，得到关于广义坐标的线性方程组，从而求出广义坐标；

（3）将广义坐标β回代入一般位移模式中得到由单元结点位移列阵所表示的位移模式；

（4）由位移模式εNa u =，由矩阵形式的几何方程，求导数可得到应变矩阵B ，即εεba =

（5）由矩阵形式的物理方程，则弹性矩阵乘以应变向量，得εσDBa =。

2.3.2 弹性力学问题有限元分析的执行步骤

在根据问题的类型和性质选定了单元的形式，并构造了它的插值函数以后，

可按以下步骤对问题进行有限元分析。

（1）对结构进行离散。按问题的几何特点和精度要求等因素划分单元并形成网格，既将原来的连续体离散为在结点处互相联结的有限单元组合体。

（2）形成单元的刚度矩阵和等效结点载荷列阵。单元刚度矩阵的一般形式为

?=e V T e DBdV B K

（2.3.1） 单元等效结点载荷的一般形式为

e

S e

f e P P P +=

?=e S T

e S TdS N P σ

?=e

V T e

f fdV N P （3）集成结构的刚度矩阵和等效结点载荷列阵

∑∑?==e e V T e e

DBdV B K K

（2.3.2） ∑++=++=e

F

e

S e

f F S f P P P P P P P )( 其中F P 是直接作用于结点上的集中力。

（4）引入强制边界条件（给定位移）。

（5）求解有限元方程，得到结点位移α。

P K =α

（

2.3.3） （6）计算单元应变和应力。

e B αε=

e DB D αεσ==

（7）进行必要的后处理。

2.4 有限元解的性质和收敛准则

2.4.1 有限元解得收敛准则

有限元法作为求解微分方程的一种数值方法可以认为是里兹法的一种特殊形式，不同之处在于有限元法的试探函数是定义于单元（子域）而不是全域。因此有限元解的收敛性可以与里兹法的收敛性对比进行讨论。里兹法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，即如果试探函数满足完备性和连续性要求，当试探函数的项数∞→n 时，则里兹法的近似解将趋于微分方程的精确解。现在要研究有限元解的收敛性。

在有限元法中，场函数的总体泛函是单元泛函集成的，如果采用完全多项式（无穷多项）作为单元的插值函数，则有限元解在一个有限尺寸的单元内可以精确地和精确解一致。但是实际上有限元的试探函数只能取有限项多项式，因此有限元解只能是精确解的一个近似解答。有限元解的收敛准则需要回答的是，在什么条件下当单元尺寸趋于零时，有限元趋于精确解。

下面仍以含有一个待求标量场函数为例，微分方程是

0)()(=+=b L A φφ （2.4.1）

相应的泛函是

t b d b C C .)()(21+Ω??

????+=∏?Ωφφφ （2.4.2） 假定泛函中包含φ和它的直至m 阶的各阶导数是非零的，则近似函数φ~至少

必须是m 次多项式。若取p 次完全多项式为试探函数，则必须满足m p ≥。假设φ仅是x 的函数，则φ~

及其各阶导数在一个单元内的表达式为： p p x x x x βββββφ+++++= 332210~

1232132~-++++=??p p x p x x x

ββββφ

23222)1(62~--+++=??p p x p p x x

βββφ （2.4.3） ……

m p p m m m m x m p p x m m x

-+-++++=??βββφ)!(!)!1(!~1 由上式可见，因为φ~是p 次完全多项式，所以它的直至m 阶导数的表达式中

都包含有常数项。当单元尺寸趋于零时，在每一单元内φ~及其m 阶导数将趋于精

确解，即趋于常数。因此，每一个单元的泛函有可能趋于它的精确解。如果试探函数还满足连续性要求，那么整个系统的泛函将趋于它的精确解。即解是收敛的。

收敛准则：

准则1完备性要求。如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m 阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m 次多项式。或者说试探函数中必须包括本身和直至m 阶导数为常数的项。当单元的插值函数满足上述要求时，称这样的单元是完备的。

准则2协调性要求。如果出现在泛函中的最高阶导数是m 阶，则试探函数在单元交界面上必须具有1-m C 连续性，即在相邻单元的交界面上函数应有直至m-1阶的连续导数。

当单元的插值函数满足上述要求时，称这样的单元是协调的。

当单元为完备的协调单元，则有限元解收敛，即细分单元其解趋于精确解。

2.4.2 收敛准则的物理意义

在平面问题中，泛函p ∏中出现的是位移u 和v 的一次导数，即应变xy y x γεε,,，因此1=m 。

收敛准则1要求插值函数或位移函数至少是x,y 的一次完全多项式。我们知

道位移及其一阶导数为常数的项是代表与单元的刚体位移和常应变状态相应的

位移模式。实际分析中，各单元的变形往往包含着刚体位移，同时单元尺寸趋于无穷小时各单元的应变也趋于常应变。所以完备性要求由插值函数所构成的有限元解必须能反映单元的刚体位移和常应变状态。若不能满足上述要求，那么赋予结点以单元刚体位移（零应变）或常应变的位移模式时，在单元内部将产生非零或非常值的应变，这样有限元解将不可能收敛于精确解。

应该指出，在Bazeley等人开始提出上述收敛准则时，是要求在单元尺寸趋于零的极限情况下满足完备性收敛准则，如果将此收敛准则用于有限尺寸时，将使解的精度得到改进。

C连续性，即要求位移函数u,v的零阶导数，对平面问题，协调性要求是

也就是位移函数自身在单元交界面上是连续的。如果在交界面上位移不连续表现为当结构变形时将在相邻单元间产生缝隙或重叠，这意味着将产生无限大的应变，这时应该将发生在交界面上的附加应变能补充到系统的应变能中去。但在建立泛 时，没有考虑到这种情况，只考虑了产生于各个单元内部的应变能。因此，

函

p

当边界上位移不连续时，则有限元解就不可能收敛于精确解。

可以看出，最简单的3结点三角形单元插值函数既满足完备性要求，也满足协调性要求，因此单元的解是收敛的。

应当指出，对于二、三维弹性力学问题，泛函中出现导数是一阶。对于近似

C连续性，这种只要求函数自身在单元边界连续

的位移函数的连续性要求仅是

的要求很容易得到满足。

而当泛函中出现导数高于一阶（如板壳，泛函中出现的导数是2阶）时，则

C或

要求试探函数在单元交界面上具有连续的一阶或高于一阶的导数，即具有

1

更高阶的连续性，这时构造函数比较困难。在某些情况下，可以放松对协调性的要求，只要这种单元能通过分片试验，有限元解仍然可以收敛于正确的解答。这种单元称为非协调单元。

2.4.3 位移解的下限性质

以位移为基本未知量，并基于最小位能原理建立的有限元称为位移元。通过系统总位能的变分过程，可以分析位移元的近似解与精确解偏离的下限性质。

系统总位能的离散形式为

P K T T p ααα-=∏2

1 （2.4.4） 由变分0=∏p δ得到有限元求解方程

P K =α （2.4.5）

将（2.4.5）式代入（2.4.4）

U K K K T T T p -=-=-=∏αααααα2

121 （2.4.6） 在平衡情况下，系统总位能等于负的应变能。因此，当min p p ∏?∏，则

max U U ?。在有限元解中，由于假定的近似位移模式一般来说总是与精确解有差别，因此得到的系统总位能总会比真正的位能大。我们将有限元解的总位能、

应变能、刚度矩阵和结点位移分别用α~,~,~,~K U p ∏表示，相应的精确解的有关量用

α,,,K U p ∏表示。由于p p ∏≥∏~，则有U U ≤~，即

ααααK K T T ≤~~

~ （2.4.7） 对于精确解有 P K =α

对于近似解有 P K =α~~ （2.4.8）

将（2.4.8）式代入（2.4.7）式得到

P P T T αα≤~ （2.4.9）

由（2.4.9）式看出，近似解应变能小于精确解应变能的原因是近似解的位移α~总体上要小于精确解的位移α。故位移元得到的位移解总体上不大于精确解，即解具有下限性质。

3 等参元和数值积分

用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界。等参元是目前应用最广的一类单元可用这类单元更精确的描述不规则的边界。这类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用。等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元(参考单元/标准单元)，在母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。变换涉及两个方面：几何图形的变换(坐标变换)和位移场函数的变换(母单元的位移模式)。由于两种变换均采用了相同的函数关系(形函数)和同一组结点参数，故称其为等参变换。

等参元在有限元法的发展中占有重要位置，由于他能是局部坐标系内的形状规则的单元变换为总体坐标系内形状为扭曲的单元，从而为求解域是任意形状的实际问题求解提供了有效的单元形式。两种坐标系内坐标的变换通常采用和位移函数相同的插值形式，依据坐标变换插值点数和位移插值点数的比较，分别称之为等参元、超参元和次参元。通常应用最多的是两者插值点数相同的等参元。

等参元的表达格式和广义坐标有限元表达格式原则上是一致的。在单元特性矩阵形成时，为了使等参元的特性矩阵在规范化的局部坐标系内进行，必须进行

总体坐标系内和局部坐标系内的导数、面积、体积、长度等的变换以及积分限的变换。同时为了保证上述变换能够进行，必须保证等参变换能够实现，其基本点是要保证单元的形状不过分扭曲，这在实际应用中应给与足够注意。

经过以上探讨和学习，对有限元基础的理论做了以下理解和总结：

1. 等效积分形式可以通过分部积分得到它的“弱”形式，利用提高权函数的连续性要求来降低待求场函数的连续性要求，从而可以更广泛的选择试探函数。有限元法经常利用为理论基础的正是等效积分的伽辽金“弱”形式，这样不仅降低了对试探函数连续性的要求，而且还可以得到系数矩阵对称的求解方程，从而给计算分析带来很大的方便。

2. 将物理方程引入虚位移原理和虚应力原理可以分别导出最小位能原理和最小余能原理，它们本质上和等效积分的伽辽金“弱”形式相一致。这是建立弹性力学有限元方程的理论基础。

3. 以弹性力学静力分析问题为例，学习了通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元方法表达格式的基本步骤。最小位能原理的未知场变量是位移，以结点位移为基本未知量，并以最小位能原理为基础建立了位移元。

4. 以平面问题3结点三角形单元为典型，学习了如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法和步骤，并进而引出弹性力学问题有限元方法的一般表达格式。

5. 为了将常用单元及其插值函数的构造用于实际工程问题和物理问题分析，需要将规则形状的单元转化为其边界为曲线曲面的相应单元。有限元法中普遍采用等参变换，即单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换。

有限元基础知识归纳

有限元知识点归纳 1.、有限元解的特点、原因？ 答：有限元解一般偏小，即位移解下限性 原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。 2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49 (1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0; (2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续； (3)应包含完全一次多项式； (4)应满足∑Ni=1 以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。 4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131） 答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。即： 为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即： 其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。称前者为母单元，后者为子单元。 还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。 5、单元离散？P42 答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。每个部分称为一个单元，连接点称为结点。对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。这种单元称为常应变三角形单元。常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。 6、数值积分，阶次选择的基本要求？ 答：通常是选用高斯积分 积分阶次的选择—采用数值积分代替精确积分时，积分阶数的选取应适当，因为它直接影响计算精度，计算工作量。选择时主要从两方面考虑。一是要保证积分的精度，不损失收敛性；二是要避免引起结构总刚度矩阵的奇异性，导致计算的失败。

有限元学习心得

有限元学习心得 吴清鸽车辆工程 50110802411 短短八周的有限元课已经结束。关于有限元，我一直停留在一个很模糊的概念。我知道这是一个各个领域都必须涉及的点，只要有关于CAE分析的，几乎都要涉及有限元。总体来说，这是一门非常重要又有点难度的课程。 有限元方法(finite element method) 或有限元分析(finite element analysis)，是 求取复杂微分方程近似解的一种非常有效的工具，是现代数字化科技的一种重要 基础性原理。将它用于在科学研究中，可成为探究物质客观规律的先进手段。将 它应用于工程技术中，可成为工程设计和分析的可靠工具。本课程教学基本内容 有固体力学和结构力学简介；有限元法基础；桁架、梁、刚架、二维固体、板和 壳、三维固体的有限元法；建模技术；热传导问题的有限元分析；PATRAN软件 的使用. 通过有限元分析课程学习使我了解和掌握了一些有限元知识： 1．简要了解二维和三维固体以及桁架、梁和板结构的三组基本力学方程，即表示位移-应变关系的几何方程，表示应力-应变关系的本构方程和表示内力-外力关系的平衡方程。 2．了解利用能量法形成有限元离散系统方程的基本原理，即哈密尔顿原理。掌握有限元分 析的基本方法及步骤，包括域的离散、位移插值、构造形函数、单元有限元方程 的建立、坐标变换、整体有限元方程的组装、整体有限元方程的求解技术。 3．具体深入的了解并掌握桁架结构、梁结构、刚架结构、二维固体、板和壳结构、三维固体的有限元法分析技术，包括他们具体的形函数构造，应变矩阵，局部坐标系和整体坐标系中的单元矩阵。各种结构的实例研究。 4．了解并掌握建立高质量建模所涉及的各种关键技术。包括单元类型的选择，单元畸形的限制，不同阶数单元混用时网格的协调性问题，对称性的应用（平面对称、轴对称、旋转对称、重复对称），由多点约束方程形成刚域及应用（模拟偏移、不同自由度单元的连接、网格协调性的施加）等，以及多点约束方程的求解。以PATRAN有限元通用软件为例了解一般商业有限元软件的组成及结构。掌握PATRAN软件的基本使用。利用PATRAN软件上机实践完成两个上机练习：刚架结构有限元分析和三维固体有限元分析。 课程的具体学习内容： 内容： 1.三节点三角形单元：单元分析、总刚度矩阵组装、引入约束条件修正总刚度 矩阵、载荷移置、方程求解； 2.四边形单元分析、四节点四面体单元分析、八节点六面体单元分析；

有限元知识点汇总

有限元知识点汇总 第一章 1、何为有限元法？其基本思想是什么？ 》有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法。 》基本思想：化整为零，化零为整 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？ 》有限元法的基本思想是几何离散和分片插值； 》用离散单元的组合来逼近原始结构，体现了几何上的近似；用近似函数逼近未知量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利用与问题的等效的变分原理建立有限元基本方程，又体现了明确的物理背景。 3、单元、节点的概念？ 》单元：把参数单元划分成网格，这些网格就称为单元。 》节点：网格间相互连接的点称为节点。 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？ 》3大步骤；——结构离散化；——单元分析；——整体分析。 5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？ 》有限元方法分3种；——位移法、力法、混合法。 》本课程讲授的：位移法 6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？》弹性力学的基本变量是——{外力、应力、应变、位移} 》几何方程——{描述弹性体应变分量与位移分量之间关系的方程} 》物理方程——{描述应力分量与应变分量之间的关系} 》虚功方程——{描述内力和外力的关系的方程} 》弹性矩阵特点——{ } 7、何为平面应力问题和平面应变问题？ 》平面应力问题——{满足（1）几何条件——所研究的是一根很薄的等厚度薄板，即一个方向上的几何尺寸远远小于其余两个面上的几何尺寸;（2）载荷条件——作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用} 》平面应变问题——{满足（1）几何条件——所研究的是长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变；（2）载荷条件——作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力} 第二章 7、形函数的特点？ 》1形函数Ni再节点i处等于1，在其他节点上的值等于0，对于Nj、Nm也有同样的性质。》2在单元内任一点的各形函数之和等于1，即Ni+Nj+Nm=1 8、单元刚度矩阵的性质？ 》1 K^e中每个元素都有明确的物理意义，每个元素都是一个刚度系数，他是单位节点位移分量所引起的节点力分量 》2 k^e是对称矩阵，具有对称性。 》3 K^e的每一行或每一列元素之和为零，是奇异矩阵

有限元学习心得(总结文件)

有限元学习心得 吴清鸽车辆工程 短短八周的有限元课已经结束。关于有限元，我一直停留在一个很模糊的概念。我知道这是一个各个领域都必须涉及的点，只要有关于分析的，几乎都要涉及有限元。总体来说，这是一门非常重要又有点难度的课程。 有限元方法( ) 或有限元分析( )，是求取复杂微分方程近似解的一种非常有 效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。将它用于在科学研究 中，可成为探究物质客观规律的先进手段。将它应用于工程技术中，可成为工 程设计和分析的可靠工具。本课程教学基本内容有固体力学和结构力学简介。 有限元法基础。桁架、梁、刚架、二维固体、板和壳、三维固体的有限元法。 建模技术。热传导问题的有限元分析。软件的使用. 通过有限元分析课程学习使我了解和掌握了一些有限元知识： ．简要了解二维和三维固体以及桁架、梁和板结构的三组基本力学方程，即表示位移应变关系的几何方程，表示应力应变关系的本构方程和表示内力外力关系的平衡方程。 ．了解利用能量法形成有限元离散系统方程的基本原理，即哈密尔顿原理。掌 握有限元分 析的基本方法及步骤，包括域的离散、位移插值、构造形函数、单元有限元方 程的建立、坐标变换、整体有限元方程的组装、整体有限元方程的求解技术。 ．具体深入的了解并掌握桁架结构、梁结构、刚架结构、二维固体、板和壳结 构、三维固体的有限元法分析技术，包括他们具体的形函数构造，应变矩阵， 局部坐标系和整体坐标系中的单元矩阵。各种结构的实例研究。 ．了解并掌握建立高质量建模所涉及的各种关键技术。包括单元类型的选择， 单元畸形的限制，不同阶数单元混用时网格的协调性问题，对称性的应用（平 面对称、轴对称、旋转对称、重复对称），由多点约束方程形成刚域及应用 （模拟偏移、不同自由度单元的连接、网格协调性的施加）等，以及多点约束 方程的求解。以有限元通用软件为例了解一般商业有限元软件的组成及结构。 掌握软件的基本使用。利用软件上机实践完成两个上机练习：刚架结构有限元 分析和三维固体有限元分析。 课程的具体学习内容： 内容： 1.三节点三角形单元：单元分析、总刚度矩阵组装、引入约束条件修正总刚 度矩阵、载荷移置、方程求解。 2.四边形单元分析、四节点四面体单元分析、八节点六面体单元分析。 3.其他常用单元形函数、自由度。

基础工程学习心得

基础工程学习心得 这学期我们开设了《基础工程》，任何房屋都有基础，那基础工程的重要程度就不言而喻了。随着课程学习的不断深入，我对基础工程这门课程也逐渐的有了更加深刻的理解。学习了这门课程，也让我有诸多的收获！ 《基础工程》课程总共包括七章内容，包括了地基基础设计原则，浅基础，连续基础，桩基础，基坑工程，地基处理，特殊土地基，地基基础抗震。我们主要学习了浅基础，连续基础，桩基础，和地基处理。 浅基础这一章中，我们学习了浅基础按不同标准的分类。按照受力条件可分为刚性基础（也称无筋扩展基础）和钢筋混凝土扩展基础两大类。而浅基础根据构造形式的不同又可以分为刚性扩大基础，单独和联合基础，条形基础，筏板和箱形基础 通过桩基础的学习，我们知道了单桩，单排桩，多排桩不同 的特性，以及各种桩基础的适用条件。桩基础按承台位置可分为高桩承台基础，低桩承台基础。按施工方法可分为沉桩，灌注桩，管桩基础，钻埋空心桩。按桩的设置效应分为挤土桩，部分挤土桩和非挤土桩。按承载性状可以分为摩擦桩，端承桩，主动桩，被动桩，竖直桩与斜桩。按桩身材料的组成成分又可以分为钢桩，钢筋混凝土桩。 根据基桩的构造不同，可分为钢筋混凝土钻孔灌注桩，钢筋混凝土预制桩，钢桩。这一章还介绍了各种桩基础具体的施工方法，步骤，注意事项以及水中桩基础施工的特点，方法，注意事项。我们学习了用不同的方法如何检验桩基础质量。 在地基处理的学习过程中，我首先学习了什么是软弱土地基，以及它的危害。处理软弱土地基的方法主要有一下几个类别置换，排水固结，化学加固，振密挤密，加筋。每种类别里面都包含了若干种具体的施工方法。各类地基处理方法，均有各

基础工程课程设计报告

基础工程课程设计 名称：桩基础设计 姓名：文嘉毅 班级：051124 学号：20121002798 指导老师：黄生根

桩基础设计题 高层框架结构（二级建筑）的某柱截面尺寸为1250×850mm ，该柱传递至基础顶面的荷载为：F=9200kN ，M=410kN?m ，H=300kN ，采用6-8根φ800的水下钻孔灌注桩组成柱下独立桩基础，设地面标高为±0.00m，承台底标高控制在-2.00m ，地面以下各土层分布及设计参数见附表，试设计该柱下独立桩基础。 设计计算内容： 1.确定桩端持力层，计算单桩极限承载力标准值Q uk； 2.确定桩中心间距及承台平面尺寸； 3.计算复合基桩竖向承载力特征值R a及各桩顶荷载设计值N，验算基桩竖向承载力；计算基桩水平承载力R Ha并验算； 4.确定单桩配筋量； 5.承台设计计算； 湿 重 度 kN/m3

设计内容 一．确定桩端持力层，计算单桩极限承载力标准值uk Q 1.确定桩端持力层及桩长 根据设计要求可知，桩的直径d =800mm 。 根据土层分布资料，选择层厚为4.5m 的层⑧粉质粘土为桩端持力层。根据《建筑桩基技术规范》的规定，桩端全断面进入持力层的深度，对粘性土、粉土不宜小于2d 。因此初步确定桩端进入持力层的深度为2m 。则桩长l 为： l =4.3+3.8+2.8+2.3+4.4+3.0+2.5+2.9+5.7+0.8+2-2=32.5m 2.计算单桩极限承载力标准值 因为直径800mm 的桩属于大直径桩，所以可根据《建筑桩基技术规范》中的经验公式计算单桩极限承载力标准值uk Q ： pk uk sk pk sik i p si p Q Q Q u q l q A =+=ψ+ψ∑ （1-1） 其中桩的周长u =d π=2.513m ；桩端面积p A =2/4d π=0.503㎡；si ψ、p ψ为别为大直径桩侧阻、端阻尺寸效应系数，si ψ=() 1/5 0.8/d =1， p ψ=()1/5 0.8/D =1。 根据所给土层及参数，计算uk Q ： uk Q =2.513×1×[23×(4.3-2)+20×3.8+28×2.8+40×2.3+28×4.4+48 ×3.0+66×2.5+ 58×2.9+60×5.7+52×0.8+60×2]+1×710×0.503=3883.6kN 确定单桩极限承载力标准值uk Q 后，再按下式计算单桩竖向承载力特征值：

有限元分析基础教程(ANSYS算例)(曾攀)

有限元分析基础教程Fundamentals of Finite Element Analysis (ANSYS算例) 曾攀 清华大学 2008-12

有限元分析基础教程曾攀 有限元分析基础教程 Fundamentals of Finite Element Analysis 曾攀 (清华大学) 内容简介 全教程包括两大部分，共分9章；第一部分为有限元分析基本原理，包括第1章至第5章，内容有：绪论、有限元分析过程的概要、杆梁结构分析的有限元方法、连续体结构分析的有限元方法、有限元分析中的若干问题讨论；第二部分为有限元分析的典型应用领域，包括第6章至第9章，内容有：静力结构的有限元分析、结构振动的有限元分析、传热过程的有限元分析、弹塑性材料的有限元分析。本书以基本变量、基本方程、求解原理、单元构建、典型例题、MATLAB程序及算例、ANSYS算例等一系列规范性方式来描述有限元分析的力学原理、程序编制以及实例应用；给出的典型实例都详细提供有完整的数学推演过程以及ANSYS实现过程。本教程的基本理论阐述简明扼要，重点突出，实例丰富，教程中的二部分内容相互衔接，也可独立使用，适合于具有大学高年级学生程度的人员作为培训教材，也适合于不同程度的读者进行自学；对于希望在MATLAB程序以及ANSYS平台进行建模分析的读者，本教程更值得参考。 本基础教程的读者对象：机械、力学、土木、水利、航空航天等专业的工程技术人员、科研工作者。

目录 [[[[[[\\\\\\ 【ANSYS算例】3.3.7(3) 三梁平面框架结构的有限元分析 1 【ANSYS算例】4.3.2(4) 三角形单元与矩形单元的精细网格的计算比较 3 【ANSYS算例】5.3(8) 平面问题斜支座的处理 6 【ANSYS算例】6.2(2) 受均匀载荷方形板的有限元分析9 【ANSYS算例】6.4.2(1) 8万吨模锻液压机主牌坊的分析(GUI) 15 【ANSYS算例】6.4.2(2) 8万吨模锻液压机主牌坊的参数化建模与分析(命令流) 17 【ANSYS算例】7.2(1) 汽车悬挂系统的振动模态分析(GUI) 20 【ANSYS算例】7.2(2) 汽车悬挂系统的振动模态分析(命令流) 23 【ANSYS算例】7.3(1) 带有张拉的绳索的振动模态分析(GUI) 24 【ANSYS算例】7.3(2) 带有张拉的绳索的振动模态分析(命令流) 27 【ANSYS算例】7.4(1) 机翼模型的振动模态分析(GUI) 28 【ANSYS算例】7.4(2) 机翼模型的振动模态分析(命令流) 30 【ANSYS算例】8.2(1) 2D矩形板的稳态热对流的自适应分析(GUI) 31 【ANSYS算例】8.2(2) 2D矩形板的稳态热对流的自适应分析(命令流) 33 【ANSYS算例】8.3(1) 金属材料凝固过程的瞬态传热分析(GUI) 34 【ANSYS算例】8.3(2) 金属材料凝固过程的瞬态传热分析(命令流) 38 【ANSYS算例】8.4(1) 升温条件下杆件支撑结构的热应力分析(GUI) 39 【ANSYS算例】8.4(2) 升温条件下杆件支撑结构的热应力分析(命令流) 42 【ANSYS算例】9.2(2) 三杆结构塑性卸载后的残余应力计算(命令流) 45 【ANSYS算例】9.3(1) 悬臂梁在循环加载作用下的弹塑性计算(GUI) 46 【ANSYS算例】9.3(2) 悬臂梁在循环加载作用下的弹塑性计算(命令流) 49 附录 B ANSYS软件的基本操作52 B.1 基于图形界面(GUI)的交互式操作(step by step) 53 B.2 log命令流文件的调入操作(可由GUI环境下生成log文件) 56 B.3 完全的直接命令输入方式操作56 B.4 APDL参数化编程的初步操作57

有限元--命令流与部分基础知识

一、命令流 举例： 有一长为 100mm 的矩形截面梁，截面为 10X1mm ，与一规格为 20mmX7mmX10mm 的实体连接， 约束实体的端面， 在梁端施加大小为 3N 的 y 方向的压力， 梁与实体都为一材 料，弹性模量为 30Gpa ，泊松比为 0.3 。本例主要讲解梁与实体连接处如何利用耦合及约束 方程进行处理。 命令流如下： FINI /CLE LSEL,S,LOC,X,21,130 ! 选择梁线 LATT,1,2,2 ! 指定梁的单元属性 LESIZE,ALL,,,10 !指定梁上的单元份数 LMESH,ALL !划分梁单元 VSEL,ALL !选择所有实体 VATT,1,1,1 ! 设置实体的单元属性 ESIZE,1 !指定实体单元尺寸 MSHAPE,0,2D ! 设置实体单元为 2D MSHKEY,1 !设置为映射网格划分方法 VMESH,ALL ! 划分实体单元 ALLS !全选 FINI !退出前处理 /FILNAME,BEAM_AND_SOLID_ELEMENTS_CONNECTION ! 定义工作文件名 /TITLE,COUPLE_AND_CONSTRAINT_EQUATION ! 定义工作名 /PREP7 ET,1,SOLID95 ET,2,BEAM4 MP,EX,1,3E4 MP,PRXY,1,0.3 R,1 R,2,10.0,10/12.0,1000/12.0,10.0,1.0 BLC4,,,20,7,10 WPOFFS,0,3.5 WPROTA,0,90 VSBW,ALL WPOFFS,0,5 WPROTA,0,90 VSBW,ALL WPCSYS,-1 K,100,20,3.5,5 K,101,120,3.5,5 L,100,101 !进入前处理 !定义实体单元类型为 SOLID95 ! 定义梁单元类型为 BEAM4 !定义材料的弹性模量 !定义泊松比 !定义实体单元实常数 !定义梁单元实常数 !创建矩形块为实体模型 !将工作平面向 Y 方向移动 3.5 !将工作平面绕 X 轴旋转 !将实体沿工作平面剖开 !将工作平面向 Y 方向移动 !将工作平面绕 X 轴旋转 !将实体沿工作平面剖开 90 度 5 90 度 !将工作平面设为与总体笛卡儿坐标一致 !创建关键点 !创建关键点 !连接关键点生成梁的线实体

有限元总结

动力学分析 1、模态分析用来确定结构的振动特性； 2、瞬态动力学分析用来计算结构对随时间变化载荷的响应。 3、谐分析用来确定结构对稳态简谐载荷的响应 4、谱分析用来确定结构在多种频率的瞬态激励下的响应。 5、随机振动分析用来确定结构对随机振动的影响。 6、运动方程:[][][] M u C u K u F ++= M-结构质量矩阵；u”’-节点加速度矢量；C-结构阻尼矩阵；u’-节点速度矢量；K-结构刚度矩阵；u-节点位移矢量；F-随时间变化的载荷函数。 7、对于瞬态分析使用时间积分在离散的时间点上计算系统方程，求解之间时间的变化成为时间积分步长ITS，通常ITS越小，计算结果越精确。 8、在ANSYS中有以下6种提取模态的方法 （1）Block Lanczos法（2）子空间法（3）Power Dynamic法（4）缩减法（5）不对称法（6）阻尼法 9、求解谐响应和瞬态响应-模态叠加法 10、瞬态分析：如果需要知道系统随时间变化（或不变）的载荷和边界条件时的响应，就需要需要进行瞬态分析。 11、稳态分析和瞬态分析最明显的区别在于加载和求解的过程不同。 12、ATS（自动时间步长）可以简化ITS（时间积分步长）的选择。 13、求解接触非线性问题常用方法： （1）罚函数法-允许侵入-用一个弹簧施加接触条件 （2）拉格朗日乘子法-不允许侵入-增加一个附加自由度 14、阻尼是一种能量耗散机制，它使振动随时间减弱并最终停止。可分类：脸型阻尼、滞后或固体阻尼、库伦或干摩擦阻尼。 15、求解简写运动方程的三种方法：完整发、缩减法、模态叠加法。 16随机振动分析的输入值： （1）结构的自然频率及模态 （2）功率谱密度曲线 17、随机振动分析的输出值：以1σ位移和应力表示最可能出现的结构响应

有限元分析学习心得

有限元分析学习心得 土木0903马烨军11 有限单元法是20世纪50年代以来随着电子计算机的广泛应用而发展起来的有一种数值解法。有限元分析（FEA，FiniteElement Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题有限元分析后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。 有限元求解问题的基本步骤通常为： 第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。 第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。 第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。 第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以

某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。 第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。 第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。 求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。 为了能从有限单元法得出正确的解答，就必须满足下列三个方面的条件： （1）位移模式必须能反映单元的刚度位移。每个单元的位移一般总是包含两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是与本单元的形变无关的，即刚体位移，它是由于其他单元发生了形变而连带引起的。甚至，在弹性体的某些部位，例如在靠近悬臂梁的自由

桩基础施工学习总结

桩基础施工学习总结 在佛山公司勘察部工作的一年时间里，我感觉自己在勘察这方面学了不少的技术及工作方法，但不应仅仅止步于此，那也未必太“知足常乐”了。要做到面面俱到、触类旁通，还是要不断地学习新事物，趁着勘察部的工作不是很忙的时候，我向华经理申请去桩基础工地学习，跟完了整个工地，所以对基础部的桩基础施工程序及现场管理等都有了一定的认识，我把我的一些体会总结如下： 桩基础现场施工流程可以简单概括为“三通一平”、放线、桩机进场施工、检测桩质量、桩合格后交付甲方、退场。在上述看似简单的流程其实不简单，这一过程中，有很多工序要做，每个环节都是环环相扣，如果某一个环节出问题，势必会影响到其他环节的正常运行，这就要求我们的施工员在此过程中要合理的调配及管理，包括把握整个工程的进度及控制好质量，所以说施工员必须时时在场，牢牢跟进。 在桩基础施工过程中也遇到一些问题，比如说，有一次有一根桩全部打进土层才发现已经断桩了，桩机班长向我们施工员汇报情况，监理员当时也在场，但是都不能断定这根断桩是什么原因造成的，或许是桩的质量本身就有问题，或许是我们打桩过程中收锤标准没有控制好，在这种情况下，我们就需要与多方沟通，找出问题所在，经过多方面的调查，最后桩机班长说出了事实，在管桩厂送来的新桩中，他当时就发现有一根桩有一条很微小的裂缝，没有太在意，觉得问题不大，也没有向施工员汇报，正是这条桩的微小裂缝造成了断桩，所以最后管桩厂家同意赔一根桩并给甲方解释是他们的责任所在。这样

类似的问题，在桩基础施工过程中经常出现，关键在此过程中能不能找出问题、解释问题，从而去解决问题，我想这是一个很大的学问，需要不断地学习及积累。其次，在桩基础施工过程中，经常会遇到因配桩不合适而造成桩长过长或过短的现象发生，这是一个要改进的地方，这就要求我们施工员要认真地阅读勘察报告，对场地的地质情况有充分的了解以后，然后结合施工经验，按照设计要求，才能合理地配好每一根桩，这也是需要长期积累的施工经验，然后才能做到游刃有余。 对于现场的管理经验，我总结为四个字，“严、勤、查、导”，首先，“严”就是严格要求，按照规范的程序来做；“勤”是勤走动、勤过问，经常要在场地里走动过问施工情况，才能发现问题；“查”是检查，工程质量及安全事关重大，不要掉以轻心，要经常检查找出隐患；“导”就是指导和指挥施工，最能体现施工员的水平所在。如果做好以上的四个字，整个工程就会做得很顺利、很成功。 总之，在基础部学习的一个月时间里，以上提到的都是一些常见问题，有一些问题没有提到并不代表其不存在，但是如果我们时常抱着解决问题的态度去发现问题并把它处理好，从中会体验到成就感，所以对于这次学习我收获还是蛮多的，在此感谢华经理、欧阳经理对我要求去桩基础工地学习的支持。

《有限元》教学大纲

《有限元分析》课程教学大纲 【课程编号】××××× 【课程名称】有限元分析/ Finite Element Analysis 【课程性质】专业核心课 【学时】144学时【实验/上机学时】144学时 【考核方式】试卷考【开课单位】XX学院 【授课对象】本科、机械设计制造及其自动化学生 一、课程的性质、目的和任务 有限元法作为边值问题的近似计算方法，随着计算机和计算技术的迅猛发展，其应用已从固体力学发展到流体力学、热力学、电磁学、声学、光学、生物学等多耦合场问题。《有限元分析基础》是材料成型类专业的一门专业基础课，主要介绍固体力学有限单元法的基本理论和应用。在对有限单元法的原理、方法进行讲授的同时配以相应的计算算例及大型工程软件的使用示例，加深学生的理解和消化。 课程教学所要达到的目的是：1、有限单元法的基本理论和实施方法；2、掌握工程结构和设备的受力及变形分析技能并最终提高他们的工程设计能力和解决实际问题的能力；3、利用ANSYS软件上机实践完成两个上机练习：刚架结构有限元分析和三维固体有限元分析；4、掌握利用有限元的加权残值法求解场问题的概念，重点介绍1维和2维热传导问。 题有限元分析。 二、教学内容、基本要求和学、课时分配 第一章：ANSYS概论（13学时） （一）基本要求：了解有限元法的分析过程，ANSYS 15.0的安装与启动，前处理、加载并求解、后处理。 （二）教学内容和课时分配： 1、有限元法的分析过程，ANSYS 15.0的安装与启动（2学时）

2、系统要求、设置运行参数（1学时） 3、ANSYS分析的基本过程（1学时） 4、实验内容（9学时） 实验1 梁的有限元建模与变形分析（1学时） 实验目的和要求： 1)要求选择不同形状的截面分别进行计算； 2) 梁截面分别采用以下三种截面； 3) 设置计算类型； 重点：有限元法的分析过程，ANSYS 15.0的安装与启动； 难点：ANSYS分析的基本过程； 第二章：图形用户界面（13学时） （一）基本要求：了解ANSYS软件界面下各窗口的功能，具体包括应用命令菜单、主菜单、工具栏、输入窗口、图形窗口和输出窗口。ANSYS架构及命令，具体包括简单模型的建立、材料属性输入、单元的选择和划分、求解处理和后置处理。 （二）教学内容和课时分配： 1、ANSYS 15.0图形用户界面的组成（1学时） 具体包括应用命令菜单、主菜单、工具栏、输入窗口、图形窗口和输出窗口。ANSYS 架构及命令，具体包括简单模型的建立、材料属性输入、单元的选择和划分、求解处理和后置处理2、对话框及其组件、通用菜单，输入窗口 2、主菜单，输出窗口，图形窗口的功能（1学时） 3、个性化界面（1学时） 4、实验内容（10学时） 实验1 超静定桁架的有限元建模与分析 实验目的和要求：上机熟悉ANSYS软件的命令，并对简单的例题进行有限元静、动态分析。 重点（黑体，小四号字）：ANSYS 15.0图形用户界面的组成；

结构分析及有限元分析基础知识

第一章结构分析及有限元分析基础知识 注：摘自《NX知识工程应用技术——CAD/CAE篇》 洪如瑾编译 清华大学出版社 [目标] 本章将简述结构分析及有限元分析的基础知识，为学习与应用结构分析做好准备，包括： ※ 结构与结构分析定义 ※ 结构的线性静态分析 ※ 材料行为与故障 ※ 有限元分析的基本概念 ※ 有限元模型 1.1结构分析基础知识 1.1.1结构基本概念 1.结构定义 结构可以定义为一个正承受作用的载荷处于平衡中的系统。平衡条件意味着结构是不移动的。一个自由的支架不是一个结构，它未被连接到任一物体上并无载荷作用与它。仅当它附着到外部世界，并且有作用力、压力或力矩时，支架成为一个结构。 例如横跨江面的大桥就是一个普通的结构，一个支架通过它的支撑连接到地面上，桥的重量是在结构上的一种载荷（力）。当汽车通过桥时，附加的力作用于桥的不同位置。 一个好的结构必须满足以下标准： （1） 当预期的载荷作用时，结构必须不出现故障。这个似乎是显而易见的，并意味着结构必须是“强度足够的”。故障意味着结构破裂、分离、弯曲，以及支撑作用载荷失败。 注意：考虑到意外的载荷，通常在设计中提供安全余量。余量常常利用安全因素来描述。例如，如果在结构上期待载荷是10 000磅，规定安全因素是2.0，则结构将设计成能经受住20 000磅载荷。 （2） 当载荷作用时，结构必须不产生过分变形。这意味着结构必须“刚度足够”。 变形可接受的极限（弯曲度、挠度、拉伸等）取决于特定情况。例如，在通常住宅中的地板由足够的吊带支撑，以防止当人在地板岸上行走时有“柔软”的感觉。 （3） 在它的服务生命周期，结构的行为应不会恶化。这意味着结构必须“足够耐用”，必须考虑环境影响和“磨损与破裂”。如果一座桥假定维持50年，则桥的设计必须提供整个50年寿命的结构完整性与充分的安全余量。2.结构分析 结构分析是用于决定一个结构是否将正确完成任务的工程分析过程。结构将在某些方式中进行模拟和求解描述它的行为的数学方程。分析可以人工方法或用计算机方法来完成。 结构分析的结果（答案）用于评估性能，摘要如下： （1）“强度足够吗？”：应力必须是在一可接受的范围内。 （2）“刚度足够吗？”：位移必须是在一可接受的范围内。 （3）“耐用度足够？”：对一个长的疲劳周期应力必须足够低。

基础工程课程总结

基础工程 专业道路桥梁与渡河工程姓名秦富中学号20120460114

《基础工程》课程总结 《基础工程》课程主要包括土力学和及基础工程两大部分内容，土力学所包含的知识既是土木工程专业学生必须掌握的专业知识，又是为后面的专业课程学习所必须的基础知识。下面对本课程的授课情况总结如下： 1、本课程的主要讲述的内容和要求： 土力学部分主要阐述土的性质及工程分类、地基的应力和沉降计算、土的抗剪强度、土压力及边破稳定等问题。基础工程主要讲授常见的地基基础的设计理论和计算方法方面的内容，包括地基基础设计原则、浅基础、桩基础、复合地基、挡土墙、基坑工程、地基处理、特殊土地基以及动力机器基础和地基基础抗震，其中浅基础、桩基础、挡土墙、地基处理等是应当重点讲述的内容。通过本课程的学习，应当使学生了解土的成因和分类方法，熟悉土的基本物理力学性质，掌握地基沉降、地基承载力、土压力计算方法和土坡稳定分析方法，掌握一般土工试验方法，掌握地基基础设计的基本原理，具有进行一般工程基础设计规划的能力和从事基础工程施工管理的能力，并能对于常见的基础工程事故作出合理的评价。

2、本课程与前后续课程的关系 土力学和地基基础是一门包含内容十分广泛的课程，涉及到工程地质学、土力学、结构设计和施工等几个学科领域，综合性、理论性和实践性很强，学生要系统掌握土力学和地基基础内容，一定要处理好前续课程和后续课程的关系，掌握必要的工程地质、混凝土结构、材料力学、弹性力学等方面的知识，并能灵活运用到土力学课程当中。在本课程讲授的内容当中，有很多地方与其它课程内容有些重复，如地基处理部分内容和后续课程《地基处理》重复，土的工程性质和土的力学性质指标与《岩土工程》课程部分内容重复，桩基础部分内容与《建筑施工》部分内容重复等等，因此讲课过程中一定要注意到和这些课程的关系问题，要和这些课程的授课教师相互沟通，注意主次关系，既要避免不必要的重复，又要避免遗漏内容。 3、理论授课与实践的关系 土力学是一门理论与实践结合十分紧密的课程，授课过程中应充分注意理论与实践的结合，一方面要在授课过程中不断给学生充实工程实例，配合工程图片给学生讲解工程处理方法、工程经验和工程出现的问题，另一方面经常带领学生参观工地，使学生对实际工程有一个直观认识，及早培养学生的工程意识。此外，要重视土工实验，土力学课程中土工实验为10个学时5个实验，是培养学生动手能力，掌握

有限元动力学分析知识点

有限元动力学分析知识 点

复习目录 一、模型输入、建模 A 输入几何模型 1、两种方法：No defeaturing 和 defeaturing （Merge合并选项、Solid实体选项、Small选项） 2、产品接口。输入IGES 文件的方法虽然很好，但是双重转换过程CAD > IGES > ANSYS 在很多情况下并不能实现100%的转 换.ANSYS 的产品接口直接读入“原始”的CAD 文件，解决了上面提到的问题. 3、输入有限元模型。除了实体几何模型外， ANSYS 也可输入由某些软件包生成的有限元单元模型数据（节点和单元）。 B 实体建模 1、定义实体建模：建立实体模型的过程。（两种途径） 1）自上而下建模：首先建立体（或面）,对这些体或面按一定规则组合得到最终需要的形状. ?开始建立的体或面称为图元. ?工作平面用来定位并帮助生成图元. ?对原始体组合形成最终形状的过程称为布尔运算 ?总体直角坐标系 [csys,0] 总体柱坐标系[csys,1] 总体球坐标系[csys,2] 工作平面 [csys,4] 2）自下而上建模：按照从点到线，从线到面，从面到体的顺序建立模型。

B 网格划分 1、网格划分三步骤: 定义单元属性、指定网格的控制参数、生成网格 2、单元属性（单元类型 (TYPE)、实常数 (REAL)、材料特性 (MAT)） 3、单元类型 单元类型是一个重要选项，它决定如下单元特性： 自由度(DOF)设置、单元形状、维数、假设的位移形函数。 1）线单元（梁单元、杆单元、弹簧单元） 2）壳用来模拟平面或曲面。 3）二维实体用于模拟实体截面 4）三维实体 ?用于几何属性，材料属性，荷载或分析要求考虑细节，而无法采用更简单的单元进行建模的结构。 ?也用于从三维CAD系统转化而来的几何模型，而这些几何模型转化成二维模型或壳体会花费大量的时间和精力 4、单元阶次与形函数 ?单元阶次是指单元形函数的多项式阶次。 ?什么是形函数? –形函数是指给出单元内结果形态的数值函数。因为FEA 的解答只是节点自由度值，需要通过形函数用节点自由 度的值来描述单元内任一点的值。 –形函数根据给定的单元特性给出。

有限元知识点总结

有限元分析及其应用-2010；思考题： 1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？ 答：基本思想：几何离散和分片插值。 基本步骤：结构离散、单元分析和整体分析。 离散的含义：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。当单元趋近无限小，节点无限多，则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。 2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？ 区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低；里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解；有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。 3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆，上端固定，下端受垂直向下的外力P，试 1）建立其受拉伸的微分方程及边界条件； 2）构造其泛函形式； 3）基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式（即最小势能原理）。4、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩阵）。 5、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？ 答：节点力：单元与单元之间通过节点相互作用 节点载荷：作用于节点上的外载

6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自由度和节点解释）？ 答：单元刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正 整体刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。 Kij，表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力，节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。 7、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？ 答：形函数的特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同的阶次。形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0； 单元内任一点的形函数之和恒等于1； 形函数的值在0~1间变化。 8、描述弹性体的基本变量是什么？基本方程有哪些组成？ 答：基本变量：外力、应力、应变、位移 基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、几何条件 9、何谓应力、应变、位移的概念？应力与强度是什么关系？ 答：应力：lim△Q/△A=S △A→0 应变：物体形状的改变 位移：弹性体内质点位置的变化 10、问题的微分方程提法、等效积分提法和泛函变分提法之间有何关系？何谓“强形式”？何谓“弱形式”，两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？答：强弱的区分在于是否完全满足物理模型的条件。所谓强形式，是指由于物理模型的复杂性，各种边界条件的限制，使得对于所提出的微分方程，对所需要求得的解的要求太强。也

基础工程技术交底大全报告

《公路小桥涵勘测设计》课程设计说明书 专业名称：道路与桥梁工程 年级班级：道桥 学生姓名： 指导教师：

理工大学土木工程学院 二○一六年六月30日 一：设计资料 1.0设计资料 山岭重丘区四级公路J D弯道QZ处需设置一道涵洞，测得断面资料如下： 30 沟心处地面高638.46m，沟床为密实的砾土，路线设计资料为：平曲线半 径 R=40m，纵坡i=+3%，路基宽度为7.5m，路面宽度6.0m，路拱纵坡2%，z 路肩横坡3%，挖边坡1:0.75,填边坡1:1.5。 设计荷载：公路-Π级 设计洪水频率：1/25 最大冰冻深度：1.0m 地震烈度: 8度 1.1设计任务 完成一道2×2m，板涵设计，包括涵洞的纵剖面图和洞身横断面图，比例 1:100涵洞类型：选用2×2m，板涵设计。 进出水口形式

洞口类型很多，平头式、端墙式、锥坡式等，各种洞口用在不同位置，其中八字式洞口构造简单，建筑结构美观，施工简单造价较低。所以本次设计涵洞的进出口形式选用八字式洞口。 涵洞的水文、水力计算 2.0.涵洞的水文计算 本次设计采用暴雨推理法计算涵洞的设计流量。 市某公路上的沟桥，汇水面积为0.552k m ，主河沟长度为1.3km ，主河沟平均坡度00025z I =；河床为砂砾夹卵，河岸为粉质粘土，地表为黄土层，划分为Ⅲ类土；地处丘陵区；该工程无实测流量资料，现用暴雨推理法推求 p Q 。 用推理公式计算: A S Q n p p )( 278.0% 2%2μτ -?=== 查暴雨等值线图可得，p =30mm/h S 汇流时间的计算： 北公式：τ=3K 1 α?? 查附表1-4得,丘陵区62.03=K 71.01=α 所以：=0.245h τ 先查暴雨递减指数n 值分区图4-5，，即Ⅲ类分区，查附表1-1，当=τ0.245h ，应取n=0.62。 损失参数计算: 北公式：11βμp S K =，p=2%

有限元分析 教学大纲

《有限元分析》课程教学大纲 一、课程的地位、目的和任务 本课程地位： 《有限元分析》课程是机械设计制造及其自动化专业的一门重要专业选修课。有限元分析方法是一种数值分析方法，在大型数值运算中得到广泛的应用。 本课程目的： 《有限元分析》课程在教学内容方面着重机械分析的基本知识、基本理论和基本方法的传授。在培养学生的设计能力方面着重设计构思和设计技能的基本训练。 本课程任务： 1.树立正确的设计思想和创新意识，了解本课程基本理论的创立、运用和发展； 2.了解国家当前的有关技术、经济政策，具有正确运用标准、规范、手册、图册和查阅有关技术资料的能力； 二、本课程与其它课程的联系 本课程应在学完《画法几何与机械制图》、《理论力学》、《材料力学》课程等课程以后进行，可与《互换性与技术测量》课程同时开设。本课程学习结束后，为学生顺利进入后续专业课学习打下基础，本课程在机械类专业教学计划中起到承前启后的作用，是一门设计性的主干技术课程。在整个人才培养中有不可或缺的总要作用。 三、教学内容及要求 第一篇总论 第一章绪论 教学要求： （1）了解有限元研究的内容与方法； （2）初步理解其在解决固体力学与结构分析方面的问题，而且应用与传热学、流体力学、电磁学等领域的重要地位。 教学内容： 第一节机械结构设计与有限元分析的关系 （一）有限元方法的提出 （二）有限元方法的重要性 第二节用有限元分析方法解决一些工程上的问题 （一）有限元法在工程中的应用

第二章弹性力学的基本理论 教学要求： （1）重点掌握真实解释一个函数，基函数是一组函数，试探函数是某一类函数。教学内容： 第一节有限元相关的数学与力学的知识 （一）有限元数学方程 （二）有限元力学方程 第二节弹性力学变分原理 （一）弹性力学原理 （二）弹性力学的表达式 第三章连续体弹性问题的有限元分析原理 教学要求： （1）掌握该原理； （2）熟知几种常用的单元的节点参数、表达形式和使用范围。 教学内容： 第一节二维、三维建模的有限元分析技术 （一）二维建模有限元技术 （一）三维建模有限元技术 第二节连续体的离散过程 （一）连续体的离散过程 （二） 2D单元的构造 （三） 3D单元的构造 第四章软件使用及结构分析实例与应用教学要求： （1）掌握软件的使用方法，结构问问题的分析与过程； （2）能够应用软件进行一般的结构分析。 教学内容： 第一节分析方法 （一）掌握该种分析方法 （二）解决处理实际工程问题 第二节实践练习 （一）上机练习，尽快掌握分析的原理 第五章接触问题的有限元分析 教学要求： （1）掌握边界接触问题法人解决方法和分析思路。 教学内容： 第一节接触问题的分析方法