高一数学平面向量
第二讲 平面向量
【考点透视】
“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为：
1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．
5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．
6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．
【例题解析】
1. 向量的概念，向量的基本运算
(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法.
(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.
(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.
例1已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD =
Ｂ．2AO OD =
Ｃ．3AO OD =
Ｄ．2AO OD =
命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．
解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,
故选A ．
例2．在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示）
命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积.
解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12
AM a b =+，
所以,3111()()4
2
4
4
MN a b a b a b =+-+=-+. 例3．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD ( ) （A ）BA BC 2
1+- （B ） BA BC 2
1--
（C ） BA BC 2
1- （D ）BA BC 2
1+
命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2
1+-=+=，故选A.
例4．与向量a =71,,22b ?
?= ???
?
?
? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ??
?- ??53,5
4 (B) ??
?- ??53,5
4或??
? ??-53,54
（C ）??
?- ??31,3
22 （D ）??
?- ??31,3
22或??
? ?
?-
31,3
22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.
解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1.
555c c ????
=-= ? ?????4或-时5
另一方面,当222274134312525,,cos ,.
55271432255a c c a c a c ???+?- ????
??
=-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????时
当222274134312525,,cos ,.
55271432255a c c a c a c ?????-+? ? ????
????
=-===- ????????????++-+ ? ? ? ????????
?时
故平面向量c 与向量a =71,,22b ?
?= ???
?
?
? ??27,21的夹角相等.故选B. 例5．设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a
，)1,1(2-=-a b ，则=θcos __．
命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.
解:
()()()()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由 ()2311,1,2.
231 2.
x x b y y -=-=???∴=??-==??得 2222
3132310
cos ,.10
3312a b a b a b
??+?=
=
=
?+++310.10
故填
例6.已知向量(
)
3,1a =
，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ?=，则b = （）
（A ） ?
??
? ?
?21,23 （B ） ???? ??23,21 （C ）??
?
? ??433,41 （D ）
()0,1 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.
解:设(),()b x y x y =≠，则依题意有221,3 3.x y x y ?+=??
+=??
1,23.
2
x y ?
=????=??
故选B.
例7.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（ ）
（A ）1230b b b -++= （B ）1230b b b -+= （C ）1230b b b +-= （D ）1230b b b ++=
命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.
常规解法：∵1230a a a ++=，∴ 1232220.a a a ++=故把2i a (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30
后与i b 重合，故1230b b b ++=，应选D.
巧妙解法：令1a =0，则2a =3a -，由题意知2b =3b -，从而排除B ，C ，同理排除A ，故选(D).
点评：巧妙解法巧在取1a =0，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.
2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合
(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而
综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.
(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大.
例8．设函数f (x )=a-b ,其中向量a =(m,cos2x ),b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点??
? ??2,4π， （Ⅰ）求实数m 的值；
（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，
由已知πππ1sin cos 2422f m ???
?=++=
? ?
???
?，得1m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 212sin 24f x x x x ?
?=++=++
??
?
， ∴当πsin 214x ?
?+=- ??
?时，()f x 的最小值为12-，
由πsin 214x ?
?+
=- ?
?
?，得x 值的集合为3ππ8x x k k ??
=-∈????
Z ， 例9． 设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2
π
(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.
（Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.
解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ???
?=++=
? ?????
，得1m =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 12sin 14f x x x x ??=++=
++ ???，∴当πsin 14x ?
?+=- ??
?时，
()f x 的最小值为12-．
例10．已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （错误！未找到引用源。）求θ的取值范围；
（错误！未找到引用源。）求函数2()2sin 3cos 24f θθθ??
=+-
???
π的最大 解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由
1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ??
∈????
，∴． （Ⅱ）2
π()2sin 3cos 24f θθθ??=+-
???π1cos 23cos 22θθ??
??=-+- ??????
? (1sin 2)3cos 2θθ=+-πsin 23cos 212sin 213θθθ?
?=-+=-+ ???．
ππ42θ??∈????，∵，ππ2π2363θ??-∈????，，π22sin 2133θ?
?-+ ??
?∴≤≤．
即当5π12θ=
时，max ()3f θ=；当π
4
θ=时，min ()2f θ=． 例11． 已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （1）若c=5，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 为钝角，求c 的取值范围； 解：（1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5， 则(2,4)AC =-， ∴616
1
cos cos ,5255
A AC A
B -+∠=<>=
=?，∴sin ∠A ＝
25
5
； （2）∠A 为钝角，则39160,0,
c c -++，∴c 的取值范围是25
(,)3+∞
例12．在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan 37a b c C =，，，
． （1）求cos C ；（2）若5
2
CB CA =，且9a b +=，求c ． 解：（1）sin tan 3737cos C
C C
=∴
=， 又
22sin cos 1C C +=
解得1cos 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角． 1
cos 8
C ∴=．
（2）52CB CA =， 5
cos 2
ab C ∴=， 20ab ∴=．
又
9a b += 22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．
2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．
6c ∴=．
例13.设函数()()f x a b c =?+，其中向量()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=-,
()cos ,sin ,c x x x R =-∈.
（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对
称，求长度最小的d .
命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.
解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a ·(b c +)=(sinx,－cosx)·(sinx －cosx,sinx －3cosx) ＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+4
3π).
所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是2
2π＝π.
（Ⅱ）由sin(2x+4
3π)＝0得2x+4
3π＝k.π，即x ＝8
32
ππ-k ,k ∈Z ，
于是d ＝（8
32
ππ-k ，－2），23()4,28
k d ππ=-+
k ∈Z.
因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8
π，―2）即为所求.
例14．已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．
（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ； （Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值．
命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力. 解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，
由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π
4； （Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得
｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)
＝
3＋22sin(θ＋π
4
)，
当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π
4时，|a ＋b |最大值为2＋1． 例15．如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --三动点D 、E 、M 满足
,,AD t AB BE tBC == ,[0,1].DM tDE t =∈
- 2 y
1 - 1 1 x
- 1 A
C
D E B 图
2O
（I ）求动直线DE 斜率的变化范围；
（II ）求动点M 的轨迹方程。
命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、三角公式、 三角函数的性质及图像和圆锥曲线方程的求法等基本知识， 考查推理和运算能力.
解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x 0,y 0),E(x E ,y E ),M(x,y).由=t, = t ,
知(x D －2,y D －1)=t(－2,－2). ∴???x D =－2t+2
y D =－2t+1 同理
???x E =－2t y E =2t －1
. ∴k DE = y E －y D x E －x D = 2t －1－(－2t+1)
－2t －(－2t+2) = 1－2t.
∴t ∈[0,1] , ∴k DE ∈[－1,1].
(Ⅱ) ∵=t ∴(x+2t －2,y+2t －1)=t(－2t+2t －2,2t －1+2t －1)=t(－
2,4t －2)=(－2t,4t 2
－2t). ∴???x=2(1－2t)y=(1－2t)
2 , ∴y=x 24 , 即x 2
=4y. ∵t ∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2].
即所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2] 解法二: (Ⅰ)同上.
(Ⅱ) 如图, =+ = + t = + t(－) = (1－t) +t, = + = +t = +t(－) =(1－t) +t, = += + t= +t(－)=(1－t) + t = (1－t 2) + 2(1－t)t+t 2 .
设M 点的坐标为(x,y),由=(2,1), =(0,－1), =(－2,1)得
???x=(1－t 2)·2+2(1－t)t ·0+t 2·(－2)=2(1－2t)y=(1－t)2·1+2(1－t)t ·(－1)+t 2·1=(1－2t)
2 消去t 得x 2=4y, ∵t ∈[0,1], x ∈[－2,2]. 故所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2]
例16已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →
（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． （Ⅰ）证明FM →·AB →为定值；
（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值．
y
x O
M
D A
C
－1 －1 －2 1
2
B
E
图3
命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程,以及函数的导数的应用等基本知识，考查推理和运算能力.
解：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →
， 即得 (－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)，
?
????－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ② 将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝1
4x 22代入得 y 1＝λ2y 2 ③
解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1
λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4，
抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝1
2x ．
所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是 y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝1
2x 2(x －x 2)＋y 2， 即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －1
4
x 22．
解出两条切线的交点M 的坐标为(122x x +，122x x ?)＝(12
2x x +，－1)．
所以FM →·AB →＝(122
x x +，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0.
所以FM →·AB →为定值，其值为0．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝1
2
|AB ||FM |．
|FM |
＝
(x 1＋x 2
2)2＋(－2)2
＝
14x 12＋14x 22＋1
2x 1x 2＋4
＝
y 1＋y 2＋1
2×(－4)＋4＝
λ＋1λ＋2＝λ＋1λ
．
因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以
|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1
λ)2．
于是 S ＝12|AB ||FM |＝(λ＋1
λ)3，
由λ＋
1
λ
≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4． 【专题训练】 一、选择题
1．已知x b a x b a 则且,//),,4(),3,2(==的值为 （ ）
A ．－6
B ．6
C ．
3
8 D ．－
3
8 2．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且,,2AC s AB r CD DB CD +==则s r +的值是（ ） A ．
3
2 B ．
3
4 C ．－3 D ．0
3．把直线02=-y x 按向量)2,1(--=a 平移后，所得直线与圆5
4222λ=-++y x y x 相
切，则实数λ的值为 （ A ）
A ．39
B ．13
C ．－21
D ．－39
4．给出下列命题：①a ·b =0，则a =0或b =0. ②若e 为单位向量且a //e ，则a =|a |·e . ③a ·a ·a =|a |3. ④若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.其中正确的个数是 （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5.在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ） A.若向量a =(x ，y )，向量b =(－y ，x )(x 、y ≠0)，则a ⊥b B.四边形ABCD 是菱形的充要条件是AB =DC ，且|AB |=|AD | C.点G 是△ABC 的重心，则GA +GB +CG =0 D.△ABC 中，AB 和CA 的夹角等于180°－A
6.若O 为平行四边形ABCD 的中心，AB = 4e 1,
= 6e 2,则3e 2－2e 1等于（ ）
A.AO
B.BO
C.CO
D.DO 7.将函数y=x +2的图象按a =（6，－2）平移后，得到的新图象的解析式为（ ） A.y=x +10
B.y=x －6
C.y=x +6
D.y=x －10
8.已知向量m =(a,b )，向量m ⊥n 且|m |=|n |,则n 的坐标为 A.（a, －b ）
B.( －a,b )
C.(b, －a )
D.( －b, －a )
9.给出如下命题：命题（1）设e 1、e 2是平面内两个已知向量，则对于平面内任意向量a ,都存在惟一的一对实数x 、y ，使a =x e 1+y e 2成立；命题（2）若定义域为R 的函数f (x )恒满足｜f (－x )｜=｜f (x )｜,则f (x )或为奇函数，或为偶函数.则下述判断正确的是（ ） A.命题（1）（2）均为假命题
B.命题（1）（2）均为真命题
C.命题（1）为真命题，命题（2）为假命题
D.命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 10．若|a+b|=|a-b|，则向量a 与b 的关系是（ ）
A. a=→
0或b=→
0 B.|a|=|b| C. a ?b=0 D.以上都不对
11．O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
(
),[0,).|||AB AC
OP OA AB AC
λλ=++∈+∞则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心
12． 若()1,3,2-=a , (),3,0,2=b ()2,2,0=c , 则()
c b a +?= （ ）
A ． 4
B ． 15
C ． 7
D ． 3
二、填空题
1．已知AB AC AB ,4||,3||==与AC 的夹角为60°，则AB 与AB －AC 的夹角余弦为 . 2． 已知→
a ＝（—4,2,x ），→
b ＝(2,1,3),且→
a ⊥→
b ，则x ＝ .
3． 向量()b a b a 57)3(-⊥+ ，()()
b a b a 274-⊥-，则a 和b 所夹角是 4． 已知A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1), 点D 满足条件：DB ⊥AC, DC ⊥AB, AD=BC, 则D 的坐标为 .
5． 设b a ,是直线，βα,是平面，βα⊥⊥b a ,，向量1a 在a 上，向量1b 在b 上，
}0,4,3{},1,1,1{11-==b a ，则βα,所成二面角中较小的一个的大小为 ．
三、解答题
1.△ABC 中，三个内角分别是A 、B 、C ，向量B A B A C a tan tan ),2
cos ,2
cos 2
5(?-=当
9
1
=
时，求||a . 2.在平行四边形ABCD 中，A （1，1），)0,6(=AB ，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P . （1）若(3,5),AD =求点C 的坐标；
（2）当||||AD AB =时，求点P 的轨迹.
3.平面内三个力1F ，2F ，3F 作用于同丄点O 且处于平衡状态，已知1F ，2F 的大小分别为1kg ，2
26+kg ，1F 、2F 的夹角是45°，求3F 的大小及3F 与1F 夹角的大小.
4.已知a ，b 都是非零向量，且a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.
5.设a =(1+cos α,sin α), b =(1－cos β,sin β),c =(1,0),α∈(0,π)β∈(π,2π),a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2,且θ1－θ2=6π，求sin 4
β
α-. 6.已知平面向量a =（3，－1），b =（2
1，23）.
(1)证明：a ⊥b ；
(2)若存在实数k 和t ，使得x =a +(t 2－3)b ,y =－k a +t b ,且x ⊥y ，试求函数关系式k =f (t ); (3)根据（2）的结论，确定k =f (t )的单调区间.
【参考答案】 一、选择题 1.B 2．D 3．A4．A 5. 答案：C
提示：若点G 是△ABC 的重心，则有GA +GB +GC =0，而C 的结论是GA +GB +CG =0，显然是不成立的，选C.
6.B
7.B
8.C
9.A 10. C 11．B 12．D 二、填空题
1．13
13 2． 2 3．60° 4．（1，1，1）或),,(3
13131--- 5．.arccos 153 3．解：由()(
)0573=-?+b a b a , ()()
0274=-?-b a b a , 有b
a a ?+1672
，083072
2=+?-b b a a ,
解得22b a =,b a b ?=22
, =??=∴b
a b a b a ,cos 2
1． 4.解：设D(x, y, z), 则),1,(z y x BD -=，(),1,,-=z y x CD =AD （x-1, y, z ）,
=AC (-1, 0, 1), =AB (-1,1, 0), =BC (0, -1, 1)． 又DB ⊥AC ?-x+z=0,
DC ⊥AB ?-x+y=0, AD=BC ?(),21222=++-z y x
联立解得x=y=z=1或x=y=z=.3
1-所以D 点为（1，1，1）或),,(3
13131---。 三、解答题
1．2
cos )2
cos 2
5(||222B A C a -+= ，
.
4
2
3||,89||.cos cos sin sin 9.
9
1
cos cos sin sin ,91tan tan ).cos cos sin sin 99(8
1
)
sin sin 5cos cos 5sin sin 4cos cos 49(8
1
)]cos(5)cos(49[812)cos(12)cos(1452cos 2sin 452cos 2cos 45||222222==∴=∴==-+=+-++=+--+=-+++-?=-++=-+?=
∴a a B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B
A B A B A C a 故即又 2.解：（1）设点C 坐标为（),00y x ,
又)5,9()0,6()5,3(=+=+=AB AD AC ,即)5,9()1,1(00=--y x . 6,1000==∴y x . 即点C （0，6）. （2）解一：设),(y x P ，则
)1,7()0,6()1,1(--=---=-=y x y x AB AP BP .
).
33,93()
0,6())1(3),1(3(3)2
1
(321321--=---=-=-+=+=
+=y x y x AB AP AB AP AB MP AB MC AM AC
∴=.
||||AD AB ABCD 为菱形.
.0)33,93()1,7(,
=--?--⊥∴y x y x AD AC 即
0)33)(1()93)(7(=--+--y y x x
)1(02221022≠=+--+∴y y x y x .
故点P 的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半圆去掉与直线1=y 的两个交点. 解法二：||||AD AB =
∴D 的轨迹方程为)1(36)1()1(22≠=-+-y y x .
M 为AB 中点, BD P 分∴的比为
2
1 . 设).23,143(,
)1,7(),
,(--∴y x D B y x P . P ∴的轨迹方程
36)33()153(22=-+-y x .
整理得)1(4
)1()5(22≠=-+-y y x .
故点P 的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线1=y 的两个交点. 3.设1F 与2F 的合力为F ，则|F|=|F 3|. ∵∠F 1OF 2=45° ∴∠FF 1O=135°. 在△OF 1F 中，由余弦定理
135cos ||||2||||||1121212?-+=F F OF F F OF OF =324+. 13||,31||3+=+=∴F OF 即.
又由正弦定理，得2
1|
|sin ||sin 111=∠=∠OF O FF F F OF F .
∴∠F 1OF=30° 从而F 1与F 3的夹角为150°. 答：F 3的大小是（3+1）kg,F 1与F 3的夹角为150°. 4..解：∵a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直， ∴(a +3b )·(7a －5b )=0，(a －4b )·(7a －2b ) =0.
即?????=+?-=-?+.
0||830||7 ,0||1516||7222
2b b a a b b a a 两式相减：a ·b =
2
1|b |2
，代入①得|a |2=|b |2. ∴cos α=||||b a b a ?=2
1.∴α=60°，即a 与b 的夹角为60°.
5.解：a =(2cos 2
2α,2sin 2αcos 2α
)
=2cos 2α (cos 2α,sin 2α)
∴θ1=2α,
b =(2sin 2
2β,2sin 2βcos 2β)
F F 1
F 2
F 3
O
① ②
=2sin 2β (sin 2β,cos 2β)
∴θ2=2β－2π,又θ1－θ2=6π?2α－2β+2π=6π?2βα-= －3
π
∴sin 2βα-=sin(－6π)=－2
1
6.（1）证明：∵a =(3,－1),b =(21,2
3) ∴3×
2
1+(－1)×23=0∴a ⊥b
(2)解：由题意知
x =(23322-+t ,22
3332--t ),
y =(2
1t －3k ,23t +k )
又x ⊥y 故x ·y =23322-+t ×(2
1t －3k )+223332--t ×(23
t +k )=0
整理得：t 2－3t －4k =0即k =41t 3－43
t
(3)解：由（2）知：k =f (t )= 41t 3－4
3
t
∴k ′=f ′(t )= 43t 2－4
3
令k ′＜0得－1＜t ＜1;令k ′＞0得t ＜－1或t ＞1
故k =f (t )单调递减区间是（－1，1），单调递增区间是（－∞,－1）∪(1,+∞)
高一数学单元测试题附答案
高一数学单元测试题 一、选择题 1．已知{}2),(=+=y x y x M ，{} 4),(=-=y x y x N ，则N M ?=（ ） A ．1,3-==y x B ．)1,3(- C ．{}1,3- D ．{})1,3(- 2．已知全集U =N ，集合P ={ }，6，4，3，2，1Q={}1,2,3,5,9则() P C Q =U I ( ) A ．{ }3,2,1 B ．{}9,5 C ．{}6,4 D {}6,4,3,2,1 3．若集合{} 21|21|3,0,3x A x x B x x ?+? =-<=
高中数学必修《平面向量》单元测试
平面向量单元测试卷（5） 一、选择题 1．在△OAB中，=，=，M为OB的中点，N为AB的中点，ON，AM交于点P，则=（） A． ﹣B． ﹣+ C． ﹣ D． ﹣+ 2．已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|，则（） A． ⊥B． ⊥（﹣）C．⊥（﹣）D．（+）⊥（﹣ ） 3．已知A，B，C是坐标平面内不共线的三点，o是坐标原点，动点P满足 （λ∈R），则点P的轨迹一定经过 △ABC的（） A．内心B．垂心C．外心D．重心 4．已知平面上三点A、B、C满足，，，则 的值等于（） A．25 B．﹣25 C．24 D．﹣24 5．已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cosα，sinα），则向量与向量的夹角范围为（） A． [0，]B． [，] C． [，] D． [，] 6．设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30° 7．设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，则|?|的值一定等于（）
A． 以，为邻边的平行四边形的面积 B． 以，为两边的三角形面积 C． ，为两边的三角形面积 D． 以，为邻边的平行四边形的面积 8．设D是正△P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是△P1P2P3的中心，若集合S={P|P∈D，|PP0|≤|PP i|，i=1，2，3}，则集合S表示的平面区域是（） A．三角形区域B．四边形区域C．五边形区域D．六边形区域 9．已知P={|=（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q={|=（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q=（） A．{（1，1）} B．{（﹣1，1）} C．{（1，0）} D．{（0，1）} 10．已知、是不共线的向量，=λ+，=+μ（λ，μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（） A．λ+μ=1 B．λ﹣μ=1 C．λμ=﹣1 D．λμ=1 二、填空题 11．若平面向量，满足，平行于x轴，，则=．12．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O 为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是． 13．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若=λ+μ，其中λ、μ∈R，则λ+μ=．
高一数学必修《集合》单元测试题及答案
高一数学必修 1：《集合》单元测试题 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题（每小题5分，共25分） （1）．已知集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =?，则m 的值为（ ） A ．1 B ．—1 C ．1或—1 D ．1或—1或0 （2）设{} 022=+-=q px x x A ，{} 05)2(62=++++=q x p x x B ，若? ?? ???=21B A ， 则=B A （ ） （A ）??????-4,31,21 （B ）??????-4,21 （C ）??????31,21 （D ）? ?????21 （3）．函数2x y -= 的定义域为（ ） A 、(],2-∞ B 、(],1-∞ C 、11,,222????-∞ ? ????? D 、11,,222? ???-∞ ? ?? ??? （4）．设集合{}21<≤-=x x M ，{} 0≤-=k x x N ，若M N M =，则k 的取值范围（ ） （A ）(1,2)- （B ）[2,)+∞ （C ）(2,)+∞ （D ）]2,1[- （5）．如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ） A 、 ()M P S B 、 ()M P S C 、 ()u M P C S D 、 ()u M P C S 二、填空题（每小题4分，共20分） （6）. 设{ }{} I a A a a =-=-+24122 2 ，，，，，若{}1I C A =-，则a=__________。 （7）．已知集合A =｛1，2｝，B =｛x x A ?｝，则集合B= . （8）．已知集合{ }{ } A x y y x B x y y x ==-==()|()|，，，322 那么集合A B = （9）．50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做的正确得有40人，化学实验做的正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有 人.
高一数学集合练习题及答案-经典
升腾教育高一数学 满分150分 姓名 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4
二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 19、已知集合{}1,1A =-，B=} { 2 20x x ax b -+=，若B ≠?，且A B A ?= 求实数 a ， b 的值。
高一数学《平面向量》测试
高一平面向量测试 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知向量()3,1=a ，()21,k k =-b ，且()+⊥a b a ，则k 的值是（ ） A ．1- B ．37 C ．35 - D ．35 2．已知向量(3,2)=a ，(1,2)=-b ，(4,1)=c ，若()()2k +-∥a c b a ，()k ∈R ， 则k =（ ） A ．43 B ．1922- C ．1613- D ．1316 - 3．若向量()3,1AB =-u u u r ，()1,2=n ，且7AC ?=u u u r n ，那么BC ?u u u r n 的值为（ ） A ．6- B ．0 C ．6 D ．6-或6 4．在ABC △中，2BD DC =u u u r u u u r ，AD mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，则m n 的值为（ ） A ．12 B ．13 C ．2 D ．3 5．四边形ABCD 中，AB DC =u u u r u u u r ，且ABCD 是（ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 6．如果向量a 与b 的夹角为θ，那么我们称?a b 为向量的“向量积”，?a b 的大小为 sin θ?=?a b a b ，如果5=a ，1=b ，3?=-a b ，则?=a b （ ） A ．3 B ．4- C ．4 D ．5 7．已知向量(1,2)=a ，(1,1)=b ，若a 与λ+a b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ） A ．5 ,3 ??-+∞ ??? B ．()5,00,3??-+∞ ?? ? U C ．5 ,3 ?? -∞- ?? ? D ．5,3?? -∞ ?? ?
高一年级数学集合单元测试题
高一《集合》单元测试试题（1） 一、选择题：(5×10=50′) ★1．设全集U ＝R ，集合A ＝(1，＋∞)，集合B ＝(－∞，2)。则eU (A ∩B)＝（ ） A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，1)∪[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞) D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) ★2、已知A={1，a }，则下列不正确的是（ ） Ａ：a ∈A Ｂ：１∈Ａ Ｃ：（１、a ）∈Ａ Ｄ：1≠a ★3、集合{}Z k k x x M ∈-==,23，{}Z n n y y P ∈+==,13，{} Z m m z z S ∈+==,16 之间的关系是（ ） （A ）M P S ?? （B ）M P S ?= （C ）M P S =? (D)M P S =? ★4、如图，阴影部分所表示的集合为（ ） A 、A ∩（B ∩C ） B 、（C S A ）∩（B ∩C ） C 、（C S A ）∪（B ∩C ） D 、（C S A ）∪（B ∪C ） ★5、设I 为全集，S 1、S 2、S 3是I 上的三个非空子集，且S 1∪S 2∪S 3=I ，则下列 论断正确的是（ ） A 、 C I S 1∩（S 2∪S 3）=? B 、 S 1?（ C I S 2∩C I S 3） C 、 C I S 1∩C I S 2∩C I S 3=? D 、 S 1?（C I S 2∪C I S 3） ★6、设关于x 的式子 1 ax 2 +ax+a+1 当x ∈R 时恒有意义，则实数a 的取值范围是（ ） A 、a ≥0 B 、a<0 C 、a<-43 D 、 a ≥0或a<-4 3 ★7、设集合S=｛a,b,c,d,e ｝,则包含｛a,b ｝的S 的子集共有（ ）个 A 2 B 3 C 5 D 8 ★8、设集合M=｛x|x=k 2 +14,k ∈Z ｝,N=｛x|x=k 4 +1 2 ,k ∈Z ｝,则（ ） A 、 M=N B 、 M ?N C 、 M ?N D 、 M ∩N=? ★9、设⊕是R 上的一个运算,A 是R 上的非空子集,若对任意的a 、b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称 A 对运算⊕封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于0）四则运算都封闭的是（ ） A 自然数集 B 整数集 C 有理数集 D 无理数集 ★10、设 P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合 P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 二、 填空题（5×5=25′） ★11、已知集合{} 1≤-=a x x A ，{ } 0452 ≥+-=x x x B ，若φ=B A I ，则实数a 的取值范围是 .
高一数学必修一测试题及答案
高中数学必修1检测题 一、选择题： 1．已知全集(}.7,5,3,1{},6,4,2{},7.6,5,4,3,2,1{ A B A U 则===B C U ）等于 （ ） A ．{2，4，6} B ．{1，3，5} C ．{2，4，5} D ．{2，5} 2．已知集合 }01|{2=-=x x A ，则下列式子表示正确的有（ ） ①A ∈1 ②A ∈-}1{ ③A ?φ ④A ? -}1,1{ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．若 :f A B →能构成映射，下列说法正确的有 （ ） （1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一； （2）A 中的多个元素可以在B 中有相同的像； & （3）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像； （4）像的集合就是集合B . A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是 （ ） A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 5、下列各组函数是同一函数的是 （ ） ①()f x =()g x =f(x)=x 与()g x ； ③ 0()f x x =与0 1 ()g x x = ；④ 2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。 A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ \ 6．根据表格中的数据，可以断定方程02=--x e x 的一个根所在的区间是 （ ） '
A ．（－1，0） B ．（0，1） C ．（1，2） D ．（2，3） 7．若=-=-33)2lg()2lg(,lg lg y x a y x 则 （ ） A ．a 3 B ．a 2 3 C ．a D ． 2 a 8、 若定义运算 b a b a b a a b
高一数学平面向量章节测试题(含答案)
高一数学平面向量章节测试题 一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1. 已知向量a ?=(1,2)，b ??=(3,1)，则b ???a ?=( ) A. (?2,1) B. (2,?1) C. (2,0) D. (4,3) 2. 已知平面向量a ?=(1,?2)，b ??=(?2,m)，且a ?//b ??，则3a ?+2b ??等于( ) A. (-2,1) B. (1,-2) C. (-1,2) D. (2,-1) 3. 已知向量a ??,b ??满足|a ??|=1，|b ??|=2，a ???b ??=1，那么向量a ??,b ??的夹角为( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4. 已知|a ??|=3，|b ??|=5，a ??b ??=12，则向量a ??在向量b ??上的投影为( ) A. 12 5 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE ??????=λBC ??????，DF ??????=μDC ??????，若AE ???????AF ??????=1，CE ???????CF ??????=?2 3 ，则λ+μ=( ) A. 1 2 B. 2 3 C. 5 6 D. 7 12 6. 已知向量a ?=(1,m)，b ??=(3,?2)，且(a ?+b ??)⊥b ??，则m =( ) A. -8 B. -6 C. 6 D. 8 7. 在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若BC ??????=2CD ??????，且AE ??????=λAB ??????+34AC ??????，则λ=( ) A. ?1 4 B. 1 4 C. ?1 3 D. 1 3 8. 已知|a ??|=2，向量a ??在向量b ??上的投影为√3，则a ??与b ??的夹角为( ) A. π 3 B. π 6 C. 2π 3 D. π 2 9. 若向量a ?=(?2,0),b ??=(2,1),c ?=(x,1)满足条件3a ??+b ??与c ??共线，则x 的值为( ) A. ?2 B. ?4 C. 2 D. 4 10. 已知a ??、b ??均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ?+3b ??|=( ) A. √7 B. √10 C. √13 D. 4 11. 在平行四边形ABCD 中，AB ??????=a ?,AD ??????=b ??,AM ???????= 4MC ???????,P 为AD 的中点，MP ???????=( ) A. 4 5a ?+3 10 b ?? B. 45a ?+13 10b ?? C. -45a ?-310b ?? D. 3 4a ?+1 4b ?? 12. 已知向量BA ??????=(12,√32)，BC ??????=(√32,12 )，则∠ABC =( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 设e 1????，e 2????是不共线向量，e 1?????4e 2????与k e 1????+e 2????共线，则实数k 为______ ． 14. 已知向量a ?=(?1,2)，b ??=(m,1)，若向量a ?+b ??与a ??垂直，则m =______． 15. 设向量a ?=(m,1)，b ??=(1,2)，且|a ?+b ??|2=|a ?|2+|b ??|2，则m =______．
高一数学平面向量知识点及典型例题解析
高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
高一数学测试题及答案解析
高一数学第一次月考测试 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，满分60分) 1．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是() A．一个算法只能含有一种逻辑结构 B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构 C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构 D．一个算法可能含有上述三种逻辑结构 2．下列赋值语句正确的是() A．M＝a＋1B．a＋1＝M C．M－1＝a D．M－a＝1 3．学了算法你的收获有两点，一方面了解我国古代数学家的杰出成就，另一方面，数学的机械化，能做许多我们用笔和纸不敢做的有很大计算量的问题，这主要归功于算法语句的() A．输出语句B．赋值语句 C．条件语句D．循环语句 4.如右图 其中输入甲中i＝1，乙中i＝1000，输出结果判断正确的是() A．程序不同，结果不同 B．程序不同，结果相同 C．程序相同，结果不同 D．程序相同，结果相同
5．程序框图(如图所示)能判断任意输入的数x的奇偶性，其中判断框内的条件是() A．m＝0? B．x＝0? C．x＝1? D．m＝1? 6．228和1995的最大公约数是() A．84 B．57 C．19 D．28 7．下列说法错误的是（） A．在统计里，把所需考察的对象的全体叫做总体 B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大 8．1001101(2)与下列哪个值相等() A．115(8)B．113(8) C．114(8)D．116(8) 9．下面程序输出的结果为()
高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案
一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。 A、B、C、D、 3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得 向量为（）。 A、（2，3） B、（1，2） C、（3，4） D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。A、B、C、D、 6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。 A、B、 C、D、 7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2
(4)(b ) -( a )b 与 不一定垂直。其中真命题的个数是（ ）。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 9．在ΔABC 中，A=60°，b=1， ，则 等 于（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、 10．设 、b 不共线，则关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的情况是（ ）。 A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）. 11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，则CA AB =_________ 12．已知ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，AD =b ，则用a ，b 表示AB 为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为 的小船要从河的一边驶 向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。 14．如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b |=| ||b |sin θ，如果| |=3, |b |=2, ·b =-2，则| ×b |=______。 三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.） 15．已知向量 = , 求向量b ，使|b |=2| |，并且 与b 的夹角 为 。（10分）
高中数学平面向量复习题及答案
向量 1、在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（ ） A 、A B u u u r 与A C u u u r 共线 B 、DE u u u r 与CB u u u r 共线C 、1sin A D θ-u u u r 与A E u u u r 相等 D 、AD u u u r 与BD u u u r 相等 2、下列命题正确的是（ ） A 、向量A B u u u r 与BA u u u r 是两平行向量 B 、若a r 、b r 都是单位向量,则a r =b r C 、若AB u u u r =DC u u u r ,则A 、B 、C 、 D 四点构成平行四边形 D 、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3、在下列结论中，正确的结论为（ ） (1)a r ∥b r 且|a r |=|b r |是a r =b r 的必要不充分条件；(2)a r ∥b r 且|a r |=|b r |是a r =b r 的既不充分也不必要条件；(3)a r 与b r 方向相同且|a r |=|b r |是a r =b r 的充要条件；(4)a r 与b r 方向相反或|a r |≠|b r |是a r ≠b r 的充分不必要条件A 、(1)(3) B 、(2)(4) C 、(3)(4) D 、(1)(3)(4) 4、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是 。 5、已知|AB u u u r |=1，|AC u u u r |=2，若∠BAC =60°，则|BC uuu r |= 。 6、在四边形ABCD 中, AB u u u r =DC u u u r ，且|AB u u u r |=|AD u u u r |，则四边形ABCD 是 。 7、设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：KL u u u r =NM u u u u r 。 8、某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点,然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点。 (1)作出向量AB u u u r 、BC uuu r 、CD uuu r (1 cm 表示200 m )。 (2)求DA u u u r 的模。 T ={PQ uuu r 、 9、如图,已知四边形ABCD 是矩形,设点集M ={A 、B 、C 、D }，求集合 Q ∈M ,且P 、Q 不重合}。 向量的加法 1、下列四式不能化简为AD 的是 （ ） A 、（A B +CD ）+B C B 、（A D +MB ）+（BC +CM ） C 、MB +-A D BM D 、OC OA -+CD 2、M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB 共线的是 （ ） 第9题图
高一数学集合单元测试
高一数学集合单元测试 一、选择题 ( 每小题5分，共50分) 1．已知M ＝{|5,}x x x R ≤∈, 11,12a b ==，则 （ ） A ．,a M b M ∈? B ．,a M b M ?? C ．,a M b M ∈∈ D ．,a M b M ?∈ 2．在下列各组中的集合M 与N 中， 使M N =的是 （ ） A ．{(1,3)},{(3,1)}M N =-=- B ．,{0}M N =?= C ．22{|1,},{(,)|1,}M y y x x R N x y y x x R ==+∈==+∈ D ．22{|1,},{|(1)1,}M y y x x R N t t y y R ==+∈==-+∈ 3．下列几个式子：（1）()M N N ??；（2）()()M N M N ???；（3）()M N N ??； （4）若M N ?，则M N M ?=。正确的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ． 3 D ．4 4．满足条件{,}{,,,}a b M a b c d ?=的所有集合M 的个数是 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 5．下列各式中，正确的是 （ ） A ．2{2}x x ?≤ B ．3{21}x x x ∈><且 C ．{41,}{21,}x x k k Z x x k k Z =±∈≠=+∈ D ．{31,}x x k k Z =+∈{32,}x x k k Z ==-∈ 6．设{0,1,2,3,4},{0,1,2,3}U A == ，{2,3,4}B =，则 ()()U U C A C B ?= （ ） A ．{0，1，2，3，4} B ． {0，1，4} C ． {0，1} D ． {0} 7 集合{|,}2x A x n n Z ==∈，1{|,}2 x B x n n Z +==∈， {41,}C x x k k Z ==+∈又,,B b A a ∈∈则有 （ ） A ．()a b A +∈ B ．()a b B +∈ C ．()a b C +∈ D ．(),,a b A B C +∈ 任一个 8．设集合2 {|1,},{|1,}M y y x x R N y y x x R ==+∈==+∈，则M∩N ＝ ( )
高一数学试题及答案解析
高一数学 试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，满分 50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的,把正确的答案填在指定位置上.） 1. 若角αβ、满足9090αβ-<<
高一数学《平面向量》单元测试.docx
高一数学《平面向量》单元测试 姓名 : 班级 : 一、 选择题 (共 8 小题 ,每题 5 分 ) 1. 下列命题正确的是 （ ） A ．单位向量都相等 B ． 任一向量与它的相反向量不相等 C ．平行向量不一定是共线向量 D ．模为 0 的向量与任意向量共线 2．已知向量 a ＝（ 3,4）， b ＝（ sin α， cos α），且 a ∥ b ，则 tan α等于（ ） A ． 3 B ． 3 C ． 4 D ． 4 4 4 3 3 3．在以下关于向量的命题中，不正确的是 （ ） A ．若向量 a=(x ， y)，向量 b=(－ y ， x)(x 、 y ≠ 0)，则 a ⊥ b B ．四边形 ABCD 是菱形的充要条件是 AB = DC ，且 | AB |=| AD | C ．点 G 是△ ABC 的重心，则 GA + GB + CG =0 D ．△ ABC 中， AB 和 CA 的夹角等于 180°－ A 4．设 P （ 3， 6）， Q （ 5， 2）， R 的纵坐标为 9，且 P 、 Q 、 R 三点共线，则 R 点的横坐标为 （ ） A ． 9 B ． 6 C ． 9 D ． 6 r r r r r r r r r ) 5．若 | a | 1,| b | 2, c a b ，且 c a ，则向量 a 与 b 的夹角为 ( A ． 30° B ．60° C ．120° D ． 150° 6．在△ ABC 中， A ＞B 是 sinA ＞ sinB 成立的什么条件（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 7．若将函数 y sin 2x 的图象按向量 a 平移后得到函数 y sin( 2x ) -1 的图象 ,则向量 a 可以是： 4 （ ） A ． ( , 1) B ． ( ,1) C ． ( ,1) D ． ( , 1) 8 8 4 4 8．在△ ABC 中，已知 | AB | 4,| AC | 1, S ABC 3,则 AB AC 的值为（ ） A ．－ 2 B ． 2 C ．± 4 D ．± 2 二、 填空题 (共 4 小题 ,每题 5 分 ) 9．已知向量 a 、 b 的模分别为 3，4，则｜ a - b ｜的取值范围为 ． r r r r r 10．已知 e 为一单位向量， a 与 e 之间的夹角 是 120O ,而 a 在 e 方向上的投影为－ 2，则 r a . 11．设 e 1、e 2 是两个单位向量，它们的夹角是 60 ，则 (2e 1 e 2 ) ( 3e 1 2e 2 ) 12．在 ?ABC 中， a =5， b= 3,C= 1200 ,则 sin A 三、 解答题 (共 40 分 ) 13．设 e 1 ,e 2 是两个垂直的单位向量，且 a ( 2e 1 e 2 ) ,b e 1 e 2 (1)若 a ∥ b ，求 的值； (2) 若 a b ，求 的值 .（ 12 分）
高一数学 集合单元测试
高一数学 集合单元测试 一、选择题（每一题只有一个正确的结果，每小题5分，共50分） 1．已知x,y 均不为0，则|||| x y x y -的值组成的集合的元素个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．下列集合中，能表示由1、2、3组成的集合是（ ） A ．{6的质因数} B ．{x|x<4,* x N ∈} C ．{y||y |<4,y N ∈} D ．{连续三个自然数} 3．已知集合M={x N|4-x N}∈∈，则集合M 中元素个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．已知2U U={1,2,23},A={|a-2|,2},C {0}a a A +-=,则a 的值为（ ） A ．-3或1 B ．2 C ．3或1 D ．1 5．设全集U U=Z,A={x|x=2n,n Z},M=C A ∈，则下面关系式成立的个数是（ ） ①-2A ∈ ②2M ∈ ③U 0C M ? ④-3M ? A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．定义A —B={x|x A x B ∈?且}，若A={1，3，5，7，9}，B={2，3，5}，则A —B 等于（ ） A ．A B ．B C ．{2} D ．{1,7,9} 7．设I 为全集，1S ，2S ，3S 是I 的三个非空子集，且123S S S I ??=，则下面论断正确的是（ ） A ．()I 123(C S )S S ?? B ．()1I 2I 3S [ C S )(C S ]?? C ．I 1I 2I 3(C S )(C S )(C S )??=? D ．()1I 2I 3S [C S )(C S ]?? 8．如图所示，I 是全集，M ，P ，S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A ．()M P S ?? B ．()M P S ?? C ．()I (C )M P S ?? D ．()I (C ) M P S ??
精选高一数学集合测试题及答案
高一数学 集合 测试题 一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列八个关系式①{0}=φ ②φ=0 ③φ {φ} ④φ∈{φ} ⑤{0}?φ ⑥0?φ ⑦φ≠{0} ⑧φ≠{φ}其中正确的个数（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 2．集合{1，2，3}的真子集共有（ ） （A ）5个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个 3．集合A={x Z k k x ∈=,2} B={Z k k x x ∈+=,12} C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有（ ） （A ）（a+b ）∈ A (B) (a+b) ∈B (C)(a+b) ∈ C (D) (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个 4．设A 、B 是全集U 的两个子集，且A ?B ，则下列式子成立的是（ ） （A ）C U A ?C U B （B ）C U A ?C U B=U （C ）A ?C U B=φ （D ）C U A ?B=φ 5．已知集合A={022≥-x x } B={0342≤+-x x x }则A B ?=（ ） （A ）R （B ）{12≥-≤x x x 或} （C ）{21≥≤x x x 或} （D ）{32≥≤x x x 或} 6．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧＝{n ∈N |f (n )∈P }，Q ∧ ＝{n ∈N |f (n )∈Q }，则(P ∧∩N eQ ∧)∪(Q ∧∩N eP ∧ )＝( ) (A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5} (D){1，2，6，7} 7．已知A={1，2，a 2 -3a-1},B={1,3},A =?B {3,1}则a 等于（ ） （A ）-4或1 （B ）-1或4 （C ）-1 （D ）4 8.设U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（C U A ）?（C U B ）=（ ） （A ）{0} （B ）{0，1} （C ）{0，1，4} （D ）{0，1，2，3，4} 10．设A={x 0152=+-∈px x Z },B={x 052=+-∈q x x Z },若A ?B={2,3,5},A 、B 分别为（ ） （A ）{3，5}、{2，3} （B ）{2，3}、{3，5} （C ）{2，5}、{3，5} （D ）{3，5}、{2，5} 11．设一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a<0)的根的判别式042 =-=?ac b ，则不等式ax 2 +bx+c ≥0的解集为 （ ） （A ）R （B ）φ （C ）{a b x x 2- ≠} （D ）{a b 2-} ≠?
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