二次含参问题-经典集团文件发布号:(9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
不等式恒成立、存在性问题(一元二次不等式)
一、知识、方法回顾
(一)一元二次不等式
1.定义:含有一个未知数且未知数的最高次数为_____的不等式叫一元二次不等式.
2.解法:一般地,当0
a>时
(二)解分式不等式的常见方法:
法一:符号法则
其它情况类比分析,结论如下:
()0__________()f x g x ;()0____________()
f x
g x ≥?;()
0_________()f x g x ≤?. 法二:化分式不等式为整式不等式
分式不等式
()
0()
f x
g x >,由符号法则可知,()()f x g x 、同号,从而()()0f x g x ?>,其它情况类比分析,结论如下:
()
0()()0()
f x f x
g x g x >??>; ()0________()f x g x ;()()0()0___________()f x g x f x g x ?≥?≥???;__________()
0__________()f x g x ?≤???
. (三)典型例题 例1、解下列不等式:
(1)227210x x ≤-+<; (2)2||60x x +-≤; (3)
2317x x -<+; (4)1
01x x
<-< 练习1.关于x 的不等式02<+-c bx ax 的解集为),(),(+∞-∞βα ,其中0<<βα,则不等式02>++a bx cx 解集为 .
2.若不等式220ax bx ++>的解集为11
(,)23
-,则a b +的值为_____________.
3.若不等式22210x x k -+->对一切实数x 恒成立,则实数k 的范围为__________.
4.设1)1()(2++-=x a ax x f (1)解关于x 的不等式()0f x >;
(2)若对任意的]1,1[-∈a ,不等式()0f x >恒成立,求x 的取值范围.
二、含参不等式解法(一元二次不等式) 1.二次项系数为常数
例1解关于x 的不等式:.0)2(2>+-+a x a x 2.二次项系数含参数
例2解关于x 的不等式:.01)1(2<++-x a ax 例3解关于x 的不等式:.012<-+ax ax 练习:1.解关于x 的不等式
(1)033)1(22>++-ax x a (2)2110x a x a ?
?-++< ??
?
;
(3)2(21)20()ax a x a -++>∈R ; (4)(2)4
21
a x x +-≤-(其中0a >).
2. 设1)1()(2++-=x a ax x f (1)解关于x 的不等式()0f x >;
(2)若对任意的]1,1[-∈a ,不等式()0f x >恒成立,求x 的取值范围.
三、不等式的恒成立问题
例1.已知不等式0122>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立,其中0>a ,求实数a 的取值范围。
小结:不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值:
(1)若不等式()A f x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()min A f x f x
(2)若不等式()B f x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()max B f x f x >?的上界小于B 。
练习1.已知()22x x a
f x x
++=对任意[)()1,,0x f x ∈+∞≥恒成立,试求实数a 的取值
范围。 2、分离参数法
(1)将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥(或()()g f x λ≤)恒成立的形式; (2)求()f x 在x D ∈上的最大(或最小)值;
(3)解不等式()()max g f x λ≥ (或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围。
练习1. 已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 2. 已知二次函数x ax x f +=2)(,若[]1,0∈x 时,恒有1)(≤x f ,求a 的取值范围。 3、数形结合法 (1)若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方; (2)若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方。 例3. 设x x x f 4)(2--= , a x x g -+=13 4 )(,若恒有)()(x g x f ≤成立,求实数a 的取值范围. 练习1. 当)2 1,0(∈x 时,不等式x x a log 2<恒成立,求a 的取值范围. 4、变换主元法 例 对于满足40≤≤p 的一切实数,不等式342-+>+p x px x 恒成立,试求x 的取值范围。 练习1. 对任意]1,1[-∈a ,不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立,求x 的取值范围。 2.设函数b x x a x h ++= )(,对任意]2,21[∈a ,都有10)(≤x h 在]1,41 [∈x 恒成立,求实数b 的取值范围。 练习题 1.当()1,2x ∈时,不等式240x mx ++<恒成立,则m 的取值范围__________ 2.当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2 3. 若不等式23log 0a x x -<在10,3x ??∈ ?? ? 内恒成立,求实数a 的取值范围是 4.设()222f x x ax =-+,当x ∈[-1,+∞]时,都有()f x a ≥恒成立,求a 的取值范围。 5. 不等式()24420x a x a +-+->恒成立,求实数x 的取值范围。 6. R 上的函数()f x 既是奇函数,又是减函数,且当0,2 πθ?? ∈ ?? ? 时,有 () ()2cos 2sin 220f m f m θθ++-->恒成立,求实数m 的取值范围。若对于任意 1a ≤, 7.已知定义在区间[0,2]上的两个函数()f x 和()g x ,其中2()24f x x ax =-+(1a ≥), 2 ()1 x g x x = +.(1)求函数()y f x =的最小值()m a ; (2)若对任意1x 、2[0,2]x ∈,21()()f x g x >恒成立,求a 的取值范围. 四、不等式的存在性问题 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k >成立,则等价于在区间D 上 ()max f x k >; 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k <成立,则等价于在区间D 上的 ()min f x k <. 例1.若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集,则实数a 的取值范围是 . 2.已知函数()f x x m =-,函数()()m m x f x x g 72-+?=. (1)若1=m ,求不等式()0≥x g 的解集; (2)若对任意(]4,1∞-∈x ,均存在[)23,x ∈+∞,使得()()21x g x f >成立,求实数m 的取值范围. 练习1.若存在正数x 使2()1x x a -<成立,则a 的取值范围是( ) A .(,)-∞+∞ B .(2,)-+∞ C .(0,)+∞ D .(1,)-+∞ 2. 设a ∈R ,二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A , {}|13,B x x A B =<<≠?,求实数a 的取值范围。 五、二次方程根的分布 1 .因为二次函数,二次方程,二次不等式之间有着密切的联系,它们之间相互转化,二次方程的根转化为方程中的系数满足不等式,而二次不等式的问题又可转化为二次函数问题; 2 .一元二次方程根的分布问题,表面上是方程问题,实际上往往是二次函数的图像性质问题,它应用上的广泛性和灵活性是高考的热点。根据初中所学知识,已知方程的根可以确定方程中字母系数的值,同理已知方程根的范围也可以确定方程中 字母系数的范围,对于一元二次方程可结合图像,函数与方程根的关系,将问题转化为解关于字母系数的不等式组的问题。 3 方法指南: 设实系数的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为ac b x x 4,,221-=?,设 )0()(2≠++=a c bx ax x f 。 1、方程有两个正根??? ??>>+>??0002 121x x x x 2、方程有两个负根??? ??><+>??0002 121x x x x 3、方程有两个符号相反的根???<>??002 1x x 4、021>< ???><>??0)(2-0