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2018年高考数学(理科)模拟试卷(三)

(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)

第Ⅰ卷(选择题满分60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·全国卷Ⅲ]设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2,3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞)

D ．(0,2]∪[3，＋∞)

2．[2016·西安市八校联考]设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z －z ＝( )

A ．i

B ．2－i

C ．1－i

D ．0

3．[2017·福建质检]已知sin ? ????x ＋π3＝1

3，则cos x ＋cos ( π3－x )的值为( )

A ．－

33 B.33 C ．－13 D.1

4．[2016·天津高考]设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )

A ．充要条件

B ．充分而不必要条件

C ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

5．[2016·全国卷Ⅲ] 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )

A ．各月的平均最低气温都在0 ℃以上

B ．七月的平均温差比一月的平均温差大

C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同

D ．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个

6．[2017·江西南昌统考]已知a ＝2－13 ，b ＝()2log23－

12 ，c ＝1

4??0

πsin x d x ，则实数a ，

b ，

c 的大小关系是( )

A ．a >c >b

B ．b >a >c

C ．a >b >c

D ．c >b >a

7．[2016·江苏重点高中模拟]若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ＝n (mod m )，例如10＝4(mod 6)．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于( )

A ．17

B ．16

C ．15

D ．13

8．[2017·湖北武汉调研]已知x ，y 满足????

x ＋y －1≥0，x －2y －4≤0，

2x －y －2≥0，如果目标函数z ＝y ＋1

x －m

的取

值范围为[0,2)，则实数m 的取值范围为( )

A.????

??0，12 B.?

????－∞，12

C.?

????－∞，12 D ．(－∞，0]

9．[2017·衡水四调] 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD 、ABFE 、CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF ＝10, EF 到平面ABCD 的距离为3，CD 与AB 间的距离为10，则这个羡除的体积是( )

A ．110

B ．116

C ．118

D ．120

10．[2017·山西太原质检]设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →

B.AD →＝13AB →－43AC →

C.AD →＝43AB →＋13

AC →

D.AD →＝43AB →－13

AC →

11．[2017·河南郑州检测]已知点F 2、P 分别为双曲线

x2a2－y2

＝1(a >0，b >0)的右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若OM →＝12(OP →＋OF2→)，OF2→2＝F2M →2

，且2OF2→·F2M →

＝a 2＋b 2，则

该双曲线的离心率为( )

3＋12 B.3

C.3 D ．23 12．[2017·山西联考]已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋

1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是( )

A.? ??

??5e ，2 B.????

??－

52e ，－83e2

C.??????－1

，－83e2

D.?

?????－4e ，－52e

第Ⅱ卷(非选择题满分90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．[2017·济宁检测]已知(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．

14．[2017·惠州一调]已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝bn 1－a2n ，n ∈

N *，则b 2017＝________.

15．[2017·河北正定统考]已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，连接F A ，与抛物线C 相交于点M ，延长F A ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________．

16．[2016·成都第二次诊断]已知函数f (x )＝x ＋sin2x .给出以下四个命题： ①?x >0，不等式f (x )<2x 恒成立；

②?k ∈R ，使方程f (x )＝k 有四个不相等的实数根； ③函数f (x )的图象存在无数个对称中心；

④若数列{a n }为等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＝3π，则a 2＝π. 其中正确的命题有________．(写出所有正确命题的序号)

三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2016·武汉调研](本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＋1

＝4cos C ，b ＝1.

(1)若A ＝90°，求△ABC 的面积； (2)若△ABC 的面积为3

，求a ，c .

18．[2016·广州四校联考](本小题满分12分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：

产假安排(单位：周)1415161718

有生育意愿家庭数48162026

(1)

意愿的概率分别为多少？

(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．

①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；

②如果用ξ表示两种方案休假周数和，求随机变量ξ的分布列及期望．

19．[2017·吉林模拟](本小题满分12分) 如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．

(1)证明DF⊥AE；

(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为

？若存

在，说明点D的位置；若不存在，说明理由．

20．[2016·兰州质检](本小题满分12分)已知椭圆C 的焦点坐标是F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过点F 2垂直于长轴的直线l 交椭圆C 于B 、D 两点，且|BD |＝3.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，且满足PM →·PN →＝54？

若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．

21．[2017·广东广州调研](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln (x ＋1)－x ＋1

2x 2，g (x )＝(x

＋1)ln (x ＋1)－x ＋(a －1)x 2＋1

x 3(a ∈R )．

(1)求函数f (x )的单调区间；

(2)若当x ≥0时，g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[2017·河北唐山模拟](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，M (－2,0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A (ρ，θ)为曲线C 上一点，B ?

????ρ，θ＋π3，|BM |＝1.

(1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)求|OA |2＋|MA |2的取值范围．

23．[2016·大连高三模拟](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

若?x 0∈R ，使关于x 的不等式|x －1|－|x －2|≥t 成立，设满足条件的实数t 构成的集合为T .

(1)求集合T ；

(2)若m >1，n >1且对于?t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，求m ＋n 的最小值．

参考答案(三)

第Ⅰ卷(选择题满分60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·全国卷Ⅲ]设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2,3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(0,2]∪[3，＋∞) 答案 D

解析集合S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S ∩T ＝(0,2]∪[3，＋∞)．

2．[2016·西安市八校联考]设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2

－z ＝( )

A ．i

B ．2－i

C ．1－i

D ．0 答案 D

解析因为2z －z ＝2

1＋i

－1＋i ＝错误!－1＋i ＝1－i －1＋i ＝0，故选D.

3．[2017·福建质检]已知sin ? ????x ＋π3＝1

3，则cos x ＋cos ( π3－x )的值为( )

A ．－

33 B.33 C ．－13 D.1

答案 B

解析因为sin ? ????x ＋π3＝12sin x ＋32cos x ＝13，所以cos x ＋cos ? ????π3－x ＝cos x ＋12cos x ＋

32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3? ????

32cosx ＋12sinx ＝33，故选B.

4．[2016·天津高考]设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )

A ．充要条件

B ．充分而不必要条件

C ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件答案 C

解析由题意得，a n ＝a 1q n －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －

2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，

即a 1q 2n －

2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，选C.

A ．各月的平均最低气温都在0 ℃以上

B ．七月的平均温差比一月的平均温差大

C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同

D ．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个答案 D

解析由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有3个，D 错误．

6．[2017·江西南昌统考]已知a ＝2－13 ，b ＝()2log23－

12 ，c ＝1

4??0

πsin x d x ，则实数a ，

b ，

c 的大小关系是( )

A ．a >c >b

B ．b >a >c

C ．a >b >c

D ．c >b >a 答案 C

解析因为a ＝2－13 ＝? ????12 13 ＝? ????1416 ，b ＝()2log23 －12 ＝3－12＝? ????13

12 ＝? ????12716

，所以

a >

b ，排除B 、D ；

c ＝14??0

πsin xdx ＝－14cos x ???

0＝－14(cos π－cos0)＝12＝? ????14

2 ，所以b >c ，

所以a >b >c ，选C.

A ．17

B ．16

C ．15

D ．13 答案 A

解析当n >10时，被3除余2，被5除也余2的最小整数n ＝17，故选A. 8．[2017·湖北武汉调研]已知x ，y 满足????

x ＋y －1≥0，x －2y －4≤0，

2x －y －2≥0，如果目标函数z ＝y ＋1

x －m

的取

值范围为[0,2)，则实数m 的取值范围为( )

A.????

??0，12 B.?

????－∞，12 C.?

????－∞，12 D ．(－∞，0]

答案 C

解析由约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，而目标函数z ＝y ＋1

x －m

的几何意义

为可行域内的点(x ，y )与A (m ，－1)连线的斜率，由?

x ＋y －1＝0，

x －2y －4＝0，

得?

x ＝2，y ＝－1，即B (2，－1)．由题意知m ＝2不符合题意，故点A 与点B 不重合，因

而当连接AB 时，斜率取到最小值0.由y ＝－1与2x －y －2＝0，得交点C ? ??

??12，－1，在点A

由点C 向左移动的过程中，可行域内的点与点A 连线的斜率小于2，因而目标函数的取值范

围满足z ∈[0,2)，则m <1

，故选C.

A ．110

B ．116

C ．118

D ．120 答案 D

解析如图，过点A 作AP ⊥CD ，AM ⊥EF ，过点B 作BQ ⊥CD ，BN ⊥EF ，垂足分别为P ，M ，Q ，N ，连接PM ，QN ，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面

积为1

×10×3＝15.棱柱的高为8，体积V ＝15×8＝120.故选D.

10．[2017·山西太原质检]设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →

，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43

AC →

C.AD →＝43AB →＋13AC →

D.AD →＝43AB →－13AC →

答案 A

解析利用平面向量的线性运算法则求解.AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－

AB →＋43

AC →

，故选A.

11．[2017·河南郑州检测]已知点F 2、P 分别为双曲线x2a2－y2

＝1(a >0，b >0)的右焦点与

右支上的一点，O 为坐标原点，若OM →＝12

(OP →＋OF2→)，OF2→2＝F2M →2

，且2OF2→·F2M →

＝a 2＋b 2，则

该双曲线的离心率为( )

A.3＋12

B.32

C.3 D ．23

答案 A

解析设双曲线的左焦点为F 1，依题意知，|PF 2|＝2c ，因为OM →＝12

(OP →＋OF2→

)，所以点M

为线段PF 2的中点．因为2OF2→·F2M →＝a 2＋b 2，所以OF2→·F2M →＝c22，所以c ·c ·c o s ∠PF 2x ＝1

c 2，

所以c o s ∠PF 2x ＝1

2，所以∠PF 2x ＝60°，所以∠PF 2F 1＝120°，从而|PF 1|＝23c ，根据双曲

线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以23c －2c ＝2a ，所以e ＝c a ＝13－1

＝3＋1

2，故选A.

12．[2017·山西联考]已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋

1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是( )

A.? ????5e ，2

B.??????－5

，－83e2

C.??????－12，－83e2

D.?

?????－4e ，－52e

答案 B

解析由f (x )≤0，得(3x ＋1)·e x ＋1＋mx ≤0，即mx ≤－(3x ＋1)e x ＋

1，设g(x )＝mx ，h(x )＝

－(3x ＋1)e x ＋1，则h ′(x )＝－[3e x ＋1＋(3x ＋1)e x ＋1]＝－(3x ＋4)e x ＋

1，由h ′(x )>0，得－(3x ＋

4)>0，即x <－4

，由h ′(x )<0，

得－(3x ＋4)<0，即x >－43，故当x ＝－4

时，函数h(x )取得极大值．在同一平面直角坐标

系中作出y ＝h(x )，y ＝g(x )的大致图象如图所示，当m ≥0时，满足g(x )≤h(x )的整数解超过两个，不满足条件；当m <0 时，要使g(x )≤h(x )的整数解只有两个，

则需满足错误!即错误!

即?????

m≥－52e ，m<－8

3e2，即－52e ≤m <－83e2，即实数m 的取值范围是[ －52e ，－8

3e2

)，故选

第Ⅱ卷(非选择题满分90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．[2017·济宁检测]已知(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．

答案 2

解析令x ＝1，可得2×(－1)＝a 0，即a 0＝－2；令x ＝2，可得(22＋1)×0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11，即a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝0，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝2.

14．[2017·惠州一调]已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝bn

1－a2n

，n ∈

N *，则b 2017＝________.

答案 20172018

解析 ∵a n ＋b n ＝1，a 1＝12，∴b 1＝12，∵b n ＋1＝bn

1－a2n

，∴b n ＋1＝错误!＝错误!，∴

1bn ＋1－1－1bn －1＝－1，又b 1＝12，∴1

b1－1＝－2，∴数列????

??1bn －1是以－2为首项，－1为公差的等差数列，∴1bn －1＝－n －1，∴b n ＝n n ＋1.故b 2017＝2017

2018

答案 2

解析依题意得焦点F 的坐标为? ????a 4，0，设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，因为|FM |∶|MN |＝1∶3，所以|KN |∶|KM |＝22∶1，又

k FN ＝0－1a 4

－0＝－4a ，k FN ＝－|KN||KM|＝－22，所以4a ＝22，解得a ＝2.

16．[2016·成都第二次诊断]已知函数f (x )＝x ＋sin2x .给出以下四个命题： ①?x >0，不等式f (x )<2x 恒成立；

②?k ∈R ，使方程f (x )＝k 有四个不相等的实数根； ③函数f (x )的图象存在无数个对称中心；

④若数列{a n }为等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＝3π，则a 2＝π. 其中正确的命题有________．(写出所有正确命题的序号)

答案 ③④

解析 f ′(x )＝1＋2cos2x ，则f ′(x )＝0有无数个解，再结合f (x )是奇函数，且总体上呈上升趋势，可画出f (x )的大致图象为：

(1)令g (x )＝2x －f (x )＝x －sin2x ，则g ′(x )＝1－2cos2x ，令g ′(x )＝0，则x ＝π

＋k π(k ∈

Z )，则g ? ????π6＝π

6－32

<0，即存在x ＝π6>0使得f (x )>2x ，故①错误；

(2)由图象知不存在y ＝k 的直线和f (x )的图象有四个不同的交点，故②错误；

(3)f (a ＋x )＋f (a －x )＝2a ＋2sin2a cos2x ，令sin2a ＝0，则a ＝kπ

(k ∈Z )，即(a ，a )，其中

a ＝kπ

(k ∈Z )均是函数的对称中心，故③正确；

(4)f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＝3π，则a 1＋a 2＋a 3＋sin2a 1＋sin2a 2＋sin2a 3＝3π，即3a 2＋sin(2a 2－2d )＋sin2a 2＋sin(2a 2＋2d )＝3π， ∴3a 2＋sin2a 2＋2sin2a 2cos2d ＝3π， ∴3a 2＋sin2a 2(1＋2cos2d )＝3π，

∴sin2a 2＝3π1＋2cos2d －3

1＋2cos2d

a 2，

则问题转化为f (x )＝sin2x 与g (x )＝3π1＋2cos2d －3

1＋2cos2d

x 的交点个数．

如果直线g (x )要与f (x )有除(π，0)之外的交点，则斜率的范围在? ??

??－43π，－2，而直线的斜率－3

1＋2cos2d

的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故不存在除(π，0)之外的交点，

故a 2＝π，④正确．

＝4cos C ，b ＝1.

(1)若A ＝90°，求△ABC 的面积；

(2)若△ABC 的面积为3

，求a ，c .

解 (1)a ＋1a ＝4cos C ＝4×a2＋b2－c2

2ab

＝错误!，

∵b ＝1，∴2c 2＝a 2＋1.(2分) 又∵A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2＝c 2＋1，

∴2c 2＝a 2＋1＝c 2＋2，∴c ＝2，a ＝3，(4分)

∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ＝12×1×2＝2

2.(6分)

(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12a sin C ＝32，则sin C ＝3

a .

∵a ＋1a ＝4cos C ，sin C ＝3

a ，

∴??????14? ????a ＋1a 2＋? ??

??3a 2＝1，化简得(a 2－7)2＝0， ∴a ＝7，从而cos C ＝14? ????a ＋1a ＝27

，

∴c ＝a2＋b2－2bccosC ＝

7＋1－2×7×1×27

＝2.(12分)

(1)意愿的概率分别为多少？

(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．

①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；

②如果用ξ表示两种方案休假周数和，求随机变量ξ的分布列及期望．

解 (1)由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为P 1＝4200＝1

；

(2分)

当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为P 2＝16200＝2

.(4分)

(2)①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有C 25＝10(种)，(5分)

其和不低于32周的选法有(14,18)，(15,17)，(15,18)，(16,17)，(16,18)，(17,18)，共6种，

由古典概型概率计算公式得P (A )＝610＝3

.(7分)

②由题知随机变量ξ的可能取值为29,30,31,32,33,34,35.

P (ξ＝29)＝110＝0.1，P (ξ＝30)＝110＝0.1，P (ξ＝31)＝210＝0.2，P (ξ＝32)＝2

＝0.2，P (ξ

＝33)＝210＝0.2，P (ξ＝34)＝110＝0.1，P (ξ＝35)＝1

10＝0.1，

因而ξ的分布列为

(10分)

所以E (ξ)＝29×0.1＋30×0.1＋31×0.2＋32×0.2＋33×0.2＋34×0.1＋35×0.1＝32.(12

分)

19．[2017·吉林模拟](本小题满分12分) 如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝1，E ，F 分别是CC 1，BC 的中点，AE ⊥A 1B 1，D 为棱A 1B 1上的点．

(1)证明DF ⊥AE ；

(2)是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14

？若存在，说明点D 的位置；若不存在，说明理由．

解 (1)证明：因为AE ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，所以AE ⊥AB . 因为AA 1⊥AB ，AA 1∩AE ＝A ，所以AB ⊥平面A 1ACC 1.

因为AC ?平面A 1ACC 1，所以AB ⊥AC .以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则有A (0,0,0)，E ? ????0，1，12，F ? ????12，12，0，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)．(4分) 设D (x 1，y 1，z 1)，A1D →＝λA1B1→

且λ∈[0,1]，即(x 1，y 1，z 1－1)＝λ(1,0,0)，则D (λ，0,1)，所以DF →＝? ??

??12－λ，12，－1.

因为AE →＝? ??

0，1，12，所以DF →·AE →＝12－12＝0，所以DF ⊥AE .(6分)

(2)假设存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414

. 由题意可知平面ABC 的一个法向量为AA1→

＝(0,0,1)．(8分)

设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则???

n ·FE →＝0，

n ·DF →

＝0，

因为FE →＝? ????－12，12，12，DF →＝? ??

??12－λ，12，－1，

所以???

－12x ＋12y ＋1

z ＝0，? ??

??12－λx ＋12y －z ＝0，

即错误!

令z ＝2(1－λ)，则n ＝(3,1＋2λ，2(1－λ))是平面DEF 的一个法向量．(10分)

因为平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14

14，所以|cos 〈AA1→，n 〉|＝

|AA1→

·n||AA1→||n|

＝14

14，

即错误!＝错误!，解得λ＝错误!或λ＝错误!(舍去)，所以当D 为A 1B 1的中点时满足要求．

故存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14

，此时D 为

A 1

B 1的中点．(12分)

20．[2016·兰州质检](本小题满分12分)已知椭圆C 的焦点坐标是F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过点F 2垂直于长轴的直线l 交椭圆C 于B 、D 两点，且|BD |＝3.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，且满足PM →·PN →＝5

？

若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．

解 (1)设椭圆的方程是x2a2＋y2

＝1(a >b >0)，则c ＝1，

∵|BD |＝3，∴2b2

＝3，

又a 2－b 2＝1，∴a ＝2，b ＝3，

∴椭圆C 的方程为x24＋y2

＝1.(4分)

(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k (x －2)＋1，由错误!得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0，

因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，

所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)>0，所以k >－1

又x 1＋x 2＝错误!，x 1x 2＝错误!，(8分)

因为PM →·PN →＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54

，

所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5

，

即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5

，

所以错误!(1＋k 2)＝错误!＝错误!.

解得k ＝±12，因为k >－12，所以k ＝1

故存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝1

x .(12分)

21．[2017·广东广州调研](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln (x ＋1)－x ＋1

x 2，g (x )＝(x

＋1)ln (x ＋1)－x ＋(a －1)x 2＋1

x 3(a ∈R )．

(1)求函数f (x )的单调区间；

(2)若当x ≥0时，g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．

解 (1)函数f (x )＝ln (x ＋1)－x ＋1

x 2，定义域为(－1，＋∞)，(2分)

则f ′(x )＝x2

x ＋1

>0，所以f (x )的单调递增区间为(－1，＋∞)，无单调递减区间．(4分)

(2)由(1)知，当x ≥0时，有f (x )≥f (0)＝0，

即ln (x ＋1)≥x －1

x 2.

g ′(x )＝ln (x ＋1)＋2(a －1)x ＋12x 2≥? ????x －12x2＋2(a －1)x ＋12x 2＝(2a －1)x .(6分) ①当2a －1≥0，即a ≥1

时，且x ≥0时，g ′(x )≥0，

所以g (x )在[0，＋∞)上是增函数，且g (0)＝0，

所以当x ≥0时，g (x )≥0，所以a ≥1

符合题意．(8分)

②当a <12时，令g ′(x )＝ln (x ＋1)＋2(a －1)x ＋12x 2＝φ(x )，φ′(x )＝1

x ＋1

＋2(a －1)＋x ＝

错误!，(9分)

令x 2＋(2a －1)x ＋2a －1＝0，则其判别式 Δ＝(2a －1)(2a －5)>0，两根x 1＝错误!<0， x 2＝错误!>0，

当x ∈(0，x 2)时，φ′(x )<0，所以φ(x )在(0，x 2)上单调递减，且φ(0)＝0，即x ∈(0，x 2)时，g ′(x )

所以存在x 0∈(0，x 2)，使得g (x 0)

所以a <1

不符合题意．

综上所述，a 的取值范围为????

??12，＋∞.(12分) 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[2017·河北唐山模拟](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，M (－2,0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标

系，A (ρ，θ)为曲线C 上一点，B ?

????ρ，θ＋π3，|BM |＝1. (1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)求|OA |2＋|MA |2的取值范围．

解 (1)设A (x ，y )，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，

所以x B ＝ρcos ?

????θ＋π3＝12x －32y ，

y B ＝ρsin ? ????θ＋π3＝32x ＋12y ，故B ? ????1

x －32y ，32x ＋12y .

由|BM |2＝1，得? ????12x －32y ＋22＋? ????

x ＋12y 2＝1，

整理得曲线C 的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.(5分)

(2)圆C ：??

x ＝－1＋cosα，

y ＝3＋sinα

(α为参数)，

则|OA |2＋|MA |2＝43sin α＋10，

所以|OA |2＋|MA |2∈[10－43，10＋43]．(10分) 23．[2016·大连高三模拟](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

若?x 0∈R ，使关于x 的不等式|x －1|－|x －2|≥t 成立，设满足条件的实数t 构成的集合为T .

(1)求集合T ；

(2)若m >1，n >1且对于?t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，求m ＋n 的最小值．解 (1)||x －1|－|x －2||≤|x －1－(x －2)|＝1，

所以|x －1|－|x －2|≤1，所以t 的取值范围为(－∞，1]，即T ＝{t |t ≤1}(5分)

(2)由(1)知，对于?t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，只需log 3m ·log 3n ≥t max ，所以log 3m ·log 3n ≥1，

又因为m >1，n >1，所以log 3m >0，log 3n >0，

又1≤log 3m ·log 3n ≤? ??

??log3m ＋log3n 22＝错误!(log 3m ＝log 3

n 时取等号，此时m ＝n )，(8

分)

所以(log 3mn )2≥4，所以log 3mn ≥2，mn ≥9，

所以m ＋n ≥2mn ≥6，即m ＋n 的最小值为6(此时m ＝n ＝3)．(10分)

2018年高考数学(理科)模拟试卷(三)

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