机械振动习题

一、选择题：

1．3001：把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为

(A) π (B) π/2 (C) 0 (D) θ ［ ］

2．3002：两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为：

(A)

(B) (C)

(D) ［ ］

3．3007：一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是

(A) 2 ω (B) (C) (D) ω /2

［ ］

4．3396：一质点作简谐振动。其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为 (A) π/6 (B) 5π/6 (C) -5π/6 (D) -π/6 (E) -2π/3 ［ ］

5．3552：一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为和。则有 (A) 且 (B) 且

(C) 且 (D) 且

［ ］ 6．5178：一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为

(SI)。从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为

(A) (B) (C) (D) (E)

［ ］

7．5179：一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时。则其振动方程为：

(A)

(B) (C)

(D) (E)

［ ］

8．5312：一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取作坐标原点。若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm 处的时刻为

)π21cos(2++=αωt A x )π21cos(2-+=αωt A x )π23cos(2-+=αωt A x )cos(2π++=αωt A x ω22/ω1T '2T '

11T T >'22T T >'11T T <'22T T <'11

T T ='22T T ='11T T ='22T T >')312cos(1042π+π?=-t x s 81s 61s 41s 31s

21)21/(cos π+=t m k A x )21/cos(π-=t m k A x )π21/(cos +=t k m A x )21/cos(π-=t k m A x t m /k A x cos =

v 21

3030图

(A) 1 s (B) (1/3) s (C) (4/3) s (D) 2 s

［ ］

9．5501：一物体作简谐振动，振动方程为

。在 t = T /4（T 为周期）时刻，物体的加速度为

(A)

(B) (C) (D)

［ ］ 10．5502：一质点作简谐振动，振动方程为，当时间t = T /2（T 为周期）时，质点的速度为

(A) (B) (C) ［ ］ 11．3030：两个同周期简谐振动曲线如图所示。 x 1的相位比x 2的相位

(A) 落后π/2 (B) 超前π/2 (C) 落后π

(D) 超前π ［ ］ 12．3042：一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 ［ ］

13．3254：一质点作简谐振动，周期为T 。质点由平衡位置向x 轴正方向运动时，由平

衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的时间为 (A) T /4 (B) T /6 (C) T /8 (D) T /12

［ ］

14．3270：一简谐振动曲线如图所示。则振动周期是

(A) 2.62 s (B) 2.40 s

(C) 2.20 s (D)

2.00 s

［ ］

15．5186：已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为： (A) (B) (C) (D) (E) ［ ］

16．3023：一弹簧振子，当把它水平放置时，它可以作简谐振动。若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上，试判断下面哪种情况是正确的：

(A) 竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作简谐振动

)41cos(π+=t A x ω2221ωA -

2221ωA 2321ωA -2321ωA )cos(

φω+=t A x φωsin A -φωsin A φωcos A -φωcos A A

21)3232cos(2π+π=t x )3232cos(2π-π=t x )3234cos(2π+π=t x )3234cos(2π-π=t x )4134cos(2π-π=t x

(B) (D) x (A) (C) 3270图 竖直放置 放在光滑斜面上

A/ -A (B) 竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作简谐振动

(C) 两种情况都可作简谐振动

(D) 两种情况都不能作简谐振动 ［ ］

17．3028：一弹簧振子作简谐振动，总能量为E 1，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量E 2变为

(A) E 1/4 (B) E 1/2 (C) 2E 1 (D) 4 E 1

［ ］

18．3393：当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为

(A) 4 ν (B) 2 ν (C) ν (D)

［ ］

19。3560：弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为

(A) kA 2 (B) (C) (1/4)kA 2 (D) 0

［ ］

20．5182：一弹簧振子作简谐振动，当位移为振幅的一半时，其动能为总能量的

(A) 1/4 (B) 1/2 (C) (D) 3/4 (E)

［ ］ 21．5504：一物体作简谐振动，振动方程为

。则该物体在t = 0时

刻的动能与t = T /8（T 为振动周期）时刻的动能之比为：

(A) 1:4 (B) 1:2 (C) 1:1 (D) 2:1 (E) 4:1

［ ］ 22．5505：一质点作简谐振动，其振动方程为。在求质点的振动动能时，得出下面5个表达式： (1) (2)

(3) (4) (5)

其中m 是质点的质量，k 是弹簧的劲度系数，T 是振动的周期。这些表达式中

(A) (1)，(4)是对的 (B) (2)，(4)是对的 (C) (1)，(5)是对的

(D) (3)，(5)是对的 (E) (2)，(5)是对的

［ ］

23．3008：一长度为l 、劲度系数为k 的均匀轻弹簧分割成长度分别为l 1和l 2的两部分，且l 1 = n l 2，n 为整数. 则相应的劲度系数k 1和k 2为

(A) ， (B) ，

(C) ， (D) ， ［ ］ 24．3562：图中所画的是两个简谐振动的振动曲线。若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为 (A) ν

21221kA 2/12/3)21cos(π+

=t A x ω)cos(

φω+=t A x )

(sin 21222φωω+t A m )(cos 21222φωω+t A m )sin(212φω+t kA )(cos 2122φω+t kA )(sin 22222φω+πt mA T 11+=

n kn k )1(2+=n k k n n k k )1(1+=12+=n k k n n k k )1(1+=)1(2+=n k k 11+=n kn k 12+=n k k π23

(B)

(C)

(D) 0

［ ］

二、填空题：

1．3009：一弹簧振子作简谐振动，振幅为A ，周期为T ，其运动方程用余弦函数表示。若时，(1) 振子在负的最大位移处，则初相为______________；(2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为__________；(3) 振子在位移为A /2处，且向负方向运动，则初相为______。

2．3390：一质点作简谐振动，速度最大值v m = 5 cm/s ，振幅A = 2 cm 。若令速度具有正最大值的那一时刻为t = 0，则振动表达式为_________________________。

3．3557：一质点沿x 轴作简谐振动，振动范围的中心点为x 轴的原点。已知周期为T ，振幅为A 。(1)若t = 0时质点过x = 0处且朝x 轴正方向运动，则振动方程为 x =____________。

（2）若t = 0时质点处于

处且向x 轴负方向运动，则振动方程为 x =_______________。

4．3816：一质点沿x 轴以 x = 0 为平衡位置作简谐振动，频率为 0.25 Hz 。t = 0时，x = -0.37 cm 而速度等于零，则振幅是___________，振动的数值表达式为

_____________________。 5．3817：一简谐振动的表达式为，已知 t = 0时的初位移为0.04 m ，初速度为0.09 m/s ，则振幅A =_____________ ，初相φ =________________。

6．3818：两个弹簧振子的周期都是0.4 s ，设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5 s 后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两振动的相位差为____________。

7．3819：两质点沿水平x 轴线作相同频率和相同振幅的简谐振动，平衡位置都在坐标原点。它们总是沿相反方向经过同一个点，其位移x 的绝对值为振幅的一半，则它们之间的相位差为___________。

8．3820：将质量为 0.2 kg 的物体，系于劲度系数k = 19 N/m 的竖直悬挂的弹簧的下端。假定在弹簧不变形的位置将物体由静止释放，然后物体作简谐振动，则振动频率为__________，振幅为____________。

9．3033：一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为A =_____________；ω =________________；φ =_______________。

t = 2s 时刻质点的位移为____________，速度为__________________。 11．3046：一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2cm ，则该简谐振动的初相为__________。振动方程为______________________________。

12．3398：一质点作简谐振动。其振动曲线如图所示。根据此图，它的周期T =___________，用余弦函数描述时初相 φ =_________________。

ππ210=

t A x 21=

)3cos(φ+=t A x

t

3046图

-3t (s) -3399图

3398图 3567图

13．3399：已知两简谐振动曲线如图所示，则这两个简谐振动方程（余弦形式）分别为 _____________________________和____________________________________。

14．3567：图中用旋转矢量法表示了一个简谐振动。旋转矢量的长度为0.04 m ，旋转角速度ω = 4π rad/s 。此简谐振动以余弦函数表示的振动方程为x

=__________________________(SI)。

15．3029：一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的______________。（设平衡位置处势能为零）。当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长?l ，这一振动系统的周期为________________________。

16．3268一系统作简谐振动， 周期为T ，以余弦函数表达振动时，初相为零。在0≤t ≤范围内，系统在t =________________时刻动能和势能相等。

17．3561：质量为m 物体和一个轻弹簧组成弹簧振子，其固有振动周期为T. 当它作振幅为A 自由简谐振动时，其振动能量E = ____________。

18．3821：一弹簧振子系统具有1.0 J 的振动能量，0.10 m 的振幅和1.0 m/s 的最大速率，则弹簧的劲度系数为___________，振子的振动频率为_________。

19．3401：两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：

(SI) ， (SI)

它们的合振动的振辐为_____________，初相为____________。

20．3839：两个同方向的简谐振动，周期相同，振幅分别为A 1 = 0.05 m 和A 2 = 0.07 m ，它们合成为一个振幅为A = 0.09 m 的简谐振动。则这两个分振动的相位差___________rad 。

21．5314：一质点同时参与了两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为

(SI)， (SI)

其合成运动的运动方程为x = __________________________。

22．5315：两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20 cm ，与第一个简谐振动的相位差为φ –φ1 = π/6。若第一个简谐振动的振幅为cm = 17.3 cm ，则第二个简谐振动的振幅为___________________ cm ，第一、二两个简谐振动的相位差φ1 - φ2为

____________。

三、计算题：

1．3017：一质点沿x 轴作简谐振动，其角频率ω = 10 rad/s 。试分别写出以下两种初始状态下的振动方程：(1) 其初始位移x 0 = 7.5 cm ，初始速度v 0 = 75.0 cm/s ；(2) 其初始位移x 0 =7.5 cm ，初始速度v 0 =-75.0 cm/s 。

2．3018：一轻弹簧在60 N 的拉力下伸长30 cm 。现把质量为4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止，再把物体向下拉10 cm ，然 后由静止释放并开始计时。求：(1) 物体的振动方程；(2) 物体在平衡位置上方5 cm 时弹簧对物体的拉力；(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm 处所需要的最短时间。

3．5191：一物体作简谐振动，其速度最大值v m = 3×10-2 m/s ，其振幅A = 2×10-2 m 。

若t = 0时，物体位于平衡位置且向x 轴的负方向运动。求：(1) 振动周期T ；(2) 加速度的最大值a m ；(3) 振动方程的数值式。

4．3391：在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l 0 = 1.2 cm 而平衡。再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm 的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式。

5．3835在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g 的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放。已知物体在32 s 内完成48次振动，振幅为5 cm 。(1) 上述的外加拉力是多大？(2) 当物体在平衡位置以下1 cm 处时，此振动系统的动能和势能各是多少？

6．3836在一竖直轻弹簧下端悬挂质量m = 5 g 的小球，弹簧伸长?l = 1 cm 而平衡。经推动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 4 cm 的振动，求：(1) 小球的振动周期；(2) 振

T 21)215cos(10621π+?=-t x )5cos(10222t x -π?=-)41cos(05.01π+=t x ω)129cos(05.02π+=t x ω310

动能量。

7．5506一物体质量m = 2 kg ，受到的作用力为F = -8x (SI)。若该物体偏离坐标原点O 的最大位移为A = 0.10 m ，则物体动能的最大值为多少？

8．5511 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24 N/m ，重物的质量m = 6 kg ，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05 m 时撤去力F 。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。

一、选择题：

1．3001：C ；2．3002：B ；3．3007：B ；4．3396：C ；5．3552：D ；6．5178：E ；

7．5179：B ；8．5312：B ；9．5501：B ；10．5502：B ；11．3030：B ；12．3042：B ； 13．3254：D ；14．3270：B ；15．5186：C ；16．3023：C ；17．3028：D ；18．3393：B ；

19．3560：D ；20．5182：D ；21．5504：D ；22．5505：C ；23．3008：C ；24．3562：B ；

二、填空题：

1．3009： π ； - π /2； π/3

2．3390：

3．3557：

； 4．3816： 0.37 cm ；

5．3817： 0.05 m ； -0.205π（或-36.9°）

6．3818： π

7．3819：

8．3820： 1.55 Hz ； 0.103 m

9．3033： 10 cm (π/6) rad/s ； π/3

10．3041： 0； 3π cm/s

11．3046： π/4； (SI) 12．3398： 3.43 s ； -2π/3

13．3399： (SI)；

(SI) 14．3567：

15．3029： 3/4； 16．3268： T /8； 3T /8

)212/5cos(1022π-?=-t x )212cos(π-πT t A )312cos(π+πT t A )21cos(1037.02π±π?=-t x 3

2π±)4/cos(1022π+π?=-t x )cos(1063

π+π?=-t x a )2121cos(1063π+π?=-t x b )214cos(04.0π-πt g l /2?π

5506图

5511图

17．3561：

18．3821： 2×102 N/m ； 1.6 Hz 19．3401： 4×10-2 m ；

20．3839： 1.47

21．5314： (SI) 或 (SI)

22．5315： 10；

三、计算题：

1．3017：解：振动方程：x = A cos(ωt +φ)

(1) t = 0时 x 0 =7.5 cm ＝A cos φ ；v 0 =75 cm/s=-A sin φ

解上两个方程得：A =10.6 cm----------------1分；φ = -π/4-------------------1分

∴ x =10.6×10-2cos[10t -(π/4)] (SI)------------1分

(2) t = 0时 x 0 =7.5 cm ＝A cos φ ； v 0 =-75 cm/s=-A sin φ

解上两个方程得：A =10.6 cm ，φ = π/4-------------------1分

∴ x =10.6×10-2cos[10t +(π/4)] (SI)-------------1分

2．3018：解： k = f/x =200 N/m ， rad/s----------2分

(1) 选平衡位置为原点，x 轴指向下方（如图所示）， (2) t = 0时， x 0 = 10A cos φ ，v 0 = 0 = -A ωsin φ

解以上二式得： A = 10 cm ，φ = 0-----------------------------------------2分

∴ 振动方程x = 0.1 cos(7.07t ) (SI)------------------------------------1分 (2) 物体在平衡位置上方5 cm 时，弹簧对物体的拉力：f = m (g -a ) 而： a = -ω2x = 2.5 m/s 2 ∴ f =4 (9.8－2.5) N= 29.2 N----------------------------------------------3分

(3) 设t 1时刻物体在平衡位置，此时x = 0，即： 0 = A cos ω t 1或cos ω t 1

∵ 此时物体向上运动，v < 0；∴ ω t 1 = π/2， t 1= π/2ω = 0.222 s------------------------1分 再设t 2时物体在平衡位置上方5 cm 处，此时x = -5，即：-5 = A cos ω t 1，cos ω t 1 =－1/2 ∵ 0， ω t 2 = 2π/3， t 2=2 π/3ω =0.296 s-----------------------------2分

?t = t 1-t 2 = (0.296－0.222) s

＝0.074 s-------------------------1

分

3．5191：解：(1) v m = ωA ∴ω = v m / A =1.5 s -1

∴ T = 2π/ω = 4.19 s--------------------------------------------3分

(2) a m = ω2A = v m ω = 4.5×10-2 m/s 2 ------------------------------2分 (3)

， x = 0.02 (SI)-----------3分 4．3391：解：设小球的质量为m ，则弹簧的劲度系数：

选平衡位置为原点，向下为正方向．小球在x 处时，

根据牛顿第二定律得：

将 ，代入整理后得：

∴ 此振动为简谐振动，其角频率为-------------------3分 ------------------------2分 设振动表达式为： 由题意：t = 0时，x 0 = A=m ，v 0 = 0，

解得： φ = 0--------------------------------------------------1分 2

22/2T mA ππ21)1223cos(05.0π+

t ω)121cos(05.0π-t ωπ-

2107.7/≈=m k ωπ=21φ)215.1cos(π+t 0/l mg k =2

20d /d )(t x m x l k mg =+-0/l mg k =0//d d 022=+l gx t x π===1.958.28/0l g ω)cos(

φω+=t A x 2

102-?+x )

∴

-------------------------2分 5．3835：解一：(1) 取平衡位置为原点，向下为x 正方向．设物体在平衡位置时弹簧的伸长量为?l ，则有, 加拉力F 后弹簧又伸长x 0，则：

解得： F = kx 0-------------------------------2分

由题意，t = 0时v 0 = 0；x = x 0 则：----------2分

又由题给物体振动周期

s ，可得角频率 , ∴ N --------------------------------------------1分 (2) 平衡位置以下1 cm 处：

---------------------------2分 J-----------------------------------------------2分

= 4.44×10-4 J-------------------------1分

解二：(1) 从静止释放，显然拉长量等于振幅A （5 cm ），----------------2分 ，ν = 1.5 Hz--------------------------------------------2分

∴ F = 0.444 N-------------------------------------------------------1分

(2) 总能量：

J-------------------2分

当x = 1 cm 时，x = A /5，E p 占总能量的1/25，E K 占24/25---------------2分

∴ J ，J------------1分

6．3836：解：(1)

= 0.201 s ------------------3

分 (2)

= 3.92×10-3 J ----------------------------------------2

分 7．5506：解：由物体受力F = -8x 可知物体作简谐振动，且和F = -kx 比较，知 k = 8

N/m ，则：(rad/s)2 --------------------------------------------------2分

简谐振动动能最大值为：= 0.04 J----------------3分

8．5511：解：设物体的运动方程为： 恒外力所做的功即为弹簧振子的能量：F ×0.05 = 0.5 J---------------------------2分

当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5 J ，即：J ， ∴ A = 0.204 m--------------------------------------------------------------------2分

A 即振幅。

(rad/s)2 ω = 2 rad/s---------------------------2分

按题目所述时刻计时，初相为φ = π------------------------------------------2分

∴ 物体运动方程为： (SI)----------------2分

)1.9cos(1022t x π?=-l k mg ?=0)(0=+-+?x l k mg F 02020)/(x x A =+=ωv 4832=

T T π=2ω2ωm k =444.0)/4(22=π==A T m kA F )()/2(2222x A T -π=v 2

21007.121-?==

v m E K 2

222)/4(2121x T m kx E p π==kA F =2224νωπ==m m k 221011.12121-?===

FA kA E 21007.1)25/24(-?==E E K 41044.425/-?==E E p )//(2/2/2l g m k m T ?π=π=π=ω22)/(2121A l mg kA E ?==

4/2==m k ω2

221A m E Km ω=

)cos(φω+=t A x 5

.0212=kA 4/2==m k ω?)2cos(204.0π+=t x

机械振动和机械波知识点总结与典型例题

高三物理第一轮复习《机械振动和机械波》 一、机械振动： （一）夯实基础： 1、简谐运动、振幅、周期和频率： （1）简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动。 特征是：F=-kx,a=-kx/m （2）简谐运动的规律： ①在平衡位置：速度最大、动能最大、动量最大；位移最小、回复力最小、加速度最小。 ②在离开平衡位置最远时：速度最小、动能最小、动量最小；位移最大、回复力最大、加速度最大。 ③振动中的位移x 都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置，大小为这两位置间的直线距离。加速度与回复力、位移的变化一致,在两个“端点”最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置。 ④当质点向远离平衡位置的方向运动时，质点的速度减小、动量减小、动能减小，但位移增大、回复力增大、加速度增大、势能增大，质点做加速度增大减速运动；当质点向平衡位置靠近时，质点的速度增大、动量增大、动能增大，但位移减小、回复力减小、加速度减小、势能减小，质点做加速度减小的加速运动。 ④弹簧振子周期：T= 2 (与振子质量有关,与振幅无关) （3）振幅A ：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。它是描述振动强弱的物理量, 是标量。 （4）周期T 和频率f ：振动物体完成一次全振动所需的时间称为周期T,它是标量，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为频率，单位是赫兹（Hz ）。周期和频率都是描述振动快慢的物理量，它们的关系是：T=1/f. 2、单摆： （1）单摆的概念：在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，线的伸缩和质量可忽略，线长远大于球的直径，这样的装置叫单摆。 （2）单摆的特点： ○ 1单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型; ○ 2单摆的等时性，在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与振幅、摆球的质量等无关; ○3单摆的回复力由重力沿圆弧方向的分力提供，当最大摆角α<100 时，单摆的振动是简谐运动，其振动周期T= g L π 2。 （3）单摆的应用：○1计时器；○2测定重力加速度g=2 24T L π. 3、受迫振动和共振： （1）受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动叫受迫振动，其振动频率和固有频率无关，等于驱动力的频率；受迫振动是等幅振动，振动物体因克服摩擦或其它阻力做功而消耗振动能量刚好由周期性的驱动力做功给予补充，维持其做等幅振动。 （2）共振：○1共振现象：在受迫振动中，驱动力的频率和物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象称为共振。 ○ 2产生共振的条件：驱动力频率等于物体固有频率。○3共振的应用：转速计、共振筛。 4、简谐运动图象： （1）特点：用演示实验证明简谐运动的图象是一条正弦（或余弦）曲线。 （2）简谐运动图象的应用： ①可求出任一时刻振动质点的位移。 ②可求振幅A ：位移的正负最大值。 ③可求周期T ：两相邻的位移和速度完全相同的状态的时间间隔。 ④可确定任一时刻加速度的方向。 ⑤可求任一时刻速度的方向。 ⑥可判断某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。 πm K

小学数学中的合情推理

小学数学中的合情推理 (2009-07-29 16:35:15) 分类：教学 标签： 杂谈 合情推理，是美籍数学家波利亚在30年代提出的概念，它是指“观察、归纳、类比、实验、联想、猜测、矫正和调控等方法”。波利亚在致力改变美国数学落后状态的工作中，大力倡导合情推理的方法，并获得成功。 在数学学科教学中，我们重视和加强了双基教学，但学生在校所学到的学科知识，随着他们离开学校，多数会逐渐忘掉，甚至有的会忘得“一干二净”。如果说“教育是所有学会的东西都忘却以后，仍然留下来的那些东西”（M?劳厄），学生学习数学获得的不仅仅是知识，除此之外，更为重要的是思想与方法。而在研究探究性学习的今天，我们的教学一直在研究如何组织和组织的形式上，对在发展过程中使用的合情推理等方法没有予以足够的重视，而这些恰恰是人的优秀文化素质的重要组成部分。再联想到有关团体对中外学生调查结果显示的中国学生科学测验成绩较差的信息，不能不使我们感到加强对合情推理能力的培养已是刻不容缓。 一、合情推理在数学能力发展中的功能和作用 《数学课程标准（实验稿）》在课程的具体目标中明确提出了“培养和发展学生的合情推理能力”。合情推理，它“是在认知过程中，主体根据自己在日常生活中积累的知识、经验，经过非演绎（或非完全演绎）的思维而得到合乎情理、理想化结论的一种推理方式”。其主要表现在：“它可能是……”（猜测），“做出来看一看”（实验），“由上所述可得……”（归纳），“将人心比自心”（类比），“可以想象”（联想）等。 合理推理与通常所说的论证推理是不相同的。论证推理是可靠的；而合情推理是根据经验、知识、直观与感觉得到的一种可能性结论的推理，它推出的结论不一定都正确，却和论证推理一样在数学和生活中都有广泛的应用。在社会生活中，医生诊断疾病，法官审判案件，军事家指挥战争，人际交往等都应用合情推理。一些科学发现的思维，也主要是合情推理：量子力学方程是猜出来的；球体公式是阿基米德“称”出来的；而现代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰出成果。事实证明，合情推理的这两种主要推理方式…归纳?和…类比?，不受逻辑规则的约束具有强烈的创造性质，它推动了数学的进步和发展。尽管由类比、归纳得出的结论不一定正确，必须加以论证才能确立，但它在数学教学中突出发展学生创造性思维的

《机械振动》单元测试题(含答案)

《机械振动》单元测试题(含答案) 一、机械振动 选择题 1．如右图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O 点为平衡位置，在a 、b 两点之间做简谐运动，其振动图象如图乙所示．由振动图象可以得知( ) A ．振子的振动周期等于t 1 B ．在t ＝0时刻，振子的位置在a 点 C ．在t ＝t 1时刻，振子的速度为零 D ．从t 1到t 2，振子正从O 点向b 点运动 2．如图所示，在一条张紧的绳子上悬挂A 、B 、C 三个单摆，摆长分别为L 1、L 2、L 3，且L 1＜L 2＜L 3，现将A 拉起一较小角度后释放，已知当地重力加速度为g ，对释放A 之后较短时间内的运动，以下说法正确的是（ ） A ．C 的振幅比 B 的大 B ．B 和 C 的振幅相等 C ．B 的周期为2π 2 L g D ．C 的周期为2π 1 L g 3．如图所示的单摆，摆球a 向右摆动到最低点时，恰好与一沿水平方向向左运动的粘性小球b 发生碰撞，并粘在一起，且摆动平面不便．已知碰撞前a 球摆动的最高点与最低点的高度差为h ，摆动的周期为T ，a 球质量是b 球质量的5倍，碰撞前a 球在最低点的速度是b 球速度的一半．则碰撞后 A 56 T

B ．摆动的周期为 65 T C ．摆球最高点与最低点的高度差为0.3h D ．摆球最高点与最低点的高度差为0.25h 4．如图所示,甲、乙两物块在两根相同的弹簧和一根张紧的细线作用下静止在光滑水平面上,已知甲的质量小于乙的质量．当细线突然断开斤两物块都开始做简谐运动,在运动过程中（ ） A ．甲的最大速度大于乙的最大速度 B ．甲的最大速度小于乙的最大速度 C ．甲的振幅大于乙的振幅 D ．甲的振幅小于乙的振幅 5．如图所示，一端固定于天花板上的一轻弹簧，下端悬挂了质量均为m 的A 、B 两物体，平衡后剪断A 、B 间细线，此后A 将做简谐运动。已知弹簧的劲度系数为k ，则下列说法中正确的是（ ） A ．细线剪断瞬间A 的加速度为0 B ．A 运动到最高点时弹簧弹力为mg C ．A 运动到最高点时，A 的加速度为g D ．A 振动的振幅为 2mg k 6．用图甲所示的装置可以测量物体做匀加速直线运动的加速度，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方。物体带动纸带一起向左运动时，让单摆小幅度前后摆动，于是在纸带上留下如图所示的径迹。图乙为某次实验中获得的纸带的俯视图，径迹与中央虚线的交点分别为A 、B 、C 、D ，用刻度尺测出A 、B 间的距离为x 1；C 、D 间的距离为x 2。已知单摆的摆长为L ，重力加速度为g ，则此次实验中测得的物体的加速度为（ ） A ． 212()x x g L π- B ． 212()2x x g L π- C ． 212()4x x g L π- D ． 212()8x x g L π-

(整理)合情推理和演绎推理》.

第十七章推理与证明 ★知识网络★ 第1讲合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ 1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论. 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： （1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 （2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系

难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1<；…. 对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点，则当AB 与椭圆的长轴垂直时，AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题3：定义[x]为不超过x 的最大整数，则[-2.1]= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数，所以[-2.1]=-3 ★热点考点题型探析★ 考点1 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 [例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 0 20202=++； 23165sin 105sin 45sin 020202=++；23 180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” [解析]猜想：2 3 )60(sin sin )60(sin 0 2202= +++-ααα 证明：左边=2 00 2 2 00 )60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- = 2 3 )cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型 （2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性） [例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图

机械振动课程期终考试卷-答案

一、填空题 1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动）和非线性振动；确定性振动和（随机振动）；（自由振动）和强迫振动。 2、周期运动的最简单形式是（简谐运动），它是时间的单一（正弦）或（ 余弦）函数。 3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。 4、简谐激励下单自由度系统的响应由（瞬态响应）和（稳态响应）组成。 5、工程上分析随机振动用（数学统计）方法，描述随机过程的最基本的数字特征包括均值、方差、（自相关函数）和（互相关函数）。 6、单位脉冲力激励下，系统的脉冲响应函数和系统的（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和系统的（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 2、在离散系统中，弹性元件储存( 势能)，惯性元件储存（动能），（阻尼）元件耗散能量。 4、叠加原理是分析（线性）系统的基础。 5、系统固有频率主要与系统的（刚度）和（质量）有关，与系统受到的激励无关。 6、系统的脉冲响应函数和（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（往复弹性）运动。 1．振动基本研究课题中的系统识别是指根据已知的激励和响应特性分析系统的性质，并可得到振动系统的全部参数。（本小题2分） 2．振动按激励情况可分为自由振动和强迫振动两类。（本小题2分）。 3．图（a）所示n个弹簧串联的等效刚度= k ∑ = n i i k1 1 1 ；图（b）所示n个粘性阻尼串联的等效粘 性阻尼系数= e C ∑ = n i i c1 1 1 。（本小题3分） （a）（b） 题一 3 题图 4．已知简谐振动的物体通过距离静平衡位置为cm x5 1 =和cm x10 2 =时的速度分别为s cm x20 1 = &和s cm x8 2 = &，则其振动周期= T；振幅= A10.69cm。（本小题4分） 5．如图（a）所示扭转振动系统，等效为如图（b）所示以转角 2 ?描述系统运动的单自由度 系统后，则系统的等效转动惯量= eq I 2 2 1 I i I+，等效扭转刚度= teq k 2 2 1t t k i k+。（本小题4分）

高一物理 机械运动、位移 典型例题

高一物理机械运动、位移典型例题 [例1]甲、乙、丙三架观光电梯，甲中乘客看一高楼在向下运动；乙中乘客看甲在向下运动；丙中乘客看甲、乙都在向上运动.这三架电梯相对地面的运动情况是[] A.甲向上、乙向下、丙不动 B.甲向上、乙向上、丙不动 C.甲向上、乙向上、丙向下 D.甲向上、乙向上、丙也向上，但比甲、乙都慢 [分析]电梯中的乘客观看其他物体的运动情况时，是以自己所乘的电梯为参照物.甲中乘客看高楼向下运动，说明甲相对于地面一定在向上运动.同理，乙相对甲在向上运动，说明乙对地面也是向上运动，且运动得比甲更快.丙电梯无论是静止，还是在向下运动，或以比甲、乙都慢的速度在向上运动，丙中乘客看甲、乙两电梯都会感到是在向上运动. [答] B、C、D. [例2]下列关于质点的说法中，正确的是[] A.体积很小的物体都可看成质点 B.质量很小的物体都可看成质点 C.不论物体的质量多大，只要物体的尺寸跟物体间距相比甚小时，就可以看成质点 D.只有低速运动的物体才可看成质点，高速运动的物体不可看作质点 [分析] 一个实际物体能否看成质点，跟它体积的绝对大小、质量的多少以及运动速度的高低无关，决定于物体的尺寸与物体间距相比的相对大小.例如，地球可称得上是个庞然大物，其直径约为1.28×107 m，质量达到6×1024kg，在太空中绕太阳运动的速度每秒几百米.由于其直径与地球离太阳的距离（约1.5×1011m）相比甚小，因此在研究地球的公转运动时，完全可以忽略地球的形状、大小及地球自身的运动，把它看成一个质点. [答] C.

[例3]下列各种情况，可以把研究对象（黑体者）看作质点的是[] A. 研究小木块的翻倒过程 B. 讨论地球的公转 C. 解释微粒的布朗运动 D. 计算整列列车通过某一路标的时间 [误解一] 小木块体积小，远看可视为一点；作布朗运动的微粒体积极小，当然是质点，故选（A）、（C）。 [误解二] 列车作平动，车上各点运动规律相同，可视为质点，故选（D）。 [正确解答] 讨论地球的公转时，地球的直径（约1.3×104km）和公转的轨道半径（约1.5×108km）相比要小得多，因而地球上各点相对于太阳的运动差别极小，即地球的大小和形状可以忽略不计，可把地球视为质点，故选（B）。 [错因分析与解题指导] 物理研究中常建立起一些理想化的模型，它是物理学对实际问题的简化，也叫科学抽象。它撇开与当前观察无关的因素和对当前考察影响很小的次要因素，抓住与考察有关的主要因素进行研究、分析、解决问题，质点就是一个理想化的模型。[误解一] 以为质点是指一个很小的点。但在小木块的翻倒过程中，木块各点绕一固定点转动，各点运动情况不同，不可看作质点。至于作布朗运动的粒子，尽管体积极小，仍受到来自各个方向上的液体分子（具有更小体积）的撞击，正是这种撞击作用的不平衡性使之作无规则运动，也不可把布朗运动粒子视为质点。[误解二]以为火车在铁道上的运动为平动，可视为质点。而本题实际考察的是经过某路标的时间，就不能不考察它的长度，在这情况中不能视其为质点。 [例4]关于质点的位移和路程的下列说法中正确的是[] A. 位移是矢量，位移的方向即质点运动的方向 B. 路程是标量，即位移的大小 C. 质点沿直线向某一方向运动，通过的路程等于位移的大小 D. 物体通过的路程不等，位移可能相同 [误解]选（A），（B）。

合情推理与演绎推理的教学案例

2.1合情推理与演绎推理导学案 一、教学目标：通过几个练习题的思考和讨论，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力； 二、教学过程展示： 展示题组一： 1．已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添加的条件为．你得到的一对全等三角形是△≌△． 2．如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，下面有四个条件，请你从其中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并证明．①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF． 课后练习：如图，在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个结论：①AD=CB；②AE=CF；③∠B=∠D；④AD∥BC．请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论编一道数学题，并写出解答过程． 考查内容：1．从复杂图形中分解出基本的图形，能否利用合情推理能力获得合理的数学猜想。2、从图形中观察猜想，通过合情推理组成命题，然后用演绎推理验证命题的正确

性，从而正确解决问题。3．考查内容同2，课后练习巩固此类题的解决方法，进一步培养其推理能力。

展示题组二： 1、如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME ＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G． （1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； （2）连结FG，如果α＝45°，AB＝4√2，AF＝3，求FG的长． 2、图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上. （1）在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形.（画一个即可）（3分） （2）在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形.（画一个即可）

机械振动基础试卷3答案

（共计15分） 故系统的周期为 2.重物m 1悬挂在刚度为k 的弹簧上，并处于静平衡位置，另一重物m 2 从高度为h 处自由落到m i 上无弹跳，如图2所示，求其后的运动。（共 计15分） 解：根据题意，取M=M 1+m 2所处的平衡位置为原点，向下为正，得系 统运动的微分方程为: =詈cos （pZ t ） jl^sin （pZ t ） k m 1 m 2 . k . m, m 2 3.如图3所示系统两个圆盘的半径为r ,设 I 1 I 2 I,k 1 k 2 k,k 3 3k,求系统的固有频率和振型。（共计15分） 解：取1, 2为系 统的广义坐标， 系统的动能为 E T I 1 12 212 22 11 （ 12 22） 振动分析与实验基础课程考试 3答案 1.求如图1所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂, 且k 2 2k 〔 ， k g k 〔 o 解: 等效刚度二一1— 1 1 (-—) k 1 k 2 k 3 永1 5k 1 k m 3m 解得 x x 0cos n t —°sin n t n T 乙2 n

2). 1 2 1 2 1 2 U 尹i (r J 2 步(「! r 2)2 尹(「2)2 系统的特征方程为: 在频率比/ n = , 2时，恒有X A 2).在/ n V 、2 , X/A 随E 增大而减小，而在 / n > 2 , X/A 随 E 增大而增大 (共计15分) 证明：1).因—<1 (2 / n )2|H() A^ 1 故当 / n = 2 时， |H(W )| .—. V 1 (2 J 2)2 所以，X 1 (2 2 )2 1,故无论阻尼比E 取何值恒有 X/A A ；1 (2 厨 (2 / n )2 ( / n )2 2( / n )2 1 (2 / n )2 (1 ( / n )2)2 (2 / n )2'2 系统的势能为 从而可得 k 1r 2 k 2r 2 k 2r 2 k 2r 2 k 2r 2 k 3r 2 2kr 2 kr 2 kr 2 4kr 2 得 W 12 (3 .2)牛 (3 其振型分别为：U 1 u 2 4. H( )| 1 (2 / n )2, |H( )| 1/ . 1-( / n ) 2 2 (2 / n )2 证明: 1).无论阻尼比E 取何值,

高考复习——《机械振动》典型例题复习

九、机械振动 一、知识网络 二、画龙点睛 概念 1、机械振动 (1)平衡位置：物体振动时的中心位置，振动物体未开始振动时相对于参考系静止的位置，或沿振动方向所受合力等于零时所处的位置叫平衡位置。 (2)机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动。 (3)振动特点：振动是一种往复运动，具有周期性和重复性 2、简谐运动 (1)弹簧振子：一个轻质弹簧联接一个质点，弹簧的另一端固定，就构成了一个弹簧振子。 (2)振动形成的原因 ①回复力：振动物体受到的总能使振动物体回到平衡位置，且始终指向平衡位置的力，叫回复力。 振动物体的平衡位置也可说成是振动物体振动时受到的回复力为零的位置。

②形成原因：振子离开平衡位置后，回复力的作用使振了回到平衡位置，振子的惯性使振子离开平衡位置；系统的阻力足够小。 (4)简谐运动的力学特征 ①简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐运动。 ②动力学特征：回复力F与位移x之间的关系为 F＝－kx 式中F为回复力，x为偏离平衡位置的位移，k是常数。简谐运动的动力学特征是判断物体是否为简谐运动的依据。 ③简谐运动的运动学特征 a＝－k m x 加速度的大小与振动物体相对平衡位置的位移成正比，方向始终与位移方向相反，总指向平衡位置。 简谐运动加速度的大小和方向都在变化，是一种变加速运动。简谐运动的运动学特征也可用来判断物体是否为简谐运动。 例题：试证明在竖直方向的弹簧振子做的也是简谐振运动。 证明：设O为振子的平衡位置，向下方向为正方向，此时弹簧形变量为ｘ0，根据胡克定律得 ｘ0＝mg/k 当振子向下偏离平衡位置ｘ时，回复力为 F＝mg－ｋ(ｘ＋ｘ0) 则Ｆ＝－kx 所以此振动为简谐运动。 3、振幅、周期和频率 ⑴振幅 ①物理意义：振幅是描述振动强弱的物理量。 ②定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。 ③单位：在国际单位制中，振幅的单位是米(m)。

合情推理

合情推理 （上饶市秦峰中学朱校华2014·11·03原创）美国有一位数学家、数学教育家叫波利亚，他撰了一本论著叫《数学与猜想》，在这本书的序言中，其中有这样一段话说得特别好，他说：“作为以后要想把数学作为自己终身职业的人，应该学习演绎推理，因为这是该学科的一大特点，当然他还要学习合情推理，因为这是使得他的研究工作能够得以进行的一种推理形式；如果你不是把数学作为自己终身职业的人，同样也要学习演绎推理，因为学习了演绎推理，你就获得了一种标准，这个标准就可以用来衡量日常生活中，我们碰到的一些事情；更应该要学习合情推理，因为在你的日常生活当中，方方面面都要用到合情推理.”波利亚很辩证地说清了演绎推理和合情推理这两种推理形式，对于一个无论是以后做数学研究的人，还是不做数学研究的人，它的重要性都阐释得很充分.说明合情推理对于我们每个人来说都是很重要的！必须要掌握！ 事实上，推理不光是数学的一种基本思维方式，也是人们学习和生活当中，具备并经常使用的一种思维方式，推理主要包括演绎推理和合情推理。 演绎推理是从已知的事实出发，按照一些已确定的规则，然后进行逻辑的推理、证明和计算的一个过程。换句话说，演绎推理是从一般到特殊的一种思维形式，常常是由普通性的前提推出特殊性的结论的一种推理，主要有三段论、假言推理和选言推理三种样式。在几何的证明当中，实际上都是这样一种推理的形式。下面就三种形式分别举三个例子来悟悟：①正方形一定是长方形，这个图形是正方形，所以它一定是长方形；②如果一个图形是长方形，那么它的四个内角均是直角，这个图形四个内角不是直角，所以它不是长

方形；③一个三角形，或者是锐角三角形，或者是直角三角形，或者是钝角三角形，这个三角形不是锐角三角形和钝角三角形，所以它一定是直角三角形。 来推断，以获得一些可能性结论的一种思维方式。和演绎推理对比不一样的地方在于：合情推理往往是从特殊到一般的一种推理，所以合情推理得到的结论，可能不一定是对的，通常可称之为猜想或推测，是一个可许性结论。但是合情推理在数学整个发展过程当中，包括在学生学习数学和今后的社会实践和生活当中，却是特别重要的。有两个常用思维可用来支持这个合情推理的重要性。第一个就是抽象思维，抽象的过程，是从特殊到一般的过程，很多重要概念的形成，实际上是抽象的过程，这样一个过程对于概念的认识和理解，是非常重要的；第二个就是统计思维，最基本的推理方式是归纳，当然这里面还有其他直觉的、经验的成份，包括特殊化和一般化。事实上，数学概念的形成，定理的得到，是经历了归纳、类比的过程，最后才能形成所得到的一些认知. 在人的成长过程中，不专门从事数学工作，可能很少有机会接触严格的演绎推理，但是合情推理却要经常被使用到。我们日常生活中的许多现象，其实往往都是由合情推理得来的。比如，有一句谚语叫“红云变黑云，必有大雨淋；天色亮一亮，河水涨一丈！”你说怎么用演绎的方法去证明呢，它就是由合情推理产生的，但是它却能够给我们提供生活指导与帮助。因此，平常数学学习要注重大胆地去猜想、大胆地去归纳、大胆地去验证。通过动手动脑感悟到的东西，一定要先写出来；再利用演绎的方法从逻辑上去证明；另外，合情推理和演绎推理能力的培养，许多领域里面也都会有所体现。下面给出两例予以悟之！ 第一例：有关含“绝对值式”计算的系列题： a a ⑴计算＝？，（显然字母a≠0，下同；答案：±1，说明“1个式子，有2个答案”！）

机械振动基础试卷

机械振动基础试卷 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

振动分析与实验基础课程考试试卷 1 1. 设有两个刚度分别为21,k k 的线性弹簧如图1所示， 试证明：1）它们并联时的总刚度eq k 为： 2）它们串联时的总刚度eq k 为： (共计15分) 2. 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ，设将物体向下拉，使弹簧有静 伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。 (共计15分) 3. 求如图2所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴1O ，2O 转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置（半径1O A 与2O B 在同一水平线上），弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘， 质量分别为1m ,2m 。(共计15分) 4. 试证明：对数衰减率也可用下式表示 n n x x l n 01=δ （式中n x 是经过n 个循环后的振幅）。 并给出在阻尼比ξ为0.01，0.1，0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。(共计15分) 5. 如图3所示的扭振系统，设, 221I I =12t t K K = 1).写出系统的刚度矩阵和质量矩阵。 2).写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。 (共计15分) 6. 证明：对系统的任一位移{}x ，Rayleigh 商 满足221)(n x R ωω≤≤

这里[]K和[]M分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，1ω和nω分别是系统的最低和最高固有频率。(共计15分) 7. 求整流正弦波 T tπ A x(t) 2 sin =的均值，均方值和方差。(共计10分)

合情推理──归纳推理

《合情推理─归纳推理》的评课 朱辉华 师：我们知道，“推理”活动对于人们认知客观世界和改造客观世界而言，具有非常重要的意义。所以我们有必要对“推理”的数学意义进行较深入的学习和加强。虽然，以古希腊为代表的西方数学在“推理”方面具有明显的特点与优势，但中国古代也产生了大量的、擅长“推理”的“专家”。现在请大家观看一段视频，并且在观看的同时思考一个问题：即里面所涉及的主要人物是怎样对面临的问题进行推理的？ 下面的视频是三国演义中有关“草船借箭”的视频，主要演示当晚江中两军对峙的若干场景以及曹操面对“敌军忽至”的应对策略，时间为1分20秒。 师：视频中显示的主人公是谁呀？ 生：曹操！ 师：那“草船借箭”真正的主人公是谁？ 生：诸葛亮！ 师：俗话说的好：三个臭皮匠，顶个诸葛亮，下面我们来分析一下他怎么敢在周瑜面前夸下海口，保证能借到“箭”呢？有什么理由？ 生：因为曹操性格是多疑的，他怀疑有埋伏，…… 老师和学生一起进一步分析，得到： ?????? ?? (1)今夜恰有大雾(2)曹操生性多疑草船借箭必将成功(3)弓弩利于远战(4)北军不擅水战 师：由上可见，诸葛亮显然是一个善于利用推理的“专家”。象这种利用几个已知的判断来确定一个新的判断，这就是我们前面所讲的“推理”。 教师下面介绍了“推理”的概念。并利用如下的“思考1”让学生学习了“推理”与“合情推理”的分类，引出了本节课的主题───归纳推理。 思考1：试根据以下前提进行猜想。 ①由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电 ②由三角形内角和为180°，凸四边形内角和为360°，凸五边形内角和为540°。 ③地球上有生命，火星具有一些与地球类似的特征。 ④因为所有人都会死，而苏格拉底是人。 师：我们通过“思考1”的前面两个小题与屏幕上的两种推理（注：这里略去）能不能总结出“归纳推理”的某些特征。 生：很好！我们可以借此得到归纳推理的概念。即由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。这里面哪些是关键词？ 生：部分对象，全部对象，个别事实，一般结论。 师：很不错！事实上归纳推理即为由部分到整体，由个别到一般的推理。这种推理在生活及学习中极为常见。大家能不能分组讨论一下，得到一些例子？ 学生积极参与了讨论，也得到了一些生活以及学科上的例子，如市场的菜涨价问题、用样本去估计总体以及化学中酸与碱反应问题等等。

第45讲 合情推理与演绎推理

第45讲合情推理与演绎推理 1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理与类比推理． 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行简单的演绎推理． 3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异． 知识梳理 1．合情推理 (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事物概括出一般结论的推理．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．类比推理是由特殊到特殊的推理． (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察，分析，比较，联想，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为 合情推理． 2．演绎推理 (1)从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)三段论是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断. 热身练习 1．(2015·陕西卷)观察下列等式：

1－12＝12 ， 1－12＋13－14＝13＋14 ， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …… 据此规律，第n 个等式为 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1 2n . 等式左边是一个和式，先观察其通项： 等式的左边的通项为 12n －1－12n ， 前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－1 2n ； 右边的每个式子的第一项为1 n ＋1 ， 共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1 n ＋n . 所以第n 个等式为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1 2n . 2 类比得：b 1·b 2·b 3·b 4·b 5＝b 53. 3．如图(1)有面积关系：S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′·PB ′P A ·PB ，则由图(2)有体积关系：V P －A ′B ′C ′ V P －ABC ＝ P A ′·PB ′·PC ′ P A ·PB ·PC . 平面上的面积可类比到空间上的体积． V P －A ′B ′C ′V P －ABC ＝1 3·S △P A ′B ′·h ′13·S △P AB ·h ＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC .

《机械振动》单元测试题(含答案)

《机械振动》单元测试题(含答案) 一、机械振动选择题 1．甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知（） A．甲的速度为零时，乙的速度最大 B．甲的加速度最小时，乙的速度最小 C．任一时刻两个振子受到的回复力都不相同 D．两个振子的振动频率之比f甲：f乙=1：2 E.两个振子的振幅之比为A甲：A乙=2：1 2．如图所示,甲、乙两物块在两根相同的弹簧和一根张紧的细线作用下静止在光滑水平面上,已知甲的质量小于乙的质量．当细线突然断开斤两物块都开始做简谐运动,在运动过程中（） A．甲的最大速度大于乙的最大速度 B．甲的最大速度小于乙的最大速度 C．甲的振幅大于乙的振幅 D．甲的振幅小于乙的振幅 3．甲、乙两单摆的振动图像如图所示，由图像可知 A．甲、乙两单摆的周期之比是3:2 B．甲、乙两单摆的摆长之比是2:3 C．t b时刻甲、乙两摆球的速度相同D．t a时刻甲、乙两单摆的摆角不等 4．在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同点，进一步推测未知现象的特性和规律．法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时，曾将扭秤的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系．已知单摆摆长为l，引力常量为G，地球质量为M，摆球到地心的距离为r，则单摆振动周期T与距离r的关系式为() A．T=2GM l B．T=2 l GM

C ．T = 2πGM r l D ．T =2πl r GM 5．用图甲所示的装置可以测量物体做匀加速直线运动的加速度，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方。物体带动纸带一起向左运动时，让单摆小幅度前后摆动，于是在纸带上留下如图所示的径迹。图乙为某次实验中获得的纸带的俯视图，径迹与中央虚线的交点分别为A 、B 、C 、D ，用刻度尺测出A 、B 间的距离为x 1；C 、D 间的距离为x 2。已知单摆的摆长为L ，重力加速度为g ，则此次实验中测得的物体的加速度为（ ） A ． 212 ()x x g L π- B ． 212 ()2x x g L π- C ． 212 ()4x x g L π- D ． 212 ()8x x g L π- 6．如图所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A 、B 、C 三点由静止同时释放，最后都到达竖直面内圆弧的最低点D ，其中甲是从圆心A 出发做自由落体运动，乙沿弦轨道从一端B 到达最低点D ，丙沿圆弧轨道从C 点运动到D ，且C 点很靠近D 点，如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断正确的是（ ） A ．丙球最先到达D 点，乙球最后到达D 点 B ．甲球最先到达D 点，乙球最后到达D 点 C ．甲球最先到达 D 点，丙球最后到达D 点 D ．甲球最先到达D 点，无法判断哪个球最后到达D 点 7．如图1所示，轻弹簧上端固定，下端悬吊一个钢球，把钢球从平衡位置向下拉下一段距离A ，由静止释放。以钢球的平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立x 轴，当钢球在振动过程中某一次经过平衡位置时开始计时，钢球运动的位移—时间图像如图2所示。已知钢球振动过程中弹簧始终处于拉伸状态，则（ ） A ．1t 时刻钢球处于超重状态

合情推理

几何2 主持人A：介绍嘉宾。说明本课题主要内容，引出下面的话题。 以往，一提起几何教学，我们（包括学生）首先想到的往往是“证明”——证明两条直线平行、证明两个三角形全等…，以至于我们无论是教学还是考试常常不知不觉将“证明能力”等同于“几何能力”。新课程的实施已经对此给出了答案。与此同时，有的教师针对当今课堂里出现的一些问题，又提出了新的担忧——学生整体推理能力在下降。事实果真如此吗？今天我们就研讨如何看待与发展学生的推理能力。 按照新课程的理念，学生的推理能力主要由“合情推理”能力与“演绎论证”能力构成。因此，我们的研讨就围绕这两个方面进行。 B：让我们首先看这样一个问题： 许多教过老人教版教材的老师教了新教材之后普遍有这样一个看法：新教材轻视了对概念的准确定义以及对定理的推理论证，没有展开分析、讨论，只要求学生去记概念、定理，讲求会用就行，这就叫知其然，不知其所以然，显然不利于学生的长期发展。如：北师版七下关于“三角形内角和定理”的内容没有证明过程，只是让学生用剪纸拼接实验来加以说明，又如：七下教材中关于等腰三角形三线合一的内容，教材中也没有具体证明，用折纸的方法使学生确定它们的存在。这是逻辑推理的一大忌讳，不利于学生逻辑推理能力的培养，而失去了数学的严谨性。这种想法对吗？究其根源是什么？（屏幕显示） A:要解决此问题是否正确，关键是认识合情推理与演绎推理，弄清它们之间的联系。 C:一、认识合情推理与演绎推理 1、正确理解合情推理 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。（屏幕显示） 初中数学新课程标准关于《空间与图形》的教学中指出：“降低空间与图形的知识内在要求，力求遵循学生的心理发展和学习规律，着眼于直观感知与操作确认，多从学生熟悉的实际出发，让学生动手做一做，试一试，想一想，认识图形的主要特征与图形变换的基本性质，学会识别不同图形；同时又辅以适当的教学说明，培养学生一定的合情的推理能力”，并为学生“利用直观进行思考”提供了较多的机会。

机械振动基础习题

机械振动分析与应用习题 第一部分问答题 1．一简谐振动，振幅为0.20cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。 2．一加速度计指示结构谐振在80HZ时具有最大加速度50g，求振动的振幅。 3．一简谐振动，频率为10Hz，最大速度为4.57m/s，求谐振动的振幅、周期、最大加速度。 4．阻尼对系统的自由振动有何影响？若仪器表头可等效为具有黏性阻尼的单自由度系统，欲使其在受扰动后尽快回零，最有效的办法是什么？ 5．什么是振动？研究振动的目的是什么？简述振动理论分析的一般过程。 6．何为隔振？一般分为哪几类？有何区别？试用力法写出系统的传递率，画出力传递率的曲线草图，分析其有何指导意义。 第二部分计算题 1．求图2-1所示两系统的等效刚度。 图2-1 图2-2 图2-3 2．如图2-2所示，均匀刚性杆质量为m，长度为l，距左端O为l0处有一支点，求O点等效质量。3．如图2-3所示系统，求轴1的等效转动惯量。 图2-4 图2-5 图2-6 图2-7 4．一个飞轮其内侧支承在刀刃上摆动，如图2-4所示。现测得振荡周期为1.2s，飞轮质量为35kg，求飞轮绕中心的转动惯量。(注：飞轮外径100mm，R＝150mm。) 5．质量为0.5kg的重物悬挂在细弹簧上，伸长为8mm，求系统的固有频率。 6．质量为m1的重物悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置；另一质量为m2的重物从高度为h处自由降落到m l上而无弹跳，如图2-5所示，求其后的运动。 7．一质量为m、转动惯量为J的圆柱体作自由纯滚动，但圆心有一弹簧k约束，如图2-6所示，求振动的固有频率。 8．一薄长条板被弯成半圆形，如图2-7所示，让它在平面上摇摆，求它的摇摆周期。

高中物理选修3-4知识点机械振动与机械波解析教程文件

机械振动与机械波 简谐振动 一、学习目标 1.了解什么是机械振动、简谐运动 2.正确理解简谐运动图象的物理含义，知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线。 二、知识点说明 1.弹簧振子(简谐振子)： (1)平衡位置：小球偏离原来静止的位置； (2)弹簧振子：小球在平衡位置附近的往复运动，是一种机械 运动，这样的系统叫做弹簧振子。 (3)特点：一个不考虑摩擦阻力，不考虑弹簧的质量，不考虑 振子的大小和形状的理想化的物理模型。 2.弹簧振子的位移—时间图像 弹簧振子的s—t图像是一条正弦曲线，如图所示。 3.简谐运动及其图像。 (1)简谐运动：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。 (2)应用：心电图仪、地震仪中绘制地震曲线装置等。 三、典型例题 例1：简谐运动属于下列哪种运动() A．匀速运动B．匀变速运动 C．非匀变速运动D．机械振动 解析：以弹簧振子为例，振子是在平衡位置附近做往复运动，并且平衡位置处合力为零，加速度为零，速度最大．从平衡位置向最大位移处运动的过程中，由F＝－kx可知，振子的受力是变化的，因此加速度也是变化的。故A、B错，C正确。简谐运动是最简单的、最基本的机械振动，D正确。 答案：CD

简谐运动的描述 一、学习目标 1．知道简谐运动的振幅、周期和频率的含义。 2．知道振动物体的固有周期和固有频率，并正确理解与振幅无关。 二、知识点说明 1.描述简谐振动的物理量，如图所示： (1)振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离，。 (2)全振动：振子向右通过O点时开始计时，运动到A，然后向左回到O，又继续向左达到，之后又回到O，这样一个完整的振动过程称为一次全振动。 (3)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，符号T表示，单位是秒(s)。 (4)频率：单位时间内完成全振动的次数，符号用f表示，且有，单位是赫兹(Hz)，。 (5)周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，振动越快。 (6)相位：用来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。 2.简谐运动的表达式：。 (1)理解：A代表简谐运动的振幅；叫做简谐运动的圆频率，表示简谐运动的快慢，且；(代表简谐运动的相位，是t=0时的相位，称作初相位或初相；两个具有相同频率的简谐运动存在相位差，我们说2的相位比1超前。 (2)变形： 三、典型例题 例1：某振子做简谐运动的表达式为x＝2sin(2πt＋6π)cm则该振子振动的振幅和周期为() A．2cm1s B．2cm2πs C．1cmπ6s D．以上全错 解析：由x＝Asin(ωt＋φ)与x＝2sin(2πt＋6π)对照可得：A＝2cm，ω＝2π＝2πT，∴T＝1s，A选项正确。 答案：A 例2：周期为2s的简谐运动，在半分钟内通过的路程是60cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为() A．15次，2cm B．30次，1cm C．15次，1cm