2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：变化率与导数、导数的计算

第十一节变化率与导数、导数的计算

[备考方向要明了]

[归纳·知识整合]

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

lim Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx＝lim

Δx→0

Δy

Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，

即

f′(x0)＝lim

Δx→0Δy

Δx＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx.

(2)导数的几何意义：

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(3)函数f(x)的导函数：

称函数f ′(x )＝lim Δx →

f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

为f (x )的导函数．

[探究] 1.f ′(x )与f ′(x 0)有何区别与联系？

提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是常数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值． 2．曲线y ＝f (x )在点P 0(x 0，y 0)处的切线与过点P 0(x 0，y 0)的切线，两种说法有区别吗？ 提示：(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．

(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

3．过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y ＝f (x )图象上一点P 的切线与图象也只有公共点P 吗？

提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数

3．导数的运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

[自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)f ′(x )是函数f (x )＝1

3

x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为( )

A ．0

B ．3

C ．4

D ．－73

解析：选B ∵f (x )＝1

3x 3＋2x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2.

∴f ′(－1)＝3.

2．曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线方程为( ) A ．x ＋y ＋2＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y ＋2＝0

D ．x －y －2＝0

解析：选A ∵f (x )＝2x －x 3，∴f ′(x )＝2－3x 2. ∴f ′(－1)＝2－3＝－1. 又f (－1)＝－2＋1＝－1，

∴切线方程为y ＋1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋2＝0. 3．y ＝x 2cos x 的导数是( ) A ．y ′＝2x cos x ＋x 2sin x B ．y ′＝2x cos x －x 2sin x C ．y ＝2x cos x D ．y ′＝－x 2sin x

解析：选B y ′＝2x cos x －x 2sin x .

4．(教材习题改编)曲线y ＝sin x

x 在点M (π，0)处的切线方程是________．

解析：∵f (x )＝sin x

x ，∴f ′(x )＝x ·cos x －sin x x 2，

∴f ′(π)＝－ππ2＝－1

π

.

∴切线方程为y ＝－1

π(x －π)，即x ＋πy －π＝0.

答案：x ＋πy －π＝0

5．(教材习题改编)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.

解析：由题意知f ′(5)＝－1， f (5)＝－5＋8＝3，

∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：

2

[例1] 求下列函数的导数 (1)y ＝(1－x )?

??

?1＋

1x ； (2)y ＝ln x x ；

(3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e.

[自主解答] (1)∵y ＝(1－x )????1＋1x ＝1

x

－x ＝x 1

2-－x 1

2，

∴y ′＝(x

1

2

-)′－(x 1

2

)′＝－12x 32-－12

x 1

2

-.

(2)y ′＝????ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x

x 2 ＝1

x ·x －ln x x 2

＝1－ln x x 2. (3)y ′＝????sin x cos x ′ ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′

cos 2x

＝

cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2

x ＝1

cos 2x

. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′

＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋

3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.

若将本例(3)中“tan x ”改为“sin x

2????1－2cos 2x 4”如何求解？ 解：∵y ＝sin x 2????1－2cos 2x 4＝－sin x 2cos x 2＝－1

2sin x ∴y ′＝－1

2cos x ．

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求函数的导数的方法

(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；

(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量．

1．求下列函数的导数

(1)y ＝x ＋x 5＋sin x

x 2；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；

(3)y ＝11－x ＋11＋x ；(4)y ＝cos 2x

sin x ＋cos x .

解：(1)∵y ＝x 1

2＋x 5＋sin x x 2

＝x 32-＋x 3＋sin x

x 2， ∴y ′＝(x

3

2

-

)′＋(x 3)′＋(x －

2sin x )′

＝－32x 5

2-＋3x 2－2x －3sin x ＋x －

2cos x .

(2)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.

(3)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝2

1－x ，

∴y ′＝????21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2

＝2

(1－x )2. (4)y ＝cos 2x

sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，

∴y ′＝－sin x －cos x .

[例2] 求下列复合函数的导数： (1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2?

??2x ＋π

3；(4)y ＝ln(2x ＋5)． [自主解答] (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5 与u ＝2x －3复合而成，

∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′ ＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4.

(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12

与u ＝3－x 复合而成． ∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12

)′(3－x )′ ＝12u －12(－1)＝－12u 1

2- ＝－123－x ＝3－x 2x －6

.

(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π

3，

则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin ????2x ＋π3·cos ????2x ＋π3 ＝2sin ?

???4x ＋2π

3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， ∴y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝2

2x ＋5.

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复合函数求导应注意三点

一要分清中间变量与复合关系；二是复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任一环；三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系．

2．求下列复合函数的导数： (1)y ＝(1＋sin x )2；(2)y ＝ln x 2＋1；

(3)y ＝1

(1－3x )4

；(4)y ＝x

1＋x 2.

解：(1)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′ ＝2(1＋sin x )·cos x . (2)y ′＝(ln x 2＋1)′ ＝

1

x 2＋1

·( x 2＋1)′

＝1x 2＋1·12

(x 2

＋1)1

2-·(x 2＋1)′

＝

x x 2

＋1

.

(3)设u ＝1－3x ，y ＝u －4

. 则y x ′＝y u ′·u x ′＝－4u －

5·(－3)

＝

12

(1－3x )5

.

(4)y ′＝(x

1＋x 2)′

＝x ′·1＋x 2＋x ()

1＋x 2′

＝1＋x 2

＋x 2

1＋x 2＝1＋2x 2

1＋x 2 .

[例3] (1)(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．

(2)已知曲线y ＝13x 3＋43

.

①求曲线在点P (2,4)处的切线方程； ②求斜率为4的曲线的切线方程． [自主解答] (1)y ＝x 2

2，y ′＝x ，

∴y ′|x ＝4＝4，y ′|x ＝－2＝－2.

点P 的坐标为(4,8)，点Q 的坐标为(－2,2)， ∴在点P 处的切线方程为y －8＝4(x －4)，即 y ＝4x －8.

在点Q 处的切线方程为y －2＝－2(x ＋2)，

即y ＝－2x －2.解?

????

y ＝4x －8，

y ＝－2x －2，得A (1，－4)，则A 点的纵坐标为－4.

(2)①∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋4

3上，

且y ′＝x 2，

∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.

②设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4， x 0＝±2.

切点为(2,4)或?

???－2，－4

3，

∴切线方程为y －4＝4(x －2)或y ＋4

3＝4(x ＋2)，

即4x －y －4＝0或12x －3y ＋20＝0. [答案] (1)－4

若将本例(2)①中“在点P (2,4)”改为“过点P (2,4)”如何求解？ 解：设曲线y ＝13x 3＋4

3与过点P (2,4)的切线相切于点A ????x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －????13x 30＋43＝x 2

0(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2，4)在切线上，

∴4＝2x 20－23

x 30＋\f(4,3)，即x 30－3x 20＋4＝0. ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0.

∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0.

∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0.解得x 0＝－1或x 0＝2. 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.

—————

——————————————

1．求曲线切线方程的步骤

(1)求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； (2)由点斜式方程求得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． 2．求曲线的切线方程需注意两点

(1)当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；

(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．

3．已知函数f (x )＝2

x ＋1(x >－1)，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线l 分别交x 轴

和y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．

(1)求x 0＝1时，切线l 的方程；

(2)若P 点为???

?－23，233，求△AOB 的面积．

解：(1)f ′(x )＝

1x ＋1，则f ′(x 0)＝1

x 0＋1

， 则曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))的切线方程为 y －f (x 0)＝1

x 0＋1

(x －x 0)， 即y ＝

x

x 0＋1＋x 0＋2x 0＋1

. 所以当x 0＝1时，切线l 的方程为x －2y ＋3＝0. (2)当x ＝0时，y ＝

x 0＋2x 0＋1

；

当y ＝0时，x ＝－x 0－2.

S △AOB ＝12??????x 0＋2x 0＋1·(x 0＋2)＝(x 0＋2)22 x 0＋1

，

∴S △AOB ＝

???

?－23＋22

2

－2

3

＋1＝839.

[例4] 已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是( )

A.????－1

2，＋∞ B.?

???－∞，－1

2 C.[)－1，＋∞

D.(]－∞，－1

[自主解答] 由题意知曲线上存在某点的导数为1， 所以y ′＝2ax ＋3－1

x ＝1有正根，

即2ax 2＋2x －1＝0有正根． 当a ≥0时，显然满足题意；

当a <0时，需满足Δ≥0，解得－1

2≤a <0.

综上，a ≥－1

2.

[答案] A —————

—————————————— 导数几何意义应用的三个方面

导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)；

(2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；

(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0

求解．

4．若函数f (x )＝sin ????3x ＋π

6＋θ(0<θ<π)，且f (x )＋f ′(x )是奇函数，则θ＝________. 解析：∵f (x )＝sin ????3x ＋π

6＋θ， ∴f ′(x )＝3cos ?

???3x ＋π

6＋θ. 于是y ＝f ′(x )＋f (x )＝sin ????3x ＋π6＋θ＋3cos ????3x ＋π

6＋θ ＝2sin ????3x ＋π6＋θ＋π3＝2sin ????3x ＋θ＋π

2 ＝2cos(3x ＋θ)，

由于y ＝f (x )＋f ′(x )＝2cos(3x ＋θ)是奇函数， ∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0<θ<π，∴θ＝π

2.

答案：π

2

1个区别——“过某点”与“在某点”的区别

曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．

4个防范——导数运算及切线的理解应注意的问题

(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． (2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．

(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.

易误警示——导数几何意义应用的易误点

[典例] (2013·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋15

4x －9都相切，

则a 等于( )

A ．－1或－25

64

B ．－1或21

4

C ．－74或－2564

D ．－74

或7

[解析] 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 2

0(x －x 0)，

即y ＝3x 20x －2x 3

0，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32

， 当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－25

64

；

当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋15

4x －9相切可得a ＝－1，所以选A.

[答案] A [易误辨析]

1．如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，则易误选B. 2．解决与导数的几何意义有关的问题时， 应重点注意以下几点： (1)首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；

(2)基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证； (3)熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提． [变式训练]

1．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －1

2在点M ????π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12

B.12 C ．－

22

D.22

解析：选B

y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－(cos x －sin x )sin x (sin x ＋cos x )2

＝1

(sin x ＋cos x )2，故y ′???

4

x π=＝12. ∴曲线在点M ????π4，0处的切线的斜率为1

2

. 2．已知函数f (x )＝x 3＋f ′????23x 2－x ，则函数f (x )的图象在点???

?23，f ???

?23处的切线方程是________．

解析：由f (x )＝x 3＋f ′????23x 2

－x ， 可得f ′(x )＝3x 2＋2f ′????23x －1， ∴f ′????23＝3×????232＋2f ′????23×23－1， 解得f ′????23＝－1，即f (x )＝x 3－x 2－x . 则f ????23＝????233－????232－23＝－2227

， 故函数f (x )的图象在???

?23，f ????23处的切线方程是

y ＋22

27＝－????x －23，即27x ＋27y ＋4＝0. 答案：27x ＋27y ＋4＝0

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．(2013·永康模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )

解析：选D 据函数的图象易知，x <0时恒有f ′(x )>0，当x >0时，恒有f ′(x )<0. 2．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′????π6，则f ????－π3与f ????π3的大小关系是( ) A ．f ????－π3＝f ????π

3 B ．f ????－π3>f ????π

3 C ．f ????－π3

?π3 D ．不确定

解析：选C 依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′????

π6， ∴f ′????π6＝－sin π6＋2f ′????π6， f ′????π6＝12，f ′(x )＝－sin x ＋1， ∵当x ∈???

?－π2，π

2时，f ′(x )>0，

∴f (x )＝cos x ＋x 是????－π2，π2上的增函数，注意到－π3<π

3，于是有f ????－π3

2

D ．2

解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx －4， f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，t ＝1

2

.

4．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1

D ．y ＝－2x －1 解析：选A 依题意得y ′＝(x ＋1)e x ＋2，则曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为y ′|x ＝0，故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1.

5．(2013·大庆模拟)已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有公共点，则k 的最大值为( ) A ．1 B.1e C.2e

D.2e

解析：选B 从函数图象知在直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切时，k 取最大值．y ′＝(ln x )′＝1x ＝k ，x ＝1k (k ≠0)，切线方程为y －ln 1

k ＝k ????x －1k ，又切线过原点(0,0)，代入方程解得ln k ＝－1，k ＝1

e

.

6．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2.下面的不等式在R 上恒成立的是( )

A ．f (x )>0

B ．f (x )<0

C ．f (x )>x

D ．f (x )

解析：选A 由已知，令x ＝0得2f (0)>0，排除B 、D 两项；令f (x )＝x 2＋14，则2x 2＋1

2＋

x ????x 2＋14′＝4x 2＋12>x 2，但x 2＋14>x 对x ＝1

2

不成立，排除C 项． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，

∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－4.

答案：－4

8．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y

＝f (x )在点P 处的切线方程是________．

解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.

答案：x －y －2＝0

9．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解． 又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1

x ＝0有正实数解．

∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0. 故实数a 的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0)

三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)

10．已知函数f (x )＝ax －6

x 2＋b 的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求y

＝f (x )的解析式．

解：由已知得，－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2，即切点为(－1，－2)． 又f ′(x )＝(ax －6)′(x 2＋b )－(ax －6)(x 2＋b )′

(x 2＋b )2

＝－ax 2＋12x ＋ab (x 2＋b )2，

∴?????

－a －61＋b ＝－2，－a －12＋ab (1＋b )

2

＝－1

2，解得?

????

a ＝2，

b ＝3.

∴f (x )＝2x －6

x 2＋3

.

11．如右图所示，已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线

l 1过点A ，且与抛物线C 相切，直线l 2：x ＝a (a <－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .

(1)求直线l 1的方程；

(2)求△ABD 的面积S 1.

解：(1)由条件知点A (－1,2)为直线l 1与抛物线C 的切点． ∵y ′＝4x ，∴直线l 1的斜率k ＝－4. 所以直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)， 即4x ＋y ＋2＝0.

(2)点A 的坐标为(－1,2)，

由条件可求得点B 的坐标为(a,2a 2)， 点D 的坐标为(a ，－4a －2)，

∴△ABD 的面积为S 1＝1

2×|2a 2－(－4a －2)|×

|－1－a |＝|(a ＋1)3|＝－(a ＋1)3.

12．如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．

(1)试求x k 与x k －1的关系(k ＝2，…，n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |. 解：(1)设点P k －1的坐标是(x k －1,0)， ∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ，

∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，令y ＝0，则

x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n )． (2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1， ∴x k ＝－(k －1)， ∴|P k Q k |＝e x k ＝e

－(k －1)

，

于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n | ＝1＋e －

1＋e －

2＋…＋e

－(n －1)

＝1－e －

n 1－e －1＝e －e 1－

n e －1

， 即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－

n e －1

.

1．设函数f (x )在x 0处可导，则lim Δx →

f (x 0－Δx )－f (x 0)

Δx

等于( )

A ．f ′(x 0)

B ．－f ′(x 0)

C ．f (x 0)

D ．－f (x 0)

解析：选B lim Δx →

f (x 0－Δx )－f (x 0)

Δx

＝－lim Δx →

f [x 0＋(－Δx )]－f (x 0)

(－Δx )

＝－f ′(x 0)．

2．求下列各函数的导数： (1)(x )′＝12x 1

2-

；

(2)(a x )′＝a 2ln x ；

(3)(x cos x )′＝cos x ＋x sin x ； (4)????x x ＋1′＝1x ＋1， 其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个

D ．3个

解析：选B 根据函数的求导公式知只有(1)正确．

3．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．

解析：∵y ′＝2x ，∴点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的

交点为(a k ＋1,0)，

∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝1

2.∴a 3＝4，a 5＝1.∴a 1

＋a 3＋a 5＝21.

答案：21

4．设函数f (x )＝ax －b

x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.

(1)求f (x )的解析式；

(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝7

4x －3.

当x ＝2时，y ＝1

2

.

又f ′(x )＝a ＋b

x

2，

于是???

2a －b 2＝12

，

a ＋

b 4＝7

4，

解得?

????

a ＝1，

b ＝3.

故f (x )＝x －3x

.

(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3

x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y

－y 0＝???

?1＋3

x 20

(x －x 0)， 即y －?

???x 0－3x 0

＝????1＋3

x 20

(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6

x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为????0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0.从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．

所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为1

2????－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.

高中数学导数知识点归纳

高中数学选修2----2 知识点 第一章导数及其应用 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数y f ( x) 在x x0处的瞬时变化率是 lim f ( x0x)f ( x ) ， x0x 我们称它为函数y f ( x) 在x x0处的导数，记作 f ( x0 ) 或 y |x x， 即 f (x0 ) =lim f ( x0x) f (x0 ) x 0x 2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像 ,我们可以看出当点P n趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易 知道，割线 PP n的斜率是k n f ( x n )f ( x ) ，当点 P n趋近于P时，函数y f ( x) 在x x0处的导 x n x0 数就是切线 PT 的斜率 k，即k f (x n ) f ( x0) lim f ( x0 ) x 0x n x0 3.导函数：当 x变化时， f ( x) 便是x的一个函数，我们称它为 f (x) 的导函数.y f ( x) 的导函数有 时也记作 y ,即 f ( x)lim f ( x x) f ( x) x 0x 二 .导数的计算 1）基本初等函数的导数公式: 2若 f ( x)x ,则 f (x)x 1 ; 3若 f ( x)sin x ,则 f(x)cos x 4若 f ( x)cos x ,则 f(x)sin x ; 5若6若f ( x) a x,则 f ( x) a x ln a f ( x)e x,则 f ( x) e x 7若 f ( x)log a x,则f ( x)1 x ln a 8若 f ( x)ln x ,则 f ( x)1 x 2）导数的运算法则 2.[ f (x)g( x)] f ( x)g( x) f ( x) g (x)

高考数学导数解法知识分享

高考中数学导数的解法 1、导数的背景： （1）切线的斜率；（2）瞬时速度. 如一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数， 记作 ()0 lim x y f x y x ?→?'='=?()() lim x f x x f x x ?→+?-=?， 导函数也简称为导数。 提醒：导数的另一种形式0 0x x 0)()(lim )(0 x x x f x f x f y x x --='='→= 如（1）*?? ?>+≤== 1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 解：?? ?>+≤==1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1 =-→x f x b a x f x +=+ →)(lim 1 1)1(=f ∴ 1=+b a 2lim 0 =??- →?x y x a x y x =??+→?0lim ∴ 2=a 1-=b （2）*已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限： （1）h h a f h a f h 2) ()3(lim --+→?； （2）h a f h a f h ) ()(lim 20-+→? 分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在a x =处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 解：（1）h h a f h a f h 2) ()3(lim --+→

高三数学专题复习：导数及其应用

【考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义； 二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题； 三是应用导数解决实际问题． 【知识梳理】 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是． 注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：． 2．导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件． f x 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件． f x 当函数在某个区间内恒有() '＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调 f x 性． 注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件．

3． 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的 ． 4． 几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝ ； (2)(cos x )′＝ ； (3)(e x )′＝ ； (4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (5)(x a )′＝ ； (6)(log e x )′＝ ； (7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (8)′＝ ； (9)??????? ? f (x ) g (x )′＝ (g (x )≠0) ．

高三数学一轮复习导数导学案

课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时 一、考点梳理： 1.导数、导数的计算 （1）．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y '=. （2）．导函数： 记为f ′(x )或y ′. （3）．导数的几何意义： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几 何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________． ! （4）．基本初等函数的导数公式 （5）．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)??? ?f x g x ′ ＝__________(g (x )≠0)． （6）．复合函数的导数： 2．导数与函数的单调性及极值、最值 （1）导数和函数单调性的关系： (1)对于函数y ＝f (x )，如果在某区间上f ′(x )>0，那么f (x )为该区间上的________；如果在某区间上f ′(x )<0，那么f (x )为该区间上的________． (2)若在(a ，b )的任意子区间内f ′(x )都不恒等于0，f ′(x )≥0?f (x )在(a ，b )上为____函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，?f (x )在(a ，b )上为____函数． [ （2）函数的极值与导数 (1)判断f (x 0)是极值的方法： 一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时， ①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ： ①____________ ；②________________ ;③_________________________. （3）求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )上的________； (2)将函数y ＝f (x )的各极值与______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． ` 二、基础自测： 1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )． A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2Δx 2 原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) ； f ′(x )＝________ f (x )＝sin x f ′(x )＝________ f (x )＝cos x f ′(x )＝________ f (x )＝a x f ′(x )＝________ f (x )＝e x > f ′(x )＝________ f (x )＝lo g a x f ′(x )＝________ f (x )＝ln x f ′(x )＝________

重点高中数学导数知识点归纳总结

高中导数知识点归纳 一、基本概念 1. 导数的定义： 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 ()f x 在点0x 2 函数)(x f y =的切线的斜率， ②()1;n n x nx -'= ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算： 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±????

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()() f x g x f x g x f x g x ''' ?=+ ?? ?? 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：). ( )) ( (' 'x Cf x Cf=(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： () () ()()()() () () 2 f x f x g x f x g x g x g x ' ??'' - =≠ ?? ?? 。 2.复合函数的导数 形如)] ( [x f y? = 三、导数的应用 1. ) (x f在此区间上为减函数。 恒有'f0 ) (= x，则)(x f为常函数。 2．函数的极点与极值：当函数)(x f在点 x处连续时， ①如果在 x附近的左侧)('x f＞0，右侧)('x f＜0，那么) (0x f是极大值； ②如果在 x附近的左侧)('x f＜0，右侧)('x f＞0，那么) (0x f是极小值. 3．函数的最值： 一般地，在区间] , [b a上连续的函数) (x f在] , [b a上必有最大值与最小值。函数) (x f在区间上的最值 ] , [b a值点处取得。 只可能在区间端点及极 求函数) (x f在区间上最值 ] , [b a的一般步骤：①求函数) (x f的导数，令导

高考数学导数题型归纳

导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.

(完整)高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0

高三数学一轮复习 导数的综合应用

导数的综合应用 一、选择题 1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B ) (A)m>-2(B)m≥-2 (C)m<2 (D)m≤2 解析:函数定义域为(0,+∞), 又f'(x)=2x+m+. 依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴m≥-恒成立,设g(x)=-, 则g(x)=-≤-2, 当且仅当x=时等号成立. 故m≥-2, 故选B. 2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式 e x·f(x)>e x+1的解集为( A ) (A){x|x>0} (B){x|x<0} (C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0e x-e x=0, 所以g(x)=e x·f(x)-e x为R上的增函数. 又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1, 所以原不等式转化为g(x)>g(0), 解得x>0. 故选A. 3.如图所示,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为( A )

解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正 数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B ) (A)(B) (C)(-1,0) (D)(-∞,-1) 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b)

高考积分,导数知识点精华总结

定积分 一、知识点与方法： 1、定积分的概念 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作和式 1 ()n n i i I f x ξ== ?∑ （其中x ?为小区间长度） ，把n →∞即0x ?→时，和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：?b a dx x f )(，即?b a dx x f )(＝1 lim ()n i n i f x ξ→∞ =?∑ 。 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式。 (1)定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[,]a b 上恒为正时，定积分()b a f x dx ?的几何意 义是以曲线()y f x =为曲边的曲边梯形的面积。 (2)定积分的性质 ① ??=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；② ???± = ±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； ③???+ = b a c a b c dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a c b <<)。 2、微积分基本定理 如果()y f x =是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么: ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 3、定积分的简单应用 (1) 定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线 ,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线()(()0)y f x f x =≥围成的 曲边梯的面积? = b a dx x f S )(。 如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a

高考数学导数的解题技巧

2019年高考数学导数的解题技巧高考导数题主要是考查与函数的综合，考查不等式、导数的应用等知识，难度属于中等难度。 都有什么题型呢？ ①应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性； ②应用导数求函数的极值与最值； ③应用导数解决有关不等式问题。 有没有什么解题技巧啦？ 导数的解题技巧还是比较固定的，一般思路为 ①确定函数f(x)的定义域（最容易忽略的，请牢记）； ②求方程f′(x)=0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间； ③研究各小区间上f′(x)的符号，f′(x)＞0时，该区间为增区间，反之则为减区间。 从这两步开始有分类讨论，函数的最值可能会出现极值点处或者端点处，多项式求导一般结合不等式求参数的取值范围，根据题目会有一定的变化，那接下来具体总结一些做题技巧。 技巧破解+例题拆解 1．若题目考察的是导数的概念，则主要考察的是对导数在一点处的定义和导数的几何意义，注意区分导数与△y/△x 之间的区别。

观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。

2020届高考数学导数的11个专题

目录 导数专题一、单调性问题 (2) 导数专题二、极值问题 (38) 导数专题三、最值问题 (53) 导数专题四、零点问题 (77) 导数专题五、恒成立问题和存在性问题 (118) 导数专题六、渐近线和间断点问题 (170) 导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 (190) 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 (201) 导数专题九、公切线解决导数中零点问题 (214) 导数专题十、极值点偏移问题 (219) 导数专题十一、构造函数解决导数问题 (227)

导数专题一、单调性问题 【知识结构】 【知识点】 一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性； 二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论， 讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系. 三、分类讨论的思路步骤： 第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点； 第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与 区间的位置关系（分类讨论）； 第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；第四步、（列表）根据第五步的草图列出f '(x)，f (x)随x 变化的情况表，并写出函数的单调区间； 第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数 值比较得到函数的最值. 四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点： 1.最高次项系数是否为0； 2.导函数是否有极值点； 3.两根的大小关系； 4.根与定义域端点讨论等。 五、求解函数单调性问题的思路： （1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为f '(x) ≥ 0 或f '(x) ≤ 0 恒成立； （2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参 变量的范围； （3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于 零有解. 六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法 （1）参变分离； （2）导函数的根与区间端点直接比较；

届高三数学第一轮复习导数

导 数 第3章 导数及其运用 §3.1导数概念及其几何意义 重难点：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 考纲要求：①了解导数概念的实际背景． ②理解导数的几何意义． 经典例题：利用导数的定义求函数y=|x|(x ≠0)的导数． 当堂练习： 1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量x ?满足（ ） 2 3 ） 4 5A C 6A ．7A ．f ′(x0)>0 B ．f ′(x0)<0 C ．f ′(x0)=0 D ．f ′(x0)不存在 8．已知命题p ：函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q ：函数y=f(x)是一次函数，则命题p 是命题q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f(x)在x0处可导，则0 lim →h h h x f h x ) ()(00--+等于 A ．f ′(x0) B ．0 C ．2f ′(x0) D ．－2f ′(x0) 10．设f(x)=x(1+|x|),则f ′(0)等于

A ．0 B ．1 C ．－1 D ．不存在 11．若曲线上每一点处的切线都平行于x 轴，则此曲线的函数必是___． 12．两曲线y=x2+1与y=3－x2在交点处的两切线的夹角为___________． 13．设f(x)在点x 处可导，a 、b 为常数，则0 lim →?x x x b x f x a x f ??--?+) ()(=_____． 14．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在t=5时的 瞬时速度________． 15.已知质点M 按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)， (1)当t=2，Δt=0.01时，求t s ??． 法则3 2()()v x v x ???? 经典例题：求曲线y=2 1x x +在原点处切线的倾斜角. 当堂练习： 1.函数f （x ）=a4+5a2x2－x6的导数为 ( ) A.4a3+10ax2－x6 B.4a3+10a2x －6x5 C.10a2x －6x5 D.以上都不对 2.函数y=3x （x2+2）的导数是( ) A.3x2+6 B.6x2 C.9x2+6 D.6x2+6

高考数学专题导数题的解题技巧

第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势： 综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

高三数学第一轮复习导数讲义(小结)

高三数学第一轮复习导数讲义（小结） 一．课前预习： 1．设函数()f x 在0x x =处有导数，且1)()2(lim 000=?-?+→?x x f x x f x ，则0()f x '=（ C ） ()A 1 ()B 0 ()C 2 ()D 2 1 2．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图（1）所示，则()y f x =的图象 （ D ） 3．若曲线3y x px q =++与x 轴相切，则,p q 之间的关系满足 （ A ） ()A 22()()032p q += ()B 23()()023 p q += ()C 2230p q -= ()D 2230q p -= 4．已知函数23()2 f x ax x =-的最大值不大于16，又当11[,]42x ∈时，1()8f x ≥，则a = 1 ． 5．若对任意3,()4,(1)1x R f x x f '∈==-，则()f x =42x -． 四．例题分析： 例1．若函数3211()(1)132 f x x ax a x = -+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围． 解：2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---， 令()0f x '=得1x =或1x a =-， ∴当(1,4)x ∈时，()0f x '≤，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '≥， ∴416a ≤-≤，∴57a ≤≤． 例2．已知函数3()f x ax cx d =++(0)a ≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-， （1）求()f x 的单调区间和极大值； （2）证明对任意12,(1,1)x x ∈-，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立． 解：（1）由奇函数的定义，应有)()(x f x f -=-，R x ∈， 即d cx ax d cx ax ---=+--33，∴ 0=d ，∴cx ax x f +=3)(，∴c ax x f +='23)(，由条件2)1(-=f 为)(x f 的极值，必有0)1(='f ，故???=+-=+0 32c a c a ， 解得1=a ，3-=c ，∴x x x f 3)(3-=，)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f ， ∴0)1()1(='=-'f f ，

高中数学导数知识点归纳

导数及其应用 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于 P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00 ()() n n n f x f x k x x -= -，当点n P 趋近于 P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作y ',即0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 例一： 若2012)1(/=f ，则x f x f x ?-?+→? )1()1(l i m 0 = ，x f x f x ?--?+→?) 1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 二.导数的计算 1）基本初等函数的导数公式: 2 若()f x x α =,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=

(完整版)高三文科数学导数专题复习

高三文科数学导数专题复习 1.已知函数)(,3 ,sin )(x f x x b ax x f 时当π =+=取得极小值 33 -π . （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件： （1）直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点； （2）对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”. 试证明：直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”. 2. 设函数3 221()231,0 1.3 f x x ax a x a =- +-+<< （1）求函数)(x f 的极大值； （2）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围． 3.如图所示，A 、B 为函数)11(32 ≤≤-=x x y 图象上两点，且AB//x 轴，点M （1，m ）（m>3）是△ABC 边AC 的中点. （1）设点B 的横坐标为t ，△ABC 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式)(t f S =； （2）求函数)(t f S =的最大值，并求出相应的点C 的坐标.

4. 已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. （I ）求)(x f 、)(x g 的表达式； （II ）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (III ）当1->b 时,若21 2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围 5. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2x =处有极值，曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线32y x =--，试求函数()f x 的极大值与极小值的差。 6.函数x a x x f - =2)(的定义域为]1,0(（a 为实数）. （1）当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域； （2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围； （3）求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值. 7.设x=0是函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设]2,2[,,)1()(,0212 2-∈++-=>+ξξ问是否存在x e a a x g a ，使得|1|)()(21≤-ξξg f 成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. 8. 设函数()2ln q f x px x x =- -，且()2p f e qe e =--，其中e 是自然对数的底数. （1）求p 与q 的关系；

高考数学导数专题复习(基础精心整理)学生版

导数专题复习（基础精心整理）学生版 【基础知识】 1.导数定义：在点处的导数记作k = 相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- 2.常见函数的导数公式: ①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。 3.导数的四则运算法则： （1） （2） （3） 4.导数的应用： （1）利用导数判断函数单调性： ①是增函数；②为减函数；③为常数； （2）利用导数求极值：①求导数；②求方程的根；③列表得极值（判断零点两边的导函数的正负）。 （3）利用导数求最值：比较端点值和极值 【基本题型】 一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率 ()()00f x x f x y x x +?-?=?V ；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →?'=?V 。 例1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1)(0则的值是（ ） A. 41- B. 2 C. 4 1 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430 --='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 二、导数的几何意义 ()f x 0x x x f x x f x f x x y x ?-?+='=='→?) ()(lim )(|000 00'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a =x x 1 )(ln '= )()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f ' -'=' ??? ? ??' ?'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ?>')(0)(x f x f ?<')(0)(x f x f ?≡')(x f '0)(='x f