高二数学附加题练习矩阵 Prepared on 22 November 2020
高二数学附加题练习
—矩阵
1.求矩阵A =???
?32 2
1的逆矩阵.
解 设矩阵A 的逆矩阵为????x z y w ,则????32 21 ????x z y w =????10 01,即??????3x +2z 3y +2w 2x +z 2y +w =????
??1 00
1.
故?????
3x +2z =1,
2x +z =0,3y +2w =0,2y +w =1,
解得?????
x =-1,
y =2,z =2,
w =-3.
从而A 的逆矩阵为A -1
=???
?-12 2-3.
2.平面直角坐标系xOy 中,设椭圆4x 2+y 2
=1在矩阵A =???
?20 01对应的变换作用下得到曲线F ,求F 的方程.
解:设P (x 0,y 0)是椭圆上任意一点,点P (x 0,y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0,y ′0)
则有????x ′0y ′0=????20 01 ????x 0y 0,即?
??
??
x ′0=2x 0y ′0=y 0∴?????
x 0=x ′02,
y 0=y ′0.
又∵点P 在椭圆上,故4x 2
0+y 2
0=1,从而x ′2
0+y ′2
0=1. ∴曲线F 的方程是x 2+y 2
=1.
3.若点A (2,2)在矩阵M =???
?cos αsin α -sin α
cos α对应变换的作用下得到的点为B (-2,2),求矩阵M 的逆矩阵.
解:由题意,知M ????22=????-22,即????2cos α-2sin α2sin α+2cos α=????-22,∴?
????
cos α-sin α=-1,sin α+cos α=1,
解得?
??
??
cos α=0,
sin α=1.∴M =????01 -10. 由M -1M =????10 01,解得M -1
=???
?0-1 10.
4.已知二阶矩阵A =??
????
a
b c
d ,矩阵A 属于特征值λ1=-1的一个特征向量为a 1=??????
1-1,属于特征值λ2=4 的一个特征向量为a 2=????
??
32,求矩阵A .
解:由特征值、特征向量定义可知,Aa 1=λ1a 1,即??????a b c d ?????? 1-1=-1×??????
1-1,得?
??
??
a -
b =-1,
c -
d =1. 同理可得???
??
3a +2b =12,
3c +2d =8.
解得a =2,b =3,c =2,d =1. 因此矩阵A =??
??
??2
32
1.
5.已知矩阵M =??
??
3-1 -13,求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量.
解:由矩阵M 的特征多项式f (λ)=????λ-31 1λ-3=(λ-3)2
-1=0,
解得λ1=2,λ2=4,即为矩阵M 的特征值.设矩阵M 的特征向量为????
??
x y ,
当λ1=2时,由M ??????x y =2??????
x y ,可得?
??
??
-x +y =0,x -y =0.可令x =1,得y =1,
∴α1=??????11是M 的属于λ1=2的特征向量.当λ2=4时,由M ??????x y =4??????
x y ,可得???
??
x +y =0,x +y =0,
取x =1,得y =-1,∴α2=????
??
1-1是M 的属于λ2=4的特征向量.
6.设矩阵M =????
??a 00 b (其中a >0,b >0).(1)若a =2,b =3,求矩阵M 的逆矩阵M -1
;
(2)若曲线C :x 2
+y 2
=1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′:x 2
4
+y 2
=1,求a 、b 的值.
解:(1)设矩阵M 的逆矩阵M -1
=??????x 1 y 1x 2 y 2,则MM -1
=??
??
??1 00
1.
又M =??
????
2
00
3.∴??????2 00 3 ??????x 1 y 1x 2 y 2=????
??1 00
1.∴2x 1=1,2y 1=0,3x 2=0,3y 2=1,
即x 1=12,y 1=0,x 2=0,y 2=13
,故所求的逆矩阵M
-1
=
?????
???12 00 13. (2)设曲线C 上任意一点P (x ,y ),它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′,y ′),
则??????a
00
b ??????x y =?????
?x ′y ′,即?????
ax =x ′,by =y ′,
又点P ′(x ′,y ′)在曲线C ′上, ∴
x ′2
4
+y ′2
=1.
则
a 2x 2
4
+b 2y 2
=1为曲线C 的方程.又已知曲线C 的方程为x
2
+y 2
=1,故?????
a 2
=4,
b 2
=1.
又a >0,b >0,∴
?
??
??
a =2,
b =1.
7.已知矩阵M =??
??
??
2
a 2
1,其中a ∈R ,若点P (1,-2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(-4,0),求:
(1)实数a 的值;(2)矩阵M 的特征值及其对应的特征向量. 解 (1)由??
????2 a 2 1 ?????? 1-2=????
??
-4 0,所以2-2a =-4.所以a =3. (2)由(1)知M =????
??2 32
1,则矩阵M 的特征多项式为
f (λ)=????
??λ-2 -3-2 λ-1=(λ-2)(λ-1)-6=λ2
-3λ-4.
令f (λ)=0,得矩阵M 的特征值为-1与4.
当λ=-1时,???
?
?
λ-2x -3y =0,-2x +λ-1y =0
?x +y =0.
所以矩阵M 的属于特征值-1的一个特征向量为????
??
1-1.
当λ=4时,???
?
?
λ-2x -3y =0,-2x +λ-1y =0
?2x -3y =0.
所以矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为??????
32.