八年级下册(北师大版)数学专题强化：第六章 平行四边形证明题(包含答案)
1.如图①,已知在△ABC中,AB=AC,点P为底边BC上(端点B、C除外)的任意一点,且PE∥AC,PF∥AB.
(1)线段PE、PF、AB之间有什么数量关系?并说明理由;
(2)如图②,将“点P为底边BC上任意一点”改为“点P为底边BC延长线上任意一点”,其他条件不变,上述结论还成立吗?如果不成立,你能得出什么结论?请说明你的理由.
2.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°,EF=DC.
(1)求证:四边形EFCD是平行四边形;
(2)若BF=EF,求证:AE=AD.
3.如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M、N分别是AD、BC的中点,BC=2CD.
(1)求证:四边形MNCD是平行四边形;
(2)求证:BD=3MN.
4.如图,已知△ABC的中线BD、CE交于点O,F、G分别是OB、OC的中点.求证:四边形DEFG是平行四边形.
5.如图,在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,∠B=50°.将△ADE沿DE折叠,使点A落在点A1处,求∠BDA1的度数.
6.如图,在?ABCD中,点E是BC边的中点,连接AE并延长与DC的延长线交于F.
(1)求证:CF=CD;
(2)若AF平分∠BAD,连接DE,试判断DE与AF的位置关系,并说明理由.
7.如图,在?ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF=DE,连接AF、CE.
求证:AF∥CE.
8.如图,在?ABCD中,O是对角线AC的中点,EF经过点O交AD,BC于E,F.四边形AFCE是平行四边形吗?请说明理由.
9.如图,四边形ABCD是平行四边形,直线EF∥BD,与CD、CB的延长线分别交于点E、F,与AB、AD交于点G、H.
(1)求证:四边形FBDH为平行四边形;
(2)求证:FG=EH.
10.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°,EF=DC.
(1)求证:四边形EFCD是平行四边形;
(2)若BF=EF,求证:AE=AD.
11.如图,四边形ABCD是平行四边形,DE平分∠ADC,交AB于点E,BF平分∠ABC,交CD于点F.求证:DE=BF
12.如图,在平行四边形ABCD中,将△BCD沿BD翻折,使点C落在点E处,BE和AD相交于点O.求证:OA=OE.
13.如图所示,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A重合,这时点D落在点D1处,折痕为EF,若∠BAE=55°,求∠D1AD 的度数
14.如图(1),?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F,则OE=OF.若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(如图(2)和图(3)),OE与OF还相等吗?若相等,请你说明理由.
15.如图,点E为?ABCD的边AB上一点,将△BCE沿CE翻折得到△FCE,点F落在对角线AC上,且AE=AF,若∠BAC=28°,求∠BCD的度数。
16.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3.
(1)求证:BN=DN;
(2)求△ABC的周长.
17.如图,在△ABC中,BC=AC,E、F分别是AB、AC的中点,延长EF交∠ACD的平分线于点G.
(1)AG与CG有怎样的位置关系?说明你的理由;
(2)求证:四边形AECG是平行四边形.
18.我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”“三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三
边的一半”.类似地,我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点,那么EF就是梯形ABCD的中位线,通过观察、测量,猜想EF和AD,BC有怎样的位置和数量关系,并证明你的结论.
19.如图,四边形纸片ABCD中,∠A=70°,∠B=80°,将纸片折叠,使C,D落在AB边上的C',D'处,折痕为MN,
求∠AMD'+∠BNC' 的度数
20.如图所示，E，F分别为平行四边形ABCD中AD，BC的中点，G，H在BD上，且BG＝DH，求证四边形EGFH是平行四边形．
21.如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 ㎝，BC＝26㎝，动点P从点A开始沿AD边以每秒1㎝的速度向D点运动，动点Q从点C开始沿CB边以每秒3㎝的速度向B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s．
（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形?
（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形?
（3）t为何值时，四边形ABQP为矩形?
22.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，
BC＝15，MN＝3 （1）求证：BN＝DN；（2）求△ABC的周长．
23.（1）如图①，口ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．（2）如图②，将口ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．
求证：EI＝FG．
答案
1. (1)PE+PF=AB.理由:∵PE∥AC,PF∥AB,∴∠EPB=∠C,四边形PEAF是平行四边形,∴PF=AE,
∵AC=AB,∴∠B=∠C,∴∠EPB=∠B,∴PE=BE.∵BE+AE=AB,∴PE+PF=AB.
(2)(1)中结论不成立.此时结论为PE-PF=AB.理由:∵PE∥AC,PF∥AB,∴∠FPC=∠ABC,四边形PEAF是平行四边形,
∴PE=AF,又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠FPC=∠ACB=∠FCP,∴PF=FC,∴PE-PF=AF-FC=AC=AB.
2. (1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵∠EFB=60°,∴∠ABC=∠EFB.
∴EF∥BC.又∵EF=DC,∴四边形EFCD是平行四边形.
(2)连接BE.∵BF=EF,∠EFB=60°,∴△BEF是等边三角形.∴EB=EF,∠ABE=60°.又∵EF=DC,∴BE=DC.
∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,AB=AC.∴∠ABE=∠ACD,又∵BE=DC,AB=AC,∴△ABE≌△ACD,∴AE=AD.
3. (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵M、N分别是AD、BC的中点,
∴MD=NC,又MD∥NC,∴四边形MNCD是平行四边形.
(3)如图,连接DN.∵N是BC的中点,BC=2CD,∴CD=NC.∵∠C=60°,∴△DCN是等边三角形.
∴ND=NC,∠DNC=∠NDC=60°.∴ND=NB=CN.∴∠DBC=∠BDN=30°.∴∠BDC=∠BDN+∠NDC=90°.
∴∵四边形MNCD是平行四边形,∴MN=CD.∴BD=?MN.
1BC,又∵F、G分别是OB、OC的中点,
4.∵D,E分别为AC、AB的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,且DE=
2
1BC,∴DE∥FG,DE=FG,∴四边形DEFG是平行四边形.
∴FG是△BCO的中位线,∴FG∥BC,且FG=?
2
5.∵D、E分别是边AB、AC的中点,∴DE∥BC,∴∠ADE=∠B=50°(两直线平行,同位角相等),
又∵∠ADE=∠A1DE,∴∠A1DA=2∠B,∴∠BDA1=180°-2∠B=80°.
6. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵点F为DC的延长线上一点,∴AB∥DF,
∴∠BAE=∠CFE,∠ECF=∠EBA,∵E为BC的中点,∴BE=CE,则在△BAE和△CFE中,
∴△BAE≌△CFE(AAS),∴AB=CF,∴CF=CD.
(2)DE⊥AF.理由:∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF,∵∠BAF=∠F,∴∠DAF=∠F,∴DA=DF,又由(1)知△BAE≌△CFE,
∴AE=EF,∴DE⊥AF.
7.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∴∠ADF=∠CBE.又∵BF=DE,∴BF+BD=DE+BD,∴DF=BE.
∴△ADF≌△CBE.∴∠AFD=∠CEB.∴AF∥CE.
8.四边形AFCE是平行四边形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠DAC=∠BCA.又∵O是AC的中点,∴OA=OC.又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.∵OE=OF,OA=OC,∴四边形AFCE是平行四边形.
9. (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,又∵EF∥BD,∴四边形FBDH为平行四边形.
(2)由(1)知四边形FBDH为平行四边形,∴FH=BD,∵EF∥BD,AB∥DC,∴四边形BDEG是平行四边形,
∴BD=EG,∴FH=EG,∴FH-GH=EG-GH,∴FG=EH.
10. (1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵∠EFB=60°,∴∠ABC=∠EFB.∴EF∥BC.
又∵EF=DC,∴四边形EFCD是平行四边形.
(2)连接BE.∵BF=EF,∠EFB=60°∴△BEF是等边三角形∴EB=EF∠ABE=60°又∵EF=DC∴BE=DC∵△ABC是等边三角形, ∴∠ACB=60°,AB=AC.∴∠ABE=∠ACD,又∵BE=DC,AB=AC,∴△ABE≌△ACD,∴AE=AD.
11.证法一:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,∠A=∠C,∠ADC=∠CBA.∵DE平分∠ADC,BF平分∠ABC,
∴∠ADE=?∠ADC,∠CBF=?∠CBA,∴∠ADE=∠CBF,∴△ADE≌△CBF(ASA).∴DE=BF.
证法二:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CDE=∠AED,∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,∴∠ADE=∠AED, ∴AE=AD.同理,CF=CB,又AD=CB,∴AE=CF,∵AB=CD,∴DF=BE,∴四边形DEBF是平行四边形,∴DE=BF.
12.证法一:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴∠ADB=∠CBD,由折叠可知∠EBD=∠CBD,BE=BC,
∴∠EBD=∠ADB,AD=BE,∴BO=DO,∴AD-DO=BE-BO,即OA=OE.
证法二:∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠A=∠C,且AB=DC.由折叠可知∠E=∠C,DE=DC,∴∠A=∠E,AB=DE.
在△AOB 和△EOD 中,∴△AOB ≌△EOD,∴OA=OE.
13.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠BAD=∠C,由折叠性质知,∠D1AE=∠C,∴∠D1AE=∠BAD,∴∠D1AD=∠BAE=55°.
14.题图(2)中OE=OF.理由:在?ABCD 中,AB ∥CD,OA=OC,∴∠E=∠F,又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE ≌△COF(AAS),∴OE=OF 题图(3)中OE=OF.理由:在?ABCD 中,AD ∥BC,OA=OC,∴∠E=∠F,又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE ≌△COF(AAS),∴OE=OF
15.∵∠BAC=28°,AE=AF,∴∠AFE=∠AEF=?=76°,∴∠EFC=180°-76°=104°,由折叠的性质知,∠B=∠EFC=104°, ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,∴∠B+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°-104°=76°.
16. (1)证明:∵AN 平分∠BAC,∴∠1=∠2,∵BN ⊥AN,∴∠ANB=∠AND=90°,又AN=AN,∴△ABN ≌△ADN,∴BN=DN.
(2)由△ABN ≌△ADN 知,AD=AB=10,点N 为BD 的中点,又M 是BC 的中点,∴MN 为△BCD 的中位线,
∴CD=2MN=6,∴AC=AD+CD=16,∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=10+15+16=41.
17. (1)AG ⊥CG.理由:∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点,∴EF 是△ABC 的中位线,AF=CF,∴EF ∥BC,∴∠FGC=∠GCD, ∵CG 平分∠ACD,∴∠FCG=∠GCD,∴∠FCG=∠FGC,∴FG=FC,又∵AF=CF,∴AF=FG,∴∠FAG=∠AGF,
∵∠FAG+∠AGC+∠ACG=180°,∴∠AGC=90°,∴AG ⊥CG.
(2)证明:由(1)知,FG=?21AC,∵EF 是△ABC 的中位线,∴EF=?2
1BC,∴FG=EF,又∵AF=CF,∴四边形AECG 是平行四边形. 18. 结论:EF ∥AD ∥BC,EF=?2
1(AD+BC).证明如下:如图所示,连接AF 并延长交BC 的延长线于点G,
∵AD ∥BC,∴∠DAF=∠G,在△ADF 和△GCF 中,∠DAF=∠G,∠DFA=∠CFG,DF=FC,
∴△ADF ≌△GCF(AAS),∴AF=FG,AD=CG,又∵AE=EB,
∴EF ∥BG,EF=?21BG,即EF ∥AD ∥BC,EF=?21(AD+BC).
19.四边形纸片ABCD 中,∠A=70°,∠B=80°,∴∠D+∠C=360°-∠A-∠B=210°.
∵将纸片折叠,使C,D 落在AB 边上的C',D'处,∴∠MD'B=∠D,∠NC'A=∠C,∴∠MD'B+∠NC'A=210°,
∴∠AD'M+∠BC'N=150°,∴∠AMD'+∠BNC'=360°-∠A-∠B-∠AD'M-∠BC'N=60°
20. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC （平行四边形对边平行且相等）．∴∠EDH ＝∠FBG ． 又∵E ，F 分别为AD ，BC 的中点，∴DE ＝BF ．又∵BG ＝DH ，∴．△DEH ≌△BFG （SAS ），∴EH ＝FG ，∠DHE ＝∠BGF ． ∴∠EHG ＝∠FGH （等角的补角相等）．∴EH ∥FG ．∴四边形EGFH 是平行四边形
21.由已知得AP ＝t ，CQ ＝3t ，PD ＝24－t ，BQ ＝26－3t ．（1）∵PD ∥CQ ，∴当PD ＝CQ 时，
即3t ＝24－t 时，四边形PQCD 为平行四边形，解得t ＝6．故当t ＝6时，四边形PQCD 为平
行四边形． （2）如图3—38所示，作DE ⊥BC ，PF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则CE ＝2．当
QF ＝CE 时，即QF+CE ＝2CE ＝4时，四边形PQCD 是等腰梯形．此时有CQ －EF ＝4，
即3t —（24一t ）＝4，解得t ＝7．故当t ＝7时，四边形PQCD 为等腰梯形．（3）若四边形
ABQP 为矩形，则AP ＝BQ ，即t ＝26—3t ，解得t ＝213．故当t ＝2
13时，四边形ABQP 为矩形．
22.（1）证明：在△ABN 和△ADN 中， ∵12AN AN
ANB AND ∠=∠??=??∠=∠?
∴△ABN ≌△ADN ， ∴BN ＝DN ．
（2）解：∵△ABN ≌△ADN ，∴AD ＝AB ＝10，DN ＝NB ， 又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线， ∴CD ＝2MN ＝6， 故△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝10＋15＋6＋10＝41．
23.证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，OA ＝OC ，∴∠1＝∠2，
∵在△AOE 和△COF 中，1234OA OC
∠=∠??=??∠=∠?
，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴AE ＝CF ； （2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，由（1）得AE ＝CF ，
由
折叠的性质可得：AE ＝A 1E ，∠A 1＝∠A ，∠B 1＝∠B ，
∴A 1E ＝CF ，∠A 1＝∠A ＝∠C ，∠B 1＝∠B ＝∠D ，又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，
∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6，∵在△A 1IE 与△CGF 中，11
56
A C A E CF ∠=∠??∠=∠??=?，∴△A 1IE ≌△CGF （AAS ），∴EI ＝FG ．
北师大版八年级数学上册知识点总结
北师大版八年级上册数学整理总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根
北师大版初二数学下知识点
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一. 不等关系 ※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. ¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系. ※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质 ※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac
初二几何证明题
28.（本小题满分10分） 如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A 向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP-CQ。设AP=x （1）当PQ∥AD时，求x的值； （2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围； （3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围。 21．（本小题满分9分） 如图，直线y x m =+与双曲线 k y x =相交于A（2，1）、B两点． （1）求m及k的值； （2）不解关于x、y的方程组 , , y x m k y x =+ ? ? ? = ?? 直接写出点B的坐标； （3）直线24 y x m =-+经过点B吗？请说明理由． （第21题）
28．（2010江苏淮安，28，12分）如题28(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周． (1)点C坐标是( ，)，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是( ，)； (2)设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值 时，S最大； (3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如题28(b)图，若点E与点D同时 出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以点A．O为对应顶点的情况)： 题28(a)图题28(b)图 （10江苏南京）21.（7分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相较于点O，△ABC≌△BAD。求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD. （10江苏南京）28.（8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A
初二数学下册证明题
（1）求证：BG FG =； （2）若2 ==，求AB的长． AD DC 二：如图，已知矩形ABCD，延长CB到E，使CE=CA，连结AE并取中点F，连结AE并取中点F，连结BF、DF，求证BF⊥DF。 三：已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.
求证:AE平分∠BAD. 四、（本题7分）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D，AB=12， AC=18，求DM的长。
五、（本题8分）如图，四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 交于点O ， 且AC ⊥BD ，DH ⊥BC 。 ⑴求证：DH=2 1（AD+BC ） ⑵若AC=6，求梯形ABCD 的面积。 六、(6分) 、如图，P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E 、F 分别为垂足，若CF=3,CE=4,求AP 的长.
七、(8分)如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点． （1）在不添加线段的前提下，图中有哪几对全等三角形？请直接写出结论； （2）判断并证明四边形MENF 是何种特殊的四边形？ （3）当等腰梯形ABCD 的高h 与底边BC 满足怎样的数量关系时？四边形MENF 是正方形（直接写出结论，不需要证明）． 选择题： 15、如图，每一个图形都是由不同个数的全等的小等腰梯形拼成的，梯形上、下底及腰长如 图，依此规律第10个图形的周长为 。 …… 第一个图 第二个图 第三个图 16、如图，矩形ABCD 对角线AC 经过原点O ，B 点坐标为 （―1，―3），若一反比例函数x k y 的图象过点D ，则其 解析式为 。 M F E N D C A B
新北师大版八年级数学下册单元知识点总结
北师大版八年级数学下册各章知识要点总结 第一章三角形的证明 一、全等三角形判定、性质： 1.判定(SSS) （SAS) (ASA) (AAS) （HL直角三角形） 2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。 二、等腰三角形的性质: 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。（三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 三、等腰三角形的判定: 1. 有关的定理及其推论 : 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 四、直角三角形 1、直角三角形的性质 直角三角形的两锐角互余 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、直角三角形判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 3、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命
题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定 理称为另一个定理的逆定理. 五、线段的垂直平分线、角平分线 : 1、线段的垂直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心） 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2、角平分线。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心） 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组 1.定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 2.基本性质：性质1：.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变. 如果a>b,那么 a+c>b+c, a-c>b-c.（注：移项要变号，但不等号不变） 性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c b c a >. 性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果a>b,并且c<0,那么ac
八年级上册几何证明题专项练习
八年级上册几何证明题专项练习 1．如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB． 2．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD． 3．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D． （1）求证：AC∥DE； （2）若BF=13，EC=5，求BC的长． 4．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D． 5．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB 求证：AE=CE．
6．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC． 7．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB． 8．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE=DF． 9．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF． 10．如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC． 求证：BC=AD．
11．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE． 12．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF． 13．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 14．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E． 求证：△ACD≌△CBE． 15．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，∠BAE=∠BCE=90°，且BC=CE，AB=DE．求证：△ABC≌△DEC．
北师大八年级下册数学知识点
北师大版八年级下册数学考试知识点 第一章 三角形的证明 一、全等三角形的判定及性质 ※1性质：全等三角形对应 角 相等、对应 边 相等 ※2判定：①判定一般三角形全等：（SSS 、SAS 、ASA 、AAS ）. ②判定直角三角形全等独有的方法：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即HL 二. 等腰三角形 ※1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. ※2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． ※3. 推论：等腰三角形 顶角平分线 、 底边中线 、 底边上的高 互相重 合（即“ 三线合一 ”）． ※4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60° ；等边三角形是轴对称 图形，有 3 条对称轴. 判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 三.直角三角形 ※1. 勾股定理及其逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足关系22b a =2 c ，那么这个三角 形是直角三角形 （勾股定理的逆定理）（满足的三个正整数，称为勾股数：，常见的勾股数有：
（1）3，4，5； （2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 ※2.含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. ※3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和 等于第三边的平方”． ②直角三角形的全等判定方法，HL还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定 方法． 四. 线段的垂直平分线 ※1. 线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 . ※2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 五. 角平分线 ※1. 角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平
八年级数学下册-几何证明初步知识点汇编
第十一章几何证明初步知识点整理定义：用来说明一个名词含义的语句叫做定义. 2.命题：对事情进行判断的语句叫做命题.每个命题都由条件和结论两部分组 成.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项. 3.一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部 分是条件,“那么”引出的部分是结论.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.例如,下列句子都不是命题: 4.(1)你喜欢数学吗?(2)作线段AB=CD.⑶清新的空气；⑷不许讲话。 5.正确的命题称为真命题,不正确的的命题称为假命题. 6.反例：要指出一个命题是假命题，只要能举出一个例子，使它具备命题的条 件，而不符合命题的结论就可以了。这种例子称为反例。 5.公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据。这些公认为正确的命题叫做公理。 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理. 本套教材以下列基本事实作为公理： 1.两点确定一条直线。 2.过直线外一点可以作且只能作一条直线与已知直线平行。 3.两直线平行,同位角相等。 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 5.判断三角形全等的方法：SAS ASA SSS。 6.全等三角形的对应角相等，对应边相等。 7.在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也看作公理,称为“等量代换”. 判断：
所有的命题都是公理。所有的真命题都是定理。 所有的定理是真命题。所有的公理是真命题。 6.在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 Eg: (1)两条直线平行，内错角相等． (2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等． (3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等． (4)全等三角形的对应角相等． 注意: 一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题. 如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原来定理的逆定理！（勾股定理和它的逆定理） 7.三角形内角和定理：三角形三个角的内角和等于180° 推论一：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 推论二：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 8.直角三角形的两个锐角互余。有两角互余的三角形是直角三角形。 三角形的外角和等于360°。 9.反证法：先提出与命题的结论相反的假设,推出矛盾,从而证明命题成立.这种证明的方法叫做反证法. 反证法的步骤：否定结论—推出矛盾—肯定结论 Eg: 1、“a＜b”的反面应是（） （A）a≠＞b （B）a ＞b （C）a=b （D）a=b或a ＞b
北师大版八年级数学上册易错题整理(供参考)
1、一支蜡烛长20厘米,．点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度n (厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是（ ） A B C D 2、已知正比例函数kx y =（0≠k ）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数k x y +=的图象大致是（ ） A C D 3、甲、乙两人同时沿着一条笔直的公路朝同一方向前行，开始时，乙在甲前2千米处， 甲、乙两人行走的路程S （千米）与时间t （时）的函数图象（如图所示），下列说法正 确的是（ ） A 、乙的速度为4千米/时 B 、经过1小时，甲追上乙 C 、经过0.5小时，乙行走的路程约为2千米 D 、经过1.5小时，乙在甲的前面 4、当14+a 的值为最小值时，a 的取值为（ ） A 、－1 B 、0 C 、4 1 - D 、1 5、若错误!未找到引用源。是169的算术平方根，错误!未找到引用源。是121的负的平方根，则（错误!未找到引用源。＋错误!未找到引用源。）2的平方根为（ ） A. 2 B. 4 C.±2 D. ±4 6、满足－3＜x ＜5的整数x 是（ ） A 、－2,－1,0,1,2,3 B 、－1,0,1,2,3 C 、－2,－1,0,1,2 D 、－1,0,1,2 7、如图，有一圆柱，它的高等于8cm ，底面直径等于4cm (π=3)．在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程大约等于 （ ） A ．10cm B ．12 cm C ．19cm D ．20cm 8、直线y kx b =+经过点(1,)A m -，(,1)B m (1)m >，则必有（ ） A. 0,0k b >> .0,0B k b >< .0,0C k b <> .0,0D k b << 9、如果0ab >， 0a c <，则直线a c y x b b =-+不通过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10、如图，两直线1y kx b =+和2y bx k =+在同一坐标系内图象的位置可能是（ ） x y x y x y x y O O O O S(千米) 1 2 3 4 0.5 1 乙 甲 O t (时)
八年级数学全等三角形证明题
八年级数学全等三角形证 明题 Prepared on 21 November 2021
第十三章全等三角形测试卷 （测试时间：90分钟总分：100分） 班级姓名得分 一、选择题（本大题共10题；每小题2分，共20分） 1．对于△ABC 与△DEF ，已知∠A =∠D ，∠B =∠E ，则下列条件①AB=DE ；② AC=DF ；③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（） A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 2．下列说法正确的是() A ．面积相等的两个三角形全等 B ．周长相等的两个三角形全等 C ．三个角对应相等的两个三角形全等 D ．能够完全重合的两个三角形全等 3．下列数据能确定形状和大小的是（） A ．A B =4，B C =5，∠C =60°B ．AB =6，∠C =60°，∠B =70° C ．AB =4，BC =5，CA =10 D ．∠C =60°，∠B =70°，∠A =50° 4．在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，AB =DE ，添加下列哪一个条件，依然不能证 明△ABC ≌△DEF () A ．AC =DF B ．B C =EF C ．∠B=∠E D ．∠C=∠F 5．OP 是∠AOB 的平分线，则下列说法正确的是（） A ．射线OP 上的点与OA ，O B 上任意一点的距离相等 B ．射线OP 上的点与边OA ，OB 的距离相等 C ．射线OP 上的点与OA 上各点的距离相等 D ．射线OP 上的点与OB 上各点的距离相等 6．如图，∠1=∠2，∠E=∠A ，EC=DA ，则△ABD ≌△EBC 时，运用的判定定理是（） A ．SSS B ．ASA C ．AAS D ．SAS 7．如图，若线段AB ，CD 交于点O ，且AB 、CD 互相平分，则下列结论错误的是 （） A ．AD=BC B ．∠C=∠D C ．A D ∥BC D ．OB=OC 8．如图，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，AB =CD ，AE =CF ， 则图中全等三角形共有() A ．1对 B ．2对 C ．3对 （第8题） A D C B E F O A D C B （第7题） A C E D （第6题） 2 1
八年级数学下册证明一试卷
八年级数学下册第六章《证明(一)》测验试卷 1.下列语句中，是命 题的是( ) A ．两点确定一条直线吗？ B ．在线段AB 上任取一点 C ．作∠A 的平分线AM D ．两个锐角的和大于直角 2、满足下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ） A 、∠B+∠A=∠C B 、∠A ：∠B ：∠C=2：3：5 C 、∠A=2∠B=3∠C D 、 一个外角等于和它相邻的一个内角 3、如图，∠ACB=90o ，CD ⊥AB ，垂足为D ，下列结论错 误 的是（ ） A 、图中有三个直角三角形 B 、∠1=∠2 C 、∠1和∠B 都是∠A 的余角 D 、∠2=∠A 4、三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、无法确定 5、下列命题中的真命题是（ ） A 、锐角大于它的余角 B 、锐角大于它的补角 C 、钝角大于它的补角 D 、锐角与钝角之和等于平角 6、如图，AB ∥CD ，∠C=110°，∠B=120°，则∠BEC= （ ） A 、110° B 、120° C 、130° D 、150° 7、如图，下列哪种说法是错误的（ ） A 、∠ B >∠ACD B 、∠B+∠ACB =180°-∠A C 、∠B+∠ACB < 180° D 、∠HEC>∠B （第6题图） （第7题图） （第8题图） 8、已知:如图，下列条件中不能判断直线l 1∥l 2的是（ ） 学 班 姓名 学 2 1 D C B A
A.∠1＝∠3 B.∠2＝∠3 C.∠4＝∠5 D.∠2＋∠4＝180° 9、如图，AB∥CD，直线HE⊥MN交MN于E，∠1=130o，则∠2等于（） A、50o B、40o C、30o D、60o 10、如图，如果AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系式为（） A、α＋β＋γ=360o B、α－β＋γ=180o C、α＋β＋γ=180o D、α＋β－γ=180 o （第9题图）（第10题图） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.把命题“对顶角相等”改写成：如果， 那么 . 12、△ABC中，∠B=45o，∠C=72o，那么与∠A相邻的一个外角等于 . 13、直角三角形中两个锐角的差为20o，则两个锐角的度数分别为 . 14、如图，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为G．若∠1＝50°，则∠E＝________度．； 15、如图，下列结论：①∠A >∠ACD；②∠B+∠ACB=180°-∠A；③∠B+ ∠ACB<180°；④∠HEC>∠B。其中正确的是(填上你认为正确的所有序号). （第14题图）（第15题图） 三、解答题（每小题5分，共25分） 16. 如上图右，已知，∠ADC＝∠ABC，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，且∠1=∠2，求证：∠A=∠C. 17、已知如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D， 连接DE。 求证：∠1 > ∠2 18、已知如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分 线，BH是∠ABC的平分线。 求证：∠A= 2∠H. 19、如图，BC⊥ED，垂足为O，∠A=27o，∠ D=20o，求∠ACB与∠B的度数. 20、如图：∠A=65o ，∠ABD=∠DCE=30o，且CE平 分∠ACB,求∠BEC. 四、解答题（每小题7分，共21分） 21、. 求证：两条直线平行，同旁内角的角平分线 互相垂直。 （提示：先画图，写出已知，求证，然后进行证明） 22、如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，求∠DAE的度数. 23、如图：已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∠1＋∠2＝90o, 求证：AB∥CD 五、解答题（9分） 24．已知如图，AB∥DE. 密 封
(完整)北师大版数学八年级上册数学试题和答案
数学试题 一、选择题： 1．4的平方根是（ A ） A ．2± B ．2 C ． D 2.在平面直角坐标系中，点P （3，-2）在（ D ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.下列实数2 1 - , 0, π , 4 , 31 , 5中是无理数的有（ B ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在下列四组数中，不是勾股数的是（ B ） A ．7,24,25 B ．3,5,7 C ．8,15, 17 D ．9,40,41 5．下列计算正确的是（ A ） A ．632= ? B ．532=+ C ．5315= D ．235=- 6．如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以 数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时 针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的 点A 处，则点A 表示的数是（ B ） A ．3 2 B C D .4.1 7．点（2，6）关于x 轴的对称点坐标为（ A ） A .（2，－6） B . （－2，－6） C . （－2，6） D . （6，2） 8．已知直角三角形中一条直角边长为12cm ，周长为30cm ，则这个三角形的面积是（B ）A ．2 20cm B ．2 30cm C ．2 60cm D ．2 75cm 9 -（ D ） A B ．2 C ． D ． 10．已知平面内的一点P ，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则点 P 的坐标是（ C ） A ．（-1，1）或（1，-1） B ．（1，-1） C ．（ ， ） D ）
11．实数b a ,在数轴上的位置如图所示， 则 ()a b a ++2 的化简结果为（ B ） A ．2a b + B ．b - C ．b D ．2a b - 12．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中' ' ' 9,5,6AB BB B C ===，在线段AB 的 三等分点E （靠近点A ）处有一只蚂蚁，'' B C 中点F 处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（ A ） A ．10 B ．106 C ．5+35 D ．6+34 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将答案填 在题后的横线上. 13．在平面直角坐标系中，点(),2P a a -在x 轴上，则a = 2 14．比较大小：23 < 52 （填“＞”或“＜”或“=” ） 15．x 为无理数21的小数部分，则x = 214- （结果保留根号） 16．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪， 拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 5 17．在平面直角坐标系中，等边ABC ?的顶点(6,0)A -，(2,0)B ，则顶点C 的坐标 为 (2,43),(2,43)--- 第12题图 第16题图 第11题图
八年级几何证明题
几何证明题 1、已知：如图1所示，?ABC 中，∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。 求证：DE ＝DF 2、已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。求证：∠E ＝∠F 3、如图3所示，设BP 、CQ 是?ABC 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。求证：KH ∥BC
4、已知：如图4所示，AB ＝AC ，∠，，A AE BF BD DC =?==90。求证：FD ⊥ED 5、已知：如图6所示在?ABC 中，∠=?B 60，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。 求证：AC ＝AE ＋CD 6、已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，∠=?EAF 45。 求证：EF ＝BE ＋DF
7、如图8所示，已知?ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。 求证：EC ＝ED 8、例题：已知：如图9所示，∠=∠>12，AB AC 。 求证：BD DC > 作业 1. 已知：如图11所示，?ABC 中，∠= C 90于E ，且有AC A D C E ==。求证：DE CD = 1 2 C 图11 A B D E
2. 已知：如图 求证：BC ＝ 3. 已知：如图13所示，过?ABC 的顶点A ，在∠A 内任引一射线，过 B 、 C 作此射线的垂线BP 和CQ 。设M 为BC 的中点。 求证：MP ＝MQ 4. ?ABC 中，∠=?⊥BAC AD BC 90，于D ，求证：()AD AB AC BC < ++4
八年级数学下册三角形证明知识点
第一节. 等腰三角形 1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． 3. 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（即“三线合一”）． 4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 第二节.直角三角形 1. 勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 2. 含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 要点诠释：勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”． 4.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 第三节. 线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.该点就是三角形的外心。以此外心为圆心，可以将三角形的三个顶点组成一个圆。 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线： 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN就是线段AB 的垂直平分线。 第四节. 角平分线 1. 角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2. 三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.这个点叫内心 通用篇 1.真命题与假命题 真命题：真命题就是正确的命题，即如果命题的条件成立，那么结论一定成立。 假命题：条件和结果相矛盾的命题是假命题， 命题与逆命题 命题包括已知和结论两部分；逆命题是将原命题的已知和结论交换； 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。这两个定理称为互逆定理。 2、证明命题的一般步骤: (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用数学语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因“ (5)依据思路,运用数学语言条理清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完整. 3、用反证法证明几何命题的步骤： (1)假设命题的结论不成立. (2)由假设作为条件,根据已知条件及学过的定义、定理、公理进行逐步的推导直至与假设或与某个己知条件或与学过的某个定义、定理、公理出现矛盾. (3)从而判断假设错误,原命题成立
(完整)最新北师大版八年级数学下册教学工作计划
八年级数学下册教学 工作计划 本学期我继续担任八年级（2）班的数学教育教学工作。为了更好地完成教育教学任务，现就本学期的教育教学计划制定如下：一、学生情况分析 上学期期末考试的成绩总体来看，成绩不太理想。在学生所学知识的掌握程度上，大部分学生能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，但个别学生连简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差。在学习能力上，一些学生课外主动获取知识的能力较差，向深处学习知识的能力没有得到培养，学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要进一步加强，以提升学生的整体成绩；在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去。 二、本学期教学内容分析 本学期教学内容共计六章，第一章《三角形的证明》本章将证明与等腰三角形和直角三角形的性质及判定有关的一些结论，证明线段垂直平分线和角平分线的有关性质，将研究直角三角形全等的判定，进一步体会证明的必要性。第二章《一元一次不等式和一元一次不等式组》本章通过具体实例建立不等式，探索不等式的基本性质，了解一般不等式的解、解集、解集在数轴上的表示，一元一次不等式的解法及应用；通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系．最后研究一元一次不等式组的解集和应用．第三章《图形的平移与旋转》本章将在小学学习的基础上进一步认识平
面图形的平移与旋转，探索平移，旋转的性质，认识并欣赏平移，中心对称在自然界和现实生活中的应用。第四章《分解因式》本章通过具体实例分析分解因式与整式的乘法之间的关系揭示分解因式的实质，最后学习分解因式的几种基本方法。第五章《分式与分式方程》本章通过分数的有关性质的回顾建立了分式的概念、性质和运算法则，并在此基础上学习分式的化简求值、解分式方程及列分式方程解应用题，能解决简单的实际应用问题。第六章《平行四边形》本章将研究平行四边形的性质与判定，以及三角形中位线的性质，还将探索多边形的内角和，外角和的规律；经历操作，实验等几何发现之旅，享受证明之美。 三、本学期教学内容目的要求，重难点 第一章主要让学生经历证明等腰三角形和直角三角形的图形性质与判定的过程，进一步发展推理能力；第二章主要让学生经历探索发现不等关系，进一步体会模型思想，体会不等式，函数，方程之间的联系；第三章主要让学生经历平移与旋转的认识及应用的过程，发展空间观念，增强观察，归纳，抽象，概括等能力；第四章主要让学生体会因式分解的意义，体会因式分解与整式乘法间的联系与区别；第五章主要让学生了解分式的概念，探索分式的基本性质，能用分式方程解决简单的实际问题，体会模型思想；第六章主要让学生探索并证明平行四边形的有关性质与判定及多边形的内角和，外角和公式，积累数学活动经验，发展推理能力。 重点：（１）掌握等腰三角形和直角三角形的性质与判定，能证
初二数学上册北师大版知识点总结
北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的 平方，即2 22c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+，那 么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 22c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组 勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为 10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破 （1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得 得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ 思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。 解：在Rt △ACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 ∴EC=1.5 答：梯子顶端下滑了0.5米。 点拨：要考虑梯子的长度不变。 例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。 思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD ，似乎不 解：连结AC ，在Rt △ADC 中， 在△ABC 中，AB2=1521 答：这块地的面积是216平方米。 点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。 第二章 实数 基本知识回顾 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 得要领，连结，求出即可。AC S S ABC ACD ??-
最新八年级上册证明题
八年级上册证明题 课堂练习 一、解答题 1.（本题7分）已知如图，在△ABC 中，CH 是外角∠ACD 的角平分线，BH 是∠ABC 的平 分线, ∠A=58°.求∠H 的度数. 2.（本题10分）如图（1）：已知等腰直角三角形ABC 中,∠ACB= 90,直线l 经过点C,AD ⊥l ,BE ⊥l ,垂足分别为D 、E 。 (1)证明ΔACD ≌ΔCBE ；（5分） (2)如图2，当直线l 经过ΔABC 内部时,其他条件不变,（1）中的结论还成立吗?如果成立, A B C D H 图1
3．（6分）阅读理解题： （1）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=1 2BC． 求证：∠BAC=90°． 证明：∵AD=1 2BC，BD=CD= 1 2BC， ∴AD=BD=DC， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD， ∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°， ∴∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°． （2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直线运用这个结论解答题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为1+ 3，求这个三角形的面积． 4、如图在ΔABC中AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F
⑴求证：AE=CF （6分） ⑵是否还有其他结论，不要求证明（至少2个，4分） 5．将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3． (1) 将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′=______； (2) 将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图(3)的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点 C 旋转的度数=______； (3) 将△ECD 沿直线AC 翻折到图(4)的位置，ED ′与AB 相交于点F ，求证AF=FD ′． 6、如图，已知点P 为∠ABC 的任意一点，求证∠BPC > ∠BAC. D (1) (2) 第23题 A C B E 4 D E ’ A C B E D l (3) l D ’ F A C B E D (4) A C B E D l E ’ C ’
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