新九年级暑假数学小班讲义经典Word版

第一讲一元二次方程及其解

第1节一元二次方程一般形式

一、课堂学习

（一）根据题意列方程：

（1）有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个盖方盒。如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形?

（2）我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度。

（3）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？

（二）探索新知：

（１）问题：上述４个方程是不是一元一次方程？有何共同点？

①；②；③。（2）一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是_____，只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是___的方程叫做一元二次方程。

（3）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 (a，b，c为常数，）的形式，我们把它称为一元二次方程的一般形式。a为，b为，c为。

（三）注意点：

(1)一元二次方程必须满足三个条件：a ；b ； c 。

(2)任何一个一元二次方程都可以化为一般形式：。二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。

(3)二次项系数0a ≠是一个重要条件，不能漏掉，为什么？ （四）自我尝试：

1、下列列方程中，哪些是关于x 的一元二次方程？

（1）2

50x -= （22

x -= （3）

212

30x x

+-= （4）3

30x x -= （5）2

30x xy +-=

2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：

(1) 2351x x =- (2) (2)(1)6x x +-= (3) 2

470x -= 二、达标训练：

1、下列方程中，是关于X 的一元二次方程的是（ ）

A 3=

B 。2221x x x +=-

C 。2

0ax bx c ++= D 。2

3(1)2(1)x x +=+

2、方程2(1)4(1)x x x -=-的一次项是（ ）

A 。 2x

B 。 4x

C 。 6-

D 。 6x -

3、将方程2

(21)(3)(21)6x x x -+--=化成一般形式为___________，它的二次项系数为_____，一次项系数为_____，常数项为______。

4、当a_______时，关于X 的方程（a －1）x 2+3x －5=0是一元二次方程。

第2节 一元二次方程的解

一、课堂学习： （一）复习引入：

1、解方程，并说出方程解的定义：3x=2(x+5)

2一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少？

设苗圃的宽为xm ，则长为_______m ．

根据题意，得_____ __ 整理，得_____ _ __． （二）探索新知：

1．下面哪些数是上述方程的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．

2、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_________的值。

3、判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解： (1) 2360x -= (－7，－6，－5， 5， 6， 7) (2) 2

31134902,,1,,0,,1,,22222x ??-=--

-- ???

4、你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

(1) 2250x -= (2) 231x = (3) 29160x -= （三）注意点：

1、使一元二次方程成立的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

2、由实际问题列出方程并得出解后，还要考虑这些解是否是实际问题的解。 （四）自我尝试：

1、下列各未知数的值是方程2320x x +-=的解的是（ ） A 。 1x = B 。1x =- C 。2x = D 。 1

3

x =

2、根据表格确定方程

287.5x x -+=0的解的范围____________

3、已知方程2390x x m -+=的一个根是1，则m 的值是______

二、达标训练：

1、把2

2(1)2x x x x -=++化成一般形式是______________，二次项是____一次项系数是_______，常数项是_______。 2、一元二次方程2

x x =的根是__________；方程x （x －1）=2的两根为________

3、写出一个以2x =为根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次项系数为1： ______ _。

4、已知m 是方程260x x --=的一个根，则代数式2m m -=________。

5．若2

22x x -=，则2243x x -+=_____________。

6．方程ax （x －b ）+（b －x ）=0的根是 x 1=______ x 2=___

7．已知x=－1是方程ax 2

+bx+c=0的根（b≠0） 8．如果x 2

－81=0，那么x 2－81=0的两个根分别是x 1=________，x 2=__________． 9．已知方程5x 2

+mx －6=0的一个根是x=3，则m 的值为________．

10．如果x=1是方程ax 2

+bx+3=0的一个根，则（a －b ）2

+4ab 的值为 ．

11、若关于X 的一元二次方程

22

(1)10a x x a -++-=的一个根是0，a 的值是几？你

能得出这个方程的其他根吗？

第二讲 一元二次方程解法

第1节 直接开平方法

一、课堂学习 （一）、问题1．填空

（1）x 2

－8x+______=（x －______）2

；（2）9x 2

+12x+_____=（3x+_____）2

； （3）x 2

+px+_____=（x+______）2

．

问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s?的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，?P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的 面积等于8cm 2

？ （二）探索新知：

1、36的平方根是________，

4

9

的平方根是____________。 2、若2

4x =，则x =______________；若2

21x =，则x =__________。 3、请根据提示完成下面解题过程：

(1) 由方程 2

(21)5x -=， (2) 由方程 2

692x x ++=，

得 21x -=_______ 得 (_________)2

=2 即 ∴ ______________=_______ 21x -=____，21x -=_____ 即 ____________， ____________ ∴ 1x =_______， 2x =_____ ∴ 1x =_______， 2x =_____ （三）归纳概括：

1、形如2

x p =(0)p ≥或2

()mx n p +=(0)p ≥的一元二次方程可利用平方根的

定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法。

2、如果方程能化成2

x p =或2

()mx n p +=(0)p ≥的形式，那么可得x =，或

mx n +=

3、用直接开平方法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次．．，转化 为两个一元一次方程。 （四）自我尝试 解下列方程：

(1)25x = (2) 2

390x -=

(3) 2

(1)4x -= (4) 2

12365x x ++=

二、达标训练：

1、方程2

3x =的根是（ ）

A 。 123x x ==

B 。 12x x ==

C 。 1

2x x == D 。 12x ==2、解下列方程：

(1）2

4250t -= (2) 2

5(3)125x -= (3) 2

2(1)60x +-=

(4) 2

4410y y ++= (5) 291241x x ++= (6) 2

114

y y -+

=

第2节 配方法

一、课堂学习

（一）复习引入：填上适当的数，使下列等式成立：

(1) 2

12x x ++____ = 2

(6)x + (2) 2

4x x -+____ = (x -___)2 (3) 2

8x x ++____ = (x +____)2 （4）2

x －

4

5x ＋_____＝（x －____）2

由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是： _____________________________________________________ （二）探索新知：请阅读教材第37页，解方程2

450x

x +-=，完成下面框图：

2450x x +-=

（三）归纳总结：

1、通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。

2、配方是为了降次．．

，把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解。 3、方程的二次项系数不是1时，可以让方程的各项除以二次项系数，将方程的二次项系数化为1.

4、用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是：

①移项，把常数项移到方程右边；

②配方，在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；

③利用直接开平方法解之。

（四）自我尝试：解下列方程：（同桌相互查找问题，进行纠正）

(1) 2

61x x += (2) 2

20x --=3x (3) 2

67x +=2x

二、达标训练：

1、填上适当的数，使下列等式成立：

(1) 2

5____(____x x x ++=+2

) (2) 2

1

____(____2x x x +

+=+2)

(3) 2____(____x x -+=-2) (4) 2____(____b x x x a

++=+2

)

2、将方程2

410x ++=x 配方后，原方程变形为（ ）

A 。 (23x +=2

) B 。 (43x +=2

) C 。 (25x +=-2

) D 。 (23x +=-2

) 3、解下列方程：

(1) 2

280x +-=x (2) 2

35x +=2x (3) 2

410x -+=2x

第三讲 用公式法和因式分解法

第1节 公式法解一元二次方程

一、课堂学习： (一)复习提问

1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？

2、用配方法解方程：x 2

－7x －18=0 3、你能用配方法解方程2

0(0)ax bx c a ++=≠吗？请尝试解

（二）归纳总结： 1、一元二次方程2

0(0)ax

bx c a ++=≠的根由方程的_________确定。当__________

时，它的根是_____________，这个式子叫做一元二次方程的_____________，利用它解一元二次方程的方法叫做______________。 2、一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠：

当2

4b

ac -____时，方程有实数根______________________________；

当___________时，方程有实数根______________________________； 当___________时，方程没有实数根。 （三）、注意点：

1、公式法是解一元二次方程的一般方法。

2、 公式法是配方法的一般化和格式化。配方法是公式法的基础，通过配方法得出了求根公式；公式法是直接利用求根公式，它省略了具体的配方过程。

3、一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠

当2

40b

ac ->时，方程有实数根:

12b x a

-+=

2x =

当2

40b ac -=时，方程有实数根：122b x x a

==-；

当2

40b

ac -<时，方程没有实数根。

（四）自我尝试： 1、一元二次方程2

0(0)ax

bx c a ++=≠的求根公式是_______________。

2、用公式法解方程： (1) 2

780x

x --= (2) 2260x x +-=

3、 不解方程，判断下列方程实数根的情况： (1) 2

2340x

x --= (2) 2690x x -+= (3) 2340x x ++=

二、达标训练： 1、方程2

10x

x --=的根是（ ）

A 。 1x 2

x 。 1x =212x =

C 。 1

x 2x D 。 没有实数根

2、下列方程中，没有实数根的是（ ）

A 。2

210x

x +-= B 。

220x ++= C 。 210x ++= D 。 220x x -++= 3、用公式法解下列方程： (1) 2

2980x x -+= (2) 2340x -= (3) 29610x x ++=