微积分练习
微积分练习 Prepared on 22 November 2020
微积分复习资料
性质a b dx dx b a
b a -==???1如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则在],[b a 上至少存在一点ξ，使)()()(a b f dx x f b a -=?ξ )(b a ≤≤ξ
P158 习题
5．估计下列积分的值
（1）dx x ?-212)2( （2）dx x ?∏∏
+4542)sin 1(
7．根据定积分的性质及上题的结论比较下列各组积分的大小：
（2）dx x xdx ??+1010)1ln(,； （3）dx x dx e x ??+1
010)1(, P164习题
5．求下列极限：
（1）x dt t x x ?→020cos lim （3）202021lim x dt t x x ?+→
7．计算下列定积分：
（4）dx x
a a ?
+30221 (5) dx x x x ?-+++012241133 (10) ?∏20x sin dx
10.设?++=1032)(11)(dx x f x x
x f ，求?10)(dx x f 11．已知??+-=10
202)(2)()(dx x f dx x f x x x f ，求).(x f dx x a a
?-022 （0>a ）
P171习题
1、 计算下列定积分：
（7）dx x x ?-12
1221 （10）dx x x ?-1022
（17）?-+++0
2222)2(x x dx x
3.证明：??+=+x x t
dt t dt 1121211（0>x ） 5.设)(t f 为连续函数，证明：
（1）当)(t f 是偶函数时，?=x
dt t f x 0)()(?为奇函数； （2）当)(t f 是奇函数时。?=x
dt t f x 0)()(?为偶函数。 6.设)(x f 是以T 为周期的连续函数，证明：对任意的常数a ，有
7.计算下列定积分：
（2）?e xdx x 1ln （3）?10arctan xdx x （10）?e
dx x 1)sin(ln dx x a p ?
+∞1（0>a ）的敛散性。 ?
-a x a dx 022（0>a ） dx x q
?1
01的敛散性。 习题
1. 判断下列广义积分的敛散性，若收敛，计算其值。
（6）?+∞
∞-++222x x dx （8）?-211x xdx 21x y =+与直线x y +=1所围成的图形的面积。
122
22=+b
y a x 所围成的面积。 2x y =，22x y -=所围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转而成的旋转体的体积。
习题
1. 求由下列各曲线所围成的图形的面积：
（2）x
y 1=
，x y =及2=x ； （3）23x y -=与x y 2=
3．求抛物线342-+-=x x y 及其在点（0，-3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。
4．求在区间??
????∏2,0上，曲线x y sin =，直线0=x 及1=y 所围成图形的面积。 7．计算曲线2x y =，2y x =所围成的图形绕y 轴旋转一周所产生的旋转体的体积。
在有界闭区域D 上的二元连续函数，必定在D 上有界。
在有界闭区域D 上的二元连续函数，在D 上至少取得到它的最大值和最小值各一次。
习题
3．求下列函数的极限：
（1）22101lim y x xy y x ++→→ （2）22220
0cos 1lim y x y x y x ++-→→ （4）y
x x y x +→→1sin
lim 00 223y xy x z ++=在点（1，2）处的偏导数。
y x z =（1,0≠>x x ），求证：z y
z x x z y x 2ln 1=??+?? e xy xy y x z +--=3
233，求22x z ??，22y z ??，y x z ???2，x y z ???2，33x z ?? 2
2ln y x z +=满足拉普拉斯方程22x z ??+022=??y z 习题
4．求下列函数的22x z ??，22y
z ??，y x z ???2： （2）x
y z arctan = 5．求下列函数的指定阶偏导数：
（1）)ln(xy x z =，求2
3y x z ??? 22y y x z +=的全微分
y x z =在点（1，2）处的全微分
近似计算公式：y y x f x y x f y x f y y x x f y x ?+?+≈?+?+),(),(),(),(
νsin u e z =，而y x xy u +==ν,，求x z ??和y
z ?? 2
22),,(z y x e z y x f u ++==，而y x z sin 2=，求x
u ??和y u ?? 设νsin u e z =，而y x xy u +==ν,，求x z ??和y
z ?? 2
22z y x x u ++=的偏导数。 y z z x ln =所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数x
z ??，y z ??。 042
22=-++z z y x ，求22x z ?? 习题
4．设y x z arctan =，v u x +=，v u y -=，证明：22v
u v u v z u z +-=??+?? 9．设xyz e z
=，求22x z ?? 11.设),(v u F 有连续的偏导数，方程0),(=--bz cy az cx F 的确定函数),(y x f z =，证明： c y
z b x z a =??+?? x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值
xyz u =在附加条件
a
z y x 1111=++ （0,0,0,0>>>>a z y x ）下的极值 习题 4．某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告。根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用1x （万元）及报纸广告费用2x （万元）之间的关系有如下的经验公式：
（1） 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；
（2） 若提供的广告费用为万元，求相应的最优广告策略。
P234如果在D 上，),(),(y x g y x f ≤，则有不等式 特殊地，有σσd y x f d y x f D D ????≤),(),(
设M ，m 分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ为D 的面积，则有σσσM d y x f m D
≤≤??),(
设函数),(y x f 在闭区域D 上连续，σ为D 的面积，则在D 上至少存在一点（ηξ,）使得σηξσ),(),(f d y x f D
=
?? dxdy e D y x ??+，其中区域D 是由x=0,x=1,y=0,y=1所围成的矩形。
??D
xyd σ，其中D 是由直线y=1,x=2及y=x 所围成的闭区域
??D
xyd σ，其中D 是由直线2+=x y 及抛物线2x y =所围成的闭区域。 dxdy xy I D
??+=)1(，其中D ：4422≤+y x
习题
4．画出积分区域，计算下列二重积分
（5）dxdy y x xf y D
??++)](1[22，其中D 由曲线2x y =与1=y 所围成的闭区域
6．改变下列二次积分的积分次序
（1）??e x dy y x f dx 1ln 0),( （4）??--+01112),(x x dy y x f dx
7．计算下列二次积分
（1）dy e dx x y ??1012