2015届高考数学文二轮专题训练专题五第1讲空间几何体

第 1 讲空间几何体

考情解读 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题．

1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关

系

2．空间几何体的三视图

(1)三视图的正 (主 )视图、侧 (左 ) 视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到

的物体轮廓线的正投影形成的平面图形．

(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的

右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．

(3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．看不到的线画虚线．

3．直观图的斜二测画法

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则：

(1)原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中， x′轴、 y′轴的夹角为 45°(或 135 °)，z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直．

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于 x 轴和 z 轴的线段

在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．4．空间几何体的两组常用公式

(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：

①S 柱侧＝ch(c 为底面周长， h 为高 )；

②S

1

锥侧＝ ch′ (c 为底面周长， h′为斜高 )；

2

③S

1

h′为斜高 )；台侧＝(c＋ c′ )h′ (c′， c 分别为上，下底面的周长，

2

④S 球表＝4πR2(R 为球的半径 )．

(2) 柱体、锥体和球的体积公式：

①V 柱体＝ Sh(S 为底面面积， h 为高 )；

②V 锥体＝1

Sh(S 为底面面积， h 为高 )；3

③V 台＝1

(S＋ SS′＋ S′ )h(不要求记忆 )；3

④V球

43＝3πR .

热点一例 1

三视图与直观图

某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

8

A. 3B． 8

32

C. 3D． 16

(2)(2013四·川 )一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()

思维启迪(1)根据三视图确定几何体的直观图；(2)分析几何体的特征，从俯视图突破．

答案(1)B(2)D

解析(1)由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图：

1

则该几何体的体积V＝×2×2×4＝ 8.

(2)由俯视图易知答案为 D.

思维升华空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．

(1)(2013 ·课标全国Ⅱ )一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－ xyz 中的坐标分别是 (1,0,1) ，(1,1,0) ， (0,1,1)， (0,0,0) ，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为()

(2) 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()

答案(1)A(2)D

解析(1)根据已知条件作出图形：四面体C1－ A1DB，标出各个点的坐标如图(1) 所示，可以看出正视图为正方形，如图(2)所示．故选 A.

(2)如图所示，点 D 1的投影为 C1，点 D 的投影为 C，点 A 的投影为 B，故选 D.

热点二几何体的表面积与体积

例 2(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

A. 2πB． 2 2π

π2π

C.3

D. 3

(2)如图，在棱长为 6 的正方体 ABCD － A1B1C1D1中， E， F 分别在 C1D1与 C1B1上，且 C1E ＝4， C1F＝ 3，连接 EF ，FB， DE，则几何体EFC 1－ DBC 的体积为 ()

A．66B． 68

C． 70D． 72

思维启迪(1)由三视图确定几何体形状；(2)对几何体进行分割．

答案 (1)D (2)A

解析 (1)由三视图知，原几何体是两个相同的圆锥的组合，∴ V＝ (1

× π× 12)× 2＝

2π.

33

(2) 如图，连接 DF ， DC1，那么几何体EFC 1－DBC 被分割成三棱锥 D

－EFC及四棱锥D－ CBFC，那么几何体EFC － DBC 的体积为 V＝1

×

1

× 3× 4× 6＋

1

×

1

1113232×(3＋ 6)× 6× 6＝12＋ 54＝66.

故所求几何体EFC 1－ DBC 的体积为66.

思维升华(1) 利用三视图求解几何体的表面积、体积，关键是确定几何体的相关数据，掌

握应用三视图的“ 长对正、高平齐、宽相等” ；(2)求不规则几何体的体积，常用

的思想．

“割补”

多面体 MN － ABCD 的底面 ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视

图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是()

16＋3

B.8＋6 3

A.33

1620

C. 3

D. 3

答案D

解析过 M，N 分别作两个垂直于底面的截面，将多面体分割成一个三棱柱和两个四棱锥，

由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形，面积为S1＝1

× 2× 2＝ 2，高为 2，所以体积为2

V1＝ 4，两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为V1＝ 2×1

×2× 1× 2＝

8

，所以多面体的体33

积为 V＝8

＋ 4＝

20

，选 D. 33

热点三多面体与球

例 3如图所示，平面四边形ABCD 中， AB＝ AD＝ CD ＝1，BD＝2，BD⊥CD ，将其沿对角线 BD 折成四面体ABCD ，使平面 ABD ⊥平面 BCD ，若四面体 ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()

32

A. 2πB． 3π C. 3π D ．2π

思维启迪要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心

的位置，由于△ BCD 是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶

点的距离相等，只要再证明这个点到点 A 的距离等于这个点到B，C，D 的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可．

答案A

解析如图，取BD 的中点 E，BC 的中点 O，连接 AE， OD ， EO， AO.

由题意，知AB ＝AD，所以 AE ⊥BD.

由于平面 ABD ⊥平面 BCD ， AE⊥ BD ，

所以 AE⊥平面 BCD.

因为 AB＝ AD ＝ CD ＝1， BD＝2，

2 1

所以 AE＝2， EO＝2.

3

所以OA＝2.

在Rt△ BDC 中， OB＝ OC＝ OD ＝1

BC＝

3

，

22

所以四面体 ABCD 的外接球的球心为 O，半径为

3

2

.

4333

所以该球的体积 V＝3π( 2 ) ＝2π.故选 A.

思维升华多面体与球接、切问题求解策略

(1) 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点 )或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，

或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径 )与该几何体已知量的关系，列方程 (组) 求解．

(2) 若球面上四点 P，A， B， C 构成的三条线段PA，PB， PC 两两互相垂直，且 PA＝ a，PB ＝b， PC＝ c，一般把有关元素“ 补形” 成为一个球内接长方体，则4R2＝ a2＋b2＋c2求解．

(1)(2014 湖·南 )一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()

A ． 1B． 2

C． 3D． 4

(2) 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角

三角形， 则该几何体的体积是

________；若该几何体的所有顶点在同一球面上，

则球的表面

积是 ________．

答案

(1)B (2)

1

3 3π

解析 (1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当

打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球

的半径最大，故其半径

r ＝ 1

× (6＋ 8－ 10)＝ 2.因此选 B.

2

(2) 由三视图可知，该几何体是四棱锥P － ABCD (如图 )，其中底面 ABCD 是边长为 1 的正方

形， PA ⊥ 底面 ABCD ，且 PA ＝1， ∴ 该四棱锥的体积为

1 1 V ＝

× 1×1× 1＝ .又 PC 为其外接

3

3

球的直径， ∴ 2R ＝ PC ＝ 3，则球的表面积为

S ＝4πR 2＝ 3π.

1．空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，

表面积就是全面积， 是一个空间几何体中“暴

露”在外的所有面的面积， 在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”． 多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．

2．在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量

(球除外 )，因此体积计算中的关

键一环就是求出这个量． 在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面．

3．一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补形 (即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形 )、还原补形 (即还台为锥 )和联系补形 (某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几

何量不易求解， 可根据其所具有的特征， 联系其他常见几何体， 作为这个规则几何体的一部分来求解 )．

4．长方体的外接球

(1) 长、宽、高分别为

a 、

b 、

c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即

a 2＋

b 2＋

c 2＝

2R；

(2) 棱长为 a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a＝ 2R.

真题感悟

1． (2014·江浙 )某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()

A ． 90 cm2B． 129 cm 2

C． 132 cm 2D． 138 cm2

答案D

解析该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为 6 cm,4 cm ，3 cm，

直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm ，所以表面

1

积 S＝ [2 ×(4 ×6＋ 4×3)＋ 3×6＋3×3]＋ 5× 3＋4× 3＋ 2×2× 4× 3 ＝ 99＋

2

39＝ 138(cm ) ．

2． (2014 江·苏 )设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为 V1，V2.若它们的侧面

积相等，且S1

＝

9

，则

V1

的值是 ________．S24V2

答案3 2

解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和 h1， h2，由S1

＝

9

，S2 4

得πr129

，则

r13 2＝

r2

＝ .πr242

由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝ 2πr2h2，

即 r1 h1＝ r2h2，则h1

＝

2

，h23

V1πr23所以＝1h1

2πr2＝

2.

22

V h

押题精练

1．把边长为2的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，连接 AC，得到三棱锥C－ ABD，其正

视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示 )，则其侧视图的面积为()

31

A. 2

B.2

2

C． 1 D. 2

答案B

解析在三棱锥 C－ ABD 中， C 在平面 ABD 上的投影为 BD 的中点 O，

1

∵正方形边长为2，∴ AO＝ OC＝ 1，∴侧视图的面积为S△AOC＝2× 1× 1

1

＝2.

2．在三棱锥A－ BCD 中，侧棱 AB， AC，AD 两两垂直，△ ABC，△ ACD ，△ ABD 的面积分

别为2，3，6

，则三棱锥 A－ BCD 的外接球体积为 ()

222

A.6π B． 2 6π C．3 6π D． 4 6π

答案 A

解析如图，以AB， AC， AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，

∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长．

AB·AC ＝ 2，据题意AC·AD＝ 3，AB·AD

＝ 6，∴长方体的体对角线长为∴三棱锥外接球的半径为∴三棱锥外接球的体积为

AB＝2，

解得AC＝1，

AD ＝3，

AB2＋ AC2＋ AD2＝ 6，

6

2

.

463

V＝π·(＝ 6π.

3 2

)

(推荐时间： 50 分钟 )

一、选择题

1．已知正三棱锥V－ ABC 的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图的面积为()

A ． 2B． 4

C． 6D． 8

答案C

解析如图，作出正三棱锥V－ ABC 的直观图，取BC 边的中点 D，连接 VD ，

AD ，作 VO⊥AD 于 O.

结合题意，可知正视图实际上就是△ VAD，于是三棱锥的棱长 VA＝ 4，从俯视图中

可以得到底面边长为 2 3，侧视图是一个等腰三角形，此三角形的底边长为 2 3，高为

棱锥的高 VO.

由于 VO＝42－

2

×2 3×

32

＝2 3. 32

于是侧视图的面积为1

× 23× 2 3＝ 6，故选 C. 2

2．右图是棱长为 2 的正方体的表面展开图，则多面体 ABCDE 的体积为 ()

2

A ． 2 B.3

48

C.3

D.3

答案D

解析多面体 ABCDE 为四棱锥，利用割补法可得其体积V＝4－4＝8

，选 D.

33

3．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为()

A．15＋3 3B． 93

C． 30＋6 3D． 183

答案B

解析由三视图知几何体是一个底面为 3 的正方形，高为 3 的斜四棱柱，所以V＝ Sh＝3×3× 3＝9 3.

4．已知正四棱锥的底面边长为2a，其侧 (左 )视图如图所示．当正 (主 )视图的面积最大时，

该正四棱锥的表面积为 ()

A ． 8B．8＋8 2

C． 82D． 4＋8 2

答案B

解析由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示，其主视图与左视图相

同，设棱锥的高为h，则 a2＋ h2＝ 4.故其主视图的面积为S＝1

·2a·h＝

2

a2＋ h2

ah≤＝ 2，即当 a＝ h＝ 2时， S 最大，此时该正四棱锥的表面积

2

2

1

S 表＝ (2a) ＋ 4× × 2a× 2

＝8＋ 8 2，故选 B.

5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为()

333

A.3π

B.6π

C.2π

D. 3π

答案A

解析三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对接的图形，圆锥的底面半径为1，母线长为2，故圆锥的高为h＝22－ 12＝ 3.易知该几何

体的体积就是整个圆锥的体积，即V 圆锥＝ 13πr2h＝ 13π× 12×

3＝

3

3 π故.

选

A.

6．(2014·纲全国大)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()

81π27π

A.4 B ． 16πC．9π D.4

答案A

解析如图，设球心为O，半径为r，

则Rt△ AOF 中， (4－ r)2＋( 2)2＝ r2，

9

解得 r＝，

292 81

∴该球的表面积为 4πr ＝ 4π× (4) ＝4π.

二、填空题

7．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角

梯形 (如图所示 )，∠ ABC＝ 45°，AB ＝AD＝ 1，DC ⊥ BC，则这块菜地的面积

为________．

答案2＋2

2

解析如图，在直观图中，过点 A 作 AE⊥ BC，垂足为 E，

2

则在 Rt△ ABE 中， AB＝ 1，∠ABE＝ 45°，∴ BE＝2 .

而四边形 AECD 为矩形， AD ＝1，

∴EC ＝AD ＝ 1，∴ BC＝ BE＋ EC＝2

＋ 1. 2

由此可还原原图形如图．

在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝

2

＋1，且2

A′ D′∥ B′ C′，A′ B′⊥ B′ C′，

1

∴这块菜地的面积为 S＝(A′D ′＋ B′ C′ ) ·A′ B′

2

122

＝2× (1＋ 1＋2 )× 2＝2＋ 2

.

8．如图，侧棱长为 2 3的正三棱锥 V－ ABC 中，∠ AVB＝∠ BVC＝∠ CVA ＝40°，过 A 作截面△AEF，则截面△AEF 的周长的最小值为

____________．

答案6

解析沿着侧棱VA 把正三棱锥V－ ABC 展开在一个平面内，如图．

则 AA′即为截面△ AEF 周长的最小值，且∠ AVA′＝3× 40°＝120°.

在△ VAA′中，由余弦定理可得AA ′＝ 6，故答案为 6.

9．如图，正方体 ABCD － A1B1C1D1的棱长为1，E，F 分别为线段AA1，B1C 上的点，则三棱锥D1－ EDF 的体积为 ______．

答案1 6

解析V

D1EDF V

F DD

1E

1

S D1DE AB

3

＝1

×

1

× 1× 1× 1＝

1

.

3 26

10．已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC 把△ ACD 折起，则三棱锥D － ABC 的外接球的表面积等于 ________．

答案 16π

解析设矩形的两邻边长度分别为a，b，则 ab＝8，此时 2a＋2b≥ 4 ab＝ 82，当且仅当 a ＝b＝ 22时等号成立，此时四边形ABCD 为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为

2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为 2 的球面上，这个球的表面积是

2

4π× 2 ＝ 16π.

三、解答题

11．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为

8、高为 4 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为 4 的等腰三角

形．

(1)求该几何体的体积 V；

(2)求该几何体的侧面积 S.

解由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥 E－ABCD .

(1)V＝1

3× (8× 6)× 4＝64.

(2) 四棱锥E－ ABCD 的两个侧面EAD ， EBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高h1＝

42＋82

＝42；2

另两个侧面 EAB， ECD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高 h2＝42＋

62

＝ 5.

2

因此 S＝ 2× ( 1

× 6× 4 2＋

1

× 8× 5)＝ 40＋ 24 2. 22

12．如图，在 Rt△ABC 中， AB＝ BC＝ 4，点 E 在线段 AB 上．过点 E 作 EF∥ BC 交 AC 于点 F，将△ AEF 沿 EF 折起到△ PEF 的位置 (点 A 与 P 重合 ) ，使得∠ PEB＝ 30°.

(1)求证： EF⊥ PB；

(2)试问：当点 E 在何处时，四棱锥 P— EFCB 的侧面 PEB 的面积最大？并求此时四棱锥

P— EFCB 的体积．

(1)证明∵ EF∥ BC且BC⊥ AB，

∴E F ⊥AB，即 EF⊥ BE， EF⊥ PE.又 BE∩ PE＝ E，

∴E F ⊥平面 PBE，又 PB? 平面 PBE，

∴E F ⊥PB.

(2) 解设BE＝x，PE＝y，则x＋y＝4.

1

∴S△PEB＝2BE·PE·sin ∠ PEB

＝1

xy≤1 x＋ y 2＝1. 442

当且仅当x＝y＝ 2 时， S△PEB的面积最大．

此时， BE＝ PE＝ 2.

由(1) 知 EF ⊥平面 PBE，

∴平面 PBE⊥平面 EFCB ，

在平面 PBE 中，作 PO⊥ BE 于 O，则 PO⊥平面 EFCB .即 PO 为四棱锥 P— EFCB 的高．

又PO＝ PE·sin 30 ＝° 2×1＝

1. 2

1

S EFCB＝× (2＋ 4)× 2＝ 6.

1

∴V P—BCFE＝× 6× 1＝ 2.

第一章 空间几何体练习题

第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构 一、选择题 1、下列各组几何体中是多面体的一组是（） A 三棱柱四棱台球圆锥 B 三棱柱四棱台正方体圆台 C 三棱柱四棱台正方体六棱锥 D 圆锥圆台球半球 2、下列说法正确的是（） A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥 B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台 C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱 D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形 3、下面多面体是五面体的是（） A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱柱 D 五棱锥 4、下列说法错误的是（） A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成 B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成 C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成 D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成 5、下面多面体中有12条棱的是（） A 四棱柱 B 四棱锥 C 五棱锥 D 五棱柱 6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（） A 1 个 B 2 个 C 3个 D 4个 二、填空题 7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点， 有—————————个棱。 8、一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为———————————— 9、把等腰三角形绕底边上的高旋转1800，所得的几何体是—————— 10、水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。 图中是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面， “锦”表示右面，“程”表示下面。 则“祝”“你”“前”分别表示正方体的————— 祝 你前程 似锦

立体几何与解析几何综合题训练

A C E 立体解析综合题练习1 1．如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知//,AB CD AD CD ⊥，1 2 AB AD CD ==. （Ⅰ）求证:BF //平面CDE ； （Ⅱ）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值; (Ⅲ)线段EC 上是否存在点M ，使得平面BDM ⊥平面 BDF ？若存在， 求出EM EC 的值；若不存在，说明理由. 2．已知1(2,0)F -，2(2,0)F 两点，曲线C 上的动点P 满足12123 ||||||2 PF PF F F +=. （Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）若直线l 经过点(0,3)M ，交曲线C 于A ，B 两点，且12 MA MB = ，求直线l 的方程. 立体解析综合题练习2 1． 在如图所示的多面体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，BC AC ⊥， 且22====AE BD BC AC ，M 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：CM ⊥EM ； （Ⅱ）求平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值； （Ⅲ）在棱DC 上是否存在一点N ,使得直线MN 与平面EMC 所成的角为60?．若存在，指出点N 的位置；若不存在，请说明理由． 2．椭圆C:22 221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥== （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若直线l 过圆M: x 2+y 2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C 于,A B 两点，且A 、B 关于点M 对称， 求直线l 的方程. 立体解析综合题练习3 1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA //BE ，AB =PA =4，BE =2． （Ⅰ）求证：CE //平面PAD ； （Ⅱ）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱AB 上是否存在一点F ，使得 平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AF AB 的值； 如果不存在，说明理由． 2．已知抛物线C ：2 2y px =(0p >)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上 异于O 的两点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）若直线OA ，OB 的斜率之积为1 2 - ,求证：直线AB 过x 轴上一定点. A B F E D C

专题37 空间几何体(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)

专题37 空间几何体（知识梳理） 一、空间几何体 1、空间几何体的基本定义 如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分就是一个几何体。 围成体的各个平面图形叫做体的面；相邻两个面的公共边叫做体的棱；棱和棱的公共点叫做体的顶点。 几何体不是实实在在的物体。 平面的特性：无限延展、处处平直、没有其他性质(如厚度、大小、面积、体积、重量等)。 例1-1．下列是几何体的是( )。 A 、方砖 B 、足球 C 、圆锥 D 、魔方 【答案】C 【解析】几何体不是实实在在的物体，故选C 。 例1-2．判断下列说法是否正确： (1)平静的湖面是一个平面。 (×) (2)一个平面长3cm ，宽4cm 。 (×) (3)三个平面重叠在一起，比一个平面厚。 (×) (4)书桌面是平面。 (×) (5)通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内。 (√) 【解析】平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内。 (6)平行四边形是一个平面。 (×) (7)长方体是由六个平面围成的几何体。 (×) (8)任何一个平面图形都是一个平面。 (×) (9)长方体一个面上任一点到对面的距离相等。 (√) (10)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线。 (×) (11)平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念。 (√) 例1-3．下列说法正确的是 。 ①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD 上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形D C B A ''''所围成的几何体；③长方体一个面上的任一点到对面的距离相等。 【答案】②③ 【解析】①错，因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别； ②正确；③正确。 [多选]例1-4．下列说法正确的是( )。 A 、任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 B 、一个几何体可以没有顶点 C 、一个几何体可以没有棱 D 、一个几何体可以没有面

人教A必修2第一章空间几何体综合练习卷

人教A 必修2第一章空间几何体综合练习卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分. 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填 在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．不共面的四点可以确定平面的个数为 （ ） A ． 2个 B ． 3个 C ． 4个 D ．无法确定 2．利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形； ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的是 （ ） A ．①② B ． ① C ．③④ D ． ①②③④ 3．棱台上下底面面积分别为16和81,有一平行于底面的截面面积为36,则截面戴的两棱台高 的比为 （ ） A ．1∶1 B ．1∶1 C ．2∶3 D ．3∶4 4．若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是 （ ） A ．正方体 B ．正四棱锥 C ．长方体 D ．直平行六面体 5．已知直线a 、b 与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是 （ ） A ．a ⊥α且a ⊥β B ．α⊥γ且β⊥γ C ．a ?α，b ?β，a ∥b D ．a ?α，b ?α，a ∥β，b ∥β 6．如图所示，用符号语言可表达为（ ） A ．α∩β＝m ，n ?α，m ∩n ＝A B ．α∩β＝m ，n ∈α，m ∩n ＝A C ．α∩β＝m ，n ?α，A ?m ，A ? n D ．α∩β＝m ，n ∈α，A ∈m ，A ∈ n 7．下列四个说法 ①a //α，b ?α,则a // b ②a ∩α＝P ，b ?α，则a 与b 不平行 ③a ?α，则a //α ④a //α，b //α，则a // b 其中错误的说法的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ） A ．279cm 2 B ．79cm 2 C ．32 3cm 2 D ．32cm 2 9．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧 面，则两圆锥体积之比为 （ ） A ．3∶4 B ．9∶16 C ．27∶64 D ．都不对 10．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a ，则三棱锥D —ABC 的体积为 （ ）

空间几何体练习题与答案

（数学2必修） 第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A .棱台 B .棱锥 C .棱柱 D .都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A 3 B . 23 C . 33 D . 33．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A 3 B 32 C ．23 D 33 5．在△ABC 中，0 2, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 主视图 左视图 俯视图

顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。 （1） 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； （2） 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； （3） 哪个方案更经济些？ 2．将圆心角为0 120，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积 新课程高中数学训练题组 （数学2必修）第一章 空间几何体 [综合训练B 组] 一、选择题

专题29 空间几何体的表面积与体积知识点

一、柱体、锥体、台体的表面积 1．旋转体的表面积 2．多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积. 棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系： 二、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体、锥体、台体的体积公式

2．柱体、锥体、台体体积公式间的关系 3．必记结论 （1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差； （2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等. 三、球的表面积和体积 1．球的表面积和体积公式 设球的半径为R ，它的体积与表面积都由半径R 唯一确定，是以R 为自变量的函数，其表面积公式为 24πR ，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为3 4π3 R . 2．球的切、接问题（常见结论）

（1）若正方体的棱长为a ，则正方体的内切球半径是 12a ；与正方体所 ． （2）若长方体的长、宽、高分别为a ，b ，h （3）若正四面体的棱长为a ；与 ． （4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径． （5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． 1．一个正方体的体积为8，则这个正方体的内切球的表面积是 A ．8π B ．6π C ．4π D ．π 2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 A ．60 B ．72 C ．81 D ．114 3．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ． 3π4 C ． π 2 D ．π4

高中数学必修2第一章空间几何体综合练习题及答案

第一章 空间几何体 综合型训练 一、选择题 1． 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为045 ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A ． 22+ B ． 2 21+ C ． 2 22+ D ． 21+ 2． 半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A ． 3 R B ． 3 R C ． 3 R D ． 3R 3． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ ） Ａ． 28cm π Ｂ． 212cm π Ｃ． 216cm π Ｄ． 2 20cm π 4． 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3， 圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ） A ． 7 Ｂ． 6 Ｃ． 5 Ｄ． 3 5． 棱台上、下底面面积之比为1:9,则棱台的中截面分棱台成 两部分的体积之比是( ) A ． 1:7 Ｂ． 2:7 Ｃ． 7:19 Ｄ． 5:16 6． 如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的 正方形，//EF AB ,32 EF =,且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为（ ） A ． 92 Ｂ． 5 Ｃ． 6 Ｄ． 152 二、填空题 1． 圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成0 60, 则圆台的侧面积为____________．

2． Rt ABC ?中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体的体积为____________． 3． 等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球___S 正方体 4． 若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3,4,5，从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________． 5． 图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成; 图（2）中的三视图表示的实物为_____________． 6． 若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的 直径为_______________． 三、解答题 1． 有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L ，假如它的两底面边长分别等于60cm 和40cm ，求它的深度为多少cm ？ 2． 已知圆台的上下底面半径分别是2,5,且侧面面积等于两底面面积之和, 求该圆台的母线长． 参考答案 图（1） 图（2）

空间几何体专题复习

空间几何体专题 第1讲 空间几何体(文/理) 热点一 三视图与直观图 例1 (1)(·课标全国甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π (2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( ) 答案 (1)C (2)D 解析 (1)由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l ＝(23)2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S 锥侧 ＝1 2 ×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧 ＝4π×4＝ 16π，所以组合体的表面积S ＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C. (2)所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的体对角线，在侧视图中体现为矩形的自左下至右上的一条对角线，因不可见，故用虚线表示，由以上分析可知，应选D. 思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到

的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果． 跟踪演练1(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是() (2)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是() 答案(1)D(2)B 解析(1)由俯视图，易知答案为D. (2)由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组合．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形． 热点二几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割

教师版空间几何体知识点及题型精选总结

一、空间几何体题型精选讲解 题型一 空间几何体的基本概念的考察 1、下列命题中正确的是 ( ) A ．以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B ．以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆台 C ．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 D ．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的半径等于圆锥底面圆的半径 解析：A 符合圆锥的定义．B 不符合圆台的定义．C 中圆柱、圆锥、圆台的底面是圆面，不是圆．D 中圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长．所以选A. 答案 ：A 题型二 三视图的考察 1、(2009·海南、宁夏) 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积( 单位：cm2) 为（ ) A ．48＋122 B ．48＋24 2 C ．36＋12 2 D ．36＋24 2 解析：根据三视图可知，这个三棱锥的一个底面为等腰直角三角形、一个侧面垂直于底面．其直观图如图所示，其中PD ⊥平面ABC ，D 为BC 中点，AB ⊥AC ，ED ⊥AB .连结PE ，由于AB ⊥PD ，AB ⊥DE ，故AB ⊥PE ，即PE 为△PAB 的底边AB 上的高．在直角三角形PDE 中，PE ＝5，侧 面PAB ，PAC 的面积相等，故这个三棱锥的全面积是2×12×6×5＋12×6×6＋12 ×62×4＝48＋12 2.故选A. 答案：A 2、(2011·辽宁) 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为3，它的三视图中的俯视图如下图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )

A ．4 B ．2 3 C ．2 D. 3 解析：设正三棱柱底面边长为a ，利用体积为23，容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为3，故所求矩形的面积为2 3. 答案：B 题型三 平面图的直观图（斜二测面法） 1、如图所示的直观图，其平面图形的面积为 （ ） A ．3 B.322 C ．6 D ．3 2 解析：由斜二测作图法，水平放置的△OAB 为直角三角形，且OB ＝2O′B′＝4，OA ＝O′A′＝3， 则S ＝12 ×4×3＝6. 答案：C 2、如图所示为一平面图形的直观图，则这个平面图形可能是 （ ） 解析：由平行于x 、y 轴的直线仍然平行知C 正确． 答案 ：C

理科数学2010-2019高考真题分类训练专题八立体几何第二十二讲空间几何体的三视图、表面积和体积答案

专题八 立体几何初步 第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积 答案部分 2019年 1.解析 该模型为长方体1111ABCD A B C D -，挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，6cm AB BC ==， 14cm AA =， 所以该模型体积为： 1111311 664(46432)314412132(cm )32 ABCD A B C D O EFGH V V ---=??-??-????=-=， 3D 打印所用原料密度因为为30.9g /cm ，不考虑打印损耗， 所以制作该模型所需原料的质量为：1320.9118.8(g)?=． 2.解析 因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点， 所以11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=??=，所以三棱锥E BCD -的体积： 111332E BCD BCD V S CE BC DC CE -=??=????=V 11 1012 AB BC DD ???=. 3.解析 由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2. 因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于 1 2 ，由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半，为1. 所以该圆柱的体积为2 1124V Sh π?? ==π?= ??? . 4.解析：由PA PB PC ==及ABC △是边长为2的正三角形可知，三棱锥P ABC -为正三棱锥，

空间几何体的三视图、表面积、体积专题练习

空间几何体的三视图、表面积、体积专题练习（宋） 1、若一个几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且体积为1 2 ,则该几何体的俯视图是( ) 2. 3.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形， 主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其全面积是 A．8 B．12 C ．4(1D ． 4. A．1 4+ πB．1 3 4 + π C．8 3 4 + π D．8 4+ π 5. 如右图，已知一个锥体的正（主）视图，侧（左）视图和 俯视图均为直角三角形，且面积分别为3，4，6，则该锥 体的体积为 A．24B．8C．12D．4 6.如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视 图轮廓为正方形，则其体积是() A. 42 3 B. 43 3 C. 3 6 D. 8 3 俯视图

7.用大小相同的且体积为1的小立方块搭一个几何体，使它的主视图 和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A ．9与13 B ．7与10 C ．10与16 D ．10与15 8.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 9.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中 ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边 形，那么该几何体的侧视图的面积为 A.12 B.32 C.2 3 D.6 10. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象可能是（ ） 11.(2008年海南宁夏卷)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为( ) A. 22 B. 23 C. 4 D. 2 5 12.如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F 这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位 置，则字母A,B,C 对面的字母分别为 ( ) (A) D ,E ,F ( B) F ,D ,E ( C) E, F ,D ( D) E, D,F 13.一个正三棱柱的三视图如下所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（ ）. A. 2， B. 2 C. 4，2 D. 2，4 14如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（ ）. （不考虑接触点） 主视图 正视图侧视图 俯视图 A 俯视图 左视图 正视图 俯视图 侧视图 C A

空间几何体 综合问题

组合体 【例1】 （2003京春）一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径 为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则 R r = ． 【例2】 已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设 四面体EFGH 的表面积为T ，则T S 等于（ ） A ．19 B ． 49 C ．14 D ．13 【例3】 有一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱，将它的内部挖去一个与它同底等高的圆 锥，求余下来的几何体的表面积与体积． 【例4】 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -被以A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截 形体的表面积为（ ） A ．5 π4 B ．7 π8 C ．π D ．7π4 【例5】 已知正三棱锥S ABC -，一个正三棱柱的上底面三顶点在棱锥的三条侧棱上，下底 面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15，底面边长为12，内接正三棱柱的侧面积为120． ⑴求正三棱柱的高； ⑵求正三棱柱的体积； 典例分析 板块四.综合问题

⑶求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比． 【例6】 （2008福建15） 的表面积是 ． A B C D 【例7】 正方体全面积为24，求它的外接球和内切球的表面积． 【例8】 半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为 ，则球的表面积和体积的比为______． 【例9】 棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______． 【例10】 （2007年天津理12）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条 棱的长分别为1,2,3则此球的表面积 __________ ． 【例11】 （2008浙江卷14）如图，已知球O 的球面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ， AB BC ⊥ ，DA AB BC ===O 点体积等于__________ D C B A

79.高考数学专题39 空间几何体综合练习(理)(原卷版)

专题39 空间几何体综合练习 1．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是( )。 A 、圆锥 B 、圆柱 C 、球 D 、棱柱 2．如右图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 、BC 的中点，则图中阴影部分在正方体的六个面上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)可能为下图中的( )。 ① ② ③ ④ A 、①③ B 、②④ C 、②③④ D 、③④ 3．如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且AD E ?、BC F ?均为正三角形，AB EF //，2=EF ，则该多面体的体积为( )。 A 、3 2 B 、 33 C 、 32 D 、3 4 4．如图，在长方体D C B A ABCD ''''-中，用截面截下一个棱锥D D A C ''-，则棱锥D D A C ''-的体积与剩余部分的体积之比为( )。 A 、51： B 、41： C 、31： D 、21： 5．如图所示，已知一圆台上底面半径为5cm ，下底面半径为10cm ，母线AB 长为20cm ，其中A 在上底面上，B 在下底面上，从AB 的中点M 处拉一条绳子，绕圆台的侧面转一周达到B 点，则这条绳子的长度

最短为( )。 A 、30cm B 、40cm C 、50cm D 、60cm 6．如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )。 A 、π4 B 、π8 C 、π12 D 、π16 7．在地球北纬 60圈上有A 、B 两点，它们的经度相差 180，A 、B 两地沿纬线圈的弧长与A 、B 两点的球面距离之比为( )。 A 、31： B 、21： C 、32： D 、23： 8．已知A 、B 是球O 的球面上两点， 90=∠AOB ，C 为该球面上的动点，若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )。 A 、π36 B 、π64 C 、π144 D 、π256 9．平行四边形ABCD 中，BD AB ⊥，且4222=+BD AB ，沿BD 将四边形折起成平面⊥ABD 平面BDC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为( )。 A 、2 π B 、π2 C 、π4 D 、π16 10．已知四面体ABCD 是球O 的内接四面体，且AB 是球O 的一条直径，2=AD ，3=BD ，则下面结论错误的是( )。 A 、球O 的表面积为π13 B 、A C 上存在一点M ，使得BM A D // C 、若N 为C D 的中点，则CD ON ⊥

【精选】浙江专版高考数学二轮专题复习知能专练十三空间几何体的三视图表面积及体积

知能专练（十三） 空间几何体的三视图、表面积及体积 一、选择题 1．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( ) 解析：选C 注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C 中，其宽 度为 3 2 ，与题中所给的侧视图的宽度1不相等，因此选C. 2．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的 最大球的半径为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B 该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r ＝2S a ＋ b ＋ c ＝ 2×1 2×6×86＋8＋10 ＝2，故选B. 3．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为 ( ) A ．4π B ．3π C ．2π D ．π 解析：选C 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.

4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体 积分别是( ) A ．45，8 B ．45， 8 3 C ．4(5＋1)， 8 3 D ．8,8 解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为 2，侧面上的斜高为 22＋12＝5，所以S 侧＝4×? ?? ??12×2×5＝45， V ＝1 3 ×22×2＝83 .5.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其 中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 ( )A ．10 B ．12 5.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯 形，这些梯形的面积之和为( ) A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 解析：选B 由三视图可知该多面体是一个组合体，如图所示，其下面是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为 ＋ 2×2＝ 12，故选B. 6．如图，三棱锥V -ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的 面积为2 3 ，则其侧视图的面积为( )

空间几何体(习题及答案)

空间几何体（习题） 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×” ①直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥 （） ②有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的多面体是棱台 （） ③棱台的上、下底面是相似多边形，并且互相平行（） ④直角梯形以其垂直于底边的腰所在直线为轴旋转所得的旋 转体是圆台（） ⑤有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是 棱柱（） ⑥有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 （） ⑦所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体（） ⑧一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直（） ⑨若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥可以是六 棱锥（） 2.如图，将装有水的长方体水槽ABCD-A1B1C1D1 固定底面棱 BC 后，将水槽向右倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（） A．棱柱 B．棱台 C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定

1

3 3. 已知直角三角形的两直角边长分别为 4 cm ，3 cm ，以其中一 条直角边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的底面积为 （ ） A ．9π cm 2 B ．16π cm 2 C ．9π cm 2 或 25 πcm 2 D ．9π cm 2 或 16π cm 2 4. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π的半圆面，则该圆锥的 体积为 ． 5. 已知高为3 的直棱柱 ABC -A 1B 1C 1 的底面是边长为 2 的正三角形（如图所示），则三棱锥 B 1-ABC 的体积为 ． 第 5 题图 第 6 题图 6. 已知三棱锥的底面是边长为 a 的正三角形，则过各侧棱中点 的截面的面积为（ ） A. 3 a 2 4 B. 3 a 2 8 C. 3 a 2 16 D. 3 a 2 32 7. 一个直角梯形的上底、下底、高的比为1:2: ，则由它旋转 而成的圆台的上底面积、下底面积和侧面积的比为 ．

立体几何综合训练

立体几何综合性训练 一、单选题 1．下列说法中不正确．．．的是( ) A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B ．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 C ．圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形 D ．圆台中平行于底面的截面是圆面 2．下列命题中错误的是：（ ） A ．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β； B ．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β； C ．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β； D ．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l⊥γ. 3．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面．在下列条件中，可得出αβ⊥的是（ ） A ．,,//m n m n αβ⊥⊥ B ．//,//,m n m n αβ⊥ C ．,//,//m n m n αβ⊥ D ．//,,m n m n αβ⊥⊥ 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ． 10 3 B ．3 C ．8 3 D ．73 5．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．正方形 D ．正六边形 6．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，点,,E F G 分别是1DD ， AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是 A ．90o B ．60o C ．45o D ．30o 7．已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则与平面ABCD 平行的直线MN 有（ ）条

(新高考)2020高考数学小题考法专训(四)空间几何体与空间位置关系

小题考法专训（四） 空间几何体与空间位置关系 A 级——保分小题落实练 一、选择题 1.已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD 是该圆柱的轴 截面，则在此圆柱侧面上，从A 到C 的路径中，最短路径的长度为( ) A ．210 B ．2 5 C ．3 D ．2 解析：选A 如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为 12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A 到C 的最短路径为线段AC ， AC ＝22＋62＝210.故选A. 2．已知a ，b ，c 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列命题： ①若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α； ②若a ⊥b ，b ⊥α，c ⊥α，则a ⊥c ； ③若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α； ④若a ∥b ，b ∥α，b ?β，α∩β＝c ，则a ∥c . 其中错误命题的序号是( ) A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．①② 解析：选A 对于①，由a ∥b ，b ∥α，可得a ∥α或a ?α，故①错误；对于②，由b ⊥α，c ⊥α得b ∥c ，又a ⊥b ，所以a ⊥c .故②正确；对于③，由a ⊥b ，b ⊥α，可得a ∥α或a ?α，故③错误；对于④，由b ∥α，b ?β，α∩β＝c 得b ∥c ，又a ∥b ，所以a ∥c ，④正确．综上所述，错误命题的序号是①③，选A. 3．设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为( ) A ．100π B ．2563π C.4003π D ．5003 π 解析：选D 因为切面圆的半径r ＝4，球心到切面的距离d ＝3，所以球的半径R ＝r 2＋d 2＝42＋32＝5，故球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝5003π，即该西瓜的体积为5003 π. 4．(2019·广州综合测试)如图是一几何体的平面展开图，其中四 边形ABCD 为矩形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点，在此几何体中，给出下 面结论：

人教版2020高中数学 专题01 空间几何体专题复习考点精准剖析与创新训练 新人教A版必修2

专题01 空间几何体专题 本重点包括柱、锥、台、球的概念、性质、表面积与体积，直观图与三视图，这些是立体几何的基础，也是研究空间问题的基本载体，所以是高考考查的热点。 知识框架 1、空间几何体的结构 2、空间几何体的三视图和直观图 3、空间几何体的表面积和体积 一、考查形式与特点 1、本章内容多以客观题出现，考查基本知识，对空间几何体的特征与性质的理解，三 视图和直观图，几何体表面积与体积的计算等。三视图考查特点：一是给出空间图形，选择其三视图；二是已知其中两种三视图，画出另外一种视图；三是三视图与面积体积计算结合在一起考查。 2、球体在近几年的高考中出现频率较高，特别是棱柱、棱锥中球的内切、外接问题，在复习时更要注意多练习相关的题目。对球中的体积、表面积、球面距离等问题也要进行重点掌握。

3、培养与发展考生的空间想象能力、推理证明能力、运用图形语言进行交流的能力。考查空间想象能力及空间模型的构造能力。 二、方法策略 1、“化整为零”是本章的基本思想。 将一个复杂的几何体分割成若干个常见的熟悉的几何体，或者把几个简单的几何体组 合成一个新的几何体，目的在于化繁为简，寻求解题的捷径。 立体几何和平面几何有着密切的联系，空间图形的局部性往往可以透过平面图形的性质去研究，利用截面可以把锥体中的元素关系转化为三角形中的元素关系。 2、“以直代曲”的思想方法 即通过空间图形的展开将立体几何问题转化为平面几何问题，曲面问题转化为平面问题，如在推导圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式时，就是将其侧面展开，转化为长方形、扇形、圆环来解决。 3、三视图之间的投影规律为：正、俯视图――长对正；正、侧视图――高平齐；俯、侧视图――宽相等。三视图是新增内容，是高考考查重点，它能极大培养学生的空间想象能力与感知能力，熟悉常见简单几何体三视图在数量上的关系，善于将三视图中的数量关系与原几何体的数量关系联系起来，进行相关的计算。 4、球的表面积与体积的计算的关键是求出球的半径，然后再利用表面积公式及体积公式求解.球的表面积与体积问题常置于多面体的组合体中，解答时要充分利用切、接点正确作出过球心截面，从而使空间问题转化为平面问题，再利用球的半径与多面体的元素的关系求解.特别要注意的题型是球与长方体、正方体的组合体. 5、解决问题的重要手段：截、展、拆、拼 （1）“截”是指截面，平行于柱、锥、台底面的截面，旋转体的轴截面是帮助我们解题的有力“工具”。 （2）“展”指的是侧面或某些面的展开图。 （3）“拆”指的是将一个几何体拆成几个几何体，比如，探求三棱锥的体积公式还有一种方法是将一个三棱柱拆成三个等体积的三棱锥。 （4）“拼”指的是将小几何体嵌入一个大几何体中去，比如，求三棱锥体积公式，既可用上面“拆”的方法，也可用“拼”的方法。 三．复习指导 1、在正棱锥、台体中，要利用直角三角形（高、斜高及底面边心距组成一个直角三角形、高、侧棱于底面外接圆的半径组成一个直角三角形，底面的边心距、外接圆半径及底边一半组成一个直角三角形，侧棱、斜高与底面一半组成一个直角三角形），进行有关计算。

人教版必修2第一章空间几何体综合检测卷及答案

必修2第一章空间几何体综合检测卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共100分. 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共30分）． 1．利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形； ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的是 （ ） A ．①② B ． ① C ．③④ D ． ①②③④ 2．棱台上下底面面积分别为16和81,有一平行于底面的截面面积为36,则截面戴的两棱台高 的比为 （ ） A ．1∶1 B ．1∶1 C ．2∶3 D ．3∶4 3．若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是 （ ） A ．正方体 B ．正四棱锥 C ．长方体 D ．直平行六面体 4．正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ） A ． 2 79cm 2 B ．79cm 2 C ． 3 23cm 2 D ．32cm 2 5．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧 面，则两圆锥体积之比为 （ ） A ．3∶4 B ．9∶16 C ．27∶64 D ．都不对 6．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a ，则三棱锥D —ABC 的体积为 （ ） A ．63a B ．12 3 a C ． 3123a D ．3 12 2a 第Ⅱ卷（非选择题，共70分） 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 7．螺母是由 _________和 两个简单几何体构成的． 8．一个长方体的长、宽、高之比为2：1：3，全面积为88cm 2，则它的体积为___________． 9．如图，将边长为a 的正方形剪去阴影部分后，围成一个正三棱锥， 则正三棱锥的体积是 ． 10．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点. ①若AC=BD ， 则四边形EFGH 是 ； ②若AC BD ，则四边形EFGH 是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共46分)． 11．（9分）将下列几何体按结构分类填空