新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答
第一章 导数及其应用 3.1变化率与导数 练习(P6)
在第3 h 和5 h 时,原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近,原油温度大约以1 ℃/h 的速度下降;在第5 h 时,原油温度大约以3 ℃/h 的速率上升.
练习(P8)
函数()h t 在3t t =附近单调递增,在4t t =附近单调递增. 并且,函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明:体会“以直代曲”1的思想. 练习(P9) 函数3
3()4V
r V π
=
(05)V ≤≤的图象为
根据图象,估算出(0.6)0.3r '≈,(1.2)0.2r '≈.
说明:如果没有信息技术,教师可以将此图直接提供给学生,然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组(P10)
1、在0t 处,虽然1020()()W t W t =,然而10102020()()()()
W t W t t W t W t t t t
--?--?≥
-?-?. 所以,企业甲比企业乙治理的效率高.
说明:平均变化率的应用,体会平均变化率的内涵.
2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t
?+?-==-?-??,所以,(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m /s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.
(5)(5)10s s t s t t t
?+?-==?+??,所以,(5)10s '=.
因此,物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m /s ,它在第 5 s 的动能
21
3101502k E =??= J.
4、设车轮转动的角度为θ,时间为t ,则2(0)kt t θ=>. 由题意可知,当0.8t =时,2θπ=. 所以258k π=
,于是2
258
t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.
(3.2)(3.2)25208
t t t t θθθπ
π?+?-==?+??,所以(3.2)20θπ'=. 因此,车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明:第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.
5、由图可知,函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零,所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得,函数()f x 在4x =-,2-,0,2附近分别单调递增,几乎没有变化,单调递减,单调递减. 说明:“以直代曲”思想的应用.
6、第一个函数的图象是一条直线,其斜率是一个小于零的常数,因此,其导数()f x '的图象如图(1)所示;第二个函数的导数()f x '恒大于零,并且随着x 的增加,()f x '的值也在增加;对于第三个函数,当x 小于零时,()f x '小于零,当x 大于零时,()f x '大于零,并且随着x 的增加,()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.
说明:本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组(P11)
1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢,即速度;速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢,根据物理知识,这个量就是加速度.
2、
说明:由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息,并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解,以及数与形之间的相互转换.
3、由(1)的题意可知,函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-,所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象,然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得(2)(3)某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.
说明:这是一个综合性问题,包含了对导数内涵、导数几何意义的了解,以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1.2导数的计算 练习(P18)
1、()27f x x '=-,所以,(2)3f '=-,(6)5f '=.
2、(1)1
ln 2
y x '=
; (2)2x y e '=; (3)4106y x x '=-; (4)3sin 4cos y x x '=--;
(5)1sin 33x
y '=-; (6)21
y x '=-.
习题1.2 A 组(P18)
1、
()()2S S r r S r r r r r π?+?-==+???,所以,0()lim(2)2r S r r r r ππ?→'=+?=. 2、()9.8 6.5h t t '=-+. 3、32
13
()34r V V
π'=
.
4、(1)21
3ln 2
y x x '=+
; (2)1n x n x y nx e x e -'=+; (3)232
3sin cos cos sin x x x x x
y x
-+'=; (4)9899(1)y x '=+; (5)2x y e -'=-; (6)2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++. 5、()822f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+,解得032x =. 6、(1)ln 1y x '=+; (2)1y x =-. 7、1x
y π
=-
+.
8、(1)氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=??.
(2)(7)25.5A '=-,它表示氨气在第7天左右时,以25.5克/天的速率减少. 习题1.2 B 组(P19) 1、(1)
(2)当h 越来越小时,sin()sin x h x
y h
+-=
就越来越逼近函数cos y x =.
(3)sin y x =的导数为cos y x =.
2、当0y =时,0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-,所以0
1x y ='
=-.
所以,曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.
2、()4sin d t t '=-. 所以,上午6:00时潮水的速度为0.42-m /h ;上午9:00时潮水的速度为0.63-m /h ;中午12:00时潮水的速度为0.83-m /h ;下午6:00时潮水的速度为 1.24-m /h.
1.3导数在研究函数中的应用 练习(P26)
1、(1)因为2()24f x x x =-+,所以()22f x x '=-.
当()0f x '>,即1x >时,函数2()24f x x x =-+单调递增;
当()0f x '<,即1x <时,函数2()24f x x x =-+单调递减. (2)因为()x f x e x =-,所以()1x f x e '=-.
当()0f x '>,即0x >时,函数()x f x e x =-单调递增; 当()0f x '<,即0x <时,函数()x f x e x =-单调递减. (3)因为3()3f x x x =-,所以2()33f x x '=-.
当()0f x '>,即11x -<<时,函数3()3f x x x =-单调递增; 当()0f x '<,即1x <-或1x >时,函数3()3f x x x =-单调递减. (4)因为32()f x x x x =--,所以2()321f x x x '=--.
当()0f x '>,即1
3x <-或1x >时,函数32()f x x x x =--单调递增;
当()0f x '<,即1
13
x -<<时,函数32()f x x x x =--单调递减.
2、
3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠,所以()2f x ax b '=+. (1)当0a >时,
()0f x '>,即2b
x a >-
时,函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增; ()0f x '<,即2b
x a
<-时,函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.
(2)当0a <时,
()0f x '>,即2b
x a <-时,函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增;
()0f x '<,即2b
x a
>-时,函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.
4、证明:因为32()267f x x x =-+,所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时,2()6120f x x x '=-<,
因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习(P29)
1、24,x x 是函数()y f x =的极值点,
注:图象形状不唯一.
其中2x x =是函数()y f x =的极大值点,4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、(1)因为2()62f x x x =--,所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=,得1
12
x =. 当112x >时,()0f x '>,()f x 单调递增;当1
12
x <时,()0f x '<,()f x 单调递减.
所以,当1
12
x =
时,()f x 有极小值,并且极小值为211149()6()212121224
f =?--=-. (2)因为3()27f x x x =-,所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=,得3x =±. 下面分两种情况讨论:
①当()0f x '>,即3x <-或3x >时;②当()0f x '<,即33x -<<时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:
因此,当3x =-时,()f x 有极大值,并且极大值为54; 当3x =时,()f x 有极小值,并且极小值为54-. (3)因为3()612f x x x =+-,所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=,得2x =±. 下面分两种情况讨论:
①当()0f x '>,即22x -<<时;②当()0f x '<,即2x <-或2x >时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:
因此,当2x =-时,()f x 有极小值,并且极小值为10-; 当2x =时,()f x 有极大值,并且极大值为22 (4)因为3()3f x x x =-,所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=,得1x =±. 下面分两种情况讨论:
①当()0f x '>,即11x -<<时;②当()0f x '<,即1x <-或1x >时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:
因此,当1x =-时,()f x 有极小值,并且极小值为2-; 当1x =时,()f x 有极大值,并且极大值为2 练习(P31)
(1)在[0,2]上,当1
12
x =
时,2()62f x x x =--有极小值,并且极小值为149()1224
f =-. 又由于(0)2f =-,(2)20f =.
因此,函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是49
24
-
. (2)在[4,4]-上,当3x =-时,3()27f x x x =-有极大值,并且极大值为(3)54f -=; 当3x =时,3()27f x x x =-有极小值,并且极小值为(3)54f =-; 又由于(4)44f -=,(4)44f =-.
因此,函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.
(3)在1
[,3]3
-上,当2x =时,3()612f x x x =+-有极大值,并且极大值为(2)22f =.
又由于155
()327
f -=,(3)15f =.
因此,函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是55
27.
(4)在[2,3]上,函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-,(3)18f =-.
因此,函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组(P31)
1、(1)因为()21f x x =-+,所以()20f x '=-<. 因此,函数()21f x x =-+是单调递减函数.
(2)因为()cos f x x x =+,(0,)2x π∈,所以()1sin 0f x x '=->,(0,)2x π
∈. 因此,函数()cos f x x x =+在(0,)2π
上是单调递增函数. (3)因为()24f x x =--,所以()20f x '=-<. 因此,函数()24f x x =-是单调递减函数. (4)因为3()24f x x x =+,所以2()640f x x '=+>. 因此,函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、(1)因为2()24f x x x =+-,所以()22f x x '=+.
当()0f x '>,即1x >-时,函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<,即1x <-时,函数2()24f x x x =+-单调递减. (2)因为2()233f x x x =-+,所以()43f x x '=-.
当()0f x '>,即3
4x >
时,函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<,即3
4x <时,函数2()233f x x x =-+单调递减.
(3)因为3()3f x x x =+,所以2()330f x x '=+>. 因此,函数3()3f x x x =+是单调递增函数.
(4)因为32()f x x x x =+-,所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>,即1x <-或1
3
x >
时,函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<,即1
13
x -<<时,函数32()f x x x x =+-单调递减.
3、(1)图略. (2)加速度等于0.
4、(1)在2x x =处,导函数()y f x '=有极大值; (2)在1x x =和4x x =处,导函数()y f x '=有极小值; (3)在3x x =处,函数()y f x =有极大值; (4)在5x x =处,函数()y f x =有极小值.
5、(1)因为2()62f x x x =++,所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=,得1
12
x =-. 当1
12x >-
时,()0f x '>,()f x 单调递增; 当1
12
x <-时,()0f x '<,()f x 单调递减.
所以,1
12
x =-时,()f x 有极小值,并且极小值为
211149()6()212121224
f -=?---=-.
(2)因为3()12f x x x =-,所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=,得2x =±. 下面分两种情况讨论:
①当()0f x '>,即2x <-或2x >时;②当()0f x '<,即22x -<<时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:
因此,当2x =-时,()f x 有极大值,并且极大值为16;
当2x =时,()f x 有极小值,并且极小值为16-. (3)因为3()612f x x x =-+,所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=,得2x =±. 下面分两种情况讨论:
①当()0f x '>,即2x <-或2x >时;②当()0f x '<,即22x -<<时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:
因此,当2x =-时,()f x 有极大值,并且极大值为22; 当2x =时,()f x 有极小值,并且极小值为10-. (4)因为3()48f x x x =-,所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=,得4x =±. 下面分两种情况讨论:
①当()0f x '>,即2x <-或2x >时;②当()0f x '<,即22x -<<时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:
因此,当4x =-时,()f x 有极小值,并且极小值为128-; 当4x =时,()f x 有极大值,并且极大值为128. 6、(1)在[1,1]-上,当1
12
x =-时,函数2()62f x x x =++有极小值,并且极小值为
4724
.
由于(1)7f -=,(1)9f =,
所以,函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9,
4724
. (2)在[3,3]-上,当2x =-时,函数3()12f x x x =-有极大值,并且极大值为16; 当2x =时,函数3()12f x x x =-有极小值,并且极小值为16-. 由于(3)9f -=,(3)9f =-,
所以,函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16,16-.
(3)在1[,1]3-上,函数3()612f x x x =-+在1
[,1]3
-上无极值.
由于1269
()327
f -=,(1)5f =-,
所以,函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为269
27
,
5-.
(4)当4x =时,()f x 有极大值,并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-,(5)115f =,
所以,函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128,117-. 习题3.3 B 组(P32)
1、(1)证明:设()sin f x x x =-,(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<,(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减
因此()sin (0)0f x x x f =-<=,(0,)x π∈,即sin x x <,(0,)x π∈. 图略
(2)证明:设2()f x x x =-,(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-,(0,1)x ∈
所以,当1
(0,)2
x ∈时,()120f x x '=->,()f x 单调递增,
2()(0)0f x x x f =->=;
当1
(,1)2
x ∈时,()120f x x '=-<,()f x 单调递减,
2()(1)0f x x x f =->=;
又11
()024
f =>. 因此,20x x ->,(0,1)x ∈. 图略
(3)证明:设()1x f x e x =--,0x ≠. 因为()1x f x e '=-,0x ≠
所以,当0x >时,()10x f x e '=->,()f x 单调递增,
()1(0)0x f x e x f =-->=;
当0x <时,()10x f x e '=-<,()f x 单调递减,
()1(0)0x f x e x f =-->=;
综上,1x e x ->,0x ≠. 图略 (4)证明:设()ln f x x x =-,0x >. 因为1
()1f x x
'=
-,0x ≠ 所以,当01x <<时,1
()10f x x
'=
->,()f x 单调递增, ()ln (1)10f x x x f =-<=-<; 当1x >时,1
()10f x x
'=
-<,()f x 单调递减, ()ln (1)10f x x x f =-<=-<;
当1x =时,显然ln11<. 因此,ln x x <. 由(3)可知,1x e x x >+>,0x >.
. 综上,ln x x x e <<,0x > 图略
2、(1)函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象,类似“
”或
“”的形状. 若有极值,则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值,从图象上能大致估计它的单调区间.
(2)因为32()f x ax bx cx d =+++,所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论:
当0a ≠时,分0a >和0a <两种情形: ①当0a >,且230b ac ->时,
设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ,且12x x <,
当2()320f x ax bx c '=++>,即1x x <或2x x >时,函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增;
当2()320f x ax bx c '=++<,即12x x x <<时,函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.
当0a >,且230b ac -≤时,
此时2()320f x ax bx c '=++≥,函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <,且230b ac ->时,
设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ,且12x x <,
当2()320f x ax bx c '=++>,即12x x x <<时,函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增;
当2()320f x ax bx c '=++<,即1x x <或2x x >时,函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.
当0a <,且230b ac -≤时,
此时2()320f x ax bx c '=++≤,函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1.4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组(P37)
1、设两段铁丝的长度分别为x ,l x -,则这两个正方形的边长分别为
4x ,4
l x -,两个正方形的面积和为 22221
()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+,0x l <<.
令()0f x '=,即420x l -=,2
l
x =.
当(0,)2l x ∈时,()0f x '<;当(,)2l
x l ∈时,()0f x '>.
因此,2
l
x =是函数()f x 的极小值点,也是最小值点.
所以,当两段铁丝的长度分别是2
l
时,两个正方形的面积和最小.
2、如图所示,由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去
四个边长为x 的小正方形,做成一个无盖方盒,所以无 盖方盒的底面为正方形,且边长为2a x -,高为x .
(1)无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-,02a
x <<.
(2)因为322()44V x x ax a x =-+, 所以22()128V x x ax a '=-+.
令()0V x '=,得2a x =(舍去),或6
a x =. 当(0,)6a x ∈时,()0V x '>;当(,)62a a
x ∈时,()0V x '<.
因此,6a
x =是函数()V x 的极大值点,也是最大值点.
所以,当6
a
x =时,无盖方盒的容积最大.
3、如图,设圆柱的高为h ,底半径为R , 则表面积222S Rh R ππ=+
由2V R h π=,得2V h R π=. 因此,2
22
2()222V V S R R R R R R
ππππ=+=+,0R >. 令2()40V S R R R π'=-
+=
,解得R =.
当R ∈时,()0S R '<;
当)R ∈+∞时,()0S R '>. 因此
,R =
是函数()S R 的极小值点,也是最小值点. 此时
,22V h R R π=
==. 所以,当罐高与底面直径相等时,所用材料最省.
4、证明:由于2
11()()n i i f x x a n ==-∑,所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.
令()0f x '=,得1
1n
i i x a n ==∑,
(第3题)
可以得到,1
1n
i i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点,也是最小值点.
这个结果说明,用n 个数据的平均值11n
i i a n =∑表示这个物体的长度是合理
的,
这就是最小二乘法的基本原理.
5、设矩形的底宽为x m ,则半圆的半径为2
x
m ,半圆的面积为28x π2m ,
矩形的面积为2
8x a π-
2m ,矩形的另一边长为()8
a x
x π-m 因此铁丝的长为22()(1)2
44x
a x a l x x x x x πππ=
++
-=++
,0x <<
令2
2()104
a l x x π
'=+
-
=
,得x =.
当x ∈时,()0l x '<
;当x ∈时,()0l x '>.
因此,x =
()l x 的极小值点,也是最小值点.
时,所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ,而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式,再用导数求最大利润.
收入211
(25)2588R q p q q q q =?=-=-,
利润2211
(25)(1004)2110088
L R C q q q q q =-=--+=-+-,0200q <<.
求导得1
214L q '=-+
令0L '=,即1
2104
q -+=,84q =.
当(0,84)q ∈时,0L '>;当(84,200)q ∈时,0L '<;
因此,84q =是函数L 的极大值点,也是最大值点.
所以,产量为84时,利润L 最大,
习题1.4 B 组(P37)
1、设每个房间每天的定价为x 元,
那么宾馆利润21801
()(50)(20)7013601010
x L x x x x -=--=-+-,180680x <<.
令1
()7005L x x '=-+=,解得350x =.
当(180,350)x ∈时,()0L x '>;当(350,680)x ∈时,()0L x '>. 因此,350x =是函数()L x 的极大值点,也是最大值点.
所以,当每个房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元/件时,
利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b
-=-+?=--,54b
a x <<.
令845()0c ac bc L x x b b
+'=-+=,解得458a b
x +=
. 当45(,)8a b x a +∈时,()0L x '>;当455(,)84a b b
x +∈时,()0L x '<.
当458
a b
x +=是函数()L x 的极大值点,也是最大值点.
所以,销售价为458
a b
+元/件时,可获得最大利润.
1.5定积分的概念 练习(P42) 83
. 说明:进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤,体会“以直代曲”和“逼近”的思想.
练习(P45)
1、22112
()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n
'?≈?=?=-+?=-?+?,1,2,,i n =L .
于是 111()n n n
i i i i i i
s s s v t n ==='=?≈?=?∑∑∑
21
12
[()]n
i i n n n ==-?+?∑
22211111
()()()2n n n n n n n n -=-?--?-?+L
2231
[12]2n n
=-++++L
31(1)(21)26
n n n n ++=-?+
111
(1)(1)232n n =-+++
取极值,得
11
11115
lim [()]lim [(1)(1)2]323n
n
n n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑
说明:进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.
2、223
km.
说明:进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想,熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习(P48)
2
30
4x dx =?
. 说明:进一步熟悉定积分的定义和几何意
义.
从几何上看,表示由曲线3y x =与直线0x =,2x =,0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.
习题1.5 A 组(P50) 1、(1)100
2
1
1
11
(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+
-?=∑?; (2)500
2
1
1
11
(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+
-?=∑?; (3)1000
2
1
1
11
(1)[(1)1]0.499510001000
i i x dx =--≈+
-?=∑?. 说明:体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.
2、距离的不足近似值为:18112171310140?+?+?+?+?=(m ); 距离的过剩近似值为:271181121713167?+?+?+?+?=(m ).
3、证明:令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=L L
将区间[,]a b 等分成n 个小区间,在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点
(1,2,,)i i n ξ=L
作和式
1
1()n
n
i i i b a
f x b a n
ξ==-?==-∑
∑
, 从而
1
1lim n
b
a
n i b a
dx b a n
→∞
=-==-∑
?
, 说明:进一步熟悉定积分的概念.
4
、根据定积分的几何意义,0
?
表示由直线0x =,1x =,0y =
以及曲线
y =所围成的曲边梯形的面积,即四分之一单位圆的面积,因
此
4
π
=
?
.
5、(1)031
1
4
x dx -=-
?. 由于在区间[1,0]-上3
0x ≤,所以定积分031
x dx -?表示由直线0x =,1x =-,0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.
(2)根据定积分的性质,得1
1
3
3
311011
044
x dx x dx x dx --=+=-+=???.
由于在区间[1,0]-上3
0x ≤,在区间[0,1]上3
0x ≥,所以定积分1
31
x dx -?等于位于x 轴
上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.
(3)根据定积分的性质,得202333110115
444
x dx x dx x dx --=+=-+=???
由于在区间[1,0]-上30x ≤,在区间[0,2]上30x ≥,所以定积分2
31
x dx -?等于位于x 轴
上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.
说明:在(3)中,由于3x 在区间[1,0]-上是非正的,在区间[0,2]上是非负的,如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分,那么和式中既有正项又有负项,而且无法抵挡一些项,求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分2
31x dx -?化
为0
2
3
31
x dx x dx -+??,这样,3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的,再利
用定积分的定义,容易求出031
x dx -?,230
x dx ?,进而得到定积分2
31
x dx -?的值. 由此可
见,利用定积分的性质可以化简运算.
在(2)(3)中,被积函数在积分区间上的函数值有正有负,通过练习进一步体会定积分的几何意义.
习题1.5 B 组(P50)
1、该物体在0t =到6t =(单位:s )之间走过的路程大约为145 m.
说明:根据定积分的几何意义,通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、(1)9.81v t =.
(2)过剩近似值:8
1
1189
9.819.8188.292242i i =???=??=∑(m );
不足近似值:8
1
11187
9.819.8168.672242
i i =-??
?=??=∑(m ) (3)4
9.81tdt ?;
4
9.81d 78.48t t =?
(m ).
3、(1)分割
在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点,将它分成n 个小区间:
[0,]l n ,2[,]l l n n ,……,(2)[,]n l
l n -, 记第i 个区间为(1)[,]i l il
n n
-(1,2,i n =L )
,其长度为 (1)il i l l x n n n
-?=-=.
把细棒在小段[0,]l n ,2[,]l l n n ,……,(2)[,]n l
l n
-上质量分别记作:
12,,,n m m m ???L ,
则细棒的质量1n
i i m m ==?∑.
(2)近似代替
当n 很大,即x ?很小时,在小区间(1)[
,]i l il
n n
-上,可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于任意一点
(1)[,]i i l il n n ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是,细棒在小段(1)[,]i l il n n
-上质量
2()i i i l
m x n
ρξξ?≈?=(1,2,i n =L ).
(3)求和
得细棒的质量 2
1
1
1
()n
n
n
i i i i i i l m m x n
ρξξ====?≈?=∑∑∑. (4)取极限
细棒的质量 2
1lim n
i n i l
m n
ξ→∞
==∑,所以20l m x dx =?..
1.6微积分基本定理
练习(P55)
(1)50; (2)50
3
; (3
)533-; (4)24; (5)
3ln 22
-; (6)1
2; (7)0; (8)2-.
说明:本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组(P55)
1、(1)403; (2)13ln 22--; (3)9
ln 3ln 22
+-;
(4)17
6-; (5)2318π+; (6)22ln 2e e --. 说明:本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.
2、3300sin [cos ]2xdx x π
π
=-=?.
它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为:位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积(取正值)与x 轴下方的曲边梯形的面积(取负值)的代数和. 习题1.6 B 组(P55)
1、(1)原式=221011[]222x e e =-; (2
)原式=4
6
11[sin 2]22x π
π=; (3)原式=3126[]ln 2ln 2
x =. 2、(1)cos 1
sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m m π
πππππ--=-
=---=?;
(2)sin 1
cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=|=--=?;
(3)21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx m πππ
ππππ----==-=??;
(4)2
1cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx m
πππππππ---+==+=??.
3、(1
)
0.202220()(1)[]49245245t kt kt t kt t g g g g g g
s t e dt t e t e t e k k k k k k
----=-=+=+-=+-?.
(2)由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.
这是一个超越方程,为了解这个方程,我们首先估计t 的取值范围. 根据指数函数的性质,当0t >时,0.201t e -<<,从而 5000495245t <<, 因此,50005245
4949
t <<. 因此5000
0.27
49
245 3.3610e
-?
-≈?,5245
0.2749
245 1.2410e
-?
-≈?,
所以,70.271.2410245 3.3610t e ---?<.
从而,在解方程0.2492452455000t t e -+-=时,0.2245t e -可以忽略不计.
A A ' B B ' C C ' 2 3 新编人教版精品教学资料 2015版人教A 版必修2课本例题习题改编 湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 597917478@https://www.sodocs.net/doc/997307247.html, 1.原题(必修2第15页练习第4题)如图是一个几何体的三视图,想象它的几何结构特征,并说出它的名称. 改编 如图是一个几何体的三视图(单位:cm ) (Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积; (Ⅲ)设异面直线AA '与BC '所成的角为θ,求cos θ. 解:(Ⅰ)这个几何体的直观图如图23-2所示. (Ⅱ)这个几何体是直三棱柱. 由于底面ABC ?的高为1,所以2 2 112AB =+=. 故所求全面积22ABC BB C C ABB A S S S S ''''?=++ 1 221322328622 =???+?+??=+2(cm ). 这个几何体的体积121332 ABC V S BB ?'=?=???=3 (cm ) (Ⅲ)因为//AA BB '',所以AA '与BC '所成的角是B BC ''∠. 俯视图 A 正视图 侧视图 A ' B B 'A B C A B C A ' B ' C ' 1 2 3 11 3 正视图 侧视图 俯视图
2 P P 正视图 侧视图 O O O ' O ' 2 2 22 2 2 2 俯视图 P O O ' 在Rt BB C ''?中,22223213BC BB B C ''''=+=+=,故33 cos 1313 13BB BC θ'= =='. 2.原题(必修2第28页例3)如图,已知几何 体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图. 改编1 如图,已知几何体的三视图(单位:cm ). (Ⅰ)画出它的直观图(不要求写画法); (Ⅱ)求这个几何体的表面积和体积. 解:(Ⅰ)这个几何体的直观图如图所示. (Ⅱ)这个几何体是一个简单组合体,它的下部是 一个圆柱(底面半径为1cm ,高为2cm ),它的上部 是一个圆锥(底面半径为1cm ,母线长为2cm ,高为 3cm ). 所以所求表面积2 1212127S ππππ=?+??+??=2 (cm ), 所求体积221 3 1213233 V ππππ=??+???=+ 3(cm ). 3.原题(必修2第30页习题1.3B 组第三题)分别以一个直角三角形的斜边,两直角边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,画出它们的三视图和直观图,并探讨它们体积之间的关系。 改编 已知直角三角形ABC ,其三边分为c b a ,,,(c b a >>).分别以三角形的a 边,b 边,c 边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,其表面积和体积分别为321,,S S S 和 321,,V V V ,则它们的关系为 ( ) A .321S S S >>, 321V V V >> B .321S S S <<, 321V V V << C .321S S S >>, 321V V V == D .321S S S <<, 321V V V == 解:a a bc V c b a bc S 211)(31),)(( ππ=+=,22223 1 ,bc V c ac S πππ=+= , c b V b ab S 23233 1 ,πππ=+=, 选B. 4.原题(必修2第32页图像)改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得,现用一个竖直的平面截这个几何体,所得截面可能是:
人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版
习题1.2(第24页)
练习(第32页) 1.答:在一定的范围内,生产效率随着工人数量的增加而提高,当工人数量达到某个数量时,生产效率达到最大值, 而超过这个数量时,生产效率随着工人数量的增加而降低.由此可见,并非是工人越多,生产效率就越高. 2.解:图象如下 [8,12]是递增区间,[12,13]是递减区间,[13,18]是递增区间,[18,20]是递减区间. 3.解:该函数在[1,0]-上是减函数,在[0,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数,在[4,5]上是增函数. 4.证明:设 12,x x R ∈,且12x x <, 因为 121221()()2()2() 0f x f x x x x x -=--=->, 即12()()f x f x >, 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 5.最小值. 练习(第36页)
1.解:(1)对于函数 42()23f x x x =+,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内 每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=, 所以函数42()23f x x x =+为偶函数; (2)对于函数 3()2f x x x =-,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内 每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-, 所以函数 3()2f x x x =-为奇函数; (3)对于函数 21 ()x f x x +=,其定义域为(,0)(0,)-∞+∞,因为对定义域内 每一个x 都有 22()11 ()()x x f x f x x x -++-==-=--, 所以函数21 ()x f x x +=为奇函数; (4)对于函数 2()1f x x =+,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内 每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=, 所以函数 2()1f x x =+为偶函数. 2.解:()f x 是偶函数,其图象是关于y 轴对称的; ()g x 是奇函数,其图象是关于原点对称的. 习题1.3(第39页) 1.解:(1) 函数在5(,)2-∞上递减;函数在5 [,)2 +∞上递增; (2)
人教A 版必修1课本例题习题改编 1.原题(必修1第七页练习第三题(3))判断下列两个集合之间的关系:A={} {}|410|20,x x x N B x x m m N ++∈==∈是与的公倍数,, 改编 已知集合4x x M x N N **??=∈∈????且10,集合40x N x Z ?? =∈???? ,则( ) A .M N = B .N M ? C .20x M N x Z ?? =∈???? D .40x M N x N *?? =∈???? 解:{}20,M x x k k N *==∈, {} 40,N x x k k Z ==∈,故选D . 2.原题(必修1第十二页习题1.1B 组第一题)已知集合A={1,2},集合B 满足A ∪B={1, 2},则这样的集合B 有 个. 改编1 已知集合A 、B 满足A ∪B={1,2},则满足条件的集合A 、B 有多少对?请一一写出来. 解:∵A ∪B={1,2},∴集合A ,B 可以是:?,{1,2};{1},{1,2};{1},{2};{2},{1,2};{2},{1};{1,2},{1,2};{1,2},{1};{1,2},{2};{1,2},?.则满足条件的集合A 、B 有9对. 改编2 已知集合A 有n 个元素,则集合A 的子集个数有 个,真子集个数有 个 解:子集个数有2n 个,真子集个数有21n -个 改编3 满足条件 {}{} 1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是 个 解:3必须在集合A 里面,A 的个数相当于2元素集合的子集个数,所以有4个. 3.原题(必修1第十三页阅读与思考“集合中元素的个数”)改编 用C(A)表示非空集合A 中的元素个数,定义 ?? ?<-≥-=*C(B) C(A)当C(A),C(B)C(B) C(A)当C(B),C(A)B A ,若 {}{} 02)ax ax)(x (x x B ,1,2A 22=+++==,且1B A =*,则由实数a 的所有可能取值构 成的集合S = . 解:由{ }2C(A)1,2A ==得,而1B A =*,故3C (B )1C (B )==或.由02)ax ax )(x (x 22=+++得02)ax (x 0ax )(x 22=++=+或. 当1C(B)=时,方程02)ax ax )(x (x 2 2 =+++只有实根0x =,这时0a =.
2019人教版精品教学资料·高中选修数学 选修2-2课本例题习题改编 1.原题(选修2-2第十一页习题1.1B 组第一题)改编 在高台跳水中,t s 时运动员相对水面的高度(单位:m )是105.69.4)(2 ++-=t t t h 则t=2 s 时的速度是_______. 解:5.68.9)(+-='t t h 由导数的概念知:t=2 s 时的速度为 )/(1.135.628.9)2(s m h -=+?-=' 2.原题(选修 2-2 第十九页习题 1.2B 组第一题)改编记 21 sin 23sin ,23cos ,21cos -===c B A ,则A,B,C 的大小关系是( ) A .A B C >> B .A C B >> C . B A C >> D. C B A >> 解:时的导数值,,在分别表示,2321sin 23cos 21 cos = x x 记)2 3 sin 23(,21sin 21,),(N M 根据导数的几何意义A 表示sinx 在点M 处的切线的斜率,B 表示sinx 在点N 处的切线的斜率,C 表示直线MN 的斜率, 根据正弦的图像可知A >C >B 故选B 32.5 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 54321 1 2 3 4 5 f x () = sin x () M N 3.原题(选修2-2第二十九页练习第一题)改编 如图是导函数/ ()y f x =的图象,那么函数 ()y f x =在下面哪个区间是减函数
A. 13(,)x x B. 24(,)x x C.46(,)x x D.56(,)x x 解:函数的单调递减区间就是其导函数小于零的区间,故选B 4.原题(选修2-2第三十二页习题 1.3B 组第1题(4))改编 设02 x π << ,记 s i n ln sin ,sin ,x a x b x c e === 试比较a,b,c 的大小关系为( ) A a b c << B b a c << C c b a << D b c a << 解:先证明不等式ln x x x e << x>0 设()ln ,0f x x x x =-> 因为1 ()1,f x x '= -所以,当01x <<时,1()10, f x x '=->()f x 单调递增,()ln (1)10f x x x f =-<=-<;当1x >时1 ()10,f x x '=-<()f x 单调递减, ()l n (1)1f x x x f =-< =-<;当x=1时,显然ln11<,因此ln x x < 设(),0x g x x e x =-> ()1x g x e '=- 当0()0x g x '><时 ()(0,+g x ∴∞在)单调递减 ∴()(0)0g x g <= 即x x e < 综上:有ln x x x e <<,x>0成立 02 x π << ∴0sin 1x << ∴ sin ln sin sin x x x e << 故选A 5.原题(选修2-2第三十七页习题1.4A 组第1题)改编 用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是_________. 解:设长方体的宽为x m ,则长为2x m ,高??? ?? -=-=230(m)35.441218<<x x x h . 故长方体的体积为).2 30)((m 69)35.4(2)(3322<<x x x x x x V -=-= 从而2 ()181818(1).V x x x x x '=-=- 令0(X)V =',解得x =0(舍去)或x =1,因此x =1. 当0<x <1时,(X)V '>0;当1<x < 3 2 时,(X)V '<0, 故在x =1处V (x )取得极大值,并且这个极大值就是V (x )的最大值. 从而最大体积V =3(m 3 ),此时长方体的长为2 m ,高为1.5 m. 答:当长方体的长为2 m 时,宽为1 m ,高为1.5 m 时,体积最大,最大体积为3 m 3 . 6.原题(选修2-2第四十五页练习第二题)改编 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,设
高中数学选修1-2课后习题答案
高中数学选修1-2课后习题答案 第Ⅰ卷选择题共50分 一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分,每小题给出的4个选项中,只有一选项是符合题目要求的) 参考公式 1.在画两个变量的散点图时,下面哪个叙述是正确的( ) A 预报变量在x轴上,解释变量在y轴上 B 解释变量在x轴上,预报变量在y轴上 C 可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上 D 可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上 2.数列2,5,11,20,,47, x…中的x等于() A 28 B 32 C 33 D 27
3.复数2 5 -i 的共轭复数是( ) A i +2 B i -2 C -i -2 D 2 - i 4.下面框图属于( ) A 流程图 B 结构图 C 程序框图 D 工序流程图 5.设,,a b c 大于0,则3个数:1a b +,1b c +,1 c a +的值( ) A 都大于2 B 至少有一个不大于2 C 都小于2 D 至少有一个不小于2 6.当132< 处理处理 得病32 101 133 不得病61 213 274 合计93 314 407 根据以上数据,则( ) A 种子经过处理跟是否生病有关 B 种子经过处理跟是否生病无关 C 种子是否经过处理决定是否生病 D 以上都是错误的 8.变量x与y具有线性相关关系,当x取值16,14,12,8 时,通过观测得到y的值分别为11,9,8,5,若在实际问题中,y的预报最大取值是10,则x的最大取值不能超过( ) A 16 B 17 C 15 D 12 9.根据右边程序框图,当输入10 时,输出的是() A 12 B 19 C 14.1 D -30 高中数学人教版选修2-3课本习题答案 练习《第6页〉 1.(1)要完成的“一件事情”是“通出1人完成工作”,不同的选法种数是5+4=9; (2)要完成的“一件事情”是“从A村经B村到C村去”,不同路线条数是3X2=6. 2.(1)要完成的“一件事情”是“彦出1人参加活动”,不同的选法种数是3+5+4 = 12, (2)要完戊的“一件事情”是“从3个年级的学生中各逸1人参加活动”,不同的选法种致是3X5X4=60. 3.因为要确定的是这名同学的专业选择,并不要考■虑学校的差异.所以应当是6+4-1^ 9 (种)可能的 专业选择. 蛛习(第10页〉 1.要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”.由于每一项都是a.b,c t的形式.所以可以分三形完成: 第一步.取如有3种方法;第二步,取小有3种方法:第三步.取s有5神方法.根据分步乘法计数原理,展开式共有3X3X5=45 (项). 2.要完成的“一件事情”是“偷定一个电活号码的后四位二分四步完成,每一步部是从。?9这10 个败 字中取一个.共有10X10X10X10 = 10 000 (个). 3.要完成的“一件事情”是“从5名同学中选出正、副组长各1名”.分两步完成:第一步逸正组长,有 5种方法;第二步选副组长.有4种方法.共有选法5X4 = 20 (#). 4.要完成的“一件事情”是“从6个门中的一个进入并从另一个门出去”.分例步完成:先从6个门中选 一个进入.再从共余5个门中逸一个出去.共有进出方法5X5-30 (种). 习题1.1(M 12页) A组 1.“一件事情”是“买一台某型号的电视机”.不同的选法有4+7=11 (神,. 2.“一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到丁地去”.所以是“先分类,后分步”.不同的路线共有 2X3+4X2=14 (条). 3.对于第一问,“一件事情”是“构成一个分数”.由于1, 5, 9. 13是奇数,4, 8, 12,】6是偶数. 所以以1.5, 9.13中任意一个为分子,都可以与4, 8?12, 16中的任意一个构成分数.因此可以分两步来构成分致:第一步,逸分孑,有4种选法;第二步,选分母,也有4种选法.共有不同的分数4X4 = 16 (个). 对于第二何,“一件事情”是“构成一个真分数”.分四类:分子为1时,分母可以从4.8. 12. 16 中任选一个.有4个;分子为5时,分母从8, 12, 16中选一个.有3个;分子为9时.分锹从12, 16中选一个,有2个,分子为13时,分母只能选16,有1个.所以共有其分散4+3 + 2+1 = 10 (个). 4.“一件事憎”是“接通线路”.根据电路的有关知识,容易褂到不同的接通线路有3 + 14-2X 2=8 (条). 5.(1> “一件事情”是“用坐标确定一个点”.由于横、纵坐标可以相同,因此可以分两步完成:第一 步,从人中选横坐怵.有6个选择;第二步从人中选纵坐标,也有6个选择.所以共有坐标6X6 = 36 (个). 2019版数学精品资料(人教版) 人教A 版选修1-1,1-2课本例题习题改编 1. 原题(选修1-1第三十五页例3)改编 已知点A 、B 的坐标分别是A (0,-1),B (0,1),直线AM 、BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是-t ,t ∈(0,1].求M 的轨迹方程,并说明曲线的类型. 解:设M (x ,y ),则10BM y k x -= - (x ≠0),(1)0AM y k x --=-(x ≠0),BM AM k k =-t ,10y x -- ?(1) y x ---=-t(x ≠0),整理得2 2 1x y t +=1(x ≠0)(1)当t ∈(0,1)时,M 的轨迹为椭圆(除去A 和B 两点);(2)当t=1时,M 的轨迹为圆(除去A 和B 两点). 2.原题(选修1-1第五十四页习题2.2A 组第一题)改编 1F 、2F 是双曲线 22 11620 x y -=的焦点,点P 在双曲线上,若点P 到焦点1F 的距离等于9,则点P 到焦点2F 的距离等于 解:∵双曲线 22 11620 x y -=得:a=4,由双曲线的定义知||P 1F |-|P 2F ||=2a=8,|P 1F |=9, ∴|P 2F |=1<(不合,舍去)或|P 2F |=17,故|P 2F |=17. 3. 原题(选修1-1第六十八页复习参考题B 组第一题)改编 已知F 1、F 2分别为椭圆 19 162 2=+y x 的左、右焦点,点P 在椭圆上,若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点,求21F PF ?的面积. 解:依题意,可知当以F 1或F 2为三角形的直角顶点时,点P 的坐标为97,4? ? ±± ??? ,则点P 到x 轴的距离为 49,此时2 1F PF ?的面积为479;当以点P 为三角形的直角顶点时,点P 的坐标为37 7 9>,舍去。故21F PF ?的面积为 4 7 9. 4. 原题(选修1-2第五十五页习题3.1B 组第二题)改编 设,C z ∈满足条件.12 141log 2 1 ->--+-z z 的复数 z 所对应的点z 的集合表示什么图形? 新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答 第一章 导数及其应用 3.1变化率与导数 练习(P6) 在第3 h 和5 h 时,原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近,原油温度大约以1 ℃/h 的速度下降;在第5 h 时,原油温度大约以3 ℃/h 的速率上升. 练习(P8) 函数()h t 在3t t =附近单调递增,在4t t =附近单调递增. 并且,函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明:体会“以直代曲”1的思想. 练习(P9) 函数3 3()4V r V π = (05)V ≤≤的图象为 根据图象,估算出(0.6)0.3r '≈,(1.2)0.2r '≈. 说明:如果没有信息技术,教师可以将此图直接提供给学生,然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组(P10) 1、在0t 处,虽然1020()()W t W t =,然而10102020()()()() W t W t t W t W t t t t --?--?≥ -?-?. 所以,企业甲比企业乙治理的效率高. 说明:平均变化率的应用,体会平均变化率的内涵. 2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t ?+?-==-?-??,所以,(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m /s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数. (5)(5)10s s t s t t t ?+?-==?+??,所以,(5)10s '=. 因此,物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m /s ,它在第 5 s 的动能 21 3101502k E =??= J. 4、设车轮转动的角度为θ,时间为t ,则2(0)kt t θ=>. 由题意可知,当0.8t =时,2θπ=. 所以258k π= ,于是2 258 t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数. (3.2)(3.2)25208 t t t t θθθπ π?+?-==?+??,所以(3.2)20θπ'=. 因此,车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明:第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固. 5、由图可知,函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零,所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得,函数()f x 在4x =-,2-,0,2附近分别单调递增,几乎没有变化,单调递减,单调递减. 说明:“以直代曲”思想的应用. 6、第一个函数的图象是一条直线,其斜率是一个小于零的常数,因此,其导数()f x '的图象如图(1)所示;第二个函数的导数()f x '恒大于零,并且随着x 的增加,()f x '的值也在增加;对于第三个函数,当x 小于零时,()f x '小于零,当x 大于零时,()f x '大于零,并且随着x 的增加,()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种. 说明:本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组(P11) 1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢,即速度;速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢,根据物理知识,这个量就是加速度. 高一数学必修3公式总结以及例题 §1 算法初步 ◆秦九韶算法:通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值,对于一个n次多项式,只要作n次乘法和n次加法即可。表达式如下: () () () () 1 2 2 1 1 1 1 ... ...a x a x x a x a x a a x a x a n n n n n n n + + + + + = + + + - - - - 例题:秦九韶算法计算多项式, 1 8 7 6 5 4 32 3 4 5 6+ + + + + +x x x x x x, 0.4 x时 当= ? 运算 需要做几次加法和乘法答案: 6 ,6 () () () () ()1 8 7 6 5 4 3x :+ + + + + +x x x x x 即 理解算法的含义:一般而言,对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法,其意义具有广泛的含义,如:广播操图解是广播操的算法,歌谱是一首歌的算法,空调说明书是空调使用的算法…(algorithm) 1. 描述算法有三种方式:自然语言,流程图,程序设计语言(本书指伪代码). 2. 算法的特征: ①有限性:算法执行的步骤总是有限的,不能无休止的进行下去 ②确定性:算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切,而且必须有输出,输出可以是 一个或多个。没有输出的算法是无意义的。 ③可行性:算法的每一步都必须是可执行的,即每一步都可以通过手工或者机器在一定 时间内可以完成,在时间上有一个合理的限度 3. 算法含有两大要素:①操作:算术运算,逻辑运算,函数运算,关系运算等②控制结 构:顺序结构,选择结构,循环结构 ?流程图:(flow chart): 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序,它直观、清晰、易懂,便于检查及修改。 注意:1. 画流程图的时候一定要清晰,用铅笔和直尺画,要养成有开始和结束的好习惯 2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程,反过来再检查,比如:遇到判断 框时,往往临界的范围或者条件不好确定,就先给出一个临界条件,画好大致流程,然后检查这个条件是否正确,再考虑是否取等号的问题,这时候也就可以有几种书写方法了。 3. 在输出结果时,如果有多个输出,一定要用流程线把所有的输出总结到一起,一起 终结到结束框。 (教案)高中数学抛物线-高考经典例题 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 1抛物线的定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线. 2抛物线的图形和性质: ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ②焦准距:FK p = ③通径:过焦点垂直于轴的弦长为2p 。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段:2 p OF OK == 。 ⑤焦半径为半径的圆:以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F 、 准线是公切线。 ⑥焦半径为直径的圆:以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样 的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。 ⑦焦点弦为直径的圆:以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。 3抛物线标准方程的四种形式: ,,px y px y 2222-==。,py x py x 2222-== 4抛物线px y 22 =的图像和性质: ①焦点坐标是:?? ? ??02,p , ②准线方程是:2 p x - =。 ③焦半径公式:若点),(00y x P 是抛物线px y 22 =上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是:02 p PF x =+ , ④焦点弦长公式:过焦点弦长121222 p p PQ x x x x p =+ ++=++ ⑤抛物线px y 22 =上的动点可设为P ),2(2 y p y 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2 =其中 5一般情况归纳: 方程 图象 焦点 准线 定义特征 y 2=kx k>0时开口向右 (k/4,0) x= ─k/4 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离 k<0时开口向左 x 2=ky k>0时开口向上 (0,k/4) y= ─k/4 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离 k<0时开口向下 C N M 1 Q M 2 K F P o M 1 Q M 2 K F P o y x 高二文科数学选修1-2测试题 一、选择题:. 1.复数10 (1)1i i +-等于( ) A.1616i + B.1616i -- C.1616i - D.1616i -+ 2.按流程图的程序计算,若开始输入的值为3x =,则输出的x 的值是( ) A .6 B .21 C .156 D .231 3..“自然数中a,b,c 恰有一个偶数”的否定为 ( ) A.自然数a,b,c 都是奇数 B. 自然数a,b,c 都是偶数 C 自然数a,b,c 中至少有两个偶数 D. 自然数a,b,c 都是奇数或至少有两个偶 4.把两个分类变量的频数列出,称为( ) A .三维柱形图 B .二维条形图 C .列联表 D .独立性检验 5. 关于复数z 的方程31z -=在复平面上表示的图形是( ) A .椭圆 B .圆 C .抛物线 D .双曲线 6.(1) 名师出高徒; (2) 球的体积与该球的半径之间的关系;(3) 苹果的产量与气候之间的关系; (4) 森林中的同一种树,其断面直径与高度之间的关系;(5) 学生与他(她)的学号之间的关系; (6) 乌鸦叫,没好兆; 其中,具有相关关系的是( ) A .(1)(3)(4)(6) B .(1)(3)(4)(5) C .(2)(5) D .(1)(3)(4) 7.求135101S =++++的流程图程序如右图所示, 其中①应为( ) A .101?A = B .101?A ≤ C .101?A > D .101?A ≥ 8.两个变量有线性相关关系且残差的平方和等于0,则( A.样本点都在回归直线上 B.样本点都集中在回归直线附近 C.样本点比较分散 D.不存在规律 学习必备 欢迎下载 人民教育出版社 高中数学必修五 第一章 解三角形 1. 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习(P4) 1、(1) a 14 , b 19, B 105 ; ( 2) a 18 cm , b 15 cm , C 75 . 2、(1) A 65 ,C 85 , c 22;或 A 115 ,C 35 , c 13; (2) B 41 ,A 24 , a 24 . 练习(P8) 1、(1) A 39.6 , B 58.2 ,c 4.2 cm ; (2) B 55.8 ,C 81.9 ,a 10.5 cm . 2、(1) A 43.5 , B 100.3 ,C 36.2 ; (2) A 24.7 , B 44.9 ,C 110.4 . 习题 1.1 A 组(P10) 1、(1) a 38cm,b 39cm,B 80 ; ( 2) a 38cm,b 56cm,C 90 2、(1) A 114 ,B 43 ,a 35cm; A 20 ,B 137 , a 13cm (2) B 35 ,C 85 , c 17cm ; ( 3) A 97 , B 58 , a 47cm; A 33 , B 122 ,a 26cm ; 3、(1) A 49 , B 24 ,c 62cm ; ( 2) A 59 , C 55 , b 62cm ; ( 3) B 36 ,C 38 , a 62cm ; 4、(1) A 36 ,B 40 ,C 104 ; (2) A 48 ,B 93 ,C 39 ; 习题 1.1 A 组(P10) B 1、证明:如图 1,设 ABC 的外接圆的半径是 R , ①当 ABC 时直角三角形时, C 90 时, ABC 的外接圆的圆心 O 在 Rt ABC 的斜边 AB 上. a 在 Rt ABC 中, BC sin A , AC sin B O AB AB 即 a sin A , b sin B 2R 2R 所以 a 2Rsin A , b 2Rsin B 又 c 2R 2R sin90 2Rsin C 所以 a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC ②当 ABC 时锐角三角形时,它的外接圆的圆心作过 O 、 B 的直径 A 1B ,连接 A 1C , b C A (第 1题图 1) O 在三角形内(图 2), A A 1 则 A 1 BC 直角三角形, ACB 1 90 , BACBAC 1 . 在 Rt A 1BC 中, BC sin BAC 1 , O A 1 B 即 a sin BAC 1 sin A , C 2R B 所以 a 2Rsin A , 同理: b 2Rsin B , c 2RsinC ③当 ABC 时钝角三角形时,不妨假设 A 为钝角, 它的外接圆的圆心 O 在 ABC 外(图 3) (第 1题图 2) 版人教A 版必修2课本例题习题改编 湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 597917478@https://www.sodocs.net/doc/997307247.html, 1.原题(必修2第15页练习第4题)如图是一个几何体的三视图,想象它的几何结构特征,并说出它的名称. 改编 如图是一个几何体的三视图(单位:cm ) (Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积; (Ⅲ)设异面直线AA '与BC '所成的角为θ,求cos θ. 解:(Ⅰ)这个几何体的直观图如图23-2所示. (Ⅱ)这个几何体是直三棱柱. 由于底面ABC ?的高为1,所以2 2 112AB =+=. 故所求全面积22ABC BB C C ABB A S S S S ''''?=++ 2(cm ). 1 22132232862 2 =???+?+??=+这个几何体的体积121332 ABC V S BB ?'=?=???=3 (cm ) (Ⅲ)因为//AA BB '',所以AA '与BC '所成的角是B BC ''∠. 在Rt BB C ''?中,22223213BC BB B C ''''= +=+=,故3 cos 131313 BB BC θ'= =='. 正视图 侧视图 俯视图 俯视图 A 正视图 侧视图 A ' B B ' A B C A B C A ' B ' C ' 12 3 1 13 A A ' C ' 2 O O O ' O ' 2 22.原题(必修2第28页例3)如图,已知几何 体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图. 改编1 如图,已知几何体的三视图(单位:cm ). (Ⅰ)画出它的直观图(不要求写画法); (Ⅱ)求这个几何体的表面积和体积. 解:(Ⅰ)这个几何体的直观图如图所示. (Ⅱ)这个几何体是一个简单组合体,它的下部是 一个圆柱(底面半径为1cm ,高为2cm ),它的上部 是一个圆锥(底面半径为1cm ,母线长为2cm ,高为 cm ). 所以所求表面积21212127S ππππ=?+??+? ?=2 (cm ), 所求体积2 2 112123V πππ=??+??=+ 3(cm ). 3.原题(必修2第30页习题1.3B 组第三题其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,并探讨它们体积之间的关系。 改编 已知直角三角形ABC ,其三边分为c b a ,,,(c b a >>).在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,其表面积和体积分别为321和 321,,V V V ,则它们的关系为 ( ) A .321S S S >>, 321V V V >> B .321S S S <<, 321V V V << C .321S S S >>, 321V V V == D .321S S S <<, 321V V V == 解:a a bc V c b a bc S 211)(31),)(( ππ=+=,22223 1 ,bc V c ac S πππ=+= , c b V b ab S 23233 1 ,πππ=+=, 选B. 4.原题(必修2第32页图像)改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得,现用一个竖直的平面截这个几何体,所得截面可能是: O O 正视图侧视图 俯视图 高中数学教材重点习题集 必修一 1.已知集合)(;)(}102|{},73|{B C A B A C x x B x x A R R 求<<=<≤= 2.已知全集}7,5,3,1{)(},100|{=≤≤∈==B C A x N x B A U U ,求集合B 3.下列函数中哪个与函数x y =相等 A. 2 )(x y = B. 33x y = C. 2 x y = D. x x y 2 = 4.函数][)(x x f =的函数值表示不超过x 的最大整数,例如[-3.5]=-4,[2.1]=2,当 ]3,5.2(-∈x 时,写出函数)(x f 的解析式,并作出函数的图象 5.全集}4,2{)(},,3,1{)(},9,8,7,6,5,4,3,2,1{===B C A B A C U U U 且,求集合B 6.证明 (1)2 ) ()()2(,)(2121x f x f x x f b ax x f += ++=则若 (2)2) ()()2(,)(21212x g x g x x g b ax x x g +≤ +++=则 7.已知函数2-=x y ,判断它的奇偶性,并指出它的单调区间 8.比较下列各题中两个值的大小 (1)1.72.5,1.73 (2)0.8-0.1,0.8-0.2 (3)1.70.3,0.93.1 9.设),10(,22131≠>==-+a a a y a y x x 且确定x 为何值时有 (1)21y y = (2)21y y > 10.求函数定义域(1)32log x y = (2))34(5 .0log -=x y 11.若x x x -+=44,1log 4 3 求的值 12.若1log 430且a ≠1) 求实数a 的取值范围 13.已知)1,1(,,11lg )(-∈+-=b a x x x f ,求证: )1()()(ab b a f b f a f ++=+ 14.已知集合}1,)2 1(|{},1,log |{2 >==>==x y y B x y y A x x ,则A B= 15.1 22 )(+-=x a x f ,判断)(x f 的单调性,是否存在实数a ,使)(x f 为奇函数 例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}? (2){1,2,3}={3,2,1} (3){0}??≠ (4)0∈{0} (5){0}(6){0} ??∈= 分析 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的,后两个都是错误的. 说明:含元素0的集合非空. 例2 列举集合{1,2,3}的所有子集. 分析 子集中分别含1,2,3三个元素中的0个,1个,2个或者3个. 解含有个元素的子集有:; 0? 含有1个元素的子集有{1},{2},{3}; 含有2个元素的子集有{1,2},{1,3},{2,3}; 含有3个元素的子集有{1,2,3}.共有子集8个. 说明:对于集合,我们把和叫做它的平凡子集.A A ? 例已知,,,,,则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ?? ________. 分析 A 中必含有元素a ,b ,又A 是{a ,b ,c ,d}真子集,所以满足条件的A 有:{a ,b},{a ,b ,c}{a ,b ,d}. 答 共3个. 说明:必须考虑A 中元素受到的所有约束. 例设为全集,集合、,且,则≠ 4 U M N U N M ?? [ ] 分析 作出4图形. 答 选C . 说明:考虑集合之间的关系,用图形解决比较方便. 点击思维 例5 设集合A ={x|x =5-4a +a 2,a ∈R},B ={y|y =4b 2+4b +2,b ∈R},则下列关系式中正确的是 [ ] A A B B A B C A B D A B .=...≠≠ ??? 分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题,事实上 x =5-4a +a 2=(2-a)2+1≥1, y =4b 2+4b +2=(2b +1)2+1≥1,所以它们的值域是相同的,因此A =B . 答 选A . 说明:要注意集合中谁是元素. M 与P 的关系是 [ ] A .M = U P B .M =P C M P D M P ..≠?? 分析 可以有多种方法来思考,一是利用逐个验证( 排除)的方法;二是利用补集的性质:M = U N = U ( U P)=P ;三是利用画图的方法. 答 选B . 说明:一题多解可以锻炼发散思维. 例7 下列命题中正确的是 [ ] A . U ( U A)={A} 高中数学课本课后习题精选(高一上) 一、选择题 1.如果X = {}x |x >-1 ,那么下列正确的是 ( )(一上40页例1(1)) (A) 0 ? X (B) {0} ∈ X (C) Φ ∈ X (D) {0} ? X 2 ax 2 + 2x + 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是(一上43页B 组6) (A)03 ,且A ∪B = R ,则a 的取值范围是________.高中数学选修课后习题答案人教版
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