七年级数学上册期末试卷培优测试卷

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一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）

1．

（1）问题发现：如图 1，已知点 F，G 分别在直线 AB，CD 上，且 AB∥CD，若∠BFE=40°，∠CGE=130°，则∠GEF 的度数为________；

（2）拓展探究：∠GEF，∠BFE，∠CGE 之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明；答：∠GEF=▲ .

证明：过点 E 作 EH∥AB，

∴∠FEH=∠BFE（▲），

∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）

∴EH∥CD（▲），

∴∠HEG=180°-∠CGE（▲），

∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=▲ .

（3）深入探究：如图 2，∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P，试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系，请直接写出你的结论.

【答案】（1）90°

（2）解：∠GEF＝∠BFE＋180°?∠CGE，

证明：过点 E 作 EH∥AB，

∴∠FEH=∠BFE（两直线平行，内错角相等），

∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）

∴EH∥CD（平行线的迁移性），

∴∠HEG=180°-∠CGE（两直线平行，同旁内角互补），

∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE＋180°?∠CGE ，

故答案为：∠BFE＋180°?∠CGE；两直线平行，内错角相等；平行线的迁移性；两直线平

行，同旁内角互补；∠BFE＋180°?∠CGE；

（3）解：∠GPQ＋∠GEF＝90°，

理由是：如图2，∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，

∴∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，

在△PMF中，∠GPQ＝∠GMF?∠PFM＝∠CGP?∠BFQ，

∴∠GPQ＋∠GEF＝∠CGE? ∠BFE＋∠GEF＝ ×180°＝90°.

即∠GPQ＋∠GEF＝90°.

【解析】【解答】（1）解：如图1，过E作EH∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EH，

∴∠HEF＝∠BFE＝40°，∠HEG＋∠CGE＝180°，

∵∠CGE＝130°，

∴∠HEG＝50°，

∴∠GEF＝∠HEF＋∠HEG＝40°＋50°＝90°；

故答案为：90°；

【分析】（1）如图1，过E作EH∥AB，根据平行线的性质可得∠HEF＝∠BFE＝40 ，∠HEG＝50 ，相加可得结论；（2）由①知：∠HEF＝∠BFE，∠HEG＋∠CGE＝180°，则∠HEG＝180°?∠CGE，两式相加可得∠GEF＝∠BFE＋180°?∠CGE；（3）如图2，根据角平

分线的定义得：∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，由三角形的外角的性质得：∠GPQ＝

∠GMF?∠PFM＝∠CGP?∠BFQ，计算∠GPQ＋∠GEF并结合②的结论可得结果.

2．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起（如图①），其中，， .

（1）猜想与的数量关系，并说明理由；

（2）若，求的度数；

（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角，试探究等于多少度时，并简要说明理由.

【答案】（1）解：，理由如下：

，

（2）解：如图①，设，则，

由（1）可得，

，

，

（3）解：分两种情况：

①如图1所示，当时，，

又，

；

②如图2所示，当时，，

又，

.

综上所述，等于或时， .

【解析】【分析】（1）由∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可求出∠BCD+∠ACE的度数.

（2）如图①，设∠ACE=a，可得∠BCD=3a，结合（1）可得3a+a=180°，求出a的度数，即得∠BCD的度数.

（3）分两种情况讨论，①如图1所示，当AB∥CE时，∠BCE=180°-∠B=120°，②如图2所示，当AB∥CE时，∠BCE=∠B=60°，分别求出∠BCD的度数即可.

3．如图1，已知∠MON=140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB，

（1）在图1中，若∠AOC=40°，则∠BOC=°，∠NOB=°.

（2）在图1中，设∠AOC=α，∠NOB=β，请探究α与β之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）；

（3）在已知条件不变的前提下，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图2的位置，此时α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系.

【答案】（1）解：如图1，

∵∠AOC与∠BOC互余，

∴∠AOC+∠BOC=90°，

∵∠AOC=40°，

∴∠BOC=50°，

∵OC平分∠MOB，

∴∠MOC=∠BOC=50°，

∴∠BOM=100°，

∵∠MON=40°，

∴∠BON=∠MON-∠BOM=140°-100°=40°，

（2）解：β=2α-40°，理由是：

如图1，∵∠AOC=α，

∴∠BOC=90°-α，

∵OC平分∠MOB，

∴∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，

又∵∠MON=∠BOM+∠BON，

∴140°=180°-2α+β，即β=2α-40°；

（3）解：不成立，此时此时α与β之间的数量关系为：2α+β=40°，

理由是：如图2，

∵∠AOC=α，∠NOB=β，

∴∠BOC=90°-α，

∵OC平分∠MOB，

∴∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，

∵∠BOM=∠MON+∠BON，

∴180°-2α=140°+β，即2α+β=40°，

答：不成立，此时此时α与β之间的数量关系为：2α+β=40.

【解析】【分析】（1）先根据余角的定义计算∠BOC=50°，再由角平分线的定义计算∠BOM=100°，根据角的差可得∠BON的度数；（2）同理先计算∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，再根据∠BON=∠MON-∠BOM列等式即可；（3）同理可得∠MOB=180°-2α，再根据∠BON+∠MON=∠BOM列等式即可.

4．探究与发现：

（1）探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？

已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系为：________（直接写出结果）．

（2）探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？

已知：如图2，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系为：________（直接写出结果）．

（3）探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？

已知：如图3，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．

【答案】（1）∠FDC+∠ECD=∠A+180°

（2）∠P=90°+ ∠A

（3）解：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，

【解析】【解答】（1）探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，

故答案为：

（ 2 ）探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，

故答案为：

【分析】（1）由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再将两个等式两边分别相加并运用三角形的内角和定理即可求解；

（2）由角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，再结合三角形的内角和定理即可求解；

（3）由角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，再结合三角形的内角和定理和四边形的内角和定理即可求解。

5．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图1，若∠COD=

∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．

（1）如图1，已知∠AOB=70°，∠AOC=25°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD=________．

（2）如图2，已知∠AOB=60°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度口(0

（3）已知∠AOB=30°，把一块含有30°角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O以3度／秒的速度按顺时针方向旋转(如图4)，问：在旋转一周的过程中，射线OA，OB，OC，OD 能否构成内半角，若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．

【答案】（1）10°

（2）解：∵∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度口(0

∴∠AOB=∠COD=60°

∴∠AOC=∠BOD=a

∴a+∠COB=60°

∵∠COB是∠AOD的内半角

∴∠COB=∠AOD

∴2∠COB=∠COB+2a

∴∠COB=2a

∴a+2a=60°

解之：a=20°

即当旋转的角度a为20°时，∠COB是∠AOD的内半角。

（3）解：在旋转一周的过程中，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角，

理由：设按顺时针方向旋转一个角度α，旋转的时间为t

如图1

∵∠BOC是∠AOD的内半角，∠AOC=∠BOD=α

∴∠AOD=30°+α，∠BOC=∠AOD=30°-α

∴（30°+α）=30°-α

解之：α=10°

∴t=s；

如图2

∵∠BOC是∠AOD的内半角，∠AOC=∠BOD=α

∴∠AOD=30°+α，∠BOC=∠AOD=α-30°

∴（30°+α）=α-30°

解之：α=90°

∴t==30s；

如图3

∵∠AOD是∠BOC的内半角，∠AOC=∠BOD=360°-α

∴∠BOC=360°+30°-α，∠AOD=∠BOC=360°-α-30°

∴（360°+30°-α）=360°-α-30°

解之：α=330°

∴t==110s；

如图4

∵∠AOD是∠BOC的内半角，∠AOC=∠BOD=360°-α

∴∠BOC=360°+30°-α，

∴（360°+30°-α）=30°+30°-（360°+30°-α）

解之：α=350°

∴t=s；

综上所述，当旋转的时间为s或30s或110s或s时，射线OA，OB，OC，OD能构成内半角。

【解析】【解答】解：（1）∵∠AOB=70°，∠AOC=25°

∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°-25°=45°，

∵∠COD是∠AOB的内半角，

∴∠COD=∠AOB=×70°=35°

∴∠BOD=∠COB-∠COD=45°-35°=10°

故答案为：10°

【分析】（1）由题意可求出∠BOC的度数，再根据∠COD是∠AOB的内半角，就可求出∠COD的度数，然后利用∠BOD=∠COB-∠COD，可求解。

（2）利用旋转的性质，可证得∠AOC=∠BOD=a，再由∠COB是∠AOD的内半角，可得到

∠COB=∠AOD，就可得到∠COB=2a，然后根据a+∠COB=60°，就可求出旋转角的度数。（3）分情况讨论，分别画出图形，设按顺时针方向旋转一个角度α，旋转的时间为t，根据图1可得到∠AOC=∠BOD=α，根据内半角的定义，可得到∠AOD=30°+α，

∠BOC=∠AOD=30°-α，再建立关于α的方程，就可求出α和t的值；由图2由

∠BOC=∠AOD=α-30°及∠AOD=30°+α，建立方程求出α和t的值即可；根据图3，利用内

半角的定义，可知∠AOD是∠BOC的内半角，∠BOC=360°+30°-α，∠AOD=∠BOC=360°-α-30°，建立关于α的方程，求出α和t的值；如图4，利用内半角的定义，建立关于α的方程，求出α的值，再求出t的值即可。

6．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.

小明:老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即

已知:如图1，，为、之间一点，连接，得到 .

求证:

小明笔记上写出的证明过程如下:

证明:过点作，

∴

∵，

∴

∴ .

∵

∴

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.

（1）如图，若，，则 ________.

（2）如图，，平分，平分，，则

________.

【答案】（1）240°

（2）51°

【解析】【解答】（1）解：作EM∥AB，FN∥CD，如图，

AB∥CD，

∴AB∥EM∥FN∥CD，

∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，

∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF +180°，

∵，

∴∠B+∠CFE+∠C=60°+180°=240°；（2）解：如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，

∵平分，平分，

∴∠ABE= ∠ABG，∠SHC=∠DCF= ∠DCG，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥RS∥MN，

∴∠RHB=∠ABE= ∠ABG，∠SHC=∠DCF= ∠DCG，∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180°，

∴∠BHC=180°-∠RHB-∠SHC=180°- (∠ABG+∠DCG)，

∠BGC=180°-∠NGB-∠MGC=180°-(180°-∠ABG)-(180°-∠DCG)=∠ABG+∠DCG-180°，

∴∠BGC=360°-2∠BHC-180°=180°-2∠BHC，

又∵∠BGC=∠BHC+27°，

∴180°-2∠BHC=∠BHC+27°，

∴∠BHC =51°．

【分析】（1）作EM∥AB，FN∥CD，如图，根据平行线的性质得AB∥EM∥FN∥CD，所以∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，然后利用等量代换计算∠B+∠F+∠C；（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用∠ABG和∠DCG 分别表示出∠H和∠G，从而可找到∠H和∠G的关系，结合条件可求得∠H．

7．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（其中∠P＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OQ在射线OA上，另一边OP与OC都在直线AB 的上方.将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周.

（1）如图2，经过t秒后，OP恰好平分∠BOC.

①求t的值；

②此时OQ是否平分∠AOC？请说明理由；

（2）若在三角板转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠POQ？请说明理由；

（3）在（2）问的基础上，经过多少秒OC平分∠POB？（直接写出结果）.

【答案】（1）解：①∵∠AOC＝30°，

∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°,

∵OP平分∠BOC，

∴∠COP＝∠BOC＝75°,

∴∠COQ＝90°﹣75°＝15°,

∴∠AOQ＝∠AOC﹣∠COQ＝30°﹣15°＝15°,

t＝15÷3＝5；

②是，理由如下：

∵∠COQ＝15°，∠AOQ＝15°，

∴OQ平分∠AOC；

（2）解：∵OC平分∠POQ，

∴∠COQ＝∠POQ＝45°.

设∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，

由∠AOC﹣∠AOQ＝45°，可得30+6t﹣3t＝45，

解得：t＝5，

当30+6t﹣3t＝225，也符合条件，

解得：t＝65，

∴5秒或65秒时，OC平分∠POQ；

（3）解：设经过t秒后OC平分∠POB，

∵OC平分∠POB，

∴∠BOC＝∠BOP，

∵∠AOQ+∠BOP＝90°，

∴∠BOP＝90°﹣3t，

又∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°﹣6t，

∴180﹣30﹣6t＝（90﹣3t），

解得t＝ .

【解析】【分析】（1）①由∠AOC＝30°得到∠BOC＝150°，借助角平分线定义求出∠POC 度数，根据角的和差关系求出∠COQ度数，再算出旋转角∠AOQ度数，最后除以旋转速度3即可求出t值；②根据∠AOQ和∠COQ度数比较判断即可；（2）根据旋转的速度和起始位置，可知∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，根据角平分线定义可知∠COQ＝45°，利用∠AOQ、∠AOC、∠COQ角之间的关系构造方程求出时间t；（3）先证明∠AOQ与∠POB 互余，从而用t表示出∠POB＝90°﹣3t，根据角平分线定义再用t表示∠BOC度数；同时旋转后∠AOC＝30°+6t，则根据互补关系表示出∠BOC度数，同理再把∠BOC度数用新的式子表达出来.先后两个关于∠BOC的式子相等，构造方程求解.

8．如图1，直线，的平分线交于点．

（1）求证：；

（2）如图2，过点作于点，交于点，探究与之间的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，的平分线交延长线于点，为延长线上一点，，将延直线翻折，所得直线交于，交于，若，求的度数．

【答案】（1）证明: ，

，

又评分，

，

.

（2）解：为的外角，

，

又

，

即 .

（3）解：如图，

根据折叠的性质，

，

，

，

，

，

，，

，在中，，

为等腰直角三角形，，

，

，

.

【解析】【分析】（1）根据平行线的性质定理得到内错角相等，再根据角平分线的性质，即可得到等角.（2）根据平行与垂直的性质，可得，而为的外角，根据三角形的外角定理即可解答.（3）根据题目中已给的数量关系，求的度数可转化为先求的度数，根据折叠的性质和平行线的性质，可将多个角的复杂数量关系转移到中，结果证明它是个等腰直角三角形，如此可解.

9．在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD。

（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明；

（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明。

【答案】（1）解：猜想：AB=AC+CD．

证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE，

∵AD为∠BAC的角平分线时，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AD=AD，

∴△ADE≌△ADC（SAS），

∴∠AED=∠C，ED=CD，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠AED=2∠B，

∵∠AED=∠B+∠EDB，

∴∠B=∠EDB，

∴EB=ED，

∴EB=CD，

∴AB=AE+DE=AC+CD.

（2）解：猜想：AB+AC=CD．

证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．∵AD平分∠FAC，

∴∠EAD=∠CAD．

在△EAD与△CAD中，

AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，

∴△EAD≌△CAD（SAS）．

∴ED=CD，∠AED=∠ACD．

∴∠FED=∠ACB，

又∵∠ACB=2∠B，

∴∠FED=2∠B，

∵∠FED=∠B+∠EDB，

∴∠EDB=∠B，

∴EB=ED．

∴EA+AB=EB=ED=CD．

∴AC+AB=CD.

【解析】【分析】（1）首先在AB上截取AE=AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED=∠C，ED=CD，又由∠AED=∠ACB，∠ACB=2∠B，所以∠AED=2∠B，即∠B=∠BDE，易证DE=CD，则可求得AB=AC+CD；

（2）首先在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=EB，则可求得AC+AB=CD．

10．

（1）思考探究：如图①，的内角的平分线与外角的平分线相交于点，请探究与的关系是________.

（2）类比探究：如图②，四边形中，设，，，四边形的内角与外角的平分线相交于点 .求的度数.(用，的代数式表示)

（3）拓展迁移：如图③，将(2)中改为，其它条件不变，请在图③中画出，并直接写出 ________.(用，的代数式表示)

【答案】（1）

（2）解：延长、，交于点 .

，

由(1)知：

∴ .

（3）

【解析】【解答】解：(1)

∵平分，平分，

∴，

∵是的外角

∴

∵是的外角

∴

( 3 )延长，交于点 . 作与外角的平分线相交于点 . 如图：

，

【分析】（1）利用角平分线求出∠PCD= ∠ACD,∠PBD= ∠ABC,再利用三角形的一个外角定理即可求出.（2）延长BA、CD交于点F，然后根据（1）的结题可得到∠P的表达式.（3）延长AB、DC交于F,然后根据（1）的结题可得到∠P的表达式.

11．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠BAD的平分线AG交BC于点G．

（1）求证：∠BAG=∠BGA；

（2）如图2，∠BCD的平分线CE交AD于点E，与射线GA相交于点F，∠B=50°．

①若点E在线段AD上，求∠AFC的度数；

②若点E在DA的延长线上，直接写出∠AFC的度数；

（3）如图3，点P在线段AG上，∠ABP=2∠PBG，CH∥AG，在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，请直接写出∠ABM：∠PBM的值．

【答案】（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠GAD=∠BGA，

∵AG平分∠BAD，

∴∠BAG=∠GAD，

∴∠BAG=∠BGA；

（2）解：①∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，

∴∠GCF=45°，