考研数二历年真题(2016-2002)

2016年考研数学二真题

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．当+

→0x 时，若)(ln x 21+α，α1

1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围

是（ ）

（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2

10 2．下列曲线有渐近线的是

（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）x

x y 1sin += （D ）x

x y 12

sin

+= 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）

（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤

4．曲线???++=+=1

472

2t t y t x ,

上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ） （Ａ）

5010（Ｂ）100

10 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→2

2

x

x ξlim

（ ）

（Ａ）1 （Ｂ）

32 （Ｃ）2

1

（Ｄ）31

6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足0

2≠???y x u

及0222

2=??+??y

u x u ，则（ ）．

（A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；

（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；

（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．

7．行列式

d

c d c b

a b a 00000000等于

（A ）2)(bc ad - （B ）2

)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2

222c b d a +-

8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量

321ααα,,线性无关的

（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．

?

∞

-=++12

5

21

dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则

=)(7f ．

11．设),(y x z z =是由方程47

22=

+++z y x e

yz

确定的函数，则=??

? ??2121,|dz ．

12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点??

?

??=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ．

13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122

++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．

14．设二次型32312

22132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围

是 ． 三、解答题 15．（本题满分10分）

求极限)

ln())((lim

x

x dt t e t x t

x 1

1121

12

+--?+∞

→．

16．（本题满分10分）

已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 17．（本题满分10分）

设平面区域{}

00412

2≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算??++D

dxdy y x y x x )sin(2

2π 18．（本题满分10分）

设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x

=满足x x e y e z y

z

x z 2222

24)cos (+=??+??．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．

19．（本题满分10分）

设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g x

a

,,)(∈-≤≤?

0；

（2）

??

≤?+

b

a dt

t g a a

dx x g x f dx x f b

a )()()()(．

20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=

x x

x

x f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=

设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞

→lim ．

21．（本题满分11分）

已知函数),(y x f 满足

)(12+=??y y

f

，

且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积． 22．（本题满分11分）

设????

?

??---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．

（1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵．

23．（本题满分11分）

证明n 阶矩阵???????

??111111

111

与????

?

?

?

??n 00200100 相似．

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二

试题及答案

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、下列反常积分中收敛的是（）

（A

）

2

+∞

?

（B ）2

ln x

dx x

+∞

?

(C)2

1

ln dx x x

+∞

?

(D)2

x x dx e

+∞

?

2、函数20

sin ()lim(1)x t

t t

f x x

→=+

在(,)-∞+∞内（） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点

3、设函数1cos ,0

()0,0x x f x x

x α

β?>?=??≤?

(0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（） （A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤

4、设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）

（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3

5、设函数(u v)f ，满足22

(,)y f x y x y x

+=-，则

11

u v f u ==??与1

1

u v f

v ==??依次是（） （A ）

12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12

6、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==

与直线,y x y =围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则

(,)D

f x y dxdy ??=（）

（A ）

1

2sin 214

2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π

θπθθθ??

（B

）24

(cos ,sin )d f r r dr π

πθθθ?

（C ）

13

sin 214

2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π

θπ

θ

θθθ?

?

（D

）34

(cos ,sin )d f r r dr π

πθθθ?

7、设矩阵A=211112a 14a ?? ? ? ???，b=21d d ?? ?

? ???

,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充

分必要条件为（）

（A ）,a d ?Ω?Ω (B),a d ?Ω∈Ω (C),a d ∈Ω?Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω

8、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为222

1232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若

132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ）

(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 222123

2y y y ++ 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

9、设223

1arctan ,3t x t d y dx y t t

==?=?=+?则 10、函数2

()2x

f x x =在0x =处的n 阶导数()

(0)n f =

11、设函数()f x 连续，2

()(),x x xf t dt ?=

?

若(1)?1=，'(1)5?=，则(1)f =

12、设函数()y y x =是微分方程''

'

20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = 13、若函数(,)z z x y =由方程231x y z

e

xyz +++=确定，则(0,0)dz =

14、设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2

B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）

设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，

求,,a b k 的值。 16、（本题满分10分）

设0A >，D 是由曲线段sin (0)2

y A x x π

=≤≤

及直线,2

y o x π

==

所形成的平面区域， 1V ，2

V 分别表示D 绕X 轴与绕Y 轴旋转所成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值。 得：8

A π

=

17、（本题满分10分）

已知函数(,)f x y 满足"(,)2(1)x xy f x y y e =+，'

(,0)(1)x

x f x x e =+，2(0,)2f y y y =+，求

(,)f x y 的极值。

18、（本题满分10分） 计算二重积分

()D

x x y dxdy +??

，其中{}

222

(,)2,D x y x y y x =+≤≥

19、（本题满分10分）

已知函数1

()x f x =

+?

?

，求()f x 零点的个数。

20、（本题满分11分）

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C ?的物体在20C ?的恒温介质中冷却，30min 后该物体降至

30C ?，若要将该物体的温度继续降至21C ?，还需冷却多长时间？

21、（本题满分11分）

已知函数()f x 在区间[]+a ∞，上具有2阶导数，()0f a =，()0f x '>，()''0f x >，设b a >，曲线()y f x =在点()()

,b f b 处的切线与x 轴的交点是()00x ，，证明0a x b <<

22、（本题满分11分）

设矩阵101101a A a a ??

?

=- ? ???

且3A O =.

(1) 求a 的值；

(2) 若矩阵X 满足22X XA AX AXA E --+=，E 为3阶单位阵，求X .

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二

试题

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. 1、当0x +→时，若ln (12)x α

+，1

(1cos )x α-均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是（ ） （A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）1

(,1)2 （D ）1(0,)2

2、下列曲线中有渐近线的是（ ）

（A ）sin y x x =+ （B ）2

sin y x x =+ （C ）1sin

y x x =+ （D ）2

1sin y x x

=+

4、曲线22

7,41

x t y t t ?=+?

?=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是（ ） （A

）

50 （B

）100

（C

）（D

）5、设函数()arctan f x x =，若()()f x xf ξ'=，则2

2

lim

x x ξ→=（ ）

（A ）1 （B ）

23 （C ）1

2

（D ）13

6、设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20

u

x y ?≠??及22220u u

x y

??+=??，则（ ） （A ）(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 （B ）(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部取得

（C ）(,)u x y 的最大值在D 的内部取得，(,)u x y 的最小值在D 的边界上取得 （D ）(,)u x y 的最小值在D 的内部取得，(,)u x y 的最大值在D 的边界上取得

7、行列式

00000000a b a

b

c d c d

=（ ）

（A ）2

()ad bc - （B ）2

()ad bc -- （C ）2

2

22

a d

b

c - （D ）22

2

2

b c a d -

8、设123,,ααα为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组

123,,ααα线性无关的（ ）

（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件

（C ）充分必要条件

（D ）既非充分也非必要条件

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、1

21

25dx x x -∞=++? .

10、设)(x f 是周期为4的可导奇函数，且]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，则=)7(f

11、设(,)z z x y =是由方程2227

4yz

e x y z +++=

确定的函数，则11(,)22

dz = .

12、曲线L 的极坐标方程是r θ=，则L 在点(,)(,)22

r ππ

θ=处的切线的直角坐标方程

是 .

13、一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上，若其线密度2

()21x x x ρ=-++，则该细棒的质心坐标x = .

14、设二次型22

123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围

是 .

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）

求极限12

1

2[(1)]lim

1

ln(1)

x

t

x t e t dt x x

→+∞

--+?

16、（本题满分10分）

已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且(2)0y =，求()y x 的极大值与极小值. 17、（本题满分10分）

设平面区域{}2

2

(,)14,0,0D x y x y x y =≤+≤≥≥

，计算D

. 18、（本题满分10分）

设函数()f u 具有2阶连续导数，(cos )x

z f e y =满足22222(4cos )x x z z

z e y e x y

??+=+??.

若(0)0f =，(0)0f '=，求()f u 的表达式. 19、（本题满分10分）

设函数()f x ，()g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤. 证明：（Ⅰ）（I ）a x dt t g x

a

-≤≤?

)(0，],[b a x ∈；

（II ）

?

??≤+b

a

dt

t g a a

b

a

dx x g x f dx x f )()()()(

20、（本题满分11分） 设函数()1x

f x x

=

+，[0,1]x ∈.定义数列 1()()f x f x =，21()(())f x f f x =， ，1()(())n n f x f f x -=，

记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞

.

21、（本题满分11分） 已知函数(,)f x y 满足

2(1)f

y y

?=+?，且2(,)(1)(2)ln f y y y y y =+--.求曲线(,)0f x y =所

围图形绕直线1y =-旋转所成旋转体的体积. 22、（本题满分11分）

设E A ,302111104321???

?

?

??----=为3阶单位矩阵.

（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （II ）求满足E AB =的所有矩阵B . 23、（本题满分11分）

证明：n 阶矩阵???????

??111111

111

与????

?

?

?

??n 00200100 相似.

2013年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2

x π

α<

，则当0x →时，()x α是（ ）

（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小

（C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小

（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n

→∞

??-=???

?

（ ）

（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,

2x x f x x π

ππ≤

≤≤?，0()()x F x f t dt =?，则（ ）

（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点

（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导

（4）设函数111,1(1)

()=1,ln x e x f x x e x x

αα-+?

<

()f x dx +∞?收敛，则（ ）

（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()y

z f xy x =

，其中函数f 可微，则x z z y x y

??+=??（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）

2()f xy x （D ）2

()f xy x

- （6）设k D 是圆域{}

22

(,)|1

D x y x y =+≤在第k

象限的部分，记

()(1,2,3,4)k

k D I y x dxdy k =-=??，则（ ）

（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价

（8）矩阵1111a a b a a ?? ? ? ???与2000b 0000??

? ? ?

?

?相似的充分必要条件为

（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a

（D ）为任意常数b a ,2=

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．

指定位置上.

(9) 1

ln(1)lim(2)x x x x

→∞+-

= ． (10) 设函

数()x

f x d t -=

?

，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数

y dx

dy

== ．

(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()6

6

r π

π

θθ=-≤≤

，则L 所围成的平面图形的面积

为 ．

(12)

曲线arctan ln x t

y =???=??1t =的点处的法线方程为 ．

(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件0

0x y

==0

1x y ='

=的解为y = ．

（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若

ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

当0x →时，1cos cos 2cos3x x x -??与n

ax 为等价无穷小，求n 与a 的值。 （16）（本题满分10分）

设D 是由曲线1

3

y x =，直线(0)x a a =>及x 轴所围成的平面图形，,x y V V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值。 （17）（本题满分10分）

设平面内区域D 由直线3,3x y y x ==及8x y +=围成.计算2

D

x dxdy ??。 （18）（本题满分10分）

设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数，且(1)1f =.证明：

（I ）存在0,1ξ∈（），使得()1f ξ'=；（II ）存在0,1η∈（）

，使得()()1f f ηη'''+=。

（19）（本题满分11分）

求曲线331(0,0)x xy y x y -+=≥≥上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。 （20）（本题满分11分） 设函数1

()ln f x x x

=+

， （I ）求()f x 的最小值 （II ）设数列{}n x 满足1

ln 1n n

x x +<，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.

（21）（本题满分11分） 设曲线L 的方程为211

ln (1)42

y x x x e =-≤≤，

（1）求L 的弧长；

（2）设D 是由曲线L ，直线1,x x e ==及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标。 （22）（本题满分11分） 设101,101a A B b ????

==

? ?????

，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C 。

（23）（本题满分11分）

设二次型()()()22123112233112233,,2f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记112233,a b a b a b αβ????

? ?

== ? ? ? ?????

。

（I ）证明二次型f 对应的矩阵为2T

T α

αββ+；

（II ）若,αβ正交且均为单位向量，证明二次型f 在正交变化下的标准形为二次型22

12

2y y +。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二

试题

一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. (1)曲线221

x x y x +=-的渐近线条数 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )

(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 设1230(1,2,3),

n n n a n S a a a a >==++++ ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的

( )

(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要

(4) 设2

sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π

==?则有

( )

(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有

(,)(,)

0,0,x y x y x y

??>成立的一个充分条件是

( )

(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12

y x x y π

==±

=围成，则5(1)d d D

x y x y -=??

( )

(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π

(7) 设1100c ?? ?= ? ???α,2201c ??

?

= ? ?

??

α ,3311c ?? ?=- ? ???α ,4411c -?? ?= ? ???α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量

组线性相关的为 ( )

(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα

(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -??

?

= ? ???

.若()123,,P =ααα，

()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )

(A) 100020001?? ? ? ??? (B) 100010002?? ? ? ??? (C) 200010002?? ? ? ??? (D)200020001??

? ? ???

二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．

指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程2

1y

x y e -+=所确定的隐函数，则20

2

x d y

dx

== .

(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞??

+++= ?+++?? . (11) 设1ln ,z f x y ??=+

???

其中函数()f u 可微，则

2z z x y x y ??+=?? . (12) 微分方程()

2

d 3d 0y x x y y +-=满足条件1

1x y

==的解为y = .

(13) 曲线()2

0y x x x =+<

上曲率为

2

的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*

A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵

B ，则

*BA = .

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)

已知函数()11

sin x f x x x

+=-，记()0lim x a f x →=，

(I)求a 的值;

(II)若0x →时，()f x a -与k

x 是同阶无穷小，求常数k 的值. (16)(本题满分 10 分)

求函数()22

2

,x y f x y xe

+-=的极值.

(17)(本题满分12分)

过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. (18)(本题满分 10 分)

计算二重积分

d D

xy σ??，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.

(19)(本题满分10分)

已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=,

(I) 求()f x 的表达式;

(II) 求曲线220()()d x

y f x f t t =-?的拐点.

(20)(本题满分10分)

证明2

1ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)(本题满分10 分)

(I)证明方程1x x x ++= n n-1

+()

1n >的整数，在区间1,12??

???

内有且仅有一个实根； (II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞

存在，并求此极限.

(22)(本题满分11 分)

设1

000

1000100

1a a A a a

?? ?

?= ?

???，1100β?? ?- ?= ? ???

(I) 计算行列式A ；

(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分11 分)

已知1010111001A a a ?? ?

?= ?- ?-??

，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2， (I) 求实数a 的值；

(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.

2011年考研数学试题（数学二）

一、选择题

1.已知当0x →时，函数是等价无穷小，则与k cx x x x f 3sin sin 3)(-= A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-4

2.=-==→3

320

)

(2)(,0)0(0)(lim

x x f x f x f x x f x 则处可导，且

在已知

A )0(2f '-

B )0(f '-

C )0(f ' D0

3.函数)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f 的驻点个数为 A0 B1 C2 D3

4.微分方程的特解形式为)0(2>+=-'-λλλλx x e e y y A

)(x x e e a λλ-+ B )(x x e e ax λλ-+

C )(x

x

be

ae x λλ-+ D )(2x x be ae x λλ-+

5设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件

A 0)0(,1)0(>''>f f

B 0)0(,1)0(<''>f f

C 0)0(,1)0(>''

D 0)0(,1)0(<''

6.设???

===

00

cos ln ,cot ln ,sin ln π

ππ

xdx K xdx J xdx I 的大小关系是、、则K J I

A I

B I

C J

D K

记,010100001,010********?????

?????=??????????=P P 则A=

A 21P P

B 211P P -

C 12P P

D 11

2P P -

8设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*

A 是A 的伴随矩阵，若T )0,1,0,1(是方程组0=Ax 的一个

基础解系，则0*

=x A 的基础解系可为 A 31,αα B 21,αα C 321,,ααα D 432,,ααα

二、填空题

9.=+→x

x x 1

0)2

21(

lim 10.微分方程===+'-y y x e y y x

的解满足条件0)0(cos

11.曲线)4

0(tan 0

?

≤

≤=

x

x tdt y π

的弧长s=____________

12.设函数{

0,)(0,0

,0>=

>≤-λλx x x f ，则=?+∞

∞

-dx x xf )(

13.设平面区域D 由y=x,圆y y x 22

2=+及y 轴所组成，则二重积分

??=D

xyda ________

14.二次型3231212

32

22

13212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=，则f 的正惯性指数为________________

三、解答题

15.已知函数α

x dt t x F x

?+=

2)1ln()(，设0)(lim )(lim 0

==+

→+∞

→x F x F x x ，试求α的取值范围。

16.设函数y=y(x)有参数方程???++=+-=31313

13133t t x t t y ，求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。 17.设))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极

值g(1)=1,求

1

,12==???y x y

x z

18.设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x 相切于原点，记α是曲线l 在点（x,y)

外切线的倾角

dx

dy

dx d =α，求y(x)的表达式。 19.证明：1）对任意正整数n ，都有

n

n n 1)11ln(11<+<+ 2）设),2,1(ln n

1

211?=-+?++=n n a n ,证明}{n a 收敛。

20.一容器的内侧是由图中曲线绕y 旋转一周而成的曲面，该曲面由

)2

1

(1),21(22222≤=+≥=+y y x y y y x 连接而成。

（1）求容器的容积。

（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m ；重力加速度为2

/s gm ；水的密度为3

3

/10m kg ）

21.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,

??=D

a dxdy y x f ),(，其中

}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D ，计算二重积分dxdy y x xy I D

xy ),("

=???。

22.

1)(22==Y X P

求：（1）（X ，Y ）的分布；（2）Z=XY 的分布；（3）XY ρ