高中数学必修一集合知识点总结大全

高中数学 必修1知识点

集合

123412n x A x B A B A B A n A ∈???

?????

∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n

A A A

B

C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ???????????

???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ?????

??

??

????

??????????

????????

???????????????????????

?????????????????????=???????

第一章 集合与函数概念

【1.1.1】集合的含义与表示

（1）集合的概念

把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法

N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?).

【1.1.2】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

B ≠

?A ）

集合

相等

A B =

A 中的任一元素都

属于B ，B 中的任一元素都属于A

(1)A ?B

(2)B ?A

A(B)

（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n

个子集，它有21n

-个真子集，它有21n

-个非空子集，它有22n

-非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集 名称 记号

意义

性质

示意图

交集

A B

{|,x x A ∈且}x B ∈

（1）A A A = （2）A ?=? （3）A

B A ?

A B B ?

B

A

并集

A B

{|,x x A ∈或}x B ∈

（1）A A A = （2）A A ?= （3）A B A ? A

B B ?

B

A

补集

{|,}

x x U x A ∈?且

⑴ （

⑵

⑶ ⑷

⑸

⑼ 集合的运算律：

交换律：.;A B B A A B B A ==

结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U

A A U

A U Φ

=ΦΦ

===

等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A ∩ A ∪=U

反演律：(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 下列各项中，不可以组成集合的是（ ）

A 所有的正数

B 等于2的数

C 接近于0的数

D 不等于0的偶数

2 下列四个集合中，是空集的是（ ）

A }33|{=+x x

B },,|),{(2

2R y x x y y x ∈-=

C }0|{2

≤x x D },01|{2

R x x x x ∈=+-

3 下列表示图形中的阴影部分的是（ ）

A ()()A

C B C

B ()()A

B A

C C ()()A

B B C

D ()A

B C

4 下面有四个命题：

（1）集合N 中最小的数是1； （2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；

（4）x x 212

=+的解可表示为{

}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）

A 0个

B 1个

C 2个

D 3个

5 若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，

则△ABC 一定不是（ ） A 锐角三角形 B 直角三角形

C 钝角三角形

D 等腰三角形

6 若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ）

A 3个

B 5个

C 7个

D 8个

7 下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合；

（2）集合{}

1|2

-=x y y 与集合(){}

1|,2

-=x y y x 是同一个集合；

（3）361

1,,,,0.5242

-

这些数组成的集合有5个元素；

（4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集

A 0个

B 1个

C 2个

D 3个

8 若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =?，则m 的值为（ ）

A 1

B 1-

C 1或1-

D 1或1-或0

9 若集合{}

{

}

22

(,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x R y R =+==+=∈∈，则有（ ）

A M

N M = B M

N N = C M

N M = D M

N =?

10 方程组??

?=-=+9

12

2y x y x 的解集是（ ）

A ()5,4

B ()4,5-

C (){}4,5-

D (){}4,5-

11 下列式子中，正确的是（ ）

A R R ∈+

B {}Z x x x Z

∈≤?-

,0|

C 空集是任何集合的真子集

D {

}φφ∈ 12 下列表述中错误的是（ ）

A 若A

B A B A =? 则, B 若B A B B A ?=，则

C )

(B A A

)(B A D ()()()B C A C B A C U U U =

第II 卷（共90分）

13 用适当的集合符号填空（每小空1分）

（1）{}()(){}1|,____2,1,2|______3+=≤x y y x x x

（2）{}

32|_______52+≤+x x ，

（3）{}31|

,_______|0x x x R x x x x ??

=∈-=????

14 设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或

则___________,__________==b a

15. 某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人

16. 若{}{}

21,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x

三、解答题：本大题共6分，共74分。 17.（本大题12分）

设{}{}(){}2

,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====

求

18. 本大题满分12分

设集合{}1,2,3,...,10,A =求集合A 的所有非空子集元素和的和

19.（本大题满分12分）

集合{}

22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}

2|280C x x x =+-=

满足,A

B φ≠，,A

C φ=求实数a 的值

20. 本大题满分12分

全集{}3

2

1,3,32S x x x =++，{}

1,21A x =-，如果{},0=A C S 则这样的

实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由

21.（本大题满分12分）

设2

2

2

{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈, 如果A B B =，求实数a 的取值范围

22.（本大题满分14分）

已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}

2

|,C z z x x A ==∈,

且C B ?,求a 的取值范围

高一数学试题参考答案

选择题 每小题5分 共60分 错选、空题均不得分

1-5C D A A D 6-10C A D A D 11D 12C

1 C 元素的确定性；

2 D 选项A 所代表的集合是{}0并非空集，选项B 所代表的集合是{}(0,0)

并非空集，选项C 所代表的集合是{}0并非空集，

选项D 中的方程2

10x x -+=无实数根；

3 A 阴影部分完全覆盖了C 部分，这样就要求交集运算的两边都含有C 部分；

4 A （1）最小的数应该是0，（2）反例：0.5N -?，但0.5N ?

（3）当0,1,1a b a b ==+=,（4）元素的互异性

5 D 元素的互异性a b c ≠≠；

6 C {}0,1,3A =，真子集有3

217-=

7 A （1）错的原因是元素不确定，（2）前者是数集，而后者是点集，种类不同，

（3）

361

,0.5242

=-=，有重复的元素，应该是3个元素，（4）本集合还包括坐标轴 8 D 当0m =时，,B φ=满足A

B A =，即0m =；当0m ≠时，1,B m ??

=????

而A B A =，∴

1

1111m m

=-=-或，或；∴1,10m =-或； 9 A {}N =（0，0），N M ?；

10 D 15

94x y x x y y +==????

-==-??

得，该方程组有一组解(5,4)-，解集为{}(5,4)-； 11 D 选项A 应改为R R +

?，选项B 应改为""?，选项C 可加上“非空”，或去掉“真”，选项D 中的{}φ里面

的确有个元素“φ”，而并非空集；

12 C 当A B =时，A

B A A B ==

第II 卷

填空题 （与答案不符的回答 皆判为错包括缺少单位判零分） 13 每小空1分 (1),,(2),(3)∈∈∈?

（12≤，1,2x y ==满足1y x =+，

（2 1.4 2.2 3.6=+=，2 3.7=，

或27=+2

(27+=+（3）左边{}1,1=-，右边{}1,0,1=-

14 4,3==b a {}{}()|34|U U A C C A x x x a x b ==≤≤=≤≤

15 26 全班分4类人：设既爱好体育又爱好音乐的人数为x 人；仅爱好体育

的人数为43x -人；仅爱好音乐的人数为34x -人；既不爱好体育又不爱好音乐的 人数为4人 ∴4334455x x x -+-++=，∴26x =

16 2,2,0-或 由A

B B B A =?得，则224x x x ==或，且1x ≠

二.问答题 要求：只写出结果，且结果正确，得．．．．．．．．．．．．．．．．6．分；只写出结果且结果不对，．．．．．．．．．．．．．0．分；有解答过程，但是结果不对，．．．．．．．．．．．．．．．7．分；．．写出关键解答过程且结果正确得．．．．．．．．．．．．．．12．．或．14．．分。所有大题分步酌情给分。）．．．．．．．．．．．．．．

17. 解：由{}A a =得2

x ax b x ++=的两个根12x x a ==，

即2

(1)0x a x b +-+=的两个根12x x a ==， (4)

∴12112,3x x a a a +=-==

得，121

9

x x b ==，………………………………8 ∴?

??

?????? ??=91,31M (12)

18 解：由A

B B B A =?得，而{}4,0A =-，224(1)4(1)88a a a ?=+--=+ (4)

当880a ?=+<，即1a <-时，B φ=，符合B A ?；

当880a ?=+=，即1a =-时，{}0B =，符合B A ?；

当880a ?=+>，即1a >-时，B 中有两个元素，而B A ?{}4,0=-；

∴{}4,0B =-得1a = ...........................................................................10 ∴11a a =≤-或 (12)

19 解： {}2,3B =，{}4,2C =-，而A

B φ≠，则2,3至少有一个元素在A 中， (4)

又A

C φ=，∴2A ?，3A ∈，即293190a a -+-=，得52a =-或 (8)

而5a A B ==时，与A

C φ=矛盾，

∴2a =- (12)

22解：{}|123B x x a =-≤≤+， 当20a -≤≤时，{}

2|4C x a x =≤≤，

而C B ? 则1

234,,20,2

a a a +≥≥

-≤≤即而 这是矛盾的；……………4 当02a <≤时，{}|04C x x =≤≤，而C B ?，

则1234,,22a a a +≥≥

≤≤1

即即2

； ……………………………………8 当2a >时，{}2

|0C x x a

=≤≤，而C B ?，

则2

23,3a a a +≥<≤即 2； (12)

综上所述∴

1

32

a ≤≤........................................................................14 21解：由{}0S C A =得0S ∈，即{}1,3,0S =，{}1,3A =， (6)

∴32213

320

x x x x ?-=??++=??，∴1-=x (12)

20解：含有1的子集有9

2个；含有2的子集有9

2个；含有3的子集有9

2个； (6)

含有10的子集有9

2个，∴9

(123...10)228160++++?=

（有（1+2+3+...+10）×29即可给满分 (12)