《正切函数的性质与图象》教案及说明

1.4.3正切函数的性质与图象

教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A 版）》必修4 课题：1.4.3正切函数的性质与图象 一、教学目标

1.利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质，根据性质探究正切函数的图象。

2.借助单位圆中的三角函数线能画出tan y x =的图象，借助图象理解正切函数在

(,)22

ππ

-

上的性质（如单调性、周期性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等），并能解决一些简单问题。

3. 让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。 二、教学重点、难点 1. 教学重点：

（1）利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质， （2）根据性质探究正切函数的图象。

2.教学难点：画正切函数的简图，体会与x 轴的交点以及渐近线,2

x k k Z π

π=+∈在确定

图象形状时所起的关键作用。

三、课前准备

教师准备：教学课件 四、教学过程

一、提出学习课题，明确学习目标 提问：

1.正弦函数R x x y ∈=,sin 都有那些性质？

2.正弦函数的两个代数性质：sin(2)sin ,sin()sin x x x x π+=-=-反映了正弦函数图象的什么几何特征？

明晰：

1、定义域：R x ∈ 周期性：π2=T 奇偶性：奇函数

单调性：在??

????++-ππππk k 22,22是单调递增的；

在??????++ππππk k 223,22是单调递减的 值域：[]1,1-∈y

2、x x sin )2sin(=+π反映了函数的周期性，x x sin )sin(-=-反映了函数的奇偶性

3、函数图象的每一个几何特征也都是函数性质的直观反映，函数的每一个代数性质反映在图象上都有其相应的几何特征；所以可借助于函数的图象来研究函数的性质；也可借助于函数的性质研究函数的图象，本节课就是从一个全新的角度来研究正切函数的性质与图象。

二、探索正切函数的性质（进入新课）

提问：类比研究正弦和余弦函数的方法，从前面的学过的有关正切函数的知识中你认为有那些性质？

明晰：

1.正切函数的定义域：定义域为????

??+≠2ππk x x

2.正切函数的周期性：

由x x tan )tan(=+π，可知正切函数是周期函数，最小正周期：π=T 3.正切函数的奇偶性：

由x x tan )tan(-=-，可知正切函数是奇函数 4.正切函数的单调性

（1）给出在)2

,2(ππ-内的一些特殊角，进行计算、观察、归纳，猜想。

（2）借助多媒体，动态演示单位圆中的正切线的变化规律可以得出：正切函数在)

2

,2(π

π-内是增函数，又由正切函数的周期性可知：正切函数在开区间Z k k k ∈++-),2

,

2

(ππ

ππ

内都

是增函数。

教师要重点强调正切函数只有增区间没有减区间。 5.正切函数的值域

用多媒体展示单位圆中的正切线的变化规律，得到：正切函数的值域是实数集R 三、自主探究正切函数图象（应用新知）

提问：你能根据我们得出的正切函数的性质，画出它的图象吗？试一试。

展示：教师借助实物投影展示学生的成果并讲评。 明晰：

1、教师针对正弦函数的性质明晰其相应的几何特征。

2、同学之间相互合作，自主探究正切函数图象特征。

3、多媒体演示演示正切函数y=tanx ,)

,(π

π-∈x 图象几何作法。

4、，

且()z k k x ∈+≠

ππ

的图象，称“正切曲线”

例1 求函数tan()23y x ππ=+的定义域、周期和单调区间。

（分别请三位同学板演，其余同学在练习本上完成） 评析：1.明确解题步骤。

2.采用类比方法得到正切函数周期的简便运算方法?

π=T

例2 比较??? ??-

413tan π与??

? ?

?-

517tan π

的大小。 （学生练习本上完成）

评析：1.解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究。 五、练习巩固，加深理解 1：比较大小：

)8

23tan(_____)719tan()3(305tan _____281tan )2(143tan _____138tan )1(ππ--

????

2：指出满足条件的x 的范围： 3tan )3(;0tan 1)2(;0tan )1(≥<+>x x 六、小结与布置作业 （一）小结： 1、正切函数的性质

2、函数的每一个代数性质反映在图象上都有其相应的几何特征；函数图象的每一个几何特征都是函数性质的直观反映。所以可借助于函数的图象来研究函数的性质；也可借助于函数的性质研究函数的图象。

3、本课蕴含着数形结合、类比、归纳、猜想等数学思想方法。 （二）布置作业：

教材P 53 习题1.4 第 6、7、8、9题。

关于“正切函数的性质与图象”的教案说明

一、关于教学内容

我们生活在一个不断变化的世界中，大到地球、月亮，小到原子、电子都在不停的做着周期变化运动，因此研究周期变化规律是我们必须直面的问题。而三角函数本身就是最基本的周期函数，是描述周期现象的一个重要工具，很多周期现象的规律都可以由它们直接描述。

本章内容是继函数学习后学生所接触到的第二个基本初等函数，三角函数的学习即是对函数概念的深化，也是对函数学习的一个延续。本小节内容是三角函数的图象与性质，是本章知识的重点，有着承前启后的作用。

本节课是一节概念教学课，主要学习任务是根据正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后根据性质研究正切函数的图象。对函数的学习一般按照定义域，值域，图象，性质等这样的顺序进行。对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从数的角度对性质作出严格表述。但本节课，教科书却采取了与以往不同的学习方式，即先探究性质，然后再根据性质研究图象。这样处理，不仅给学生提供研究数学问题更多的视角，而且在性质的指导下可以更加有效地作图，研究图象。既加强了理性思考的成分，又使数形结合的思想体现得更加全面。

另外，由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，而对于周期函数，我们只要认清楚它在一个周期区间上的性质，通过其周期性，函数在整个定义域上的性质也就完全清楚了。

鉴于以上认识，确定本节课的教学目标为：

1.利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质，根据性质探究正切函数的图象.

2.借助单位圆中的三角函数线能画出tan y x =的图象，借助图象理解正切函数在

(,

)

2

2

π

π

-

上的性质（如单调性、周期性、最大值和最小值、图象与x 轴的

交点等），并能解决一些简单问题。

3. 让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

二、学习本内容的基础

在学习本章知识前学生已经具备了学习函数的一些基本知识和基本技能，能通过观察函数图象，描述其图象特征，并能用数学符号的语言定义函数性质。更

为重要的是通过函数的学习，让学生体会到了数形结合这种重要的数学思想方法在解决函数问题中的重要作用。

本节课是本章第四小节中一课，在此之前学生也已经学习任意角的三角函数、三角函数的诱导公式、正弦函数、余弦函数的图象与性质等知识，了解了正切函数的定义，知道对于周期函数性质的讨论，只要认识清楚它在一个周期内的性质，就可以得到它在整个定义域内的性质，另外数形结合的思想方法也贯穿了本节内容的始终。这些都为学习本节课内容奠定了基础；也为学习本节课内容作了方法上的铺垫。

特别是教科书在正弦函数、余弦函数的图象与性质这部分内容的最后设置了一个“探究与发现”，要求利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质。这既是对利用三角函数的图象研究其性质的一个补充，也为本节课的学习指明了方向。

在新课程标准中，三角函数作为函数占据了主导地位，这是一个实质性的变化，三角函数作为研究周期函数的基本模型在数学、科学以及其它领域中都具有十分重要的作用。三角函数的学习与其他内容学习有密切联系（例如与向量，与三角运算）；三角函数以及与其相关的数学内容在物理等其他领域也有广泛的作用，如交流电，震动的叠加等。

三、教学诊断分析

我校是在03年是由银川二中合并原十一中学组建而成的，正处在发展阶段，我校的生源还不够理想，入学前的分数相差很大，基础相对薄弱。学生对函数及其相关知识掌握还有待加强，本节课想让学生自己探究出正切函数的性质是有一定难度的，主要问题是学生不知该从哪儿入手，所以设计了两个问题引入课题，问题1是预想学生对所要研究的性质有一个系统性的回顾，体会数与形的密切联系；问题2预想通过这两个诱导公式给学生提供研究问题的方向。

学生对正切函数的定义域以及奇偶性探究较为顺利，但对于周期性却存在歧义，借助不同的诱导公式tan(2)tan ,2x x T ππ+==，x x tan )tan(=+π，π=T 得到不同的最小正周期，这需要教师明晰。

学生对正切函数的单调性和值域的探究是一个重点，教学中设计了两个小的教学环节对问题加以解决。

（1）给出在

(,

)

2

2

π

π

-

内的一些特殊角，通过观察归纳，得出猜想。

（2）借助多媒体，动态演示单位圆中的正切线的变化规律。

而在已有性质的基础上探究正切函数的图象，画出正切函数的简图是本节课的教学难点，教学时教师首先针对正弦函数的性质和图象，利用性质对图象的特征作出诠释，并请学生自主探究，画出正切函数图象的简图，其次利用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，最后借助图象特征反馈正切函数的性质。

例题是教材所设置例题，学生对周期性的解决还不是很熟悉，个别学生仍不知如何解决，教师在此也要重点强调解题过程，明晰格式。而对于补充例题，部分学生对诱导公式也存在应用不熟练问题。

四、关于教法

新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式，把学习的主动权还给学生。以此为宗旨，我采用引导教学法、讲授教学法等诸多方法，引导学生自主学习、探究学习，努力做到教法、学法的最优组合，并体现以下几个特点：（1）重视学生的主体参与，对正切函数性质的探究、图象的形成、知识的应用等环节的教学，都应通过学生自主、合作、探究的学习过程来完成。

（2）教学中充分重视数形结合的作用，通过多媒体演示单位圆中正切线的变化规律，让学生在观察、分析中获得大量的感性认识，进而达到对函数性质的理性认识。

（3）注重信息反馈，坚持师生间的多向交流。当学生接触新知—周期性、单调性、值域等性质时以及利用性质画出图象时，要引导学生多思、多说、多练，要充分暴露他们所遇到的知识障碍，并在师生之间的多向交流中，不断的得到解决，使知识深化。