江苏省南通市如东县2020-2021学年高一上学期期末数学试
题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.设集合{}|11M x x =-<<,{}02|N x x =≤<,则M N ?等于( ) A .{}|12x x -<< B .{}|01x x ≤< C .{}1|0x x << D .{}|10x x -<<
2.cos960?等于( ) A
. B
.
2
C .12
-
D .
12
3.已知点()1,2A ,()3,4B ,则与AB 共线的单位向量为( ) A
.22??
?
???
B
.22??
-
- ? ???
C
.22?? ? ???
或22??
-- ? ???
D .()2,2
4.已知函数11
2
3,0
()log (1),0x x f x x x -?≤?
=?+>??,则[(3)]f f 等于( )
A .27-
B .
1
27
C .3
D .9
5.在ABC 中,D 为边BC 上的一点,且3BD DC =,则AD =( ) A .
31
44
AB AC + B .
13
44
AB AC + C .
13
44
AB AC - D .
31
44
AB AC - 6.已知幂函数y =f (x )的图象过点(2
,则()2log 2f 的值为( ) A .
1
2
B .1
C .12
-
D .1-
7.已知角α的终边过点()1,1P -,则sin 2cos 2sin cos αα
αα
+-等于( )
A .
13
B .13
-
C .3
D .3-
8.求值:2
22
sin sin cos 33ππααα??
??-
++-= ? ??
??
?( )
A .12
-
B .
12
C .0
D .1-
9.函数()y f x =是定义域为R ,周期为2的函数,且当[)1,1x ∈-时,()2
1f x x =-;已知函数()lg ||g x x =,则函数()()y f x g x =-在区间[]7,10-内的零点个数为( ) A .11
B .13
C .15
D .17
10.平行四边形ABCD 中,已知4AB =,3AD =,60BAD ∠=?,点E ,F 分别满足
AE ED λ=,DF FC =,若6AF BE ?=-,则λ等于( )
A .
2
3
B .
13
C .1
D .2
二、多选题
11.在ABC 中,()2,3AB =,()1,AC k =,若ABC 是直角三角形,则k 的值可以是( )
A .1-
B .
113
C .
32
D .
32
- 12.已知函数()()sin f x A x =+ω?(其中0A >,0>ω,?π<)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A .函数()f x 的图象关于2
x π=
直线对称
B .函数()f x 的图象关于点,012π??
-
???
对称 C .函数()f x 在区间36ππ??
-
????
,上单调递增 D .1y =与图象()231212y f x x π
π??=-≤≤ ???
的所有交点的横坐标之和为83π
三、填空题
13.函数1
()ln(1)1
f x x x =++
-的定义域是________. 14.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数,则
()()2f x f ≤的解集是________.
15.若函数sin()(0)y x ω?ω=+>的部分图象如图所示,则ω的值为_______________.
16.矩形ABCD 中,2AB =,1AD =,点P 为矩形ABCD 内(包括边界)一点,则
PA PB +的取值范围是________.
四、解答题
17.已知()1,2a =,()3,2b =-. (1)求a b -;
(2)当k 为何值时,ka b +与3a b -垂直?
18.已知函数2()sin cos f x x x x =+.
(1)求6f π??
???
的值;
(2)若3225
f α??=+
???,54,63ππα??∈ ???,求sin α的值. 19.已知函数2()1()f x x mx m =-+∈R .
(1)若函数()f x 在[]1,1x ∈-上是单调函数,求实数m 的取值范围; (2)若函数()f x 在[]
1,2x ∈上有最大值为3,求实数m 的值.
20.如图,半径为1的圆O 中,作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形,其中AB BE <,设AOB θ∠=.
(1)将十字形的面积S 表示为θ的函数; (2)求十字形的面积S 的最大值.
21.设函数32()32
x x
x x
a f x -?=+为奇函数. (1)求实数a 的值;
(2)当[1,)x ∈+∞时,求()f x 的值域.
22.如果函数()f x 在定义域的某个区间[],m n 上的值域恰为[],m n ,则称函数()f x 为
[],m n 上的等域函数,[],m n 称为函数()f x 的一个等域区间.
(1)若函数2
()f x x =,x ∈R ,则函数()f x 存在等域区间吗?若存在,试写出其一
个等域区间,若不存在,说明理由
(2)已知函数()()x
f x a a k x b =+-+,其中0a >且1a ≠,0k >,b ∈R .
(ⅰ)当a k =时,若函数()f x 是[]0,1上的等域函数,求()f x 的解析式; (ⅱ)证明:当01a <<,1k a ≥+时,函数()f x 不存在等域区间.
参考答案
1.A 【解析】 【分析】
根据集合并集运算,即可求解. 【详解】
{}|11M x x =-<<,{}02|N x x =≤<
∴{}12M N x x ?=-<<
故选:A 【点睛】
本题考查集合的交集运算,属于基础题. 2.C 【分析】
根据三角函数诱导公式,化简求值. 【详解】
由题意1cos960cos(720240)cos(18060)cos602
=+=+=-=- 故选:C 【点睛】
本题考查三角函数诱导公式,属于基础题. 3.C 【分析】
由题意写出()2,2AB =.可设与AB 共线的单位向量(),e m m =,由1e =,即可求解. 【详解】
由题意()2,2AB =
设与AB 共线的单位向量(),e m m =, 又
1e =
1=
解得2
12m =
,m =
故2,22e ??= ? ???或2,22e ??
=-- ? ???
故选:C 【点睛】
本题考查向量共线的坐标运算,属于基础题. 4.B 【分析】
由分段函数代入即可求解 【详解】 由题意
()()112
2
3log 31log 42f =+==-
()()21
132327
f f f --??=-==?? 故选:B 【点睛】
本题考查分段函数求值,属于基础题. 5.B 【分析】
D 为边BC 上的一点,且3BD DC =,D 是四等分点,结合AD AB BD =+,最后得到答案. 【详解】
∵D 为边BC 上的一点,且3BD DC =,∴D 是四等分点,
()
3313
4444
AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,
故选:B . 【点睛】
本题考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用,属于基础题. 6.A
【分析】
先求幂函数的表达式,进而求值即可. 【详解】
设幂函数f (x )=x α,
因为幂函数的图象经过点(2,
所以2α=
α1
2
=
,
则幂函数的解析式为()f x =
∴()2f =,()21
log 2log ,2
f =
故选:A 【点睛】
本题考查幂函数的求法,考查函数值的求法及对数运算,属于基础题. 7.B 【分析】
由题意,根据三角函数定义,可知tan 1α=-,再将分式上下同除cos α,即可求解. 【详解】
由题意,角α终边过点()1,1P -
tan 1α∴=-
原式sin cos 2sin cos αααα+=
-tan 22tan 1αα+=-121
213
-+==---
故选:B 【点睛】
本题考查齐次式求值,属于基础题. 8.B 【分析】
由题意,先根据三角函数两角和与差的正弦公式,化简,即可求值. 【详解】
222sin sin cos 33ππααα
???
?-++- ? ????
?
22
211sin sin cos 22ααααα????=+- ? ? ? ????? 222132sin cos cos 44ααα??
=+-????
22213
sin cos cos 22ααα=+- 2211
sin cos 22
αα=+ 12
= 故选:B 【点睛】
本题考查两角和与差的正弦公式,三角函数的化简与求值,考察计算能力,属于中等题型. 9.C 【分析】
根据函数的周期性,作出函数()f x 和()g x 的图象,观察图像,即可得到两个函数公共点的个数. 【详解】
函数()y f x =是定义域为R ,周期为2的函数,且当[)1,1x ∈-时,()2
1f x x =-;
∴作出函数()f x 的图象如图:
()lg ||g x x =,定义域()(),00,-∞?+∞
∴在同一直角坐标系内,作出函数()g x 的图象如图:
当910x ≤≤时,1100x -≤-≤ 则()()()2
10110f x f x x =-=-- 此时()()101,101f g ==
()()90,9lg9f g ==
故由图象可知两个图象的交点个数为15个. 故选:C 【点睛】
本题考查函数周期性、对数函数运算,考查函数与方程思想、数形结合思想,综合性较强,有一定难度. 10.D 【分析】
利用平行四边形法则,将AF BE ?分别利用平行四边形的相邻两边表示,然后利用已知计算向量的数量积,列出方程求解参数. 【详解】
由题意4AB =,3AD =,60BAD ∠=?
216AB ∴=,2
9AD =,43cos606AB AD ?=??=
由图知1
2
AF AD DF AD AB =+=+
AE ED λ=
1
AE AD λλ∴=
+
1
BE BA AE AB AD λλ∴=+=-+
+
则121AF BE AB AD AB AD λλ????
?=+-+
???+????
()
2212
62121AB AD AB AD λλλλ--=-++?=-++
代入,得()
92
866121λλλλ+-+-?=-++ 解得2λ= 故选:D
考查几何图形中的向量表达,化成同一组基底进行数量积的运算,典型题,考查热点,本题属于中等题型. 11.BCD 【分析】
由题意,若ABC 是直角三角形,分析三个内有都有可能是直角,分别讨论三个角是直角的情况,根据向量垂直的坐标公式,即可求解. 【详解】
若A ∠为直角,则AB AC ⊥即0AC AB ?=
230k ∴+=解得2
3
k =-
若B 为直角,则BC AB ⊥即0BC AB ?=
()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--
2390k ∴-+-=解得113
k =
若C ∠为直角,则BC AC ⊥,即0BC AC ?=
()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--
()130k k ∴-+-=解得k =
综合可得,k 的值可能为21133,,3322
-- 故选:BCD 【点睛】
本题考查向量垂直的坐标公式,考查分类讨论思想,考察计算能力,属于中等题型. 12.BCD 【分析】
根据图象求出函数解析式,再判断各选项.
由题意2A =,254312T πππ??
=?-=
?
??
,∴22πωπ==,又22sin 223π????+=- ???,42,32k k Z ππ?π+=-∈,又?π<,∴6
π
=?, ∴()2sin(2)6
f x x π
=+.
∵722
6
6
π
π
π?
+
=
,∴2x π
=不是对称轴,A 错;
sin 20126ππ?????-+= ???????
,∴,012π??
- ???是对称中心,B 正确;
36x ππ??
∈-????
,时,2,622x πππ??+∈-????,∴()f x 在,36ππ??-????上单调递增,C 正确;
2sin 216x π??+= ???
,1sin 262x π?
?+= ???,2266x k πππ+=+或522,66x k k Z πππ+=+∈,
即x k π=或3
x k π
π=+,k Z ∈,又2312
12x π
π-
≤≤
,∴40,,,33
x πππ=,和为83π
,D 正确. 故选:BCD . 【点睛】
关键点点睛:本题考查三角函数的图象与性质,解题关键是掌握“五点法”,通过五点法求出函数解析式,然后结合正弦函数性质确定函数()f x 的性质.本题方法是代入法,整体思想,即由已知求出26
x π
+的值或范围,然后结合正弦函数得出结论.
13.(1,1)(1,)-+∞
【分析】
由题意分析,使函数成立需满足真数大于0、分母不为0,然后取交集,即可求解. 【详解】
要使函数1
()ln(1)1
f x x x =++-有意义,需满足10x +>且10x -≠, 得1x >-且1x ≠
故答案为:(1,1)(1,)-+∞
【点睛】
本题考查函数定义域求法,属于基础题.
14.(][)22-∞-?+∞,
, 【分析】
由题意先确定函数()f x 在(),0-∞上是增函数,再将不等式转化为()()112f f ?≤即可求得x 的取值范围. 【详解】
函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数,
∴函数()f x 在区间(),0-∞上是增函数
()()2f x f ≤
()()2f x f ∴≤
2x ∴≥
2x ∴≥或2x -≤
∴解集为(]
[),22,-∞-+∞ 故答案为:(][),22,-∞-+∞
【点睛】
本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题,直观想象能力,属于中等题型. 15.=4ω. 【分析】
由所给函数图像 过点05(
,)24y π,011(,)24
y π
-,列式115sin()sin()2424
ππ
ω?ω?+=-+,利用诱导公式可得.
【详解】
由函数图像过点05(
,)24y π,011(,)24y π-,得05sin()24
y πω?=+,011sin()24y πω?-=+,所以115sin()sin()2424
ππ
ω?ω?+=-+,又两点在同一
周期,所以115()2424
ππ
ω?πω?+=++,4ω=.故答案为4. 【点睛】
本题考查三角函数的图像与性质,考查简单三角方程的解,考查图形识别与运算求解能力,属于基础题.
16.[0, 【分析】
由题意,取AB 中点为M ,则有=2PA PB PM +,可知求解2PM 的范围就是PA PB +的范围. 【详解】
由题意,取AB 中点为M ,则有=2PA PB PM +,
=2PA PB PM ∴+,
如图所示,当P 点与D 点或者C 点重合时,=2PA PB PM +取最大值当P 点与M 点重合时,=2PA PB PM +取最小值0
故答案为:[0, 【点睛】
本题考查向量计运算,属于基础题. 17.(1)4(2)19 【分析】
(1)由题意,先求(4,0)a b -=,再求模长;
(2)根据向量垂直,推出数量积为零,求解参数. 【详解】
解:(1)因为()4,0a b -=,所以||4a b -=; (2)因为1(3)221a b ?=?-+?=,
所以2
2
()(3)(13)32380ka b a a ka k a b b k +?-=+-?-=-=, 解得19k =. 【点睛】
本题考查(1)向量模长的求法;(2)垂直关系的向量表示;本题考查转化与化归思想,属于基础题.
18.(1)6f π??= ?
??(2)sin α= 【分析】
(1)根据三角函数恒等变换,化简函数()sin 232
f x x π?
?
=-
+ ?
?
?,再求值;
(2)由(1)代入3225
f α??=+
???,可知3sin 35πα??-= ???,由角的范围,求出4cos 35πα?
?-=- ???,由组合角sin sin 33ππαα????=-+ ????
???,即可求解.
【详解】
解:(1)因为2
1cos 21
()sin cos sin 222
x f x x x x x -=+=+
sin 23x π?
?=-+
??
?
所以6f π??
=
?
??
(2)因为3sin 23225f απα???
?=-+=+
? ?
???
?, 所以3sin 35πα?
?-= ??
?,
又因为54,63ππα??
∈
?
??
,所以,32ππαπ??-∈ ???, 所以cos 03πα?
?
-
< ??
?
,
所以4cos 35πα??
-
==- ??
?, 因此sin sin sin cos cos sin 333333ππππππαααα??
?????
?=-
+=-+- ? ? ????
????
???,
314sin 525α??=?+-=
??? 【点睛】
本题考查(1)三角函数恒等变换;(2)配凑组合角求值问题;注意角的取值范围,考察计算能力,属于中等题型.
19.(1)(,2][2,)m ∈-∞-?+∞(2)1m = 【分析】
(1)根据二次函数单调性,使对称轴不在区间()1,1-上即可;
(2)由题意,分类讨论,当()13f =时和当()23f =时分别求m 值,再回代检验是否为最大值. 【详解】
解:(1)对于函数()f x ,开口向上,对称轴2
m
x =, 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递增时,
12m
≤-,解得2m ≤-, 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减时,12
m
≥,解得2m ≥,
综上,(,2][2,)m ∈-∞-?+∞.
(2)由题意,函数()f x 在1x =或2x =处取得最大值, 当()13f =时,解得1m =-,此时3为最小值,不合题意,舍去; 当()23f =时,解得1m =,此时3为最大值,符合题意.
综上所述,1m =. 【点睛】
本题考查(1)二次函数单调性问题,对称轴取值范围(2)二次函数最值问题;考查分类讨论思想,属于中等题型.
20.(1)2
8sin cos
4sin 2
2
2
S θ
θ
θ
=-(2)max 2S =.
【分析】
(1)由题意,根据三角函数和圆的半径表达2sin 2
AB θ
=,2cos
2
BE θ
=,再计算十字形
的面积;
(2)由(1)中十字形的面积2
8sin cos
4sin 2
2
2
S θ
θ
θ
=-,根据三角恒等变换,化简函数
解析式,即可求解最大值. 【详解】
解:(1)由题意,2sin 2
AB θ
=,2cos
2
BE θ
=,
因为AB BE <,所以0,
2πθ?
?∈ ??
?
. 所以2
22sin 2cos 2sin 222S θθθ????=?- ? ??
???. 即2
8sin
cos
4sin 2
2
2
S θ
θ
θ
=-,0,
2πθ?
?∈ ??
?
. (2)由(1)得:
4sin 2cos 2S θθ=+-1)2tan 2θ???
?=+-= ??
?
所以max 2S =. 答:(1)2
8sin
cos
4sin 2
2
2
S θ
θ
θ
=-;
(2)max 2S =. 【点睛】
本题考查(1)三角函数在几何图形中的应用;(2)三角恒等变换求最值问题;考察计算能力,实际操作能力,综合性较强,有一定难度.
21.(1)1(2)1,15??
????
【分析】
(1)由题意,根据奇函数(0)0f =,即可求解;
(2)由(1),将函数化简为31322()32312x
x x
x x x y f x ??
- ?-??===+??+ ???
,导出3121x y y +??= ?-??
,再根据指数函数有界性,求解y 的范围,即可求解值域. 【详解】
解:(1)因为函数()f x 为奇函数,且函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞,
所以0000
321(0)0322a a f -?-===+,所以1a =. 证明:函数32()32x x
x x
f x -=+,其定义域为R ,
3223()()3223
x x x x
x x x x
f x f x -------===-++,故()f x 为奇函数, 故所求实数a 的值为1.
(2)因为函数31322()32312x
x x x x x y f x ??
- ?-??===+??+ ???
,所以3121x y y +??= ?-??
, 又[1,)x ∈+∞时,3322
x
??≥ ???,所以
1312y y +≥-, 解得
1
15
y ≤<, 故所求函数的值域为1,15??????
. 【点睛】
本题考查(1)奇函数定义(2)函数值域求法:反函数法;考查直观想象能力,考查计算能力,技巧性强,有一定难度.
22.(1)[]0,1;见解析(2)(ⅰ)()21x
f x =-(ⅱ)见解析
【分析】
(1)由题意,分析等域区间定义,写出函数2()f x x =的等域区间; (2)(ⅰ)当a k =时,分析函数单调性,分类讨论等域区间,即可求解;
(ⅱ)由题意,根据01a <<,1k a ≥+,判断函数()()x
f x a a k x b =+-+为减函数,再由反证法,假设函数存在等域区间[,]m n ,推导出矛盾,即可证明不存在等域区间. 【详解】
解:(1)函数2
()f x x =存在等域区间,如[]0,1;
(2)已知函数()()x
f x a a k x b =+-+,其中0a >且1a ≠,0k >,b ∈R D (ⅰ)当a k =时,()x
f x a b =+
若函数()f x 是[]0,1上的等域函数, 当1a >时,()f x 为增函数,
则(0)10(1)1f b f a b =+=??
=+=?得21
a b =??=-?,此时()21x
f x =-.
当01a <<时,()f x 为减函数,
则(0)11(1)0f b f a b =+=??=+=?,得00a b =??=?
,不满足条件.
即()21x
f x =-.
(ⅱ)证明:当01a <<,1k a ≥+时,1k a -≤--,即10a k -≤-<, 则()()x
f x a a k x b =+-+为减函数, 假设函数存在等域区间[,]m n ,
则()()()()m n
f m a a k m b n f n a a k n b m
?=+-+=?=+-+=?, 两式作差()()m
n
a a a k m n n m -+--=-,
即()()()(1)()m
n a a a k m n n m k a m n -=---+-=---,
01a <<,1k a ≥+,0m n a a ∴->,0m n -<,10k a --≥,
则(1)()0k a m n ---<,
等式不成立,即函数()f x 不存在等域区间. 【点睛】
本题考查(1)函数新定义概念辨析(2)函数单调性、最值问题分析;考察计算能力,考查分析问题的能力,探究问题本质为单调性对值域的分析,综合性较强,属于难题.