导数大题题型总结
导数大题题型总结
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
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导数大题
1．某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：
31
()(10)10
V t H t =-（H 为常数），其图象如图
所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为
3(m /h)v . 那么瞬时融化速度等于3
(m /h)v 的时刻
是图中的（ ）
（A ）1t （B ）2t （C ）3t
（D ）4t
2．函数3()e x f x x =的极值点0x = ，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程是 .
3．已知函数2
()ln f x a x bx =-，a ，b ∈R .
（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线1
2
y =-相切，求a ，b 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求()f x 在1
[,e]e
上的最大值；
（Ⅲ）若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，求a 的取值范围.
解：（Ⅰ）()2a
f x bx x
'=
-. 由函数()f x 在1x =处与直线1
2y =-相切，得(1)0,1(1).2f f '=???=-??即20,1.2
a b b -=???-=-??
解得1,
1.2
a b =???=?? ………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得21
()ln 2
f x x x =-，定义域为(0,)+∞．
此时1()f x x x '=-2
1=x x -.令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，得1x >．
所以()f x 在（1
e ，1）上单调递增，在（1，e ）上单调递减，
所以()f x 在1[,e]e 上的最大值为1
(1)2
f =-． ………………………………8分
（Ⅲ）若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，
即2ln a x bx x -≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立， 即2ln a x x bx -≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，
即ln 0a x x -≥对2(e,e ]x ∈恒成立． …………………11分
即ln x
a x
≥
对2(e,e ]x ∈恒成立， 即a 大于或等于
ln x
x
在区间2(e,e ]上的最大值． 令()ln x h x x =，则2ln 1(=(ln )x h x x -'），当2(e,e ]x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以()ln x h x x =，2(e,e ]x ∈的最大值为22
e (e )2h =．即2e 2
a ≥．
所以a 的取值范围是2
e
[,)2
+∞． ………………………………14分
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4．已知函数2()e x f x x =． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）证明：1x ?，2(,0]x ∈-∞，1224
()()e
f x f x -≤；
（Ⅲ）写出集合{()0}x f x b ∈-=R （b 为常数且b ∈R ）中元素的个数（只需写出结论）．
解：（Ⅰ）()(2)x f x x x e '=+．
令()(2)0x f x x x e '=+=，则12x =-，20x =．
所以函数()f x 的单调递减区间为(2,0)-，单调递增区间为
(,2)-∞-,(0,)+∞．
……………………
4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-，单调递减区间为(2,0)-，
所以当(,0]x ∈-∞时，()=f x 最大值24
(2)f e
-=
． 因为当(,2]x ∈-∞-时，()0f x >，(0)0f =， 所以当(,0]x ∈-∞时，()=f x 最小值(0)0f =． 所以()f x 最大值-()=
f x 最小值2
4
e ． 所以对1x ?，2(,0]x ∈-∞，都有12()()
f x f x -≤()f x 最大值-()=
f x 最小值24e
． ……………………
10分
（Ⅲ）当0b <时，集合{()0}x f x b ∈-=R 的元素个数为0；
当0b =或24
b e
>时，集合{()0}x f x b ∈-=R 的元素个数为1； 当24
b e
=
时，集合{()0}x f x b ∈-=R 的元素个数为2； 当24
0b e
<<时，集合{()0}x f x b ∈-=R 的元素个数为3． …………13分
5．已知函数1
()ln ()f x a x a R x
=+∈.
（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）如果函数()()2g x f x x =-在(0,)+∞上单调递减，求a 的取值范围； （Ⅲ）当0a >时，讨论函数()y
f x =零点的个数．
解：（Ⅰ）当2a =时，1
()2ln f x x x
=+，(1)1f =，
所以22
1
()f x x x
'=-，(1)1f '=．
所以切线方程为y x =． ……………………3分 （Ⅱ）因为()()2g x f x x =-在(0,)+∞上单调递减，
等价于21
()20a g x x x '=
--≤在(0,)+∞恒成立， 变形得1
2a x x
≤+ (0)x >恒成立，
而12x x +≥=（当且仅当1
2x x
=
，即2x =时，等号成立）．
4
所以a ≤ ……………………8分
（Ⅲ）21
()ax f x x
-'=．
令()0f x '=，得1
x
=．
所以min ()=()f x f a =ln (1ln )a a a a a
+=-．
（ⅰ）当0a e <<时，min ()0f x >，所以()f x 在定义域内无零点； （ⅱ）当a e =时，min ()0f x =，所以()f x 在定义域内有唯一的零点； （ⅲ）当a e >时，min ()0f x <，
① 因为(1)10f =>，所以()f x 在增区间1
(,)a
+∞内有唯一零点；
② 21
()(2ln )f a a a a
=-，
设()2ln h a a a =-，则2
()1h a a
'=-，
因为a e >，所以()0h a '>，即()h a 在(,)e +∞上单调递增， 所以()()0h a h e >>，即2
1(
)0
f a >，所以()f x 在减区间1
(0,)a 内有唯一的零点． 所以a e >时()f x 在定义域内有两个零点．
综上所述：当0a e <<时，()f x 在定义域内无零点； 当a e =时，()f x 在定义域内有唯一的零点；
当a e >时，()f x 在定义域内有两个零点． ……………………13分
6．已知函数325()2f x x x ax b =+++ ,327
()ln 2
g x x x x b =+++，（a ，b 为常数）．
（Ⅰ）若()g x 在1x =处的切线过点(0,5)-，求b 的值；
（Ⅱ）设函数()f x 的导函数为()f x '，若关于x 的方程()()f x x xf x '-=有唯一解，求实数
b 的取值范围；
（Ⅲ）令()()()F x f x g x =-，若函数()F x 存在极值，且所有极值之和大于5ln 2+，求实数a 的取值范围．
解：（Ⅰ）设()g x 在1x =处的切线方程为5y kx =-，
因为21
()37,(1)11g x x x g x
''=++
=， 所以11k =，故切线方程为115y x =-.
当1x =时，6y =，将(1,6) 代入327
()ln 2
g x x x x b =+++，
得3
2
b =． …………………………3分
（Ⅱ）()2'35f x x x a =++，
由题意得方程32325
35x x ax b x x ax x +++=+++有唯一解，
1
)(,)8
-+∞（Ⅲ）2
()ln ,F x ax x x =-- 所以221
'()x ax F x x
-+=-.
因为()F x 存在极值，所以221
'()0x ax F x x
-+=-=在),0(+∞上有根，
即方程0122=+-ax x 在),0(+∞上有根，则有2=80a ?-≥.
5
显然当=0?时，()F x 无极值，不合题意； 所以方程必有两个不等正根．
记方程0122=+-ax x 的两根为21,x x ，则1212102
2x x a x x ?=>????+=??，，
2212121212()()()()(ln ln )F x F x a x x x x x x +=+-+-+
21ln 14222-+-=a a >1
5ln 2
- , 解得162>a ，满足0?>. 又1202
a
x x +=
>，即0a >， 故所求a 的取值范围是),4(+∞． …………………………14分