2017年高考真题——理科数学(全国Ⅲ卷) 含解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）
理科数学
（试题及答案解析）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合{}
22
(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A
B 中元素的个数为（）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】B
【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，
故A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2，
故选B.
2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（）
A ．12
B ．
22
C 2
D ．2
【答案】C
【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2
z -+=
===+++-，则22112z += C.
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年
12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
2014年 2015年 2016年
根据该折线图，下列结论错误的是（） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加
C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A
【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，故选A.
4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）
A ．-80
B ．-40
C ．40
D ．80
【答案】C
【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为
()()()()2
3
3
2
233355C 2C 240x x y y x y x y ?-+?-=，则33x y 的系数为40，故选C.
5．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y ，且与椭圆
221123
x y +=有公共焦点．则C 的方程为（） A ．22
1810
x y -=
B ．22
145
x y -=
C ．22
154
x y -=
D ．22
143
x y -=
【答案】B
【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y =
，则b a =
① 又∵椭圆22
1123
x y +
=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②
由①②解得2,a b ==，则双曲线C 的方程为22
145
x y -
=，故选B.
6．设函数π
()cos()3
f x x =+，则下列结论错误的是（）
A ．()f x 的一个周期为2π-
B ．()y f x =的图像关于直线8π
3
x =
对称 C ．()f x π+的一个零点为π
6
x =
D ．()f x 在π
(,π)2
单调递减
【答案】D
【解析】函数()πcos 3f x x ?
?=+ ??
?的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，
如图可知，()f x 在π,π2??
???
上先递减后递增，D 选项错误，故选D.
π23
π53
-π36
πx
y
O
7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 【答案】D
【解析】程序运行过程如下表所示：
S M
初始状态 0 100 1 第1次循环结束 100 10-
2 第2次循环结束
90
1
3
此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值，故选D.
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A ．π
B ．
3π4
C ．π２
D ．
π4
【答案】B
则圆柱体体积2
3π
π4
V r
h ==
，故选B.
9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）
A ．24-
B ．3-
C ．3
D ．8
【答案】A
【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为. 则2
3
26a a a =?，即()()()2
11125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-
∴()616565
61622422
S a d ??=+
=?+?-=-，故选A.
10．已知椭圆22
22:1x y C a b
+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径
的圆与直线
20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）
A
B
C
D ．13
【答案】A
【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离等于半径，