2020版高考大题增分课6概率与统计中的高考热点问题
六概率与统计中的高考热点问题
[命题解读] 1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应
用题为载体，注重考查应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力．
2．概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具，统
计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归
分析与独立性检验的考查．
3．离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中档类题目，特别是与统计内容渗透，背景新
颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．
统计与统计案例
以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断，常与抽样方法、茎叶图、频率
分布直方图、概率等知识交汇考查，考查数据处理能力，分析问题、解决问题的能力．
【例1】某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该基地周光照量X(单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y(单位：千克)与使用某种液体肥料的质量x(单位：千克)之间的对应数据如图所示．
(1)依据图中数据计算相关系数r(精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系．(若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)
(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照
量X限制，并有如下关系：
周光照量X/小时30＜X＜5050≤X≤70X＞70
光照控制仪运行台数321
对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为 3 000元；若某台光照控制仪未运行，则该台
光照控制仪周亏损 1 000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周的周总利润的平均值．相关系数公式：r＝，
参考数据：0.3≈0.55，0.9≈0.95.
[解](1)由已知数据可得–
x＝
2＋4＋5＋6＋8
5
＝5，
–
y＝
3＋4＋4＋4＋5
5
＝4.
因为(x i－–
x)(y i－
–
y)＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，
＝－32＋－12＋02＋12＋32＝25，
＝－12＋02＋02＋02＋12＝2，
所以相关系数r＝＝
6
25×2
＝0.9≈0.95.
因为|r|＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2)由条件可得在过去50周里，
当X＞70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，
每周的周总利润为1×3 000－2×1 000＝1 000(元)．
当50≤X≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，
每周的周总利润为2×3 000－1×1 000＝5 000(元)．
当30＜X＜50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，
每周的周总利润为3×3 000＝9 000(元)．
所以过去50周的周总利润的平均值为
1 000×10＋5 000×35＋9 000×5
50
＝4 600(元)，
所以商家在过去50周的周总利润的平均值为 4 600元．
[规律方法] 1.在求两变量相关系数和两变量的回归方程时，由于r和的公式组成比较复杂，求它们的值计算量比较
大，为了计算准确，可将其分成几个部分分别计算，这样等同于分散难点，各个攻破，提高了计算的准确度.
2.有关独立性检验的问题的解题步骤：1作出2×2列联表；2计算随机变量K2的值；3查临界值，检验作答.
科技扶贫是精准扶贫的一项重要措施，某科研机构将自己研发的一项葡萄种植技术提供给某山区果农．为验证该技术的效果，该果农选择40株葡萄树进行试验，其中20株不进行任何处理，记为对照组，另外20株采用新技术培养，记为实验组．葡萄成熟收割后，该果农统计了这40株葡萄树的年产量数据(单位：kg)．
对
照
组
1215212326243535343251524946435344616343 实
验
组
2332343642415159464343455267656562565558
(1)根据数据完成对照组和试验组葡萄产量的茎叶图，并通过茎叶图比较对照组和实验组葡萄产量的平均值和方差的大小
(不要求计算出具体值，得出结论即可)；
(2)若每株葡萄树的年产量不低于45 kg，则认为“产量高”，否则认为“产量一般”．请根据此样本完成此2×2列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为产量的提高与使用新技术有关；
对照组实验组合计
产量高
产量一般
合计
(3)从“产量高”的数据中随意抽取3株做进一步科学研究中，计算恰好有2株来自实验组的概率．
附：K2＝
n ad－bc2
a＋b c＋d a＋c b＋d
，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k)0.0500.0100.001
k 3.841 6.63510.828
[解](1)实验组的葡萄平均产量要高于对照组的葡萄平均产量；实验组的葡萄产量的方差要小于对照组葡萄产量的方差．
(2)完成2×2列联表如下表所示：
对照组实验组合计
产量高71219
产量一般13821
合计202040所以K2的观测值
k＝40×7×8－12×132
20×20×19×21
≈2.506＜3.841.
所以没有95%的把握认为产量的提高与使用新技术有关．
(3)记事件A为“这3株中恰好有2株来自实验组”，则P(A)＝C212C17
C319
＝154
323
.
所以恰好有2株来自实验组的概率为154
323
.
离散型随机变量的分布列、均值和方差的应用
离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年均有解答题，属于中档题．复习时应强化应用
题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与转化是解题的
基础，准确计算是解题的核心．
【例2】(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．
机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．①
现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图所示的柱状图：②
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年
内共需更换的易损零件数，③
n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，④确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
[信息提取]看到①这种条件，想到解题时可能要分类求解；
看到②想到频数与频率间的关系，想到横轴中的取值含义；
看到③想到X的所有可能取值；
看到④想到X和n的含义，想到(1)中的分布列．
[规范解答](1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. 1分
由题意可知X的所有可能取值为16,17,18,19,20,21,22.
从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 4分
所以X的分布列为
X 16171819202122
P 0.040.160.240.240.20.080.04
6分
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，
故n的最小值为19. 7分
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当n＝19时，
E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040；
9分
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080. 11分
可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19. 12分
[易错与防范]
易错点防范措施
忽视X的实际含义导致取值错误，进而导致概率计算错误.细心审题，把握题干中的重要字眼，关键处加标记，同时理解X 取每个值的含义.
忽视P(X≤n)≥0.5的含义，导致不会求
解.
结合(1)中的分布列及n的含义，推理求解便可.
忽视n＝19与n＝20的含义导致无法解题.本题中购买零件所需费用包含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用.
[通性通法]解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：
(1)明确随机变量可能取哪些值．
(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．
(3)根据分布列和均值、方差公式求解．
某校首届安琪杯教职工运动会上有一个扑克小游戏，游戏规则如下：甲、乙双方每局比赛均从5张扑克牌(3张红桃A,2张黑桃A)中轮流抽取1张，抽取到第2张黑桃A的人获胜，并结束该局比赛．每三局比赛为一轮．
(1)若在第一局比赛中甲先抽牌，求甲获胜的概率；
(2)若在一轮比赛中规定：第一局由甲先抽牌，并且上一局比赛输的人下一局比赛先抽，每一局比赛先抽牌并获胜的人得
1分，后抽牌并获胜的人得2分，未获胜的人得0分．求此轮比赛中甲得分X的概率分布列及其数学期望E(X)．[解](1)设“在第一局比赛中甲先抽牌，甲获胜”为事件M，
甲先抽牌，甲获胜等价于把这5张牌进行排序，
第二张黑桃A排在3号位置或5号位置，共有2＋4＝6(种)，
而2张黑桃A的位置共有C25＝10(种)．
所以P(M)＝2＋4
10
＝
3
5
.
(2)甲得分X的所有可能取值为0,1,2,3,5.
由(1)知在一局比赛中，先抽牌并获胜(后抽牌并输)的概率为3 5，
则后抽牌并获胜(先抽牌并输)的概率为2
5
.
当X＝0时，即三局甲都输，P(X＝0)＝2
5
×
2
5
×
2
5
＝
8
125
；
当X＝1时，即第一局甲胜，二、三局甲输或第二局甲胜，一、三局甲输或第三局甲胜，一、二局甲输，P(X＝1)＝3
5
×
3
5
×
2
5
＋2
5
×
3
5
×
3
5
＋
2
5
×
2
5
×
3
5
＝
48
125
；当X＝2时，即第一局甲胜，第二局甲输，第三局甲胜，P(X＝2)＝
3
5
×
3
5
×
3
5
＝
27
125
；
当X＝3时，即第一局甲输，二、三两局甲都胜或者第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲输，P(X＝3)＝
2
5
×
3
5
×
2
5
＋
3
5
×
2
5
×
3
5
＝
30
125
＝
6
25
；
当X＝5时，即三局甲都胜，P(X＝5)＝3
5
×2
5
×2
5
＝12
125
.
所以此轮比赛中甲得分X的概率分布列为
X 01235
P
8
125
48
125
27
125
6
25
12
125 E(X)＝0×
8
125
＋1×
48
125
＋2×
27
125
＋3×
6
25
＋5×
12
125
＝
252
125.
概率与统计的综合应用
概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键．复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．
【例3】(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数
x －和样本方差s 2
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2
近似为样本方
差s 2
.
①利用该正态分布，求P(187.8 ②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用 ①的结果，求E(X)． 附： 150≈12.2. 若Z ～N(μ，σ2 )，则P(μ－σ 分别为– x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200， s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302 ×0.02＝150. (2)①由(1)知，Z ～N(200,150)，从而P(187.8＜Z ＜212.2)＝P(200－12.2＜Z ＜200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B(100,0.682 6)，所以E(X)＝ 100×0.682 6＝68.26. [规律方法]统计与概率的综合应用1正态分布：若变量X 服从正态分布N μ，σ2 ，其中μ为样本的均值，正态分布曲线的对称轴为 x ＝μ；σ为样本数据的 标准差，体现了数据的稳定性. 2二项分布：若变量 X ～B n ，p ，则X 的期望E X ＝np ，方差D X ＝np 1－p . 某篮球队在某赛季已结束的 8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图． (1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ； (2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N(μ，σ2 )，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在26 分以上的平均场数． 参考数据： 32≈5.66，32.25≈5.68，32.5≈5.70. 正态总体N(μ，σ2 )在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率约为0.954. [解] (1)μ＝1 8 (7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， σ2＝18 [(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82 ]＝32.25.所以σ≈5.68. 所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15，标准差σ为5.68.(2)由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率 P(X ≥26)≈12[1－P(μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)]≈1 2 (1－0.954)＝0.023， 设在82场比赛中，甲得分在26分以上的次数为Y ，则Y ～B(82,0.023)．Y 的均值E(Y)＝82×0.023≈2.由此估计甲在82场比赛中得分在 26分以上的平均场数约为 2. [大题增分专训] 1．某县响应中央的号召，积极开展了建设社会主义新农村的活动，实行以奖代补，并组织有关部门围绕新农村建设中的五个方面(新房舍、新设施、新环境、新农民、新风尚)对各个村进行综合评分，高分(大于等于88分)的村先给予5万元的基础奖励，然后比88分每高1分，奖励增加5千元，低分(小于等于75分)的村给予通报，取消5万元的基础奖励，且比75分每低1分，还要扣款1万元，并要求重新整改建设，分数在(75,88)之间的只享受5万元的基础奖励，下表是甲、乙两个乡镇各10个村的得分数据(单位：分)： 甲：62,74,86,68,97,75,88,98,76,99；乙：71,81,72,86,91,77,85,78,83,84. (1)根据上述数据完成以下茎叶图，并通过茎叶图比较两个乡镇各10个村的得分的平均值及分散程度 (不要求计算具体的 数值，只给出结论即可)； (2)为继续做好社会主义新农村的建设工作，某部门决定在这两个乡镇中各任意抽取一个进行工作总结，求抽取的2个村 中至少有一个得分是低分的概率； (3)从获取奖励的角度看，甲、乙两个乡镇哪个获取的奖励多？[解] (1)茎叶图： 通过茎叶图可以看出，甲乡镇10个村的平均得分比乙乡镇10个村的平均得分高，甲乡镇10个村的得分比较分散，乙乡 镇10个村的得分比较集中． (2)由茎叶图可知甲乡镇10个村中低分的有4个，乙乡镇10个村中低分的有2个，所以从甲乡镇10个村中随机抽取1 个，得分是低分的概率为410＝25，从乙乡镇10个村中随机抽取1个，得分是低分的概率为210＝1 5，故抽取的2个村中至少有一 个得分是低分的概率为25×45＋35×15＋25×15＝13 25 . (3)由茎叶图可知甲乡镇10个村中，高分(大于等于88分)有4个，分别是88分、97分、98分、99分，奖励分共9＋10＋11＝30分，低分(小于等于75分)有4个，分别是75分、74分、68分、62分，扣款分共1＋7十13＝21分，分数在(75,88)之间的有2个，故甲乡镇所获奖励为6×5＋30×0.5－21×1＝30＋15－21＝24万元． 由茎叶图可知乙乡镇10个村中，高分(大于等于88分)有1个，为91分，奖励分共3分，低分(小于等于75分)有2个，分别是71分、72分，扣款分共4＋3＝7分，分数在(75,88)之间的有7个，故乙乡镇所获奖励为8×5＋3×0.5－7×1＝40＋1.5－7＝34.5万元． 故从获取奖励的角度看，乙乡镇获取的奖励多． 2．(2018·太原二模)按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲、乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，对规定的质量指标值进行检测．甲套设备的样本频数分布表和乙套设备的样本频率分布直方图如下所示． 甲套设备的样本频数分布表 质量指标值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125] 频数 1 4 19 20 5 1 乙套设备的样本频率分布直方图 (1)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备 乙套设备 合计 合格品 不合格品 合计 (2)根据以上数据，对甲、乙两套设备的优劣进行比较； (3)将频率视为概率，若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X ，求X 的数学 期望E(X)． 附： P(K 2 ≥k 0) 0.150.100.050.0250.01k 0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 K 2 ＝n ad －bc 2 a ＋ b c ＋ d a ＋c b ＋d . [解] (1)根据题中数据填写列联表如下： 甲套设备 乙套设备 合计合格品484391不合格品279合计 5050100 由列联表得K 2 ＝100×48×7－2×43 2 50×50×91×9 ≈3.053. ∵3.053＞2.706， ∴有90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关． (2)根据题中数据可知，甲套设备生产的合格品的概率约为 4850，乙套设备生产的合格品的概率约为4350 ，并且甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备的相比，较为分散．因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备． (3)由题知，X ～B () 3，1 25 ，∴E(X)＝3×125＝3 25 . 3．(2018·石家庄二模)随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加．下表是某购物网站2017年1～8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据． 月份 12345678促销费用x 2361013211518 产品销量y 1123 3.554 4.5 (1)根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^(系数精确到0.01)； (2)已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年，特制定奖励制度：以z(单位：件)表示日销量，z ∈[1 800,2 000)，则每位员工每日奖励100元；z ∈[2 000,2 100)，则每位员工每日奖励150元；z ∈[2 100，＋∞)，则每位员工每日奖励200元．现已知该网站6月份日销量z 服从正态分布N(2 000,10 000)，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约为多少元．(当月奖励金额总数精确到百分位) 参考数据：，其中x i ，y i 分别为第i 个月的促销费用和产品销量， i ＝1,2,3， (8) 参考公式：①对于一组数据 (x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为 b ^ ＝ ，a ^＝– y －b ^– x . ②若随机变量Z 服从正态分布N(μ，σ2 )，则P(μ－σ，μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ，μ＋2σ)＝0.954 5. [解](1)由题可得–x ＝11，– y ＝3， 将数据代入得b ^ ＝ ＝ 338.5－8×11×31 308－8×11×11＝74.5340≈0.219，a ^＝–y －b ^–x ≈3－0.219×11≈0.59， 所以y 关于x 的回归方程y ^ ＝0.22x ＋0.59.(2)由题知该网站 6月份日销量z 服从正态分布N(2 000,10 000)， 则日销量在[1 800,2 000)上的概率为0.954 5 2＝0.477 25， 日销量在[2 000,2 100)上的概率为0.682 7 2 ＝0.341 35 ， 日销量在[2 100，＋∞)上的概率为1－0.682 7 2 ＝0.158 65， 所以某位员工当月奖励金额的总数为 (100×0.477 25＋150×0.341 35＋200×0.158 65)×30＝3 919.725≈3 919.73(元)． 六概率与统计中的高考热点问题 [命题解读] 1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应 用题为载体，注重考查应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力． 2．概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具，统 计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归 分析与独立性检验的考查． 3．离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中档类题目，特别是与统计内容渗透，背景新 颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性． 统计与统计案例 以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断，常与抽样方法、茎叶图、频率 分布直方图、概率等知识交汇考查，考查数据处理能力，分析问题、解决问题的能力． 【例1】某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该基地周光照量X(单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y(单位：千克)与使用某种液体肥料的质量x(单位：千克)之间的对应数据如图所示． (1)依据图中数据计算相关系数r(精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系．(若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合) (2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照 量X限制，并有如下关系： 周光照量X/小时30＜X＜5050≤X≤70X＞70 光照控制仪运行台数321 对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为 3 000元；若某台光照控制仪未运行，则该台 光照控制仪周亏损 1 000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周的周总利润的平均值．相关系数公式：r＝， 参考数据：0.3≈0.55，0.9≈0.95. [规律方法] 1.在求两变量相关系数和两变量的回归方程时，由于r和的公式组成比较复杂，求它们的值计算量比较 大，为了计算准确，可将其分成几个部分分别计算，这样等同于分散难点，各个攻破，提高了计算的准确度. 2.有关独立性检验的问题的解题步骤：1作出2×2列联表；2计算随机变量K2的值；3查临界值，检验作答. 科技扶贫是精准扶贫的一项重要措施，某科研机构将自己研发的一项葡萄种植技术提供给某山区果农．为验证该技术的效果，该果农选择40株葡萄树进行试验，其中20株不进行任何处理，记为对照组，另外20株采用新技术培养，记为实验组．葡萄成熟收割后，该果农统计了这40株葡萄树的年产量数据(单位：kg)． 对 照 组 1215212326243535343251524946435344616343 实 验 组 2332343642415159464343455267656562565558 (1)根据数据完成对照组和试验组葡萄产量的茎叶图，并通过茎叶图比较对照组和实验组葡萄产量的平均值和方差的大小 (不要求计算出具体值，得出结论即可)； (2)若每株葡萄树的年产量不低于45 kg，则认为“产量高”，否则认为“产量一般”．请根据此样本完成此2×2列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为产量的提高与使用新技术有关； 对照组实验组合计 产量高 产量一般 合计 (3)从“产量高”的数据中随意抽取3株做进一步科学研究中，计算恰好有2株来自实验组的概率． 附：K2＝ n ad－bc2 a＋b c＋d a＋c b＋d ，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k)0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828 第一章 概率论的基本概念 习题一 随机试验、随机事件 一、判断题 1.()A B B A =?- （ ） 2.C B A C B A =? （ ） 3.() φ=B A AB （ ） 4.若C B C A ?=?，则B A = （ ） 5.若B A ?，则AB A = （ ） 6.若A C AB ?=,φ,则φ=BC （ ） 7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则 （1）事件“含有红球”为必然事件； （ ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ ） （3）事件“含有白球”为随机事件； （ ） 8.互斥事件必为互逆事件 （ ） 二、填空题 1. 一次掷两颗骰子， （1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 ； （2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 。 2.化简事件()()() =???B A B A B A 。 3.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 交并补关系表示下列事件： （1）A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ； （2）A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ； （3）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 ； （4）A,B,C 都发生或不发生可表示为 ； （5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为 ； （6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为 ； （7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为 ； （8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为 ； （9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为 ； （10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为 ； 三、选择题 1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ ）。 A 、A 与D 是互不相容的 B 、A 与 C 是相容的 C 、B 与C 是相容的 D 、B 与D 是相互对应的事件 2.下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ ） A 、A ABC =； B 、A C B A =??； C 、A BC ? ； D 、C B A ?? 1.【2015·新课标II】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； 价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． 2.【2015·福建】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望． 3.【2015·山东】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10 分；若能被10整除，得1分. 整除，得1 （I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； （II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX. 4.【2015·安徽】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）. 1.（15北京理科），两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： 组：10，11，12，13，14，15，16 组：12，13，15，16，17，14， 假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率； (Ⅱ) 如果25 a=，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (Ⅲ) 当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 【答案】（1）3 7 ，（2） 10 49 ，（3）11 a=或 2.（15北京文科）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（） A．B．100C．180D．300 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意，总体中青年教师与老年教师比例为160016 9009 =；设样本中老年教师的人数为x，由分层抽 样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即32016 9 x =，解得180 x=. 考点：分层抽样. 3.（15北京文科）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．升 B．升 C．升D．升 【答案】B 【解析】 试题分析：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48 V=升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600 S=-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 48 1008 600 ?=升，故选B. 考点：平均耗油量. 4.（15北京文科）高三年级267位学生参加期末考试，某班位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生． 从这次考试成绩看， 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ） A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为（ C ） （A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8 全国一卷真题分析---概率统计 1.（2011年）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的 概率为0.3，设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率； (Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望． 2.（2012年）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果 当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进16朵玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，N n ）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 以100天记录的各需求量的频率作为 各需求量发生的概率． （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 3.（2013年）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中 优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下， 这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为1 2， 且各件产品是否为优质品相互独立． （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望． 1 2009年高考数学试题分类汇编——概率与统计 一、选择题 1.(2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品 净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于 100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且 小于104克的产品的个数是( ). A.90 B.75 C. 60 D.45 【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n , 则300.036=n ,所以120=n ,净重大于或等于98克并且小于 104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本 中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 120×0.75=90.故选A. 答案:A 【命题立意】:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有 关的数据. 2.(2009山东卷理)在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π 2 C.21 D.32 【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2x π的值介于0到2 1之间,需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3 2，由几何概型知cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232 =.故选A. 答案:A 【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x 的取值范围,得到函数96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克 频率/组距 第8题图 第一章基础训练题 一、填空 1、设}1),({},4),({2222>+=≤+=y x y x B y x y x A ，则=?B A 。 2、事件A 、B 、C 至少有一个发生可表示为 ，至少有两个发生 ，三个都不发生 。 3、设}6,5,4,3,2,1{},7,5,3,1{==B A ，则=-B A 。 4、设事件A 在10次试验中发生了4次，则事件A 的频率为 。 5、设,)(),()(p A p B A p AB p ==则=)(B p 。 6、A 、B 二人各抛一枚硬币3次，则出现国徽一面次数相同的概率是 。 7、筐中有4个青苹果和5个红元帅，随机地从中取出2个，则取出的苹果为同一品种的概 率为 ，恰好取出2个青苹果的概率为 ，恰好取出1个青苹果和1个红元帅的概率 为 。 8、从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件产品，其中恰有一件次品的概率为 ，至少有一件正品的概率为 。 9、从一筐装有95个一等品，5个二等品的苹果中，每次随机取一个，记录它的等级后放回 原筐搅匀后再取一个，共取50次，则无二等品的概率为 。 10、已知,3.0)(,4.0)(==B p A p 5.0)(=?B A p ，则=)(B A p 。 11、已知,8.0)(,6.0)(,5.0)(===A B p B p A p 则=)(AB p ，=?)(B A p 。 12、对任意二事件B A ,，=-)(B A p 。 13、已知,3.0)(,4.0)(==B p A p （1）当A ，B 互不相容时，=?)(B A p ，=)(AB p （2）当A ，B 相互独立时，=?)(B A p ，=)(AB p ；（3）当A B ?时，=)(A p ， =)(A B p ，=?)(B A p ，=)(AB p ，=-)(B A p 。 14、设C B A ,,为三事件，A 与B 都发生而C 不发生，则用C B A ,,的运算关系可表示 为 。设A ,B ,C 都发生，则用C B A ,,的运算关系可表示为 。 15、设B A ,为互斥事件，且,8.0)(=A p 则)(B A p = 。 16、从一批由10件正品，3件次品组成的产品中，任取一件产品，取得次品的概率为 。 17、设B A ,为两事件，则=)(AB p 。若B A ,为互斥事件，则=?)(B A p 。 18、设2.0)(,5.0)(=-=A B p A p ，则=?=)()(B A p B A p 。 （7.0)()()(),()()(=?=-+-=-B A p A B p A p AB p B p A B p ） 统计概率大题题型总结 题型一 频率分布直方图与茎叶图 例1.（2013广东理17）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.（2013新课标Ⅱ理）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500 元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率; 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第17题图 (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 变式1. 【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下： 08912 58 200338312 则这组数据的中位数是（ ） A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23 /频率组距0.010 0.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t 概率与统计高考常见题型 解题思路及知识点总结 一、解题思路 （一）解题思路思维导图 （二）常见题型及解题思路 1.正确读取统计图表的信息 典例1：（2017全国3卷理科3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（）. A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，选A. 2．古典概型概率问题 典例2：（ 全国卷理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德 巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A. B. C. D. 解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13 ，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有 种方法，因为 ，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方 法，故概率为 ，选C. 典例3： (2014全国2卷理科5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 解：设某天空气质量优良,则随后一天空气质量也优良的概率为p,则据条件概率公式得 ，故选A. 3．几何概型问题 典例4：(2016全国1卷理科4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 ( ) A.13 B.12 C. 23 D.3 4 《概率论与数理统计》练习题8答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设有10个人抓阄抽取两张戏票，则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( )。 A 、0 B 、1 4 C 、18 D 、15 答案：D 2、如果,A B 为任意事件，下列命题正确的是( )。 A 、如果,A B 互不相容，则,A B 也互不相容 B 、如果,A B 相互独立，则,A B 也相互独立 C 、如果,A B 相容，则,A B 也相容 D 、AB A B =? 答案：B 3、设随机变量ξ具有连续的分布密度()x ξ?，则a b ηξ=+ (0,a b ≠是常数)的分布密度为( )。 A 、 1y b a a ξ?-?? ? ?? B 、1y b a a ξ?-?? ??? C 、1y b a a ξ?--?? ??? D 、 1y b a a ξ??? - ? ??? 答案：A 4、设,ξη相互独立，并服从区间[0，1]上的均匀分布则( )。 A 、ζξη=+服从[0，2]上的均匀分布， B 、ζξη=-服从[- 1，1]上的均匀分布， C 、{,}Max ζξη=服从[0，1]上的均匀分布， D 、(,)ξη服从区域01 01x y ≤≤??≤≤? 上的均匀分布 答案：D 5、~(0, 1), 21,N ξηξ=-则~η( )。 A 、(0, 1)N B 、(1, 4)N - C 、(1, 2)N - D 、(1, 3)N - 答案：B 6、设1ξ，2ξ都服从区间[0，2]上的均匀分布，则12()E ξξ+=( )。 A 、1 B 、2 C 、0.5 D 、4 答案：B 7、设随机变量ξ满足等式{||2}116P E ξξ-≥=，则必有( )。 A 、14D ξ= B 、14 D ξ> C 、1 4 D ξ< D 、{} 15216 P E ξξ-<= 答案：D 8、设1(,,)n X X 及1(,,)m Y Y 分别取自两个相互独立的正态总体21(, )N μσ及 2 2(, )N μσ的两个样本，其样本(无偏)方差分别为21 S 及22 S ，则统计量2 122 S F S =服从F 分 布的自由度为( )。 A 、(1, 1)n m -- B 、(, )n m C 、(1, 1)n m ++ D 、( 1, 1,)m n -- 答案：A 9、在参数的区间估计中，给定了置信度，则分位数( )。 A 、将由置信度的大小唯一确定； B 、将由有关随机变量的分布唯一确定； C 、可按置信度的大小及有关随机变量的分布来选取； D 、可以任意规定。 答案：C 10、样本容量n 确定后,在一个假设检验中,给定显著水平为α,设此第二类错误的概率为β，则必有( )。 2017高考理科专题概率与统计（解析）一、选择题 1．5个车位分别停放了,,,,,5 A B C D E辆不同的车，现将所有车开出后再按,,,, A B C D E的次序停入这5个车位，则在A车停入了B车原来的位置的条件下，停放结束后恰有1辆车停在原来位置上的概率是（） A. 3 8 B. 3 40 C. 1 6 D. 1 12 2．如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图（单位：秒），则（） A. 平均数为64 B. 众数为7 C. 极差为17 D. 中位数为64.5 3．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为（） A. 5 16 B. 11 32 C. 15 32 D. 1 2 4． 5名学生进行知识竞赛.笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”.根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是（） A. 54 B. 72 C. 78 D. 96 5．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定 ．．．所有次品为止，记检测的次数为ξ，则Eξ=（） A. 3 B. 7 2 C. 18 5 D. 4 6．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六 个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是 A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 7．某厂家为了解广告宣传费与销售轿车台数之间的关系，得到如下统计数据表： 根据数据表可得回归直线方程???y bx a =+，其中? 2.4b =， ??a y bx =-，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为 A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 二、填空题 8．有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务，每个社区1到2人，甲、乙两名女志愿者需到同一社区，男志愿者到不同社区，则不同的分法种数为__________． 10．从1,2,3,4,5,6,7这七个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是________． 三、解答题 11．一企业从某生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值 x ，得到的频率分布直方图如图. （1）估计该技术指标值x 平均数x ； （2）在直方图的技术指标值分组中，以x 落入各区间的频率作为x 取该区间值的频率，若4x x ->，则产品不合格，现该企业每天从该生产线上随机抽取5件产品检测，记不合格产品的个数为ξ，求ξ的数学期望E ξ. 12．某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为A 、 第一章 概率论的基本概念 习题一 随机试验、随机事件 一、判断题 1.()A B B A =?- （ ） 2.C B A C B A =? （ ） 3.()φ=B A AB （ ） 4.若C B C A ?=?，则B A = （ ） 5.若B A ?，则AB A = （ ） 6.若A C AB ?=,φ,则φ=BC （ ） 7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则 （1）事件“含有红球”为必然事件； （ ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ ） （3）事件“含有白球”为随机事件； （ ） 8.互斥事件必为互逆事件 （ ） 二、填空题 1. 一次掷两颗骰子， （1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 ； （2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 。 2.化简事件()()() =???B A B A B A 。 3.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 交并补关系表示下列事件： （1）A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ； （2）A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ； （3）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 ； （4）A,B,C 都发生或不发生可表示为 ； （5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为 ； （6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为 ； （7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为 ； （8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为 ； （9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为 ； （10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为 ； 三、选择题 1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ ）。 A 、A 与D 是互不相容的 B 、A 与 C 是相容的 C 、B 与C 是相容的 D 、B 与D 是相互对应的事件 2.下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ ） A 、A ABC =； B 、A C B A =??； C 、A BC ? ； D 、C B A ?? 【精品】2007——2017年高考数学全国卷概率统计大题 2007某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6.经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元;若顾客采用分期付款，商场获得利润250元. (Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率; (Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率. 记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”． 2 ()(10.6) 0.064 P A =-=，()1()10.0640.936P A P A =-=-=． （Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”． 0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”． 1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”． 则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，12 13()0.60.40.432P B C =??=． 01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+0.648=． 2008 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率． （20）解：记A 1、A 2分别表示依方案甲需化验1次、2次，B 表示依方案乙需化验3次，A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A 2与B 独立，且 B A A A 21+=, 5 1C 1)A (P 15 1= = ，5 1A A )A (P 25 142= = ，5 2) (1 3 3 51224= ??= C C C C B P 。 P(A )=P(A 1+A 2·B) =P(A 1)+P(A 2·B)=P(A 1)+P(A 2)·P(B) =5 25 15 1? += 25 7 所以 P(A)=1-P(A )= 25 18=0.72 2009 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。 （Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率； 高考理科概率与统计专 题 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN] 2017 高考理科专题 概率与统计（解析） 一、选择题 1． 5个车位分别停放了,,,,,5A B C D E 辆不同的车，现将所有车开出后再按,,,,A B C D E 的次序停入这5个车位，则在A 车停入了B 车原来的位置的条件下，停放结束后恰有1辆车停在原来位置上的概率是（ ） A. 38 B. 340 C. 16 D. 112 2．如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图（单位：秒），则（ ） A. 平均数为64 B. 众数为7 C. 极差为17 D. 中位数为 3．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若 硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两 个人站起来的概率为（ ） A. 516 B. 1132 C. 1532 D. 12 4． 5名学生进行知识竞赛.笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”.根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是（ ） A. 54 B. 72 C. 78 D. 96 5．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定．．．所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ=（ ） A. 3 B. 72 C. 18 5 D. 4 6．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是 A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 7．某厂家为了解广告宣传费与销售轿车台数之间的关系，得到如下统计数据表：根据 数据表可得回归直线方程???y bx a =+，其中? 2.4b =， ??a y bx =-，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为 A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 习题一 （A ） 1.写出下列随机试验的样本空间： （1）一枚硬币连抛三次；（2）两枚骰子的点数和；（3）100粒种子的出苗数；（4）一只灯泡的寿命。 2. 记三事件为C B A ,,。试表示下列事件： （1）C B A ,,都发生或都不发生；（2）C B A ,,中不多于一个发生；（3）C B A ,,中只有一个发生；（4）C B A ,,中至少有一个发生； （5）C B A ,,中不多于两个发生；（6）C B A ,,中恰有两个发生；（7）C B A ,,中至少有两个发生。 3.指出下列事件A 与B 之间的关系： （1）检查两件产品，事件A =“至少有一件合格品”，B =“两件都是合格品”； （2）设T 表示某电子管的寿命，事件A ={T >2000h }，B ={T >2500h }。 4.请叙述下列事件的互逆事件： （1）A =“抛掷一枚骰子两次，点数之和大于7”； （2）B =“数学考试中全班至少有3名同学没通过”； （3）C =“射击三次，至少中一次”； （4）D =“加工四个零件，至少有两个合格品”。 5.从一批由47件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率。 6.电话号码由7个数字组成,每个数字可以是9,,1,0 中的任一个,求：（1）电话号码由完全不相同的数字组成的概率；（2）电话号码中不含数字0和2的概率；（3）电话号码中4至少出现两次的概率。 7.从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求“取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。 8.从一箱装有40个合格品,10个次品的苹果中任意抽取10个,试求：（1）所抽取的10个苹果中恰有2个次品的概率；（2）所抽取的10个苹果中没有次品的概率。 9.设A ,B 为任意二事件,且知4.0)()(==B p A p ,28.0)(=B A p ,求)(B A p ?；)(A B p 。 10.已知41)(=A p ，31)(=A B p ，2 1)(=B A p ，求)(B A p ?。 11.一批产品共有10个正品和4个次品,每次抽取一个,抽取后不放回,任意抽取两次,求第二次抽出的是次品的概率。 12.已知一批玉米种子的出苗率为0.9,现每穴种两粒,问一粒出苗一粒不出苗的概率是多少？ 13.一批零件共100个,次品率为10%,每次从中任取一个零件,取出的零件不再放回,求第三次才取得正品的概率。 2019年高考专题：概率与统计 1．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70， 则其与该校学生人数之比为70÷ 100=0.7．故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A ．8号学生 B ．200号学生 C ．616号学生 D ．815号学生 【解析】由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，解得1 5 n = ，不合题意；若200610n =+，解得19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ） A ． 2 3 B ． 35 C ．25 D ． 1 5 【解析】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ， 则从这5只中任取3只的所有取法有 {,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B b c A ，{,,},{,,},{,,}b c B b A B c A B ， 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,,},{,,}b c A b c B ，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为 63 105 =，故选B ． 概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连 续抽两次，则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,, ,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ - 大题专项：统计与概率问题 一、解答题 1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A 发生的概率; (2)设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望. 解：(1)由已知,有P (A )= C 22C 32+C 32C 3 2C 8 4=6 35. 所以,事件A 发生的概率为6 35. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X=k )= C 5k C 3 4-k C 8 4(k=1,2,3,4). 所以,随机变量X 的分布列为 随机变量X 的数学期望E (X )=1×1 14+2×3 7+3×3 7+4×1 14=5 2. 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率; (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk =1”表示第k 类电影得到人们喜欢,用“ξk =0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D (ξ1),D (ξ2),D (ξ3),D (ξ4),D (ξ5),D (ξ6)的大小关系. 解：(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A , 第四类电影中获得好评的电影为200×0.25=50(部). P (A )=50 140+50+300+200+800+510=50 2 000=0.025. 概率与统计高考真题练习 1. [2016]下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 （I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （II ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附参考：7 1 9.32i i y ==∑，7 1 40.17i i i t y ==∑， 7 2 1 () 0.55i i y y =-=∑，7≈2.646. 2.【2017】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）, 其频率分布直方图如下： （1） 记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率； （2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3） 根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。 3．【2018】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新生产方式．为比较两种生产方式效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表： 超过不超过 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 4.【2019】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业 第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表. -[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80) y的分组[0.20,0) 企业数 2 24 53 14 7 （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. （精确到0.01） ≈. 748.602 ．概率论与数理统计练习册题目
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